高中数学人教A版选修1-2测评模块复习课第2课时推理与证明

模块复习课第2课时推理与证明课后篇巩固提升基础巩固1.由1=12,1+3=22,1+3+5=32,1+3+5+7=42,…,得到1+3+…+(2n1)=n2用的是()A.归纳推理 B.演绎推理C.类比推理 D.特殊推理解析该推理是由特殊到一般的推理,所以是归纳推理.答案A2.有一段“三段论”推理是这样的:对于可导函数f(x),如果f'(x0)=0,那么x=x0是函数f(x)的极值点,因为函数f(x)=(x+1)3在x=1处的导数值f'(1)=0,所以x=1是函数f(x)=(x+1)3的极值点.以上推理中()A.大前提错误 B.小前提错误C.推理形式错误 D.结论是正确的解析对于可导函数f(x),如果f'(x0)=0,x=x0不一定是函数f(x)的极值点,故选A.答案A3.观察图形,可推断出“x”处应该填的数字是()A.171 B.183 C.205 D.268解析由前两个图形发现:中间数等于四周四个数的平方和,即12+32+42+62=62,22+42+52+82=109,所以“x”处应该填的数字是32+52+72+102=183.答案B4.我们把平面几何里相似形的概念推广到空间:如果两个几何体大小不一定相等,但形状完全相同,就把它们叫做相似体.下列几何体中,一定属于相似体的有()①两个球体;②两个长方体;③两个正四面体;④两个正三棱柱;⑤两个正四棱锥.A.4个 B.3个 C.2个 D.1个解析类比相似形中的对应边成比例知,①③一定属于相似体.答案C5.通过圆与球的类比,由结论“半径为r的圆的内接四边形中,正方形的面积最大,最大值为2r2”猜想关于球的相应结论为“半径为R的球的内接六面体中,()”.A.长方体的体积最大,最大值为2R3B.正方体的体积最大,最大值为3R3C.长方体的体积最大,最大值为4D.正方体的体积最大,最大值为8解析类比可知半径为R的球的内接六面体中,正方体的体积最大,设其棱长为a,当体积最大时,正方体体对角线的长度等于球的直径,即3a=2R,得a=2R3,体积V=a3=83R答案D6.用反证法证明命题“已知a,b为实数,若a,b≤4,则a,b不都大于2”时,应假设()A.a,b都不大于2 B.a,b都不小于2C.a,b都大于2 D.a,b不都小于2解析利用反证法定义,应假设a,b都大于2,故选C.答案C7.根据三角恒等变换,可得如下等式:cosθ=cosθ;cos2θ=2cos2θ1;cos3θ=4cos3θ3cosθ;cos4θ=8cos4θ8cos2θ+1;cos5θ=16cos5θ20cos3θ+5cosθ.依此规律,猜想cos6θ=32cos6θ+acos4θ+bcos2θ1,则有a+b=.

解析由所给的三角恒等变换等式可知,所有各式中,各系数与常数项的和是1,因此32+a+b1=1,于是a+b=30.答案308.对于任意的两个实数对(a,b)和(c,d),规定:(a,b)=(c,d)当且仅当a=c,b=d;定义运算“”为(a,b)(c,d)=(acbd,bc+ad);定义运算“”为(a,b)(c,d)=(a+c,b+d).设p,q∈R,若(1,2)(p,q)=(5,0),则(1,2)(p,q)等于.

解析由定义的运算知(1,2)(p,q)=(p2q,2p+q)=(5,0),所以p-2q=5,2p+q=0,解得p=1,q=-答案(2,0)9.(1)已知a>2,b>2,求证:a+b<ab;(2)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a>b,用反证法证明:cosB>0.证明(1)因为a>2,b>2,所以0<1a<12可得a+b>0,ab>0,又因为a+b所以a+b<ab.(2)假设cosB≤0,又因为B是三角形的内角,所以B∈π2,π,因为a>b,可得A>B,则A>π2所以A+B>π,与A+B<π矛盾,即假设不成立,因此cosB>0成立.10.通过计算可得下列等式:2212=2×1+1;3222=2×2+1;4232=2×3+1;……(n+1)2n2=2n+1.将以上各式两边分别相加,得(n+1)21=2×(1+2+3+…+n)+n,即1+2+3+…+n=n(类比上述方法,请你求出12+22+32+…+n2的值.解2313=3×12+3×1+1,3323=3×22+3×2+1,4333=3×32+3×3+1,…,(n+1)3n3=3n2+3n+1.将以上各式两边分别相加,得(n+1)313=3(12+22+32+…+n2)+3(1+2+3+…+n)+n,所以12+22+32+…+n2=1=n(能力提升1.用数学归纳法证明“1n+1+1n+2+1n+3+…+13n+1>1”时,A.13B.1C.13D.1解析当n=k时,左边为1k+1+1k当n=k+1时,左边为1k+2+1k所以增加的项为1k+2+1k+3+…+13k+1+13故选D.答案D2.某班数学课代表给全班同学们出了一道证明题,甲和丁均说自己不会证明;乙说:丙会证明;丙说:丁会证明.已知四名同学中只有一人会证明此题,且只有一人说了真话.据此可以判定能证明此题的人是()A.甲 B.乙 C.丙 D.丁解析由题设知,丁和丙的说法矛盾,他们有一人说了真话,则甲、乙说了假话,又四名同学中只有一人会证明此题,∴甲会证明,乙、丙、丁都不会证明,故选A.答案A3.观察下列不等式:52-2254598910-51095……由以上不等式,可以猜测:当a>b>0,s,r∈N*时,有as-bs解析由已知不等式,可知52-225-2≥2×72=21×5+222-1,45-答案s4.已知集合{a,b,c}={0,1,2},且下列三个关系:①a≠2;②b=2;③c≠0有且只有一个正确,则100a+10b+c=.

解析由题意可知三个关系只有一个正确分为三种情况:(1)当只有①成立时,则a≠2,b≠2,c=0,此种情况不成立;(2)当只有②成立时,则a=2,b=2,c=0,此种情况不成立;(3)当只有③成立时,则a=2,b≠2,c≠0,即a=2,b=0,c=1,所以100a+10b+c=100×2+10×0+1=201.故答案为201.答案2015.设函数f(x)=1x+2,a,b(1)用分析法证明fab+fb(2)设a+b>4,求证:af(b),bf(a)中至少有一个大于12证明(1)要证fab+fb即证ba只需证a2因为a,b为正实数,只需证3(a2+b2+4ab)≤2(2a2+2b2+5ab),即证a2+b2≥2ab,因为a2+b2≥2ab显然成立,所以原不等式成立.(2)假设af(b)=ab+2≤12,bf(因为a,b为正实数,所以2+b≥2a,2+a≥2b,两式相加得4+a+b≥2a+2b,即a+b≤4,与条件a+b>4矛盾,故af(b),bf(a)中至少有一个大于126.对于数对序列P:(a1,b1),(a2,b2),…,(an,bn),记T1(P)=a1+b1,Tk(P)=bk+max{Tk1(P),a1+a2+…+ak}(2≤k≤n),其中max{Tk1(P),a1+a2+…+ak}表示Tk1(P)和a1+a2+…+ak两个数中最大的数.(1)对于数对序列P:(2,5),(4,1),求T1(P),T2(P)的值;(2)记m为a,b,c,d四个数中最小的数,对于由两个数对(a,b),(c,d)组成的数对序列P:(a,b),(c,d)和P':(c,d),(a,b),试分别对m=a和m=d两种情况比较T2(P)和T2(P')的大小.解(1)T1(P)=2+5=7,T2(P)=1+max{T1(P),2+4}=1+max{7,6}=8.(2)T2(P)=max{a+b+d,a+c+d},T2(P')=max{c+d+b,c+a+b}.当m=a时,T2(P')=