新版高中数学北师大版必修5习题第一章数列1.3.1.2

第2课时等比数列的性质及应用课时过关·能力提升1.已知等比数列{an}的公比为正数,且a2·a6=9a4,a2=1,则a1的值为()A.3 B.3 C.13 D.解析:{an}是公比为正数的等比数列,设公比为q,则a2·a6=a42,∴a42=9a4,∴a∵q2=a4a2=9,∴q=3.∴a1答案:D2.在等比数列{an}中,若a3a5a7a9a11=32,则a92a11的值为A.4 B.2 C.2 D.4解析:由a3a5a7a9a11=32,得a75∴a7=2,∴a92a11=答案:B3.等差数列{an}的公差不为零,首项a1=1,a2是a1和a5的等比中项,则数列{an}的前10项的和是()A.90 B.100 C.145 D.190解析:设公差为d(d≠0),则由a22=a1·a5,得(1+d)2=1×(1+4d),解得d=2或d=0(舍去),从而可得S10=10a1+10×答案:B4.正项等比数列{an}中,a1,a99是方程x210x+16=0的两个根,则a40a50a60的值为()A.32 B.64 C.±64 D.256解析:由题意,可知a1·a99=16,∴a50=4,∴a40·a50·a60=a503=43=答案:B5.若互不相等的实数a,b,c成等差数列,c,a,b成等比数列,且a+3b+c=10,则a等于()A.4 B.2 C.2 D.4解析:由2b=a+c,a∵当a=2时,b=2,c=2,与题意不符,∴a=4.答案:D6.已知各项均不为0的等差数列{an}满足2a3a72+2a11=0,数列{bn}为等比数列,且b7=a7,则b1b13等于(A.16 B.8 C.4 D.2答案:A7.在等比数列{an}中,an>0,a10a11=e,则lna1+lna2+…+lna20的值为()A.12 B.10 C.8 D.e解析:lna1+lna2+…+lna20=ln[(a1a20)(a2a19)…(a10a11)]=lne10=10.答案:B8.在等比数列{an}中,a223a224a225=8,则a224=.

解析:∵a223a224a225=a2243=8,∴a224=答案:29.若不等于1的三个正数a,b,c成等比数列,则(2logba)·(1+logca)=.

解析:∵a,b,c成等比数列,∴b2=ac.又a,b,c∈(0,1)∪(1,+∞),∴b=ac,(2logba)·(1+logca)=2lgb-lg答案:210.在83和272之间插入三个数,使这五个数成等比数列,解析:先求公比q,把三个数用a1,q表示或利用性质求解.方法一:设这个等比数列为{an},其公比为q.∵a1=83,a5=272=a1q4=83·q4,∴q4∴q2=94∴a2a3a4=a1q·a1q2·a1q3=a13q6=833·9方法二:设这个等比数列为{an},公比为q,则a1=83,a5=272,加入的三项分别为a2,a3,a∵由题意可知a1,a3,a5也成等比数列,且a3与a1,a5同号,∴a32=83×272∴a2a3a4=a32·a3=a3答案:216★11.容器A中盛有浓度为a%的农药mL,容器B中盛有浓度为b%的同种农药mL,A,B两容器中农药的浓度差为20%(a>b),先将A中农药的14倒入B中,混合均匀后,再由B中倒入A中,恰好使A中农药保持mL,则至少经过多少次这样的操作,可使两容器中农药的浓度差小于解:设第n次操作后,A中农药的浓度为an,B中农药的浓度为bn,则a0=a%,b0=b%.b1=15(a0+4b0),a1=34a0+14b1=15(4ab2=15(a1+4b1),a2=34a1+14b2=15(4a……bn=15(an1+4bn1),an=15(4an1+bn1有anbn=35(an1bn1)=…=35(a0b0)·因为a0b0=15,所以anbn=1依题意,得15·35n<1%,n∈N+,故至少经过6次这样的操作,可使两容器中农药的浓度差小于1%.★12.如果一个等比数列{an}的首项为a1,公比为q,那么它的通项公式是an=a1qn1.设一元二次方程anx2an+1x+1=0(n=1,2,3,…)有两个根α和β,且满足6α2αβ+6β=3.(1)试用an表示an+1;(2)求证:数列an-(3)当a1=76时,求数列{an}的通项公式(1)解:一元二次方程anx2an+1x+1=0(n=1,2,3,…)有两个根α和β,由根与系数的关系,得α+β=an+1an,∵6α2αβ+6β=3,∴6an+1an-2an=3,即a(2)证明:∵an+1=12an+1∴an+123当an23=0,即an=23时,一元二次方程为23x223