2022年全国教师资格证科目三数学高频考点

第一模块数与代数 1第一章方程 1第二章函数 4第三章不等式 5第二模块图形与几何 6第一章解析几何 6第三模块统计与概率 9第一章统计 9第二章概率 11第四模块高等数学 16第一章极限 16第二章导数与微分 20第三章积分 23第四章空间解析几何与向量代数 27第五章多元函数微分 33第六章级数 35第五模块线性代数 37第一章行列式 37第二章矩阵 38第三章线性空间与线性变换 41第四章向量组的线性相关性 42第五章线性方程组 44第六章正交矩阵 46第六模块概率论与数理统计 47第七模块数学史 50第八模块课程与教学论 53第一章义务教育课标 53第二章高中课标 56第三章数学教学论 59第四章案例分析 62第五章教学设计 641第一模块数与代数第一章方程【高频考点1】二元一次方程组的解法解二元一次方程组的基本思想是“消元”，即减少未知数的个数，使多元方程最终转化为一元方程，再解出未知数。(1)代入消元法将方程组中的一个方程的未知数用含有另一个未知数的代数式表示，并代入到另一个方程中去，这就消去了一个未知数，得到一个解。(2)加减消元法利用等式的性质，使方程组中两个方程中的某一个未知数的系数的绝对值相等，然后把两个方程相加(减)，以消去这个未知数，使方程只含有一个未知数而得以求解。【经典例题】1.简述二元一次方程组有哪些解法，并对其步骤进行简单说明。【参考答案】①代入消元法；用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤：(1)在方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程变形，用含一个未知数的代数式表示另一个未知数；(2)将这个关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；(3)解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；(4)将这个求得的未知数的值再代入关系式，求出另一个未知数的值； (5)写出方程组的解。②加减消元法用加减法解二元一一次方程组的一般步骤：(1)确定消元对象，并把它的系数化成相等或互为相反数的数；(2)把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；(3)解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；(4)将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程，求出另一个未知数的值；(5)写出方程组的解。【高频考点2】高次方程的解法在一个一元高次方程中，如果各项系数之和等于0，则1是方程的根；如果偶次项系数之和等于奇次x2降低方程次数后依次求根。注：常数项算在偶次项系数当中。2.常数项约数求根法PQ一定是常数项a0的约数”。常数项约数求根法有两种类型：第一种类型：首项系数为1。对首项(最高次数项)系数为1的高次方程，直接列出常数项所有约数，代入原方程逐一验算，使方程值为零的约数，就是方程的根。依次用原方程除以带根的因式，逐次降次，直至将高次方程降为二次或一次方程求解；第二种类型：首项系数不为1。对首项系数不为1的高次方程，首先以首项系数为“公因数”提取到小括号Q外，然后对小括号内的方程的常数项列出公约数。特别注意此时代入方程验算的值一定是而不是Q，因PQ为此时原方程的因式是Px一Q，其余的解法步骤同首项系数为1的解法步骤相同。3.倒数方程求根法e性质1：倒数方程没有零根；仍是倒数方程。【经典例题】3xxx8x+4=0的实数根。x【高频考点3】绝对值方程1.定义：绝对值符号中含有未知数的方程叫做绝对值方程。2.解题步骤：去掉绝对值符号，把绝对值方程转化为一般的方程来解。3.不同类型绝对值方程的解法：(1)形如ax+b=c(a士0)的绝对值方程的解法：①当c<0时，根据绝对值的非负性，可知此时方程无解；axbcxdac法：性可知cx+d>0，求出x的取值范围；④将求得的解代入cx+d>0检验，舍去不符合条件的解。(3)形如ax+b=cx+d(ac士0)的绝对值方程的解法：4(4)形如xa+xb=c(a<b)的绝对值方程的解法：①根据绝对值的几何意义可知：xa+xb>ab；②当c<ab时，方程无解；当c=ab时，方程的解为axb；当c>ab时，分两种情况：当x<a时，原方程的解为x=；当x>b时，原方程的解为x=。【经典例题】1.方程x+53x7=1的解有()个。A1B.2C.3D.无数【答案】Bxxx=1，解得x=符合题意；当5<x<时，原方程可化简为x+5+3x7=1，解得x=符合题意；当x5时，原方程可化简为x5+3x7=1，解得x=，不符合题意；所以x的值为或。即方程的解有2个。故本题选B。2.解绝对值方程x2+x+7=11。第二章函数【高频考点】函数的单调性在公共定义域内：增函数f(x)+增函数g(x)是增函数；减函数f(x)+减函数g(x)是减函数；增函数f(x)减函数g(x)是增函数；减函数f(x)增函数g(x)是减函数。5【经典例题】【答案】C【解析】根据单调性法则：①增函数+增函数=增函数；②减函数+减函数=减函数；③增函数一减函数④减函数一增函数=减函数。故本题选C。2.设函数f(x)是定义在R上的增函数，则下列结论一定正确的是()。【答案】C第三章不等式【高频考点】重要不等式(1)设a、b是两个正数，则称为正数a、b的算术平均数，称为正数a、b的几何平均数。【经典例题】求实数k的最大值。6 galogcblogblogaclogc故实数k的最大值为3。【答案】见解析第二模块图形与几何第一章解析几何【高频考点1】圆的方程EFr7【经典例题】若A，B两点分别在圆x2y26x16y480和x2y24x8y440上运动，则A，B两点距离的最大值是()。C.36B.32D.38【答案】Bxy别在圆M、圆N上运动，所以当A、B在直线MN上，且M、N两点在A、B之间时AB取最大值。此时，ABmaxr1r2MN1181332。故本题选B。【高频考点2】圆锥曲线.椭圆(3)长轴长2a，短轴长2b，焦距2c，a2b2c2；(4)准线方程：x。2.双曲线(3)实轴长2a，虚轴长2b，焦距2c，c2a2b2；(4)准线方程：x。3.抛物线(1)标准方程：y22px(p0)，p为焦参数；(2)焦点：p0通径AB2p(3)准线：x；8(4)焦半径：AF=x1+，过焦点弦长AB=x1+x2+p。【经典例题】已知抛物线y=x2，如图，抛物线在点P(x0，y0)(x00)处的切线PT与y轴交于点M，点光源放在y轴平行。即当x=0时，y=x=y0，所以FM=y0+1。过P点做准线的垂线交于点E，设P点切线方程交y轴于M，即PE∥y轴，连接ME，因为PF=PE=y0+1，即可得PF=PE=FM=y0+1，所以在△FMP中，PEQPTEPQPQy9第三模块统计与概率第一章统计【高频考点】统计学中的几个基本概念(一)平均数(二)中位数1.定义：将一组数据按大小顺序依次排列，处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数。2.中位数的算法：设样本有n个数据，按大小顺序依次排列后，(1)n为奇数，第个数据为中位数；(2)n为偶数，第与+1个数据的平均数为中位数。3.特点：(1)中位数仅与数据的排列位置有关，不受某些数据变动的影响；(2)当一组数据中的个别数据变动较大时，中位数能较好的反映数据的集中趋势。(三)样本方差样本中所有个体x1，x2，...，xn与样本平均数x的差的平方的平均数叫做样本方差，用s2表示。方差反映了一组数据的波动情况。方差越大，数据的波动越大，越不稳定；方差越小，数据的波动越小，越稳定。s2=(x1-x)2+(x2-x)2+...+(xn-x)2常用结论：【经典例题】1.在一次高三年级统一考试中，数学试卷有一道满分为10分的选做题，学生可以从A，B两道题目中任选一题作答。某校有900名高三学生参加了本次考试，为了了解该校学生解答该选做题的得分情况，计划从900名学生的选做题成绩中随机抽取一个容量为10的样本，为此将900名学生的选做题的成绩随机编号(1)若采用随机数法抽样，并按照以下随机数表，以方框内的数字5为起点，从左向右依次读数，每次读取三位随机数，一行数读完之后接下一行左端写出样本编号的中位数。0526937060223592035159775956780652910570740797230998429964617162990651299358057709515126546647547332084495926329562429482699616553583778704250674232557494446794655268755929363922394143267863065508270150(2)若采用分层随机抽样，按照学生选择A题目或B题目，将成绩分为两层，且样本中选择A题目的，方差为4；样本中选择B题目的成绩有2个，平均数为8，方差为1。试用样本估计该校900名学生的选做题得分的平均数与方差。【解析】(1)由题意知：读取的编号依次是512，916(超界)，935(超界)，805，770，951(超设样本中选择A题目的成绩的平均数为x，方差为s2；样本中选择B题目的成绩的平均数为y，方差为t2，y名学生的选做题得分的平均数约为7.2，方差约为3.56。2.甲、乙两班参加了同一学科的考试，其中甲班50人，乙班40人，甲班的平均成绩为80.5分，方差为500；乙班的平均成绩为85分，方差为360。那么甲、乙两班全部90名学生的平均成绩和方差分别是多少？【答案】平均分是82.5分，方差为442.78【解析】设甲班50名学生的成绩分别是a1，a2，…，a50，那么甲班的平均成绩、权重和方差分别为1140名学生的成绩分别是b1，b2，…，b40，那么乙班的平均成绩、权重和方差分别为x乙==85第二章概率【高频考点1】古典概型.特点(1)所有可能出现的基本事件为有限个；(2)每个基本事件发生的可能性相等。2.概率公式【经典例题】1.甲、乙、丙、丁4个足球队参加比赛，假设每场比赛各队取胜的概率相等，现任意将这4个队分成两个组(每组两个队)进行比赛，胜者再赛，则甲、乙相遇的概率为()。AB.C.D.【答案】D【解析】根据题意，分两种情况讨论：①甲、乙在同一组：P1=；②甲乙不在同一组，但相遇的概D2.盒子中装有编号为1~7的七个球，从中任意取出两个，则这两个球的标号之积为偶数的概率为()。AB.【答案】C【解析】7个球选出编号之积为偶数，则有两种情况，一种是从3个偶数中选择两个，概率为=，另一种是从3个偶数中选择一个，4个奇数中选择一个，概率为=，则所求概率为+=。故本【高频考点2】条件概率1.概念：对事件A和B，在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率，称为B发生时A发生的条【经典例题】1.根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为，下雨的概率为，既吹东风又下雨的概率为。则在吹东风的条件下下雨的概率为()。A.B.C.D.【答案】DMNPNPMN)。【答案】C【高频考点3】离散型随机变量1.概念：对于随机变量可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量。2.离散型随机变量的分布列毛1x12x2…xi…PP1PP2P…Pi…分布列具有如下性质：4.离散型随机变量的方差：【经典例题】AB.2C.0.5D.4【答案】A()。AB.CD.【答案】B【高频考点4】独立事件(一)相互独立事件1.概念：事件A的发生对事件B的发生没有影响，同样事件B的发生对事件A的发生也没有影响，则这两个事件称为相互独立事件。PB(二)独立重复试验1.概念：一次试验中，事件A发生的概率为p。相同条件下，独立、重复进行了n次试验，称作n次独立重复试验。【经典例题】1.甲、乙两人向同一个目标射击，击中目标的概率分别为0.6、0.7。假定两人同时射击时击中与否是相互独立的。若每人射击一次，求：(1)两人都中靶的概率；(2)甲中乙不中的概率；(3)目标被击中的概率。【答案】(1)0.42(2)0.18(3)0.88【解析】记事件A为“甲击中目标”，事件B为“乙击中目标”，则两人都中靶记为AB，甲中乙不中记为AB，目标被击中记为C，由两人同时射击时击中与否是相互独立的可得：(1)PABPAPB2.从1，2，3，4，5，6这六个数字中，每次任意取出一个数字，有放回地取两次。设事件A为“第一B字之和等于7”。(1)用合适的符号写出样本间；(2)判断A与B是否相互独立。【高频考点5】互斥与对立事件(一)互斥事件1.概念：不能同时发生的两个事件称为互斥事件。(二)对立事件1.概念：两个互斥事件中必有一个发生，则这两个事件称为对立事件。(三)互斥与对立事件的联系1.对立事件一定是互斥事件，但是互斥事件不一定是对立事件。2.互斥事件的两个事件的交集是空集，但对立事件不仅要求交集是空集，还要求并集是全集。【经典例题】B()。A.0.3B.0.6C.0.7D.0.8【答案】CA.事件A与B互斥B.事件A与B对立C.事件A与B相互独立D.事件A与B既互斥又相互独立【答案】CB是否互斥。故本题选C。1点或2点的概率。(2)盒子里装有6只红球，4只白球，从中任取3只球。设事件A表示“3只球中有1只红球，2只红球又有白球的概率。第四模块高等数学第一章极限【高频考点1】无穷大与无穷小.定义lxfx，则称在x)x0过程中，f(x)是无穷小量；lxxx过程中，f(x)是无穷大量。2.两个无穷小的比较fxgx(3)l丰0，称f(x)与g(x)是同阶无穷小；gx【经典例题】当x)0时，与x等价的无穷小量是()。inxD.2xx)0xx)0xsin2xx)0xx)0xx)0xlimtan=lim=lim1=w，当limtan=lim=lim1=w，当x)0时，tan是比x的低阶无穷小，故不符合题意；D选项，lim2x=lim2x=2，∴当x)0时，2x与x是同阶无穷小，故不符合题意。故本题选B。【高频考点2】等价无穷小代换当x)0时的等价无穷小量，则有【经典例题】x)0x2(ex-1)x)0x2(ex-1)AB.C.2D.0【答案】Bsinx本题选B。【高频考点3】两个重要极限公式【经典例题】1.下列函数极限运算不正确的是()。x)0xx)0x【答案】Cx)0xx)0xx)0xx)0xx)0xx)0xx)0xx)0xx)0xx)0x故正确。故本题选C。A.0B.1D.e2【答案】D【高频考点4】洛必达法则(2)x变化过程中，f,(x)，g,(x)皆存在，注意：如果lim不存在，则不能得出lim不存在。(2)x变化过程中，f,(x)，g,(x)皆存在，【经典例题】x)0时，ex一1+2与()是同阶无穷小量。A.xB.x2C.x3D.x4【答案】Bx 1x【高频考点5】闭区间上连续函数的性质定理1：(有界性定理)闭区间[a，b]上的连续函数必在[a，b]上有界。定理2：(最大值最小值定理)闭区间[a，b]上的函数f(x)，必在[a，b]上有最大值和最小值，即在就是在[a，b]上的最小值与最大值。定理3：(介值定理)设f(x)在[a，b]上连续，m与M分别为在[a，b]上的最小值与最大值，则对于定理4：(零点定理或根的存在定理)设f(x)在[a，b]上连续，f(a).f(b)<0，则至少存在一点【经典例题】【答案】见解析20iiini=0ni=0第二章导数与微分【高频考点1】可导与连续定理：若函数y=f(x)在点x0处可导，则y=f(x)在点x0处必连续。1.逆命题不成立，即“连续不一定可导”；2.逆否命题成立，即“不连续一定不可导”。【经典例题】A.不连续B.连续但左、右导数不存在C.连续但不可导D.可导【答案】CC【高频考点2】求曲线上一点处的切线方程与法线方程fx2.切线方程：y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为y_f(x0)=f,(x0)(x_x0)。yfxxfx)处的法线方程为y_f(x0)=_(x_x0)。【经典例题】(1)求抛物线在点(4，3)处的切线方程；(2)若不过原点的直线l与抛物线交于A，B两点(如图所示)，且OA」OB，OA=OB，求直21lx=4y【高频考点3】函数的单调性b【高频考点4】函数的极值设函数y=f(x)在x0及其附近有定义，如果对x0附近的所有的点都有f(x)>f(x0)(或f(x)<f(x0))，则称f(x0)是函数f(x)的极小值(或极大值)。可导函数的极值，可通过研究函数的单调性求得，基本步骤是：(1)确定函数f(x)的定义域；22(3)求方程f’(x)=0的全部实根，x1<x2<…<xn，顺次将定义域分成若干个小区间，并列表：x变x1x1(x1，x2)xn正负0正负0正负f(x)单调性极值单调性极值单调性 (4)检查的符号f’(x)并由表格判断极值。【经典例题】求函数f(x)=x3-x2-2x+1的单调区间和极值。x2+0-0+f(x)极大值极小值【高频考点5】微分中值定理1.罗尔定理(Rolle定理)：若函数f(x)满足：(1)在闭区间[a，b]上连续；(2)在开区间(a，b)内可导；(3)f(a)=f(b)，2.拉格朗日中值定理(Lagrange中值定理)：设函数f(x)满足：(1)在闭区间[a，b]上连续；(2)在开区间(a，b)内可导；【经典例题】设函数f(x)在[a，b]上满足罗尔定理的条件，且f(x)不恒等于常数。证明：在(a，b)内至少存在一23【答案】见解析【解析】证明：因为f(x)在[a，b]上满足罗尔定理的条件且不恒等于常数，所以至少存在一点第三章积分【高频考点1】不定积分的性质与公式.性质k2.积分公式(1)jkdx=kx+C(k为常数)3)jdx=lnx+C(5)jexdx=ex+C7)jaxdx=+CC (6)jcosxdx=sinx+C10)jsecxtanxdx=secx+C24【经典例题】1.不定积分jdx=()。【答案】C【高频考点2】定积分的性质1.积分的运算性质3.积分估值定理：如果函数f(x)在区间[a，b]上有最大值M和最小值m，则5.对称区间上奇偶函数的积分性质：设f(x)在对称区间[_a，a]上连续，则有【经典例题】下列定积分计算结果正确的是()。25【答案】D x 【高频考点3】牛顿—莱布尼兹公式如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，且F(x)是f(x)的任意一个原函数，那么aa上述公式称为牛顿—莱布尼兹(Newton-Leibniz)公式，又称为微积分基本公式。【经典例题】πj02sinx.cosx.esinxdx的值为()。AeB.1_eC.D.【答案】Cπjsinxcosx.esinxdx=j0esinxdsin2x=esinx=。故本题选C。【高频考点4】定积分的求法1.换元积分法设函数f(x)在区间[a，b]上连续，并且满足下列条件：(2)0(t)在区间[a，b]上单调且有连续的导数0，(t)；(3)当t从a变到b时，0(t)从a单调地变到b，则有jbaf(x)dx=jbaf0(t)0，(t)dt。262.分部积分法设函数u=u(x)和v=v(x)在区间[a，b]上有连续的导数，则有上述公式称为定积分的分部积分公式。【经典例题】A.lnlnx+1+CB.lnlnx+1+CClnlnxCD.-lnlnx+1+C【答案】B【高频考点5】定积分的应用——求平面图形的面积ab连续曲线y=f(x)与y=g(x)，以及两条直线x=a与x=b所围成的平面【经典例题】求由曲线y=ln2x，直线x=1与x=5及x轴所围成的平面区域的面积。【解析】由题意知，所围成平面区域如图所示，由定积分的几何意义知阴影部分面积为j15ln2xdx=27【高频考点6】定积分的应用——求旋转体的体积周所成的旋转体的体积，所求旋转体的体积为：V=πjabf(x)2dx。【经典例题】已知平面上一椭圆，长半轴长为a，短半轴长为b，0<b<a，求该椭圆绕着长轴旋转一周所得到的旋转体的体积。第四章空间解析几何与向量代数【高频考点1】空间向量的数量积、向量积4.向量的向量积：两个向量a与b的向量积(外积)是一个向量c，记作c=a根b，它的模是ababsin为a与b间的夹角。c的方向垂直于a与b所决定的平面(即c既垂直于a，又垂直于b)，c的指向按右手规则从a转向b来确定。5.向量积的坐标表示式ijkbxbybzijkbxbybz【经典例题】A.B.28【答案】BbC.13D.39【答案】D【高频考点2】常见曲面1.旋转曲面设在yOz坐标面上有一已知曲线C，它的方程为f(y，z)=0。把这曲线绕z轴旋转一周，得到一个以z轴为轴的旋转曲面，就有旋转曲面的方程f(，z)=0，旋转曲线绕哪个轴旋转，该轴对应变量不变，另外的变量将缺的变量补上改成正负二者的完全平方根的形式，即得旋转曲面方程。2.锥面方程为：z2=a2(x2+y2)，其中，a=cot。3.几个常用的柱面：①圆柱面：x2+y2=R2(母线平行于z轴)②抛物柱面：y2=2x(母线平行于z轴)5.抛物面(1)椭圆抛物面方程：+=z。(2)双曲抛物面(鞍形曲面)的方程：一=z。6.双曲面(1)单叶双曲面29【经典例题】zPMPMA.B.2C.3D.4【答案】C(1)求动点P的轨迹方程；(2)动点P的轨迹方程所表示的几何图形是什么？为旋转椭球面。【高频考点3】空间平面方程、两平面位置关系1.平面方程平面的一般方程为：Ax+By+Cz+D=0。2.两平面位置关系(1)定义：两平面法线向量之间的夹角(通常指锐角)称为两平面的夹角。D按照两向量夹角余弦公式有：cos9=30lzzlzz+ptPxy，z0)，平面的方程为Ax+By+Cz+D=0，【经典例题】平面n1的夹角是()。【答案】B【解析】由题意得平面n1的法向量为n1==(0，1，1)，由平面n2的一般方程得其法向量为nn【高频考点4】空间直线方程、两直线位置关系1.空间直线方程(1)直线的点向式方程：xx0=yy0=z一pz0(也叫标准式或者对称式)。2.两直线位置关系31x2=y2y2=z2z2x2=y2y2=z2z2xyyzzsmnp：(1)|m1=n1=(1)①若方程组(1)有无穷组解，则l1与l2重合；②若方程组(1)只有一组解，则l1与l2相交，且方程组的解即为l1与l2的交点坐标；②对于异面直线，可把这两条直线平移至相交状态，此时，它们的夹角称为异面直线的夹角；pp【经典例题】 32【高频考点5(|F(x，y，z)=01.空间曲线的一般方程：〈|lG(x，y，z)=0。【高频考点6】平面与直线的位置关系的判定zD|==(x-x0y-y0z|==(1)若方程组有无穷组解，则l在π内；(2)若方程组无解，则l∥π；(3)若方程组只有一组解，则l与π相交，方程组的解即为l与π的交点坐标。注：还可以根据直线的方向向量s与平面的法向量n的关系来判定直线与平面的位置关系。2.直线与平面的夹角直线与它在平面上的投影之间的夹角90共9共))|，称为直线与平面的夹角。l与平面π的法线之间的夹角为Q，则9=-Q。所以，sin9=cosQ=s.n=Am+Bn+Cps.nm2+n2+p2.A2+B2+C2【经典例题】4x-2y-2z=3的位置关系是()。A.平行B.直线在平面内C.垂直相交D.相交但不垂直33【答案】A【解析】本题考查空间解析几何。由题意可知，直线的方向向量为(–2，–7，3)，平面的法向量为∴直线与平面平行。故本题选A。第五章多元函数微分【高频考点1】偏导数的求法xyxyxzy则只要把x暂时看作常量而对y求导数。注：偏导数的记号是一个整体记号，不能看作分子与分母之商。【经典例题】设函数z设函数z=x3y–xy3，则=()。?xA.x3–xB.3x2y–xy2C.x2y–2xy2D.3x2y–y3【答案】Dxyy3。故本题选D。【高频考点2】可微分的条件y2.充分条件：如果函数z=f(x，y)的偏导数，在点(x，y)连续，则称函数在该点可微分。总结：由1和2可知二元函数的可导、可微、连续的关系如图所示：34yxy【经典例题】f(x，y)可微f(x，y)连续fy,(x，y)存在z=f(x，y)的偏导数及在点(x，y)存在且连续与f(x，y)在该点可微分的关系是()。A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.不存在联系【答案】A【解析】根据可微的充分条件可知，z=f(x，y)的偏导数及在点(x，y)存在且连续可以推导f(x，y)在该点可微分；根据可微的必要条件可知，f(x，y)在该点可微分只能推导出偏导数及在点(x，y)存在，不能推导出偏导数连续。故本题选A。【高频考点3】空间曲线的切线与法平面在点M处的法平面的方程为【高频考点4】曲面的切平面和法线z法线方程为FxFz【经典例题】z35第六章级数【高频考点1】收敛级数的基本性质数un收敛于和s，则级数kun也收敛，且其和为ks。n1n1n1n1n1性质3：在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的收敛性。性质4：如果级数un收敛，则对这级数的项任意加括号后所成的级数n1u1…unun1…un…un…un…仍然收敛，且其和不变。性质5(级数收敛的必要条件)：若级数un收敛，则它的一般项un趋于0，即lnun0。【经典例题】nn1数项级数un的一般项趋于零(即lnun0)是级数un收敛的()。nn1A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】Bnn1数un的一般项趋于零(即lnun0)是级数un收敛的必要条件。故本题选B。nn1【高频考点2】绝对收敛和条件收敛1.绝对收敛与条件收敛若级数un收敛，则称级数un绝对收敛；n1n1若级数un收敛，而级数un发散，则称级un条件收敛。n1n1n12.绝对收敛与收敛的关系如果级数un绝对收敛，则级数un必定收敛。n1n1【经典例题】n1nn1级数为11sinnk(k为常数)，则该级数()n1nn1A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.收敛性与k有关【答案】A36 nnn1n sin(nk) nn的 nnn1n sin(nk)比较判别法得，原级数绝对收敛。故本题选A。【高频考点3】收敛半径1.收敛半径nanxnlnn，则称正数R就是n0anxn的收敛半径。径2.求解方法幂级数的收敛半径可如下求得：设极限ln1，其中an，an1是幂级数相邻两项的系数，则：n0，则R；3.幂级数anxn的收敛域分三种情形：n0n0(2)收敛域仅为原点，除原点外幂级数anxn皆发散，我们称它的收敛半径R0。n0所以求幂级数的收敛半径R非常重要，(1)(2)两种情形的收敛域是确定的。而(3)的情形，还需讨论R两点上的敛散性。nnlRlnl0，则R)，如果上述两极限不成立，那么就要用其它方法求收敛半径，后面有所讨论。【经典例题】n0n1【答案】Atxnantn1t2nantn1t2antn。由于逐项求导后的幂级数与原幂级数有n1n1n1相同的收敛半径，antn的收敛半径为3antn的收敛半径为3。从而t2antnnantn1的收敛n1n1n1n137n=1第五模块线性代数第一章行列式【高频考点】行列式的计算1.对角线法(1)二阶行列式：(2)三阶行列式21a22a11221221=a112212211213aa1213aaa=aaa+aaa+aaa一aaa一aaa一aaa212223112233122331132132132231122133112332aaa31aaa即：二阶和三阶行列式的值等于主对角线元素的乘积减去副对角线元素的乘积。2.化三角法：将行列式转化为上三角形或者下三角形行列式，这样所得行列式的值等于主对角线元素的乘积。3.代数余子式法：将行列式按某一行(或列)展开，达到降阶的目的。【经典例题】12x12xA.3B.2【答案】C【解析】根据计算行列式的对角线法，容易发现只有主对角线上的三个元素相乘，会得到x3项，因此，1012.若1x1=0，则x的值为()。410AB.一8C.0D.3【答案】C【解析】根据题意得D=一4x=0，则x=0。故本题选C。38ambmamn+bmn)【高频考点1】矩阵的运算(a11+b11|A+B=|a21b21|则矩阵A与B的和记作A+B，且a12+b12…a1n+b1n)a22+b22…a2n+b2n|。\入am1入am2…入amn)Bk=1k应该注意，方阵与行列式是两个不同的概念，n阶方阵是n2个数按一定方式排成的数表，而n阶行列式则是这些数(也就是数表A)按一定的运算法则所确定的一个数。由A确定A的这个运算满足下述运算规律(设A，B为n阶方阵，λ为数)：(1)AT=A；(2)入A=入nA；(3)AB=AB。【经典例题】(21-1)(|10)|1.已知矩阵P=|\101)|，Q=)||，则矩阵PQ是()。【答案】B39A=2，则行列式B的值是()。A.223C.432B.216D.452【答案】C101132【高频考点2】矩阵的秩求法：通过初等行变换将给定矩阵化为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数即为给定矩阵的秩。【经典例题】A.任意一个行向量均可由其它r个行向量线性表示B.任意r个行向量均可构成极大无关组C.任意r个行向量均线性无关D.必有r个行向量线性无关【答案】D【解析】根据r(M)=r可知，该矩阵M的极大线性无关组向量的个数为r，行向量反映的性质和列向量反映的性质相似，可举一个反例(a1，a2，a量反映的性质相似，可举一个反例(a1，a2，a3)=)||，从列向量角度可得a1不可以由a2，a3线性表示，排除A选项；a2，a3线性相关，不能构成极大无关组，排除B、C选项，而D选项描述正确。故本题401)4)1)4)1)113)-41)|2||241|的秩是()。|2.矩阵|2||234331)54)AB.2C.3D.4【答案】D【解析】本题考查矩阵的秩。(12323|||23433415120|||0||||r-3rr-r\0223282(100r-2r~r-r|||210032401)1)2)1-1，行阶梯矩阵非零行【高频考点3】逆矩阵阵B称为A的逆矩阵，记为A-1=B。当A=0时，A称为奇异矩阵，可逆矩阵就是非奇异矩阵。AA3.逆矩阵满足下述运算规律：A逆，则A-1亦可逆，且(A-1)-1=A；(3)若A、B为同阶矩阵且均可逆，则AB亦可逆，且(AB)-1=B-1A-1。【经典例题】(1(-22-1)10)3-3-|7-1)|41|||0)||||0)|A=A=|A2|||||1370)121526260)|2|||||10)1212可逆，说明理由。第三章线性空间与线性变换【高频考点1】线性空间的基与维数向量空间，又称线性空间。设V是数域F上一个向量空间。V中满足下列两个条件的向量组(1)α1，α2，…，αn线性无关；(2)V的每一个向量都可以由α1，α2，…，αn线性表示。一个向量空间V的基所含向量的个数叫做V的维数。零空间的维数定义为0。空间V的维度记作dimV。【经典例题】V的维数是()。A.1B.2C.3D.w【答案】BinxV的一组基，故V的维数是2。故本题选B。【高频考点2】线性变换在平面直角坐标系中，平面内的点与有序实数对有一一对应关系，这样，借助直角坐标系，我们可以用代数方法表示几何变换，进而就可以从代数的角度研究几何变换。在平面直角坐标系xOy内，很多几何变换都具有下列形式：〈①，其中系数a，b，c，d均为常数，我们把形如①的几何变换叫做线性变换，①式叫做这个线性变换的坐标变换公式。P,(x,，y,)是P(x，y)在这个线性变换作用下的像。线性42变换①可以由矩阵))|唯一确定，反之，矩阵))|也可以由线性变换①唯一确定。【经典例题】下列矩阵所对应的线性变换为关于y=-x的对称变换的是()。【答案】C\a21a22)\a21a22)第四章向量组的线性相关性【高频考点1】向量组的线性相关性1.线性相关、线性无关的定义线性相关。任何一个包含零向量的向量组必线性相关。性无关。2.向量组线性相关、无关的充要条件3.向量组线性相关性的其他结论mBmm向量组B线性无关，则向量组称A也线性无关。(2)m个n维向量组成的向量组，当维数n小于向量个数m时一定线性相关。特别地，n+1个n维向量一定线性相关。向量组A线性表示，且表示式是唯一的。43|||~|||~|2t-5)|【答案】C(1(10\0123||r-r~3||令A=||r-r~3||0\01)0\01)2t-1)112110r-2rtt)。A.1C.2B.0D.3【答案】A11013-153tr-r10012-15-2t2-2t【高频考点2】极大线性无关组量组A的一个极大线性无关向量组(简称极大无关组)。s向量的个数称为向量组的秩。【经典例题】(1)求t的值；(2)求出向量组(a1，a2，a3)的一个极大线性无关组，并将其余向量用极大无关组线性表示。4412431t02535400021054309r25(1)(1)可知Arr200021000003000002可作为向量组的一个极大无关组，32132。第五章线性方程组【高频考点】线性方程组的解1.解的情况nAxbARARAb则(1)若RARA，b，则该线性方程组无解；(2)若RARΑ，bn，则该线性方程组有唯一解；(3)若RARA，bn，则该线性方程组有无穷多解。2.齐次线性方程组的解齐次线性方程组Ax0总是有解的，因为x1x2…xn0就是它的一个解。因此，齐次线性方程组的解有两种情况：(1)只有零解；(2)有非零解。定理：系数矩阵A的秩RAn齐次线性方程组有非零解。推理：若齐次线性方程组的方程个数小于未知数的个数，即mn，则它必有非零解。3.非齐次线性方程组的解对于非齐次线性方程组来说，只需要将其增广矩阵化为行阶梯形矩阵，以此来判断其是否有解。定理：n元非齐次线性方程组有解的充分必要条件是系数矩阵A的秩等于增广矩阵AA|b的秩。当RARAn时，方程组没有自由未知量，只有唯一解。当RARArn时，方程组有nr个自由未知量，有无穷多个解。【经典例题】mnAns矩阵B(BO)，使得AB=O成立的充要条件是矩阵A的秩rankA满足()。45(1-5-6)(1-5-6)-2-2-12-14-7-8)-4-5-6)-1-2-2-1-2-2-1-2-2)2111||||~00\0【答案】A因此Ax=0有非零解，故r(A)<n；充分性：若r(A)<n，则方程组Ax=0有非零解，设非零解为2.已知非齐次线性方程组|x2-x3-2x4=-2xx|x2-x3-2x4=-2(1)a为何值时，其对应齐次线性方程组解空间的维数为2？(2)对于(1)中确定的a值，求该非齐次线性方程组的通解。；(2)见解析【解析】(1)齐次方程组的解空间维数为2，可以得出齐次方程组的自由变量个数为2，对应的齐次方程组系数矩阵的秩为2，可得系数矩阵为\13-5a)\01-1a+5)|259--12|r根(+r|0112|，R(A)=\13-5a)\01-1a+5)(2)当a=-7时得到增广矩阵为21521530202|||\1||||||00\000\0~-4-1-9-50100(1~00|||\02100-4-100-5-200-6)-20-200)-2-100-1-200-2)0)2|，可得到0)46ξ12110T，ξ21201T，所以对应的导出齐次方程的通解为1k1ξ1k2ξ2k1，k2R；=2200T为非齐次方程组的一组特解。则非齐次方程组的通解为k1ξ1k2ξ2。第六章正交矩阵【高频考点1】正交矩阵(1)若A为正交矩阵，则A1AT也是正交矩阵，且A1。(2)若A和B都是正交矩阵，则AB也是正交矩阵。(3)A是正交阵的充分必要条件是A的n维列向量是单位正交向量组。【高频考点2】施密特正交化线性无关组的正交化方法设α1，α2，…，αr是向量空间V的一个基，要求V的一个标准正交基，这也就是要找一组两两正交的单准正交化。 b1，αrb2，αrbr1，αrbbrαrb1，b1b1b2，b2b2…br1，b2br112r就是V12r就是V的一个标准正交基。12r【经典例题】V2k3kR，令V3t11t22t1，t2R；1V1，2V2。(1)求子空间V3的维数；(2)求子空间V3的一组标准正交基。66693939314202200047第六模块概率论与数理统计【高频考点1】两个事件相互独立.定义2.性质(2)若事件A与B相互独立，则A与B、A与B、A与B各对事件也相互独立。【经典例题】两人A与B下棋，每局胜的可能性一样。某一天两人要进行一次三局两胜的比赛，最终胜者赢得100元奖金。第一场比赛A胜，后因为有其他要事而中止比赛，问怎么分100元奖金才公平?才公平。【高频考点2】常用的离散型随机变量(1)设随机变量X只可能取0与1两个值，它的分布律是X01pk1-X01(2)伯努利试验将E独立重复地进行n次，则称这一串重复的独立试验为n重伯努利试验。“重复”是指在每次试验中PAp。48在伯努利试验中，设事件A的概率为p(0<p<1)，如果所定义的随机变量X表示A发生的次数，即(1，A发生l0，A不发生X=l0，A不发生显然X的分布律为X01pk1-X012.二项分布在n重伯努利试验中，设事件A发生的概率为p，事件A发生的次数是随机变量，设为X，则X可能P(X=k)=Pn(k)=Cknpkqn-kX~B(n，p)。3.几何分布4.泊松分布(1)定义且有(2)泊松定理>0是一个常数，n是任意正整数，设npn=入，则对于任一固【经典例题】设书籍上每页的印刷错误的个数X服从泊松分布，经统计发现在某本书上，有一个印刷错误与有两个印刷错误的页数相同，求任意检验4页，每页上都没有印刷错误的概率。【答案】e-849每页上没有印刷错误的概率为P恳X=0}=e-2=e-2。令Y表示检验的4页中没有印刷错误的页数，则【高频考点3】常见的连续型随机变量1.均匀分布均匀分布的分布函数为2.指数分布若连续型随机变量X的概率密度为其中9>0为常数，则称X服从参数为9的指数分布。3.正态分布(2)f(x)具有如下性质：50(3)若X~N(p，o2)，则X的分布函数为F(x)=je-dt。分布函数为C(x)=je-dt。C(x)是不可求积函数，其函数值已编制成表可供查用。(6)如果固定p，改变o，由于最大值f(p)=，可知，当o越小时，图形变得越尖。【经典例题】设顾客排队等候服务的时间X(以分计)服从入=的指数分布，某顾客等候服务，若超过10分钟他就离开。他一个月要去等待服务5次。以Y表示一个月内他未等到服务而离开的次数，试求Y的概率分布【答案】见解析第七模块数学史【高频考点1】中算发展的第二次高峰：数学稳步发展《九章算术》注释中最杰出的代表是刘徽和祖冲之父子。(一)刘徽(魏晋，公元3世纪)撰《九章算术注》，不仅对《九章算术》的方法、公式和定理进行一般的解释和推导，而且系统地阐述了我国传统数学的理论体系与数学原理，并且多有创造。51刘徽数学成就中最突出的是“割圆术”(圆内接正多边形面积无限逼近圆面积)。刘徽在《九章算术注》中提出割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，通过计算圆内接正3072边形的面积，求出圆周率为=3.1416(阿基米德计算了圆内接和外切正96边形的周长)。为方便计算，刘徽主张利用圆内接正192边形的面积求出=3.14作为圆周率，后人常把这个值称为“徽率”。这使刘徽成为中算史上第一位用可靠的理论来推算圆周率的数学家，并享有国际声誉。(二)祖冲之(429－500年)祖冲之的著作《缀术》，取得了圆周率的计算和球体体积的推导两大数学成就。祖冲之算出圆周率在。《缀术》的另一贡献是祖氏原理：幂势既同，则积不容异，在西方文献中称为卡瓦列里原理，或不可分量原理，因为1635年意大利数学家卡瓦列里(1598－1647年)独立提出，对微积分的建立有重要影响。为了教学需要，唐初由李淳风(604－672年)等人注释并校订了《算经十书》(约656年)，即《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》(刘徽)、《孙子算经》(约成书于公元400年，内有“物不知数”问题)、《夏候阳算经》(内有“百鸡问题”：今有鸡翁一，直钱五；鸡母一，直钱三；鸡雏三，直钱一。凡百钱，买鸡翁、母、雏各几何)、《张邱建算经》、《缀术》(祖冲之)、《五曹算经》、《五经算经》和《缉古算经》(约成书于626年前后，内有三次方程及其根，但没有解题方法)。十部算经对继承古代数学经典有积极的意义，显示了汉唐千余年间我国数学发展的水平，是当时科举考试的必读书(公元587年隋文帝开创我国的科举考试制度，1905年清朝废止科举制度)。【经典例题】1.《九章算术》的“少广”章主要讨论()。A.比例术B.面积术C.体积术D.开方术【答案】D【解析】《九章算术》分成九章：(1)方田(土地测量)，包括正方形、矩形、三角形、梯形、圆形、环形、弓形、截球体的表面积计算，另有约分、通分、四则运算，求最大公约数等运算法则；(2)粟米(粮食交易的比例方法)；(3)衰分(比例分配的算法)，介绍依等级分配物资或按等级摊派税收的比例分配算法；(4)少广(开平方和开立方法)；(5)商功(立体形求体积法)；(6)均输(征税)，处理行程和合理解决征税问题