云南省楚雄彝族自治州2023-2024学年高三上学期期末数学试题(含答案)

楚雄州中小学2023—2024学年上学期期末教育学业质量监测高三年级数学试卷注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．本试卷主要考试内容：高考全部内容．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合，，则（）A． B． C． D．2．在复数范围内，方程的解集为（）A． B． C． D．3．若平面截球O所得截面圆的半径为3，且球心O到平面的距离为2，则球O的表面积为（）A． B． C． D．4．某校有甲、乙、丙、丁四个排球队，在某次排球比赛的初赛中，甲队对战丙队，乙队对战丁队，甲队每局战胜丙队的概率为0.6，乙队每局战胜丁队的概率为0.45．在初赛中，甲队和丙队对战一局，乙队和丁队对战一局，则甲队、乙队至少有一队获胜的概率是（）A．0.51 B．0.66 C．0.78 D．0.885．某阶梯大教室的座位数从第二排开始，每排的座位比前一排多2个，已知第一排有6个座位，且该阶梯大教室共有266个座位，则该阶梯大教室共有（）A．12排 B．13排 C．14排 D．15排6．已知是定义在R上的奇函数，，且在上单调递减，在上单调递增，则不等式的解集为（）A． B．C． D．7．设的小数部分为x，则（）A．1 B． C．2 D．8．已知双曲线C的两个焦点为，，P为C上一点，，，则C的离心率为（）A． B． C． D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知正数a，b满足，则（）A． B．a与b可能相等C． D．的最小值为10．已知椭圆，则（）A．C的长轴长为 B．当时，C的焦点在x轴上C．C的焦距可能为4 D．C的短轴长与长轴长的平方和为定值11．在正四棱柱中，，，E，F分别是，的中点，G是棱上一点，则下列结论正确的有（）A．若G为的中点，则 B．若G为的中点，则A到的距离为C．若，则平面 D．的周长的最小值为12．定义在上的函数的图象如图所示，则（）A．函数恰有4个零点 B．函数恰有3个零点C．函数恰有5个零点 D．函数恰有8个零点三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若直线与曲线相切，则切点的横坐标为______．14．现有一组数据2.3，3.5，2.8，1.9，5.5，3.3，2.7，则这组数据的第30百分位数为______．15．已知直线与圆交于A，B两点，O为坐标原点，则______，______．16．若函数在上的最小值大于，则的取值范围是______．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知数列满足，．（1）求，；（2）求，并判断是否为等比数列．18．（12分）a，b，c分别为内角A，B，C的对边，已知，．（1）求A的值；（2）若，，求c的值．19．（12分）某冰雪乐园计划推出冰雪优惠活动，发放冰雪消费券．每位顾客从一个装有6个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获得的消费券的总额．（1）若袋中所装的6个球中1个球所标的面值为30元，2个球所标的面值为20元，3个球所标的面值为10元，求每位顾客所获得的消费券的总额为40元的概率；（2）若冰雪优惠活动有两种方案，方案甲中6个球对应的面值与（1）中一致，方案乙中6个球对应的面值分别为25，25，25，15，5，5，比较这两种方案每位顾客所获得的消费券的总额的期望的大小．20．（12分）已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，E是的中点，且，，．（1）证明：平面平面．（2）在棱上是否存在点F（不含端点），使得平面与平面的夹角的余弦值为？如果存在，求的长；如果不存在，请说明理由．21．（12分）已知点，动点P到y轴的距离为d，且，记点P的轨迹为曲线C．（1）求C的方程；（2）若，是C上不同的两点，点A在第一象限，直线的斜率为k，且，求．22．（12分）已知函数，．（1）当，时，证明：当时，恒成立．（2）当时，若函数在处取得极大值，求a的取值范围．楚雄州中小学2023—2024学年上学期期末教育学业质量监测高三年级数学参考答案1．D因为，所以．2．D由，得，因为，所以．3．B设球O的半径为R，则，所以球O的表面积为．4．C由间接法可得甲队、乙队至少有一队获胜的概率是．5．C该阶梯大教室的座位数按照从小到大的顺序依次成等差数列，且首项为6，公差为2．设该阶梯大教室共有n排，则，解得．6．D当时，，则，由已知可得．因为是定义在R上的奇函数，所以的图象关于原点对称．当时，，则，由已知可得或．综上，不等式的解集为．7．A由，得的整数部分为2，则，所以，即，所以．8．B如图，取线段的中点M，连接．因为，，所以，且，所以．设，则，所以C的离心率．9．BD因为正数a，b满足，所以，A错误．若，则，因为a为正数，所以，B正确．因为，所以，当且仅当时，等号成立，C错误．，当且仅当时，等号成立，D正确．10．BCD若，则，A错误．当时，，则C的焦点在x轴上，B正确．当时，C的焦距为4，C正确．因为，所以，D正确．11．BCD以A为坐标原点，，，所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，可得平面的一个法向量为．若G为的中点，则，，，，，则A到的距离，A不正确，B正确．若，则，，，则，因为平面，所以平面，C正确．将平面沿着翻折至与平面共面（图略），当E，G，F三点共线时，的周长最小，此时，翻折前，故的周长的最小值为，D正确．12．ACD因为，所以直线与的图象恰有4个公共点，则函数恰有4个零点，A正确．因为，所以直线与的图象只有2个公共点，则函数恰有2个零点，B错误．由图象可知有3个零点，则，，，数形结合可知无解，有2个不相等的实根，所以函数零点的个数为，C正确．由图可知直线与的图象有4个交点，设交点的横坐标为，则，，，，数形结合可知无解，有2个不相等的实根，有2个不相等的实根，有4个不相等的实根，所以函数零点的个数为，D正确．13．由，得．14．2.7将这组数据按照从小到大的顺序排列为1.9，2.3，2.7，2.8，3.3，3.5，5.5，因为，所以这组数据的第30百分位数为2.7．15．；5因为圆心到直线的距离，所以．将代入，得，设，，由韦达定理得，，则．16．因为，所以，因为，所以，又，所以，则解得．17．解：（1），．（2）因为，所以，所以，，…，，将以上各式相加得．因为，所以，又也满足，所以，所以，所以是等比数列，且首项、公比均为2．18．解：（1）因为，，所以，由正弦定理得．又，所以．因为，所以．又，所以．（2）由，得，所以，所以点D在边上，且，因为，所以，．在中，由余弦定理得，即，解得（负根已舍去）．19．解：（1）顾客所获得的消费券的总额为40元的概率．（2）对于方案甲，设每位顾客所获的消费券总额为X，则X的可能取值为20，30，40，50，则，，，，则．对于方案乙，设每位顾客所获的消费券总额为Y，则Y的可能取值为10，20，30，40，50，则，，，，，则．因为，所以这两种方案每位顾客所获得的消费券的总额的期望相等．20．（1）证明：由，，，得，所以．又底面是正方形，所以．因为，所以平面．又平面，所以平面平面．（2）解：过点A在平面内作的垂线，以A为坐标原点，以这条垂线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，．设，因为，所以，点P的坐标为，则，，，．设平面的法向量是，由即令，得．设平面的法向量是，由即令，得．所以，所以，整理得，解得或（舍去），所以，即．21．解：（1）设，则，．由，可得，整理得．当时，；当时，．所以C的方程为或．（2）因为A在第一象限，所以．设B在曲线上，则直线的方程为，即，代入，得．由韦达定理得，则，．因为，所以，解得或4．当时，B与A重合，不符合题意，所以，．设B在曲线上，，因为，所以，解得（正根已舍