天津市南开中学2024届高三第四次月检测数学试卷(无答案)

南开中学2024届高三第四次月检测数学学科试卷考试时间：120分钟本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，共150分．考试结束后，请交回答题卡．第Ⅰ卷一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设全集，集合，，则（）A． B． C． D．2．若x，，则“”的一个必要不充分条件可以是（）A． B． C． D．3．已知，，，则a，b，c的大小关系是（）A． B． C． D．4．函数图象如图所示，则函数的解析式可能是（）A． B． C． D．5．某市为了解全市12000名高一学生的体能素质情况，在全市高一学生中随机抽取了1000名学生进行体能测试，并将这1000名的体能测试成绩整理成如下频率分布直方图．根据此频率分布直方图，下列结论中正确的是（）A．图中a的值为0.020B．同一组中的数据用该组区间的中点值做代表，则这1000名学生的平均成绩约为80.5C．估计样本数据的75%分位数为88D．由样本数据可估计全市高一学生体测成绩优异（80分及以上）的人数约为7200人6．截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角而得到．如图所示，将棱长为6的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面截角得到所有棱长均为2的截角四面体，则该截角四面体的体积为（）A． B． C． D．7．已知等比数列的前n项和为，．在与之间插入n个数，使这个数组成一个等差数列，记插入的这n个数之和为，的值为（）A．240 B．360 C．480 D．5608．抛物线上的点到其焦点的距离是M到y轴距离的2倍，过双曲线C：的左右顶点A、B作C的同一条渐近线的垂线，垂足分别为P、Q，，则双曲线的离心率为（）A．2 B． C． D．9．已知函数，，则下列结论中正确个数为（）①若对于任意，都有成立，则；②若对于任意，都有成立，则；③当时，在上单调递增，则的取值范围为；④当时，若对任意的，函数在至少有两个零点，则的取值范围为．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个第Ⅱ卷二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）．10．设为虚数单位，复数的实部与虚部的和为，则______．11．的展开式中常数项为______．12．直线l：与圆C：交A，B两点，若为等边三角形，则a的值为______．13．假设某市场供应的灯泡中，甲厂产品占60%，乙厂产品占40%，甲厂产品的合格率为90%，乙厂产品的合格率为80%，在该市场中购买甲厂的两个灯泡，则均合格品的概率为______；若在该市场中随机购买两个灯泡，则这两个灯泡恰有一个是合格品的概率为______．14．在中，已知，，P是斜边BC上一动点，点Q满足，若，若点Q在边BC所在的直线上，则的值为______；的最大值为______．15．，若有且只有两个零点，则实数m的取值范围是______．三、解答题（本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）16．（本小题满分14分）已知a，b，c分别是的内角A，B，C的对边，且．（Ⅰ）求．（Ⅱ）若，的面积为，求的周长．（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求的值．17．（本小题满分15分）如图，四棱台中，上、下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，，E，F分别为DC，BC的中点，上下底面中心的连线垂直于上下底面，且与侧棱所在直线所成的角为45°．（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离；（3）边BC上是否存在点M，使得直线与平面所成的角的正弦值为，若存在，求出线段BM的长；若不存在，请说明理由．18．（本小题满分15分）已知椭圆C：，若椭圆的焦距为4且经过点，过点的直线交椭圆于P，Q两点．（1）求椭圆方程；（2）求面积的最大值，并求此时直线PQ的方程；（3）若直线PQ与x轴不垂直，在x轴上是否存在点使得恒成立？若存在，求出s的值；若不存在，说明理由．19．（本小题满分15分）已知数列满足：，正项数列满足：，且，，．（1）求，的通项公式；（2）已知，求：；（3）求证：．20．（本小题满