（江苏专用）新高考数学一轮复习 第一章 集合、常用逻辑用语和不等式 1.4 不等关系与不等式练习-人教高三数学试题

1.4不等关系与不等式1．(2019·张家界期末)下列不等式中，正确的是()A．若ac2>bc2，则a>bB．若a>b，则a＋c<b＋cC．若a>b，c>d，则ac>bdD．若a>b，c>d，则eq\f(a,c)>eq\f(b,d)答案A解析若a>b，则a＋c>b＋c，故B错；设a＝3，b＝1，c＝－1，d＝－2，则ac<bd，eq\f(a,c)<eq\f(b,d)所以C，D错，故选A.2．若a，b∈R，且a>|b|，则()A．a<－b B．a>bC．a2<b2 D.eq\f(1,a)>eq\f(1,b)答案B解析由a>|b|得，当b≥0时，a>b，当b<0时，a>－b，综上可知，当a>|b|时，则a>b成立，故选B.3．若a<b<0，则下列不等式一定成立的是()A.eq\f(1,a－b)>eq\f(1,b) B．a2<abC.eq\f(|b|,|a|)<eq\f(|b|＋1,|a|＋1) D．an>bn答案C解析(特值法)取a＝－2，b＝－1，n＝0，逐个检验，可知A，B，D项均不正确；C项，eq\f(|b|,|a|)<eq\f(|b|＋1,|a|＋1)⇔|b|(|a|＋1)<|a|(|b|＋1)⇔|a||b|＋|b|<|a||b|＋|a|⇔|b|<|a|，∵a<b<0，∴|b|<|a|成立，故选C.4．已知eq\f(c3,a)<eq\f(c3,b)<0，则下列选项中错误的是()A．|b|>|a| B．ac>bcC.eq\f(a－b,c)>0 D．lneq\f(a,b)>0答案D解析eq\f(c3,a)<eq\f(c3,b)<0，当c<0时，eq\f(1,a)>eq\f(1,b)>0，即b>a>0，∴|b|>|a|,ac>bc,eq\f(a－b,c)>0成立，即A，B，C成立；此时0<eq\f(a,b)<1，∴lneq\f(a,b)<0，D错误．同理，当c>0时，A，B，C也正确．故选D.5．设M＝eq\f(3x＋3y,2)，N＝(eq\r(3))x＋y，P＝(其中0<x<y)，则M，N，P的大小顺序是()A．P<N<M B．N<P<MC．P<M<N D．M<N<P答案A解析M＝eq\f(3x＋3y,2)>eq\r(3x＋y)＝(eq\r(3))x＋y＝N，又N＝(eq\r(3))x＋y＝>＝P，∴M>N>P.6．(2020·天津模拟)若α，β满足－eq\f(π,2)<α<β<eq\f(π,2)，则2α－β的取值范围是()A．－π<2α－β<0 B．－π<2α－β<πC．－eq\f(3π,2)<2α－β<eq\f(π,2) D．0<2α－β<π答案C解析∵－eq\f(π,2)<α<eq\f(π,2)，∴－π<2α<π.∵－eq\f(π,2)<β<eq\f(π,2)，∴－eq\f(π,2)<－β<eq\f(π,2)，∴－eq\f(3π,2)<2α－β<eq\f(3π,2).又α－β<0，α<eq\f(π,2)，∴2α－β<eq\f(π,2).故－eq\f(3π,2)<2α－β<eq\f(π,2).7．(多选)若a<b<0，则下列不等式关系中，正确的有()A.eq\f(1,a)>eq\f(1,b)B.eq\f(1,a)>eq\f(1,a－b)C．D.eq\f(1,a2)>eq\f(1,b2)答案ABC解析对于A，∵a<b<0，∴eq\f(1,a)>eq\f(1,b)，故A正确；对于B，∵a<b<0，∴a<a－b<0，两边同时除以a(a－b)可得eq\f(1,a)>eq\f(1,a－b)，故B正确；根据幂函数的单调性可知C正确；对于D，∵a<b<0，∴a2>b2>0，∴eq\f(1,a2)<eq\f(1,b2)，故D错误．8．(多选)已知a，b∈(0,1)，若a>b，则下列所给命题中错误的为()A．B．C．(1＋b)b>(1＋a)aD．(1－b)b>(1－a)a答案ABC解析因为a，b∈(0,1)且a>b，所以1>1－b>1－a>0，因为指数函数y＝ax(0<a<1)单调递减，1>a>b>0，所以eq\f(1,a)>a，a>eq\f(a,2)，故A，B错误．(1＋b)b<(1＋a)b<(1＋a)a，故C错误．(1－b)b>(1－b)a>(1－a)a，故D正确．9．已知a＋b>0，则eq\f(a,b2)＋eq\f(b,a2)与eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的大小关系是________．答案eq\f(a,b2)＋eq\f(b,a2)≥eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)解析eq\f(a,b2)＋eq\f(b,a2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))＝eq\f(a－b,b2)＋eq\f(b－a,a2)＝(a－b)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b2)－\f(1,a2)))＝eq\f(a＋ba－b2,a2b2).∵a＋b>0，(a－b)2≥0，∴eq\f(a＋ba－b2,a2b2)≥0.∴eq\f(a,b2)＋eq\f(b,a2)≥eq\f(1,a)＋eq\f(1,b).10．已知有三个条件：①ac2>bc2；②eq\f(a,c)>eq\f(b,c)；③a2>b2，其中能成为a>b的充分条件的是________．(填序号)答案①解析由ac2>bc2可知c2>0，即a>b，故“ac2>bc2”是“a>b”的充分条件；②当c<0时，a<b；③当a<0，b<0时，a<b，故②③不是a>b的充分条件．11．(1)若bc－ad≥0，bd>0，求证：eq\f(a＋b,b)≤eq\f(c＋d,d)；(2)已知c>a>b>0，求证：eq\f(a,c－a)>eq\f(b,c－b).证明(1)∵bc≥ad，bd>0，∴eq\f(c,d)≥eq\f(a,b)，∴eq\f(c,d)＋1≥eq\f(a,b)＋1，∴eq\f(a＋b,b)≤eq\f(c＋d,d).(2)∵c>a>b>0，∴c－a>0，c－b>0.∵a>b>0，∴eq\f(1,a)<eq\f(1,b)，又∵c>0，∴eq\f(c,a)<eq\f(c,b)，∴eq\f(c－a,a)<eq\f(c－b,b)，又c－a>0，c－b>0，∴eq\f(a,c－a)>eq\f(b,c－b).12．已知1<a<4,2<b<8，试求a－b与eq\f(a,b)的取值范围．解因为1<a<4,2<b<8，所以－8<－b<－2.所以1－8<a－b<4－2，即－7<a－b<2.又因为eq\f(1,8)<eq\f(1,b)<eq\f(1,2)，所以eq\f(1,8)<eq\f(a,b)<eq\f(4,2)＝2，即eq\f(1,8)<eq\f(a,b)<2.故a－b的取值范围为(－7,2)，eq\f(a,b)的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，2)).13．已知a，b，c，d为实数，则“a>b且c>d”是“ac＋bd>bc＋ad”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件答案A解析因为c>d，所以c－d>0.又a>b，所以两边同时乘(c－d)，得a(c－d)>b(c－d)，即ac＋bd>bc＋ad.若ac＋bd>bc＋ad，则a(c－d)>b(c－d)，也可能a<b且c<d，所以“a>b且c>d”是“ac＋bd>bc＋ad”的充分不必要条件．14．若a＝eq\f(ln3,3)，b＝eq\f(ln4,4)，c＝eq\f(ln5,5)，则()A．a<b<c B．c<b<aC．c<a<b D．b<a<c答案B解析方法一对于函数y＝f(x)＝eq\f(lnx,x)(x>e)，y′＝eq\f(1－lnx,x2)，易知当x>e时，函数f(x)单调递减．因为e<3<4<5，所以f(3)>f(4)>f(5)，即c<b<a.方法二易知a，b，c都是正数，因为eq\f(b,a)＝eq\f(3ln4,4ln3)＝log8164<1，所以a>b；因为eq\f(b,c)＝eq\f(5ln4,4ln5)＝log6251024>1，所以b>c.即c<b<a.15．(2019·抚州临川第一中学模拟)设m＝log0.30.6，n＝eq\f(1,2)log20.6，则()A．m－n>mn>m＋n B．m－n>m＋n>mnC．mn>m－n>m＋n D．m＋n>m－n>mn答案B解析因为m＝log0.30.6>log0.31＝0，n＝eq\f(1,2)log20.6<eq\f(1,2)log21＝0，所以mn<0，m－n>0，因为－eq\f(1,n)＝－2log0.62＝log0.60.25>0，eq\f(1,m)＝log0.60.3>0，而log0.60.25>log0.60.3，所以－eq\f(1,n)>eq\f(1,m)>0，即可得m＋n>0，因为(m－n)－(m＋n)＝－2n>0，所以m－n>m＋n，所以m－n>m＋n>mn.故选B.16．设0<b<a<1，则下列不等式成立的是()A．alnb>blna B．alnb<blnaC．aeb<bea D．aeb＝bea答案B解析观察A，B两项，实际上是在比较eq\f(lnb,b)和eq\f(lna,a)的大小，引入函数y＝eq\f(lnx,x)，0<x<1.则y′＝eq\f(1－lnx,x2)，可见函数y＝eq\f(lnx,x)在(0