（江苏专用）高三数学一轮总复习 第五章 平面向量与复数 第一节 平面向量的概念及其线性运算课时跟踪检测 理-人教高三数学试题

课时跟踪检测（二十五）平面向量的概念及其线性运算一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2016·苏州测试)在△ABC中，已知M是BC中点，设＝a，＝b，则＝________.解析：＝＋＝－＋eq\f(1,2)＝－b＋eq\f(1,2)a.答案：－b＋eq\f(1,2)a2．在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，则四边形ABCD的形状是________．解析：由已知，得＝＋＋＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2，故∥.又因为与不平行，所以四边形ABCD是梯形．答案：梯形3．已知O，A，B，C为同一平面内的四个点，若2＋＝0，则向量＝________.(用，表示)解析：因为＝－，＝－，所以2＋＝2(－)＋(－)＝－2＋＝0，所以＝2－.答案：2－4.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，＋＝λ，则λ＝________.解析：因为ABCD为平行四边形，所以＋＝＝2，已知＋＝λ，故λ＝2.答案：25．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，2＝16，|＋|＝|－|，则||＝________.解析：由|＋|＝|－|可知，⊥，则AM为Rt△ABC斜边BC上的中线，因此，||＝eq\f(1,2)||＝2.答案：2二保高考，全练题型做到高考达标1．(2016·南通中学月考)设O是△ABC的外心，则，，是________．(填序号)①相等向量；②模相等的向量；③平行向量；④起点相同的向量．解析：由题意，知点O到三个顶点A，B，C的距离相等，所以，，是模相等的向量．显然，，的起点不同且方向均不相同，故填②.答案：②2．已知向量a，b，c中任意两个都不共线，但a＋b与c共线，且b＋c与a共线，则向量a＋b＋c＝________.解析：依题意，设a＋b＝mc，b＋c＝na，则有(a＋b)－(b＋c)＝mc－na，即a－c＝mc－na.又a与c不共线，于是有m＝－1，n＝－1，a＋b＝－c，a＋b＋c＝0.答案：03．在▱ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，则＝________(用a，b表示)．解析：由＝3，得4＝3＝3(a＋b)，＝a＋eq\f(1,2)b，所以＝eq\f(3,4)(a＋b)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)b))＝－eq\f(1,4)a＋eq\f(1,4)b.答案：－eq\f(1,4)a＋eq\f(1,4)b4．(2016·启东中学月考)在边长为1的正方形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则|a－b＋c|＝________.解析：如图所示，∵a－b＋c＝－＋＝－＋＋＝2＝2a，∴|a－b＋c|＝2.答案：25．设O在△ABC的内部，D为AB的中点，且＋＋2＝0，则△ABC的面积与△AOC的面积的比值为________．解析：∵D为AB的中点，则＝eq\f(1,2)(＋)，又＋＋2＝0，∴＝－，∴O为CD的中点，又∵D为AB中点，∴S△AOC＝eq\f(1,2)S△ADC＝eq\f(1,4)S△ABC，则eq\f(S△ABC,S△AOC)＝4.答案：46．设M是△ABC所在平面上的一点，且＋eq\f(3,2)＋eq\f(3,2)＝0，D是AC的中点，则eq\f(||,||)的值为________．解析：∵D是AC的中点，延长MD至E，使得DE＝MD，∴四边形MAEC为平行四边形，∴＝eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)(＋)．∵＋eq\f(3,2)＋eq\f(3,2)＝0，∴＝－eq\f(3,2)(＋)＝－3，∴eq\f(||,||)＝eq\f(||,|－3|)＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)7．若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足|－|＝|＋－2|，则△ABC的形状为________．解析：＋－2＝－＋－＝＋，－＝＝－，∴|＋|＝|－|.故⊥，△ABC为直角三角形．答案：直角三角形8．已知D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且＝a，＝b，给出下列命题：①＝eq\f(1,2)a－b；②＝a＋eq\f(1,2)b；③＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b；④＋＋＝0.其中正确命题的个数为________．解析：＝a，＝b，＝eq\f(1,2)＋＝－eq\f(1,2)a－b，故①错；＝＋eq\f(1,2)＝a＋eq\f(1,2)b，故②正确；＝eq\f(1,2)(＋)＝eq\f(1,2)(－a＋b)＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b，故③正确；∴＋＋＝－b－eq\f(1,2)a＋a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)b－eq\f(1,2)a＝0.∴正确命题为②③④.答案：39.在△ABC中，D，E分别为BC，AC边上的中点，G为BE上一点，且GB＝2GE，设＝a，＝b，试用a，b表示，.解：＝eq\f(1,2)(＋)＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b.＝＋＝＋eq\f(2,3)＝＋eq\f(1,3)(＋)＝eq\f(2,3)＋eq\f(1,3)(－)＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)＝eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)b.10．设e1，e2是两个不共线的向量，已知＝2e1－8e2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2.(1)求证：A，B，D三点共线；(2)若＝3e1－ke2，且B，D，F三点共线，求k的值．解：(1)证明：由已知得＝－＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2，∵＝2e1－8e2，∴＝2.又∵与有公共点B，∴A，B，D三点共线．(2)由(1)可知＝e1－4e2，∵＝3e1－ke2，且B，D，F三点共线，∴＝λ(λ∈R)，即3e1－ke2＝λe1－4λe2，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝3，,－k＝－4λ.))解得k＝12.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝30°，AB＝2eq\r(3)，BC＝2，点E在线段CD上，若＝＋μ，则μ的取值范围是________．解析：由题意可求得AD＝1，CD＝eq\r(3)，所以＝2.∵点E在线段CD上，∴＝λ(0≤λ≤1)．∵＝＋，又＝＋μ＝＋2μ＝＋eq\f(2μ,λ)，∴eq\f(2μ,λ)＝1，即μ＝eq\f(λ,2).∵0≤λ≤1，∴0≤μ≤eq\f(1,2).即μ的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))).答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))2.如图，在△ABC中，延长CB到D，使BD＝BC，当点E在线段AD上移动时，若＝λ＋μ，t＝λ－μ，则t的最大值是________．解析：设＝k(0≤k≤1)，则＝k(＋2)＝k[＋2(－)]＝2k－k.∵＝λ＋μ，∴λ＝2k，μ＝－k，∴t＝λ－μ＝3k,0≤k≤1，∴当k＝1时，t取得最大值3.答案：33．已知O，A，B是不共线的三点，且＝m＋n(m，n∈R)．(1)若m＋n＝1，求证：A，P，B三点共线；(2)若A，P，B三点共线，求证：m＋n＝1.证明：(1)若m＋n＝1，则＝m＋(1－m)＝＋m(－)，∴－＝m(－)，即＝m，∴与共线