（江苏专用）高三数学一轮总复习 第六章 数列、推理与证明 第四节 数列求和课时跟踪检测 理-人教高三数学试题

课时跟踪检测（三十二）数列求和一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S5＝25，则S7＝________.解析：设Sn＝An2＋Bn，由题知，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S3＝9A＋3B＝9，,S5＝25A＋5B＝25，))解得A＝1，B＝0，∴S7＝49.答案：492．数列{1＋2n－1}的前n项和为________．解析：由题意得an＝1＋2n－1，所以Sn＝n＋eq\f(1－2n,1－2)＝n＋2n－1.答案：n＋2n－13．(2016·江西新余三校联考)数列{an}的通项公式是an＝(－1)n(2n－1)，则该数列的前100项之和为________．解析：根据题意有S100＝－1＋3－5＋7－9＋11－…－197＋199＝2×50＝100.答案：1004．已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝an＋eq\f(1,nn＋1)(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为________．解析：an＝(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＋a1＝eq\f(1,1×2)＋eq\f(1,2×3)＋…＋eq\f(1,n－1n)＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,3)))＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n－1)－\f(1,n)))＋1＝2－eq\f(1,n).答案：an＝2－eq\f(1,n)5．(2015·苏北四市调研)已知正项数列{an}满足aeq\o\al(2,n＋1)－6aeq\o\al(2,n)＝an＋1an.若a1＝2，则数列{an}的前n项和为________．解析：∵aeq\o\al(2,n＋1)－6aeq\o\al(2,n)＝an＋1an，∴(an＋1－3an)(an＋1＋2an)＝0，∵an>0，∴an＋1＝3an，又a1＝2，∴{an}是首项为2，公比为3的等比数列，∴Sn＝eq\f(21－3n,1－3)＝3n－1.答案：3n－1二保高考，全练题型做到高考达标1．已知数列{an}的前n项和为Sn，并满足：an＋2＝2an＋1－an，a5＝4－a3，则S7＝________.解析：由an＋2＝2an＋1－an知数列{an}为等差数列，由a5＝4－a3得a5＋a3＝4＝a1＋a7，所以S7＝eq\f(7a1＋a7,2)＝14.答案：142．已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))的前5项和为________．解析：设{an}的公比为q，显然q≠1，由题意得eq\f(91－q3,1－q)＝eq\f(1－q6,1－q)，所以1＋q3＝9，得q＝2，所以eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是首项为1，公比为eq\f(1,2)的等比数列，前5项和为eq\f(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))5,1－\f(1,2))＝eq\f(31,16).答案：eq\f(31,16)3．已知数列{an}的通项公式是an＝2n－3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))n，则其前20项和为________．解析：令数列{an}的前n项和为Sn，则S20＝a1＋a2＋…＋a20＝2(1＋2＋…＋20)－3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)＋\f(1,52)＋…＋\f(1,520)))＝2×eq\f(20×20＋1,2)－3×eq\f(\f(1,5)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,520))),1－\f(1,5))＝420－eq\f(3,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,520))).答案：420－eq\f(3,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,520)))4．已知数列{an}中，an＝－4n＋5，等比数列{bn}的公比q满足q＝an－an－1(n≥2)且b1＝a2，则|b1|＋|b2|＋|b3|＋…＋|bn|＝________.解析：由已知得b1＝a2＝－3，q＝－4，∴bn＝(－3)×(－4)n－1，∴|bn|＝3×4n－1，即{|bn|}是以3为首项，4为公比的等比数列．∴|b1|＋|b2|＋…＋|bn|＝eq\f(31－4n,1－4)＝4n－1.答案：4n－15.eq\f(1,22－1)＋eq\f(1,32－1)＋eq\f(1,42－1)＋…＋eq\f(1,n＋12－1)的值为________．解析：∵eq\f(1,n＋12－1)＝eq\f(1,n2＋2n)＝eq\f(1,nn＋2)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋2)))，∴eq\f(1,22－1)＋eq\f(1,32－1)＋eq\f(1,42－1)＋…＋eq\f(1,n＋12－1)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)＋\f(1,2)－\f(1,4)＋\f(1,3)－\f(1,5)＋…＋\f(1,n)－\f(1,n＋2)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)－\f(1,n＋1)－\f(1,n＋2)))＝eq\f(3,4)－eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n＋1)＋\f(1,n＋2))).答案：eq\f(3,4)－eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n＋1)＋\f(1,n＋2)))6．已知数列{an}满足an＋1＝eq\f(1,2)＋eq\r(an－a\o\al(2,n))，且a1＝eq\f(1,2)，则该数列{an}的前2017项的和为________．解析：因为a1＝eq\f(1,2)，又an＋1＝eq\f(1,2)＋eq\r(an－a\o\al(2,n))，所以a2＝1，a3＝eq\f(1,2)，a4＝1，…，即得an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，n＝2k－1k∈N*，,1，n＝2kk∈N*.))故数列{an}的前2017项的和为S2017＝1008×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2)))＋eq\f(1,2)＝eq\f(3025,2).答案：eq\f(3025,2)7．对于数列{an}，定义数列{an＋1－an}为数列{an}的“差数列”，若a1＝2，{an}的“差数列”的通项公式为2n，则数列{an}的前n项和Sn＝________.解析：∵an＋1－an＝2n，∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n－1＋2n－2＋…＋22＋2＋2＝eq\f(2－2n,1－2)＋2＝2n－2＋2＝2n.∴Sn＝eq\f(2－2n＋1,1－2)＝2n＋1－2.答案：2n＋1－28．(2016·苏州名校联考)在数列{an}中，已知a1＝1，an＋1＋(－1)nan＝cos(n＋1)π，记Sn为数列{an}的前n项和，则S2015＝________.解析：∵an＋1＋(－1)nan＝cos(n＋1)π＝(－1)n＋1，∴当n＝2k时，a2k＋1＋a2k＝－1，k∈N*，∴S2015＝a1＋(a2＋a3)＋…＋(a2014＋a2015)＝1＋(－1)×1007＝－1006.答案：－10069．已知数列{an}的前n项和Sn＝eq\f(n2＋n,2)，n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝2an＋(－1)nan，求数列{bn}的前2n项和．解：(1)当n＝1时，a1＝S1＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝eq\f(n2＋n,2)－eq\f(n－12＋n－1,2)＝n.故数列{an}的通项公式为an＝n.(2)由(1)知，an＝n，故bn＝2n＋(－1)nn.记数列{bn}的前2n项和为T2n，则T2n＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n)．记A＝21＋22＋…＋22n，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n，则A＝eq\f(21－22n,1－2)＝22n＋1－2，B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝n.故数列{bn}的前2n项和T2n＝A＋B＝22n＋1＋n－2.10．已知数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))与eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(bn))，若a1＝3且对任意正整数n满足an＋1－an＝2，数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(bn))的前n项和Sn＝n2＋an.(1)求数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(bn))的通项公式；(2)求数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,bnbn＋1)))的前n项和Tn.解：(1)因为对任意正整数n满足an＋1－an＝2，所以eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))是公差为2的等差数列．又因为a1＝3，所以an＝2n＋1.当n＝1时，b1＝S1＝4；当n≥2时，bn＝Sn－Sn－1＝(n2＋2n＋1)－[(n－1)2＋2(n－1)＋1]＝2n＋1，对b1＝4不成立．所以数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(bn))的通项公式为bn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4，n＝1，,2n＋1，n≥2.))(2)由(1)知当n＝1时，T1＝eq\f(1,b1b2)＝eq\f(1,20).当n≥2时，eq\f(1,bnbn＋1)＝eq\f(1,2n＋12n＋3)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n＋1)－\f(1,2n＋3)))，所以Tn＝eq\f(1,20)＋eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)－\f(1,7)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,7)－\f(1,9)))＋…＋\b\lc\(\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n＋1)))))eq\b\lc\\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2n＋3)))))＝eq\f(1,20)＋eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)－\f(1,2n＋3)))＝eq\f(1,20)＋eq\f(n－1,10n＋15).当n＝1时仍成立，所以Tn＝eq\f(1,20)＋eq\f(n－1,10n＋15).三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2016·南京师大附中检测)已知数列{an}中，a1＝2，a2n＝an＋1，a2n＋1＝n－an，则{an}的前100项和为________．解析：由a1＝2，a2n＝an＋1，a2n＋1＝n－an，得a2n＋a2n＋1＝n＋1，∴a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(a98＋a99)＝2＋2＋3＋…＋50＝1276，∵a100＝1＋a50＝1＋(1＋a25)＝2＋(12－a12)＝14－(1＋a6)＝13－(1＋a3)＝12－(1－a1)＝13，∴a1＋a2＋…＋a100＝1276＋13＝1289.答案：12892．已知数列{an}：eq\f(1,2)，eq\f(1,3)＋eq\f(2,3)，eq\f(1,4)＋eq\f(2,4)＋eq\f(3,4)，…，eq\f(1,10)＋eq\f(2,10)＋eq\f(3,10)＋…＋eq\f(9,10)，…，那么数列{bn}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,anan＋1)))的前n项和Sn为________．解析：由已知条件可得：数列{an}的通项为an＝eq\f(1＋2＋3＋…＋n,n＋1)＝eq\f(n,2).所以bn＝eq\f(1,anan＋1)＝eq\f(4,nn＋1)＝4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋1))).Sn＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)＋\f(1,2)－\f(1,3)＋…＋\f(1,n)－\f(1,n＋1)))＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,n＋1)))＝eq\f(4n,n＋1).答案：eq\f(4n,n＋1)3．已知数列{an}的前n项和Sn＝3n，数列{bn}满足b1＝－1，bn＋1＝bn＋(2n－1)(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)求数列{bn}的通项公式；(3)若cn＝eq\f(an·bn,n)，求数列{cn}的前n项和Tn.解：(1)∵Sn＝3n，∴Sn