（江苏专用）高考数学二轮复习 专题检测38“排列、组合”的常考问题

38“排列、组合”的常考问题1．设集合A＝{1,2,3,4,5,6}，B＝{4,5,6,7,8}，则满足S⊆A且S∩B≠∅的集合S的个数是________．答案56解析满足S⊆A时，S可以是{1,2,3,4,5,6}的一个子集，有26＝64个，满足S∩B≠∅时，S不可以是集合{1,2,3}和它的子集，有23＝8个，所以同时满足S⊆A且S∩B≠∅的集合S的个数是64－8＝56个．2．(2013·四川)从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lga－lgb的不同值的个数是________．答案18解析由于lga－lgb＝lgeq\f(a,b)(a>0，b>0)，从1,3,5,7,9中任取两个作为eq\f(a,b)有Aeq\o\al(2,5)种，又eq\f(1,3)与eq\f(3,9)相同，eq\f(3,1)与eq\f(9,3)相同，∴lga－lgb的不同值的个数有Aeq\o\al(2,5)－2＝20－2＝18.3．一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为________．答案1296解析把一家三口看作一个排列，然后再排列这3家，所以有(3！)4＝1296种．4．若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有________种．答案66解析满足题设的取法可分为三类：一是四个奇数相加，其和为偶数，在5个奇数1,3,5,7,9中，任意取4个，有Ceq\o\al(4,5)＝5(种)；二是两个奇数加两个偶数其和为偶数，在5个奇数中任取2个，再在4个偶数2,4,6,8中任取2个，有Ceq\o\al(2,5)·Ceq\o\al(2,4)＝60(种)；三是四个偶数相加，其和为偶数，4个偶数的取法有1种，所以满足条件的取法共有5＋60＋1＝66(种)．5．将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有________种．答案12解析分两步：第一步，选派一名教师到甲地，另一名到乙地，共有Ceq\o\al(1,2)＝2(种)选派方法；第二步，选派两名学生到甲地，另外两名到乙地，共有Ceq\o\al(2,4)＝6(种)选派方法．由分步乘法计数原理得不同的选派方案共有2×6＝12(种)．6．现有12件商品摆放在货架上，摆成上层4件下层8件，现要从下层8件中取2件调整到上层，若其他商品的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是________．答案840解析从下层8件中取2件，有Ceq\o\al(2,8)种取法，放到上层时，若这两件相邻，有Aeq\o\al(1,5)Aeq\o\al(2,2)种放法，若这两件不相邻，有Aeq\o\al(2,5)种放法，所以不同调整方法的种数是Ceq\o\al(2,8)(Aeq\o\al(1,5)Aeq\o\al(2,2)＋Aeq\o\al(2,5))＝840.7．现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为________．答案472解析分两类：第一类，含有1张红色卡片，共有不同的取法Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,12)＝264(种)；第二类，不含有红色卡片，共有不同的取法Ceq\o\al(3,12)－3Ceq\o\al(3,4)＝220－12＝208(种)．由分类加法计数原理知不同的取法有264＋208＝472(种)．8．用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为________．答案252解析无重复的三位数有：Aeq\o\al(3,9)＋Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,9)＝648个．则有重复数字的三位数有：900－648＝252个．9．(2014·四川改编)六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有________种．答案216解析第一类：甲在左端，有Aeq\o\al(5,5)＝5×4×3×2×1＝120(种)方法；第二类：乙在最左端，有4Aeq\o\al(4,4)＝4×4×3×2×1＝96(种)方法．所以共有120＋96＝216(种)方法．10．方程ay＝b2x2＋c中a，b，c∈{－3，－2,0,1,2,3}，且a，b，c互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有________条．答案62解析显然a≠0，b≠0，故该方程等价于y＝eq\f(b2,a)x2＋eq\f(c,a).①当c＝0时，从{－3，－2,1,2,3}中任取2个数作为a，b的值，有Aeq\o\al(2,5)＝20种不同的方法，当a一定，b的值互为相反数时，对应的抛物线相同，这样的抛物线共有4×3＝12条，所以此时不同的抛物线有Aeq\o\al(2,5)－6＝14条．②当c≠0时，从{－3，－2,1,2,3}中任取3个数作为a，b，c的值有Aeq\o\al(3,5)＝60种不同的方法．当a，c值一定，而b的值互为相反数时，对应的抛物线相同，这样的抛物线共有4Aeq\o\al(2,3)＝24条，所以此时不同的抛物线有Aeq\o\al(3,5)－12＝48条．综上，不同的抛物线有14＋48＝62条．11．用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有________个．(用数字作答)答案14解析若不考虑数字2,3至少都出现一次的限制，对个位、十位、百位、千位，每个“位置”都有两种选择，所以共有16个4位数，然后再减去“2222,3333”这两个数，故共有16－2＝14个满足要求的四位数．12．5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员．现从中选出3名队员排成1,2,3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有1名老队员，且1、2号中至少有1名新队员的排法有________种．(以数字作答)答案48解析①只有1名老队员的排法有Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(2,3)·Aeq\o\al(3,3)＝36种；②有2名老队员的排法有Ceq\o\al(2,2)·Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(1,2)·Aeq\o\al(2,2)＝12种．所以共48种．13．(2014·北京)把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种．答案36解析将产品A与B捆绑在一起，然后与其他三种产品进行全排列，共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(4,4)种方法，将产品A，B，C捆绑在一起，且A在中间，然后与其他两种产品进行全排列，共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)种方法．于是符合题意的排法共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(4,4)－Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)＝36(种)．14．(2014·浙江)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种(用数字作答)．答案60解析把8张奖券分4组有两种分法，一种是分(一等奖，无奖)、(二等奖，无奖)、(三等奖，无奖)、(无奖，无奖)四组，分给4人有Aeq\o\al(4,4)种分法；另一种是一组两个奖，一组只有一个奖，另两组无奖，共有Ceq\o\al(2,3)种分法，再分给4人有Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,4)种分法，所以不同获奖情况种数为Aeq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,4)＝24＋36＝60.15．回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数．如22,121,3443,94249等．显然2位回文数有9个：11,22,33，…，99.3位回文数有90个：101,111,121，…，191,202，…，999.则：(1)4位回文数有________个；(2)2n＋1(n∈N*)位回文数有________个．答案(1)90(2)9×10n解析(1)4种回文数只用排列前面两位数字，后面数字就可以确定，但是第一位不能为0，有9(1～9)种情况，第二位有10(0～9)种情况，所以4位回文数有9×10＝90种．(2)由上面多组数据研究发现，2n＋1位回文数和2n＋2位回文数的个数相同，所以可以算出2n＋2位回文数.2n＋2位回文数只用看前n＋1位的排列情况，第一位不能为0有9种情况，后面n项每项有10种情况，所以个数为9×10n.16．用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在“田”字形的4个小方格内，每格涂一种颜色，相邻两格涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，则所有涂色方法的种数为________．答案260解析方法一如图将4个方格依次编号为1,2,3,4，第1个小方格可以从5种颜色中任取一种涂上，有5种不同涂法．①当第2个、第3个小方格涂不同颜色时，有2Ceq\o\al(2,4)种不同涂法，第4个小方格有3种不同的涂法，由分步计数原理，知此时有5×2Ceq\o\al(2,4)×3＝180(种)不同的涂法．②当第2个、第3个小方格涂相同颜色时有4种涂法，此时第4个小方格也有4种不同的涂法．由分步乘法计数原理，知有5×4×4＝80(种)不同的涂法．由分类加法计数原理，知共有180＋80＝260(种)不同涂法．方法二如图将4个小方格依次编号为1,2,3,4.如果使用2种颜色，则只能是第1,4个小方格涂一种，第2,3个小方格涂一种，方法种数是Ceq\o\al(2,5)·Aeq\o\al(2,2)＝20，如果使用3种颜色