【数学】广西部分学校2024届高三下学期开学考试试题（解析版）

广西部分学校2024届高三下学期开学考试数学试题一､单项选择题1.一个样本容量为10的样本数据，它们组成一个公差为2的等差数列，若，，成等比数列，则此样本的平均数和中位数分别是（）A.12，13 B.13，13 C.13，12 D.12，14【答案】B【解析】依题意，解得，故是首项，公差的等差数列，所以此样本的平均数为，中位数为．故选：B．2.如果椭圆的离心率为，则（）A. B.或 C. D.或【答案】B【解析】因为椭圆的离心率为，当时，椭圆焦点在轴上，可得：，解得，当时，椭圆焦点在轴上，可得：，解得．或.故选：B．3.已知等差数列，若，则（）A B.0 C.2 D.4【答案】B【解析】设等差数列的公差为，由，得，整理得，所以.故选：B4.设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则【答案】D【解析】对于A，若，，则或者或者相交，故A错误，对于B，若，，则或者或者相交，故B错误，对于C，若，，，则或者或者相交，故C错误，对于D，若，，则，又，所以，故D正确，故选：D.5.用2个0，2个1和1个2组成一个五位数，则这样的五位数有（）A.8个 B.12个 C.18个 D.24个【答案】C【解析】当首位为2时，这样的五位数有个；当首位为1时，这样的五位数有个.综上，这样的五位数共有个.故选：C.6.已知，，．若，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可得，因为，，则，可得，即，则，令，则，整理得，解得或（舍去），即，解得．故选：B．7.我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数性质，也常用函数解析式来琢磨函数的图象特征，函数的大致图象是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由，得，解得，∴函数的定义域为，∵，∴函数是奇函数，图象关于原点对称，故排除CD；∵，故排除A，从而B正确.故选：B.8.设双曲线的焦距为，离心率为，且成等比数列，A是的一个顶点，是与A不在轴同侧的焦点，是的虚轴的一个端点，为的任意一条不过原点且斜率为的弦，为中点，为坐标原点，则下列判断错误的是（）A.的一条渐近线的斜率为B.C.（分别为直线的斜率）D.若，则恒成立【答案】D【解析】A选项，因为成等比数列，所以，所以且，解得（负根舍），所以，所以，即的一条渐近线的斜率为，故正确；B选项，不妨设为左焦点，为虚轴的上端点，则A为右顶点，则的斜率的斜率，所以，所以，故B正确；C选项，设，则，作差后整理得，即，所以，故C正确；D选项，设直线，则直线，将代入双曲线方程，得，则，，将换成得，则与的值有关，故D错误.故选：D.二､多项选择题9.关于函数有下述四个结论，其中结论正确的是（）A.的最小正周期为B.的图象关于直线对称C.的图象关于点对称D.在上单调递增【答案】BCD【解析】，对于A，的最小正周期为，故A错误，对于B,,故的图象关于直线对称，B正确，对于C，，故的图象关于点对称，C正确，对于D，时，，故在上单调递增，D正确，故选：BCD10.已知，为复数，i是虚数单位，下列说法正确的是（）A.若，则的虚部为B.若，满足，则的最大值为C.若，则D.若，且，则【答案】BD【解析】对于A，的虚部为2，故A错误；对于B，设，，由，得，其表示为圆心为，半径为的圆，，其表示为圆上的点到原点的距离，设圆心到原点距离为，则，则圆上的点到原点的距离的最大值为，则的最大值为，故B正确；对于C，当，时，，此时，故C错误；对于D，，则，，故D正确.故选：BD.11.已知为定义在上的偶函数且不是常函数，，若是奇函数，则（）A.的图象关于对称 B.C.是奇函数 D.与关于原点对称【答案】ABC【解析】对于选项A，因为是奇函数，所以，即，整理得2，所以的图象关于对称，故A正确；对于选项B，因为为偶函数，所以，所以，所以，故B正确；对于选项C，，故C正确；对于选项D，因为，所以与关于轴对称，不关于原点对称，故D错误.故选：ABC.三､填空题12.已知集合，，则_____________.【答案】【解析】根据题意可知,所以.故答案为：13.已知三边长分别为3，4，5，且A，B，C均在球的球面上，球心到平面的距离为，则球的表面积等于______．【答案】【解析】的三边长分别为3，4，5，则为直角三角形，其外接圆半径为，则球的半径，则球的表面积.故答案为：.14.如图，四边形是边长为1的正方形，延长CD至E，使得．动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，．则的取值范围为_____．【答案】【解析】建立如图所示的坐标系，正方形的边长为1，则，∵．当时，有且，∴，∴，当时，有且，∴，当时，有且，∴，当时，有且，∴，综上，，故答案为：.四､解答题15.已知函数.（1）求的单调区间；（2）若过点作直线与函数的图象相切，判断切线的条数.解：（1）因为，所以.令，得；令，得.所以的单调递减区间为，单调递增区间为.（2），则，设切点为，则，，所以切线方程为.将点代入得，整理得.因为方程有两个不相等正根，所以方程共有三个不相等正根故过点可以作出三条直线与曲线相切.16.随着寒冷冬季的到来，羽绒服进入了销售旺季，某调查机构随机调查了400人，询问他们选购羽绒服时更关注保暖性能还是更关注款式设计，得到以下的列联表：更关注保暖性能更关注款式设计合计女性16080240男性12040160合计280120400（1）是否有的把握认为男性和女性在选购羽线服时的关注点有差异？（2）若从这400人中按男女比例用分层抽样的方法抽取5人进行采访，再从这5人中任选2人赠送羽线服，记为抽取的2人中女生的人数，求的分布列和数学期望．附：．0.100.050.0102.7063.8416.635解：（1）因为，因为，所以没有的把握认为男性和女性在选购羽线服时的关注点有差异．（2）选出的男性人数为，选出的女性人数为，由题意可得的所有可能取值为0，1，2，，故的分布列为012所以的数学期望．17.如图，在矩形中，，，为的中点，将沿折起，使点到点处，平面平面.（1）证明：平面平面；（2）求二面角的余弦值.（1）证明：由，，得，得，即，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，故，又，，平面，所以平面，而平面，所以平面平面；（2）解：取中点O，连接，则，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，以O为原点，，，方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图，则，，，，设平面的法向量为，由，，则，即，取，则，设平面的法向量为，由，，则，即，取，则，故.故二面角的余弦值为.18.设抛物线C：（）的焦点为F，抛物线C上一点A的横坐标为，过点A作抛物线C的切线，与x轴交于点D，与y轴交于点E，与直线l：交于点M.当时，.（1）求抛物线C的方程；（2）若B为y轴左侧抛物线C上一点，过B作抛物线C的切线，与直线交于点P，与直线l交于点N，求面积的最小值，并求取到最小值时的值.（1）解：由题知，，所以，，切点，切线方程为：，令，，所以D为AE的中点，因为根据焦半径公式得：，.所以，，因为，所以，即，所以抛物线C的方程为；（2）解：设，由（1）得方程：①同理方程②，联立①②，所以，因为直线l的方程为：，所以，，所以，所以，，令，∴，令，，当，单调递减，，单调递增，∴，当且仅当时取“=”，此时.所以面积的最小值为，此时的值为.19.已知数列是正项等比数列，是等差数列，且，，，（1）求数列和的通项公式；（2）