时两边成比例且夹角相等

第二十七章相似—相似三角形的判定第3课时两边成比例且夹角相等的两个三角形相似相似三角形的识别方法有那些？方法1：通过定义方法2：平行于三角形一边的直线。方法3：三边对应成比例。复习引入讲授新课

利用刻度尺和量角器画△ABC和△A′B′C′，使∠A=∠A′，量出BC及B′C′的长，它们的比值等于k吗？再量一量两个三角形另外的两个角，你有什么发现？△ABC与△A′B′C′有何关系？

两边成比例且夹角相等的两个三角形相似合作探究两个三角形相似改变和∠A的值的大小，是否有同样的结论？我们来证明一下前面得出的结论：如图，在△ABC与△A′B′C′中，已知∠A=∠A′，证明：在△A′B′C′的边A′B′上截取点D，使A′D=AB．过点D作DE∥B′C′，交A′C′于点E∵DE∥B′C′，∴△A′DE∽△A′B′C′求证：△ABC∽△A′B′C′BACDEB'A'C'∴∴A′E=AC又∠A′=∠A∴△A′DE≌△ABC，∴△A′B′C′∽△ABCBACDEB'A'C'∵A′D=AB，∴由此得到利用两边和夹角来判定三角形相似的定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．符号语言：∵∠A=∠A′，BACB'A'C'∴△ABC∽△A′B′C′归纳：对于△ABC和△A′B′C′，如果A′B′:AB=A′C′:AC∠B=∠B′，这两个三角形一定会相似吗？不会，如下图，因为不能证明构造的三角形和原三角形全等

A

B

C思考：

A′

B′

B″

C′结论：如果两个三角形两边对应成比例，但相等的角不是两条对应边的夹角，那么两个三角形不一定相似，相等的角一定要是两条对应边的夹角典例精析例1根据下列条件，判断△ABC和△A′B′C′是否相似，并说明理由：∠A=120°，AB=7cm，AC=14cm，

∠A′=120°，A′B′=3cm，A′C′=6cm．解：∵∴又∠A′=∠A，∴△ABC∽△A′B′C′1在△ABC和△DEF中，∠C=∠F=70°，AC=35cm，BC=25cm，DF=21cm，EF=15cm求证：△DEF∽△ABCACBFED证明：∵AC=35cm，BC=25cm，DF=21cm，EF=15cm，又∵∠C=∠F=70°，∴△DEF∽△ABC练一练∴2如图，△ABC与△ADE都是等腰三角形，AD=AE，AB=AC，∠DAB=∠CAE求证：△ABC∽△ADE证明：∵△ABC与△ADE是等腰三角形，∴AD=AE，AB=AC，∴又∵∠DAB=∠CAE，∴∠DAB∠BAE=∠CAE∠BAE，即∠DAE=∠BAC，∴△ABC∽△ADEABCDE解：∵AE=15，AC=2，例2如图，D，E分别是△ABC的边AC，AB上的点，AE=15，AC=2，BC=3，且，求DE的长ACBED∴又∵∠EAD=∠CAB，∴△ADE∽△ABC，∴∴提示：解题时要找准对应边证明：∵CD是边AB上的高，∴∠ADC=∠CDB=90°∴△ADC∽△CDB，∴∠ACD=∠B，∴∠ACB=∠ACD∠BCD=∠B∠BCD=90°例3如图，在△ABC中，CD是边AB上的高，且，求证∠ACB=90°．ABCD∵方法总结：解题时需注意隐含条件，如垂直关系，三角形的高等当堂练习1判断1两个等边三角形相似2两个直角三角形相似3两个等腰直角三角形相似4有一个角是50°的两个等腰三角形相似×√√×2如图，D是△ABC一边BC上一点，连接AD，使△ABC∽△DBA的条件是

AAC:BC=AD:BDBAC:BC=AB:ADCAB2=CD·BCDAB2=BD·BCDABCD3如图△AEB和△FEC填“相似”或“不相似”54303645EAFCB12相似当堂练习解析：当△ADP∽△ACB时，AP:AB=AD:AC，∴AP:12=6:8，解得AP=9；当△ADP∽△ABC时，AD:AB=AP:AC，∴6:12=AP:8，解得AP=4∴当AP的长度为4或9时，△ADP和△ABC相似．4如图，已知△ABC中，D为边AC上一点，P为边AB上一点，AB=12，AC=8，AD=6，当AP的长度为时，△ADP和△ABC相似ABCD4或9PP5如图，在四边形ABCD中，已知∠B=∠ACD，AB=6，BC=4，AC=5，CD=，求AD的长．ABCD解：∵AB=6，BC=4，AC=5，CD=，∴又∵∠B=∠ACD，∴△ABC∽△DCA，

∴，∴6如图，∠DAB=∠CAE，且AB·AD=AE·AC，求证