2023年新课标全国Ⅰ卷数学高考真题（解析版）

绝密★启用前

2023年普通高等学校招生全国统一考试（新课标全国I卷

）

数学

试卷类型：A

本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.

注意事项：

1.答题前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号

和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置

上.将条形码横贴在答题卡右上角”条形码粘贴处”.

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的

答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在

试卷上.

3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指

定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不

准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.

4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的.

1,已知集合"=K'T。，1，2},N=HX2r_6≥θ},则MCN=（）

A.{-2,-1,0,1}B.{0,l,2}C.{-2}D.2

【答案】C

【解析】

【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合N,即可根据交集的运算解出.

方法二：将集合M中的元素逐个代入不等式验证，即可解出.

【详解】方法一：因为N={x∣χ2-χ-6≥θ}=（-8,-2]u[3,+8）,而

M={-2,-l,0,1,2},

所以MCN={—2}.

故选：C.

方法二：因为M={-2,T,0,l,2},将一2,—l,O,l,2代入不等式χ2一χ_6≥o,只有—2

使不等式成立，所以MCN={-2}.

故选：C.

1-i_

2.已知Z=-----,则Z-Z=（）

2+21

A.-iB.iC.0D.1

【答案】A

【解析】

【分析】根据复数的除法运算求出z,再由共轨复数的概念得到I，从而解出.

【详解】因为Z=G=制鬲F=一六所以ZT即Z-Zj

故选：A.

3.已知向量”=（l,1）,1=（1,—1）,若（α+训，,+〃"），则（）

A.λ+μ=∖B.λ+μ=-∖

C.Aj4∕-1D.九N=-1

【答案】D

【解析】

【分析】根据向量的坐标运算求出α+z½,a+μb,再根据向量垂直的坐标表示即可求出.

【详解】因为α=(l,1),6=(1,—1),所以α+4b=(l+∕l,l->l),

α+∕∕⅛=(l+χ∕,l-χ∕),

由(α+/IO)J.(“+可得，(α+4∕j)∙(α+"b)=O,

即(1+丸)(1+〃)+(1—2)(1—4)=0,整理得：λμ=-∖.

故选：D.

4.设函数/(x)=2"-")在区间(0,1)上单调递减，则。的取值范围是()

A.(-∞,-2]B.[-2,0)

C.(0,2]D,[2,+∞)

【答案】D

【解析】

【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.

【详解】函数y=2*在R上单调递增，而函数/(x)=2Mi)在区间(0,1)上单调递减，

2

则有函数y=x(x—a)=(x—])2—亍在区间(0,1)上单调递减，因此^≥1,解得

Q≥2,

所以“的取值范围是[2,+8).

故选：D

22

5.设椭圆6：1+9=1(。>1),。2：工+：/=1的离心率分别为4,62.若G=则

a4

a=()

A.B.y∣2C.6D.√6

【答案】A

【解析】

【分析】根据给定的椭圆方程，结合离心率的意义列式计算作答.

【详解】由C2=百与，得e；=3e：,因此?∙=3χZ?,而a>l,所以手.

故选：A

6.过点(0,-2)与圆V+y2-4x-1=0相切的两条直线的夹角为α,贝IJSina=()

ʌ1r√15c√ion√6

444

【答案】B

【解析】

【分析】方法一：根据切线的性质求切线长，结合倍角公式运算求解；方法二：根据切线的

性质求切线长，结合余弦定理运算求解；方法三：根据切线结合点到直线的距离公式可得

二+8攵+1=0,利用韦达定理结合夹角公式运算求解.

【详解】方法一：因为Y+y2-4x-l=0,BP(Λ-2)2+∕=5,可得圆心C(2,0),半径

r=y∕5>

过点P(O,-2)作圆C的切线，切点为A,6,

因为IPCI=J2?+(—2)2=2√∑,则IPAl=JPCf一产=币,

可得SinNAPC=金=曰,c。SNAPC=金=4,

15

则SinNAPB=sin2ZAPC=2sinZAPCcosZAPC=2

4

」<0,

cosZAPB=cosIAAPC=cos2ZAPC-sin2ZAPC=

4

即/APB为钝角,

所以Sina=Sin(兀一NAPB)sinZAPB=-；

4

法二：圆d+y2-4χ-l=0的圆心C(2,0),半径F=J

过点P(0,—2)作圆C的切线，切点为A,B,连接A5，

2212

可得IPq=y∣2+(-2)=2√2，则IPAI=IP同=y∣∖PC∖-r=√3，

222

因为Ipd2+1PB∣_2∣PA∣∙IPB∣cosZAPB=∣C4∣+∣CB∣-2∣G4∣∙∣CB∣cosZACB

且ZACB=兀一ZAPB,则3+3—6COSZAPB=5+5—IOCoS(TI-ZAP3),

即3-∞sZAPB=5+5cosZAPB，解得cosNAPB=--<0,

4

即/AP3为钝角，则CoSa=COS（兀一/AP3）=-cosZAPB=-

4

且Q为锐角，所以Sina=

4

方法三：圆V+V-4x-l=0圆心C（2,θ）,半径r=小,

若切线斜率不存在，则切线方程为y=0,则圆心到切点的距离d=2>r,不合题意;

若切线斜率存在，设切线方程为y=履一2,即依一y-2=0,

∣2Zs-2∣r,

则-L-----L=小,整理得公+8左+1=（）,且A=64-4=60>0

√）F+1

设两切线斜率分别为ki,k2,则k]+k2=-8,"2=1,

.2.2sin2a

贝l71IlJlsιn^2a+cos^a=sιn^a+-------=11,

15

且&e[θ,∙∣J,贝IJSina>0,解得Sina=4

S

7.记S.为数列｛4｝的前"项和，设甲：∙⅛｝为等差数列；乙：｛ji∙｝为等差数列，则()

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

【答案】C

【解析】

【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前”项和与第〃项

的关系推理判断作答.，

【详解】方法1,甲：｛α,,｝为等差数列，设其首项为外,公差为d,

n-∖d=-n+a--,-^-^∙d

则S=na+~~—d,-=a+l

11↑2ni22'2/2+1n2

因此为等差数列，则甲是乙的充分条件;

n

csS

反之,乙：｛力为等差数列，即篇r为常数，设为，,

n(n+l)n(n+V)

S

l

即⅛⅛=''则SLFTW〃+1)，有SfIT=(RHTW"7),∙≥2,

两式相减得：%=〃4+i-(〃-1)αz∣—2加,即α,w4-a”=2f,对〃=1也成立,

因此｛0,,｝为等差数列，则甲是乙的必要条件，

所以甲是乙的充要条件，C正确.

方法2,甲：｛q｝为等差数列，设数列｛%｝的首项外,公差为d,即Sz,="4+g≡Dd,

则9i=q+止Dd=[〃+%—4,因此｛&｝为等差数列，即甲是乙的充分条件;

n222n

SSrSlSr

反之，乙：｛d｝为等差数列，即2如―、=Z),2L=E+(〃—1)。，

nπ+lnn

即Slt=nSi+n(n-I)Q,Sn_｝=(H-1)SI+(n-l)(n-2)D,

当力≥2时，上两式相减得：S〃-S,-=Sl+2(〃-1)。，当〃=1时，上式成立，

于是。〃=4+25-1)2,又。用一。〃=4+2〃。一[4+2(〃-1)£)]=2£>为常数，

因此｛《,｝为等差数列，则甲是乙的必要条件，

所以甲是乙的充要条件.

故选：C

8.已知sin(α-夕)=',cosαsin∕?=1，贝IJCOS(2<z+2£)=().

【答案】B

【解析】

【分析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出sin(α+月)，再利用二倍角的余弦

公式计算作答.

【详解】因为sin(α-，)=sinαcos，一COSaSi,，而COSaSin/因此

36

Q1

Sinacosp=—,

2

则sin(σ+/7)=sinacosβ+cosasin尸=§,

2ι

所以COS(2α÷2β)=cos2(α+6)=1-2sin2(α+6)=1一2χ(―)2=-.

故选：B

【点睛】方法点睛：三角函数求值的类型及方法

(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角

总有一定关系.解题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角

函数.

(2)“给值求值Z给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于

“变角”，使其角相同或具有某种关系∙

(3)“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式

子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，

有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.有一组样本数据占,々，…，*6，其中为是最小值，∙⅞是最大值，则()

A.Z，马，尤4，毛的平均数等于%，/，…，入6的平均数

B.Λ2,X3,Λ4,X5的中位数等于玉,々，…，4的中位数

C.与，*3，“4,*5的标准差不小于X],无2，,,、“6的标准差

D.W,*3，芯4,尤5的极差不大于X∣,工2，*I，“6的极差

【答案】BD

【解析】

【分析】根据题意结合平均数、中位数、标准差以及极差的概念逐项分析判断.

【详解】对于选项A:设了2，工3，%，%的平均数为/??，玉，工2,…，工6的平均数为"，

则

_Λl+X2+X3+X4+X5+X6X2+X3+X4+X5_2(x∣+x6)-(x5+x2+x3+%4)

“，〃_~6~~1~_12

因为没有确定的大小关系，所以无法判断犯〃的大小，

2(ΛI+X6),X5+Λ⅛+X,+X4

例如：1,2,3,4,5,6,可得加=〃=3.5；

例如1,1,1,1,1,7,可得〃z=l,"=2;

例如1,2,2,2,2,2,可得机=2,〃=U；故A错误;

6

对于选项B:不妨设X1≤%2≤X3≤X4≤X5≤⅞>

可知%2,x3,x4,X5的中位数等于x∣,%2,…的中位数均为入；%,故B正确；

对于选项C：因为玉是最小值，是最大值，

则Λ2,X3,X4,X5的波动性不大于内，工2,…，工6的波动性，即々，了3，x4，毛的标准差不大于

X]，工2，*■",*6的标准差'

例如：2,4,6,8,10,12,则平均数“=∖(2+4+6+8+10+12)=7,

标准差

SI=J；(2-7)^+(4-7)^+(6-7)^+(8-7)^+(10-7)^+(12-7)^=ɪθʒ›

VoL」3

4,6,8,10,则平均数机=；(4+6+8+10)=7,

标准差.(4-7)2+(6-7)2+(8-7)2+(10-7)2=小,

显然，巫>5,即M>$2；故C错误；

3

对于选项不妨设

D：x1≤x2≤Λ3≤x4≤x5<X6,

则天一玉之毛一々，当且仅当玉=工2，毛=4时，等号成立，故D正确；

故选：BD

10.噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱，定义声压级

4=20XIg2,其中常数“o("o>O)是听觉下限阈值，，是实际声压.下表为不同声源

PO

的声压级:

声源与声源的距离/m声压级∕dB

燃油汽车106090

混合动力汽车105060

电动汽车1040

已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车IOm处测得实际声压分别为四，必，外，则

().

A.PI≥P1B.P2>IOp3

C.P3=100A)D.P1≤IOOp2

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据题意可知L伍∈[60,90],L,,2e[50,60],L%=40,结合对数运算逐项分析判断.

【详解】由题意可知：LPi∈[60,90],Lft∈[50,60],=4(),

对于选项A：可得4,一乙小=20xlg2—20Xlg旦∙=20Xlg且，

PoPoPl

因为人”走，则4=2°xlg'LN°，即Iga20,

PlPi

所以且≥1且∕¼P2>0,可得P∣ZP2,故A正确；

Pi

对于选项B：可得4,_£%=20×Ig--20×Ig—=20×Ig—,

^PoPO。3

因为4=(,-40≥10,则20XIg乙≥10,即lg∙^2∙≥;,

P3A2

所以匹≥√i6且，2,P3>0,可得p,2√iδp3,

〃3

当且仅当£%=5。时，等号成立，故B错误；

对于选项C：因为4,=2OXIg以=40,即Ig△=2,

POPO

可得上=IoO,Bpft=lOO∕7o,故C正确；

Po

对于选项D：由选项A可知：L-L=20×lg^,

Pi

且LpTp≤90-50=40,则20Xlg八≤40,

12

P2

即IgeL≤2,可得包≤100,且P],P2>0,所以PIWloOP2,故D正确；

PlPi

故选：ACD.

11.已知函数F(X)的定义域为R,f(χy)=y2f(χ)+χ2f(y),则().

A./(0)=0B./(l)ɪθ

C./(X)是偶函数D.X=O为/(X)的极小值点

【答案】ABC

【解析】

【分析】方法一：利用赋值法，结合函数奇遇性的判断方法可判断选项ABC,举反例F(X)=O

即可排除选项D.

方法二：选项ABC的判断与方法一同，对于D,可构造特殊函数/(x)=<11进

0,x=0

行判断即可.

【详解】方法一：

因为f(χy)=y2f(χ)+χ2f(y)，

对于A,令x=y=O,/(0)=0/(0)+0/(0)=0,故A正确.

对于B,令x=y=l,/⑴=VxI)+1/(1),则/⑴=0,故B正确.

对于C,令x=y=T,/(D=/(-1)+/(-1)=2/(-1),则/(T)=O,

令y=-1,/(一X)=/(%)+x2∕(-l)=ʃ(ɪ)，

又函数F(X)的定义域为R,所以/(X)为偶函数，故C正确，

对于D,不妨令/(χ)=0,显然符合题设条件，此时F(X)无极值，故D错误.

方法二：

因为/(盯)=Z∕(x)+χ2/G),

对于A,令χ=y=O,/(O)=O/(0)+0∕(())=0,故A正确.

对于B,令x=y=l,/(1)=1/(1)+1/(1),则/⑴=0,故B正确.

对于C,令x=y=-1,/(1)=/(-1)+/(-1)=2/(-1),则/(一1)=0,

令y=T"(τ)=/(ɪ)+ɪv(-l)=/(ɪ)，

又函数F(X)的定义域为R，所以/(X)为偶函数，故C正确，

对于D,当χ2y2≠。时，对/(盯)=y2∕(χ)+χ2"y)两边同时除以一旷2,得到

f(χy).f(y)

,

X2y2~x~'y2

故可以设C^∙=lnW(x≠0),则/(x)=,"InW,x'°,

%11[0,x=0

当χ>0肘，/(x)=χ2]nx,则/'(X)=2xlnx+χ2,=χ(21nx+l),

X

令/,(x)<0,得o<jc<eT;令/Xx)>θ,得χ>e+;

//ɪ\

故/(X)在0,eW上单调递减，在e^2,÷∞上单调递增，

∖√\7

因为AX)为偶函数，所以/(χ)在-e^i,0上单调递增，在-8,「5上单调递减,

//

12.下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不

计）内的有（）

A.直径为0.99m的球体

B.所有棱长均为1.4m的四面体

C.底面直径为0.01m,高为1.8m的圆柱体

D.底面直径为1.2m,高为0.0Im的圆柱体

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据题意结合正方体的性质逐项分析判断.

【详解】对于选项A：因为0.99m<lm,即球体的直径小于正方体的棱长，

所以能够被整体放入正方体内，故A正确；

对于选项B：因为正方体面对角线长为国，且J∑>1.4,

所以能够被整体放入正方体内，故B正确；

对于选项C：因为正方体的体对角线长为鬲，且有<1.8，

所以不能够被整体放入正方体内，故C正确；

对于选项D：因为1.2m>lm,可知底面正方形不能包含圆柱的底面圆，

如图，过Aa的中点。作OE_LAC-设OElAC=E,

可知AC=CG=1,AG=5OA=@，则tan/CAG=%=%,

2ACA。

1OE

即正=耳，解得OE=曲r,

一4

=2>2=O6,即在>0.6,

24254

故以Aq为轴可能对称放置底面直径为1.2m圆柱，

若底面直径为1.2m的圆柱与正方体的上下底面均相切，设圆柱的底面圆心O-与正方体

的下底面的切点为M,

可知：AC1IO1M5O1M=0.6,则tan/CAG=爱=瑞

10.6

解得Aa=0.6√2,

即正为

根据对称性可知圆柱高为Q—2X0.6√2≈1.732-1.2x1.414=0.0352>0.01，

所以能够被整体放入正方体内，故D正确；

故选：ABD.

【点睛】关键点睛：对于C、D：以正方体的体对角线为圆柱的轴，结合正方体以及圆柱

的性质分析判断.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或

3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有种（用数字作答）.

【答案】64

【解析】

【分析】分类讨论选修2门或3门课，对选修3门，再讨论具体选修课的分配，结合组合数

运算求解.

【详解】（1）当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有16种；

（2）当从8门课中选修3门，

①若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有C：C：=24种；

②若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有C；C：=24种；

综上所述：不同的选课方案共有16+24+24=64种.

故答案为：64.

14.在正四棱台ABCo-AqGA中，Aβ=2,AlBl=l,AA,=y∕2,则该棱台的体积为

【答案】还林L戈

66

【解析】

【分析】结合图像，依次求得4«，AO,AM，从而利用棱台的体积公式即可得解.

【详解】如图，过A作AMLAC,垂足为M,易知AM为四棱台ABeD-A片GR

的高，

DxC.

/9—8、\7

因为AB=2,44=1,A4,=√2,

则Ala=∣Λ1C,=∣×√2ΛlBl=^,ΛO=∣AC=∣×√2ΛB=√2.

故∣则

AM=g(AC-ACJ=#,A1M=JAQAM?=Jj=

故答案为：还

6

15.已知函数/(x)=COsox-13>0)在区间[0,2π]有且仅有3个零点，则。的取值范围

是.

【答案】12,3)

【解析】

【分析】令f(x)=O,得COSS=I有3个根，从而结合余弦函数的图像性质即可得解.

【详解】因为0<xW2τr,所以0WsW2S,

令/(X)=COSS-I=O,则COS3=1有3个根，

令t=G>x,则COSf=I有3个根，其中∕e[O,20π],

结合余弦函数V=COSf的图像性质可得4π≤2fυπ<6π，故24刃<3,

22

16∙已知双曲线CN-AlS。，6＞。）的左、右焦点分别为6且点A在C上,点5在

.2

y轴上，F}A±F}B,F2A=--F2B,则C的离心率为.

【答案】地##-√5

55

【解析】

【分析】方法一：利用双曲线的定义与向量数积的几何意义得到∣AE∣,忸鸟|,忸国,∣A国关

于。，机的表达式，从而利用勾股定理求得。=加，进而利用余弦定理得到。，c的齐次方程，

从而得解.

52

方法二：依题意设出各点坐标，从而由向量坐标运算求得与=§，,%=-§/，/=4/,将

点A代入双曲线C得到关于。力,c的齐次方程，从而得解；

【详解】方法一：

依题意,设I伤|=2加,^∖BF2∖=3m=∖BFt∖,∖AFl∖=2a+2m,

在RL.A36中，9m2+（2a+2tn）2=25m2,贝∣J（α+3根）（α-M=0,故α=机或α=-3相

（舍去），

所以I做∣=4α,∣∕闾=加，忸闾=忸制=3”,则陷=5α,

故CoSNlA6=勒IAEI=丁4a=4，

∣AB∣5a5

1A/；2÷4∕72—4r24

所以在AAEE中，CosZFlAF2=~~—整理得5/=9〃2,

2×4a×2a5

故e，=述.

a5

方法二：

依题意，得耳(-c,0),乙(c,0),令A(Aυ,%),3(0,。，

.”2一252

因为KA=所以(Xo—c,%)=_'(—，/),则Xo=；c,

又F∣A,FIB,所以14・68=[§<?,_§)((?0=302_§/2=0,则/=4C2,

-C2-t225c222

又点A在C上，则99i整理得名■一4/三=1，则25空C—1牛6C=1，

今一一⅛=19a29b19a29b1

ab

所以25c2b2-∖6c2a2^9a2b2>BP25c2(c2-«2)-16Ω2C2=9o2(c2-Λ2),

4222

整理得25C-50C+9/=0,则(5。2-9储)(5。2-储)=0,解得5c=9a或5c?=/,

又e>l,所以e=3叵或e=好(舍去)，故e=巫.

555

故答案为：述.

5

【点睛】关键点睛：双曲线过焦点的三角形的解决关键是充分利用双曲线的定义，结合勾股

定理与余弦定理得到关于。力,c的齐次方程，从而得解.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算

步骤.

17.已知在一ABC中，A+S=3C,2sin(A-C)=sinB.

⑴求SinA；

(2)设AB=5,求AB边上的高.

【答案】(1)3叵

10

(2)6

【解析】

【分析】(I)根据角的关系及两角和差正弦公式，化简即可得解；

(2)利用同角之间的三角函数基本关系及两角和的正弦公式求sinB,再由正弦定理求出力,

根据等面积法求解即可.

【小问1详解】

A+3=3C，

TT

.∙.π-C=3C，即C=—,

4

又2sin(A-C)=SinjB=sin(A+C),

.,.2sinACoSC-2cosAsinC=sinAcosC÷cosAsinC,

.∙.sinAcosC=3cosAsinC,

.∙.sinA=3cosA,

TT

即ta∏A=3'所以。<A=.

33√Iθ

sinA

√io-io

【小问2详解】

……，1√10

由(1)知，cosA=~j==-----，

√ioio

由SinB=sin(A+C)=SinAcosC+cosAsinC=

5χ也

b

由正弦定理,,可得人=—W——2Ji6,

sinCsinB

2

.-.-ABh=-AB-AC-sinA,

22

.∖h=b∙sinA=2>∕Γθ×-6.

10

18.如图，在正四棱柱A8CD—A4GA中，AB=2,441=4∙点分别在棱

AAi,BBt,CC1,DDi上，AA2=1,BB2=DD2=2,CC2=3.

(1)证明：B2C2∕∕A2D2.

(2)点尸在棱BBl上，当二面角「一4。2-3为150°时，求Bj.

【答案】(1)证明见解析；

(2)1

【解析】

【分析】(1)建立空间直角坐标系，利用向量坐标相等证明；

(2)设P(0,2,/IXO≤∕l≤4),利用向量法求二面角，建立方程求出，即可得解.

【小问1详解】

以C为坐标原点，C。,CB,CG所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图,

则C(O,O,O),C2(O,0,3),B2(0,2,2),D2(2,0,2),A2(2,2,1),

.-.B2C2=(0,-2,1),AZ)2=(0,-2,1),

.∙.B2C2ZZA1D2,

又B?G，42不在同一条直线上，

.∙.B2C2//A1D2.

【小问2详解】

设P(0,2,4)(0≤;l≤4),

贝∣J4C2=(-2,-2,2),PC2=(0,-2,3-Λ),D2C2=(-2,0,1),

设平面PA2C2的法向量〃=(x,y,z),

/Z-A2C2=-2x-2y+2z=0

,

、［π∙PC2=-2y+(3-Λ)z=0

令z=2,得y=3-4,x=4-1,

.,.n—(X—1,3—A,2)，

设平面A2C2D2的法向量m=(a,b,c),

m-AC=-2a-2〃+2c=O

则《~，

m∙D1C2——2a+c=O

令a=l,得。=l,c=2,

.,.m=(1,1,2),

/.cos∕n,根)=-7∣—∙=6=ICOS150o∣=,

、/明√6√4+(Λ-l)2÷(3-2)2112

化简可得，Λ2-4Λ+3=0,

解得4=1或7=3,

.∙.「(0,2』)或20,2,3),

.∙.B2P=I.

19.已知函数/(x)=α(e*+α)-x.

(1)讨论/(χ)的单调性；

3

⑵证明：当.>0时，/(x)>21nα+J.

【答案】(1)答案见解析

(2)证明见解析

【解析】

【分析】(1)先求导，再分类讨论α≤0与α>0两种情况，结合导数与函数单调性的关系即

可得解；

(2)方法一：结合(1)中结论，将问题转化为6——lnα>O的恒成立问题，构造函数

2

g(a)=/_；_ina(a>0),利用导数证得g(α)>O即可.

方法二:构造函数〃(X)=eʌ,证得e"≥x÷l,从而得到f(x)≥x+l∏6z+l+6f2-Λ,

进而将问题转化为a2---↑na>0的恒成立问题，由此得证.

2

【小问1详解】

因为/(x)=α(e'+α)-x,定义域为R,所以/'(X)=ɑe'-1,

当α≤0时，由于e*>O,则αe'≤O,故/'(x)=ae'—1<0恒成立，

所以/(x)在R上单调递减；

当”>()时，令/'(X)=αe*-l=0,解得X=—Ina,

当x<一如a时,∕,(χ)<0,则F(X)在(Y0,-Ina)上单调递减;

当x>Tna时，制χ)>O,则/(x)在(-lna,4∞)上单调递增；

综上：当a≤0时，/(x)在R上单调递减；

当a>0时，/(x)在(-8,-Ina)上单调递减，/(x)在(-lna,+8)上单调递增.

【小问2详解】

方法一：

由(I)得,/(x)mE=∕(-lna)=o(eh1"+a)+lna=l+a2+ina,

331

要证f(x)>2In6/+—,即证1+a?+]na>2Ina+5,即证。？一万―lna>0恒成立，

1NC4-JL

令g(a)=/-]Tna(a>0),贝”g，(a)=2a---=,

a---a

令g'(a)<O,则o<a<,；令/(a)>0,则a〉也；

2

、

所以g(a)在[θ,孝)上单调递减，在(当，+c

。上单调递增，

√

所以g("L,=g隹I=隹)孝

=ln√2>0,则g(a)>O恒成立,

3

所以当。>0时，/(x)>21na+]恒成立，证毕.

方法二:

令∕z(∙x)=e*,则矶%)=e，—1,

由于y=ev在R上单调递增，所以“(X)=e"—1在R上单调递增，

又〃⑼=e。-1=0,

所以当x<0时，A,(x)<O;当1>0时，Λz(x)>O;

所以在(-∞,o)上单调递减，在(o,÷∞)上单调递增，

⅛A(x)≥Zz(O)=O,则e”之x+l,当且仅当X=O时，等号成立，

因为/(x)=Q(eʌ+α)—X=ɑe'+CI--x—cκ+'na+Q—-x≥x+lnα+l+CI—-x,

当且仅当x+lnα=0,即X=-Ina时，等号成立，

331

所以要证/(x)>2∖na+-,即证x+lna+l+a?-x>21na+耳，即证/---∖na>Q,

令g(a)=4?-g-lnα(α>0),则=2a-^-=——ɪ

2aa

令g'(α)<O,则o<α<曰；令g[α)>O,则°>李

、

所以g（α）在上单调递减，在,+8上单调递增,

/

W=InjΣ>0,则g(α)>O恒成立,

所以g(0)min

3

所以当。〉0时，/（幻>2111。+5恒成立，证毕.

2

M"__1_M

20,设等差数列｛4｝的公差为2,且d>1.令卜=------,记Sn,T11分别为数列｛4｝,⅛｝

an

的前〃项和.

（1）若34=3卬+4,53+£=21,求｛%｝的通项公式；

（2）若｛2｝为等差数列，且S99-4=99,求d.

【答案】（1）an=3n

,51

（2）d=—

50

【解析】

【分析】（1）根据等差数列的通项公式建立方程求解即可；

(2)由｛2｝为等差数列得出q=d或α∣=2d,再由等差数列的性质可得％0-40=1,分

类讨论即可得解.

【小问1详解】

∙.∙3%=3q+a3,3d=%+2d,解得al=d,

/.S3=3生=3（4+d）=Gd,

DT77726129

又T3=h+4+&=";+o7+T7=_/,

a2d3da

9

S3+（=6dτ—=21,

d

即2/—74+3=0,解得d=3或d=’（舍去），

2

/.=q+（〃-1）∙d=3〃.

【小问2详解】

{a}为等差数列,

12212

.∖2b1=4+么，即—=---1----,

%QlQ3

//11、6d1ɔɔ.,

6（---------）=----=一,即Q；-36d+2c∕~=0,解得％=dw或q=2d,

aaa

a2。323,∖

d>l,.∙∙%>0,

又S99-金=99,由等差数列性质知，99¾0-99‰=99,即生。一/0=L

2550

∙,∙a50=1，即。590一。50-255。=0,解得。50=51或60=-5。（舍去）

a50

当〃∣=2d时，¾0=tzi+49J=5W=51,解得d=l,与d>l矛盾，无解；

当q=d时，%o=G+494=504=51,解得d=∣^.

综上，d=—.

50

21.甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若末命中

则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为。6,乙每次投篮的命

中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.

(I)求第2次投篮的人是乙的概率；

(2)求第i次投篮的人是甲的概率；

(3)已知：若随机变量Xj服从两点分布，且

P(Xj=I)=1—P(Xj=O)=分i=l,2,…则EEXj=2%.记前"次(即从第

I/=1)Z=I

i次到第〃次投篮)中甲投篮的次数为y,求E(Y).

【答案】(1)0.6

Z\

1/21

--

-X--+-

6153

\√

n

(3)E(Y)=K+—

1O3

【解析】

【分析】(I)根据全概率公式即可求出；

(2)设P(4)="j,由题意可得∕¼∣=0∙4p,.+0.2,根据数列知识，构造等比数列即可解

出；

(3)先求出两点分布的期望，再根据题中的结论以及等比数列的求和公式即可求出.

【小问1详解】

记“第i次投篮的人是甲”为事件A-,“第i次投篮的人是乙”为事件Bi,

所以，P(B2)=P(AiB2)+P(BlB2)=P(Ai)P(B2∖Al)+P(Bl)P(B2∖Bl)

—0.5×(1-0.6)+0.5×0.8=0.6.

【小问2详解】

设P(A)=凡，依题可知，P(Bi)=l-pi,则

P(AM)=P(AA+J+P(4AM)=P(A)P(4+JA)+P(4)P(dM14),

即Pi+∖=0∙6∕+(1-0.8)X(I-Pj)=O.4Pj+0.2,

构造等比数列{“,+/I},

设Pm+4=](Pi+X),解得九=_；，则PR_：=]]〃,∙一；]，

又p∣=1,p∣-!=!,所以[p,-：]是首项为，,公比为!■的等比数列,

236I3165

【小问3详解】

H—,i=1,2,

3

n

所以当"∈N*时,E(V)=Pl+p2++PnH----'

3

5

故即)=氤-自"n

+-.

3

【点睛】本题第一问直接考查全概率公式的应用，后两问的解题关键是根据题意找到递推

式，然后根据数列的基本知识求解.

22.在直角坐标系xθy中，点P到X轴的距离等于点P到点(0,；]的距离，记动点P的轨

迹为W.

(1)求W的方程；

(2)已知矩形ABeD有三个顶点在W上，证明：矩形ABCD的周长大于3相.

【答案】(1)γ=χ2+j

4

(2)见解析

【解析】

【分析】⑴设P(Q)，根据题意列出方程Y+y」=/,化简即可；

\2)

(2)法-：设矩形的三个顶点A1。,/]〃]2+；],C[C,02+；),且Q<h<c,分

别令原8=α+人=根<°，kBC=b^-c=n>0,且相〃=T，利用放缩法得

2〔吗√1+H2,设函数/(X)=[-r+∣)(ι+χ2),利用导数求出其最小值，则得。

的最小值，再排除边界值即可.

法二：设直线AB的方程为y=Z(x-α)+∕+1,将其与抛物线方程联立，再利用弦长公

式和放缩法得恒却+1AD∣≥JfL，利用换元法和求导即可求出周长最值，再排除边界

值即可.

法三：利用平移坐标系法，再设点，利用三角换元再对角度分类讨论，结合基本不等式即可

证明.

【小问1详解】

设P(x,y),则3=，2+0一；)，两边同平方化简得y=d+；,

1

故W:y=f7+—.

4

小问2详解】

(ɪʌ(1A(

法一：设矩形的三个顶点4,Bb,b~+—LCc,C2+—在W上,且α<8<c,

I4jI4J

易知矩形四条边所在直线的斜率均存在，且不为0,

j,,b1+——a1+-