2023-2024届新高考一轮复习湘教版 5-4 平面向量的综合应用 学案

第四节平面向量的综合应用

关键能力•题型突破

题型一向量与平面几何

例1(1)在平行四边形ABC。中，M、N分别在BC、C。上，且满足BC=3MC,DC=

4NC,若4B=4,AZ)=3,则WN的形状是()

A.锐角三角形B.钝角三角形

C.直角三角形D.等腰三角形

(2)[2023•辽宁沈阳模拟]如图，在直角梯形ABC。中，AD//BC,ABYBC,AD=I,BC

=2,尸是线段AB上的动点，则画+4而I的最小值为()

A.3√5B.6

C.2√5D.4

题后师说

平面几何问题的向量解法

巩固训练1

(1)如图，在等腰梯形ABC。中，AB=BC=2,CZ)=3,BC=4BE,则口•玩=()

15

4

65

16

(2)若aABC是边长为2的等边三角形，AD为BC边上的中线，M为AD的中点，则

MA∙(MB+前)的值为.

题型二向量与三角函数

例2设向量Q=(COSX,sinx),ft=(√3sinx,sinx).

(1)⅛a∕∕b,求COS2x的值;

(2)设函数/X)=S-α)∙α,x∈[-π,π],求凡V)的零点.

题后师说

向量与三角函数综合问题的解法

解决平面向量与三角函数的交汇问题的关键：准确利用向量的坐标运算化简已知条件,

将其转化为三角函数问题解决.

巩固训练2

已知α=(sin2x,cos¾,⅛=(√3,2),y(x)="0一1+机的最大值为2.

(1)求函数兀V)的最小正周期及m的值；

(2)若x∈[θ,=],求出当X取何值时函数犬》)取得最小值并求出最小值？

题型三向量与解三角形

例3[2023∙河北秦皇岛模拟]已知4,6,C为AABC的内角A,B,C所对的边，向量Ml

=(a~h,c-a),∕ι=(sinB,sinA+sinC),且，"-L〃.

⑴求角C；

(2)若sinB<sinC,⅛=4,。为BC的中点，AD=√13,求AABC的面积.

题后师说

向量与解三角形综合问题的解题策略

巩固训练3

[2023•广东广州模拟]在AABC中,内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,且满足b

cos----=asinB.

2

⑴求A；

(2)若α=W,BA∙AC=3,AQ是aABC的中线，求AQ的长.

专题突破❺平面向量与三角形的“四心”

微专题1平面向量与三角形的重心

(1)三角形的重心：三角形的三条中线的交点.

(2)0是aABC的重心=UX+0B+OC=O.

例1已知。是AABC所在平面上的一点，若用=*PX+而+眈)(其中P为平面上任

意一点)，则点O是aABC的()

A.外心B.内心C.重心D.垂心

微专题2平面向量与三角形的垂心

(1)三角形的垂心：三角形的三条高线的交点.

(2)0是AABC的垂心=包∙OB=OB∙OC=OC∙OA^

例2己知点。为44BC所在平面内一点，且玄2+反2=而2+玄2=玩2+靠2,则点

O一定为AABC的（）

A.外心B.内心C.重心D.垂心

微专题3平面向量与三角形的外心

（1）三角形的外心：三角形的三条边的垂直平分线的交点（三角形外接圆的圆心）.

⑵。是AABC的外心=IuXI=Iδ⅛=∣δδ∣（或殖2=而2=前2）.

例3已知点。是AABC所在平面上的一点.若（就+而）•融=（而+前）•前=（充+

OA）∙CA=O,则点。是448C的（）

A.外心B.内心C.重心D.垂心

微专题4平面向量与三角形的内心

（1）三角形的内心：三角形的三个内角角平分线的交点（三角形内切圆的圆心）.

（2）0⅛∆ABC的内心=市,（∣⅛-⅛）=θ≡,瑞-]⅞）=θe,（⅛-⅛>=0∙

例4。是平面上一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足：OP=OA+

联摆j+俱），7∈[0,+∞）,则P的轨迹一定通过aABC的（）

IABlIACl

A.内心B.垂心C.重心D.外心

第四节平面向量的综合应用

关键能力•题型突破

例1解析：(1)：京•丽=(而+而)•(流+K)=(而+三通)•(工而一三通)

434

=W而F—巨IABI2=工义9—三X16=0.

316316

J.AN1MN,

.♦.△AMN是直角三角形.

故选C.

(2)

如图，以点B为坐标原点，建立平面直角坐标系，设AB=a,8P=x(0≤x≤α),

因为Ao=1,BC=2,

所以P(0,X),C(2,0),0(1,a),

所以定=(2,-X),PD=(1,a-χ),4PD=(4,4a-Ax),

所以同+4而=(6,4a~5x),

所以I元+4而I=J36+(4a—5x)226,

所以当4n-5x=0,即X=%时，瓦+4而I的最小值为6.

故选B.

答案：(I)C(2)B

巩固训练1解析：(1)

以C。的中点。为原点，建立平面直角坐标系，如图所示:

依题意可得。(一aO).cξ,O),A(-l,亨),E备噜,

所以示=(一|,苧)，尻=烯，ɪ),

故以•而=-9χ2+叵X型=—竺.

28284

故选B.

(2)

已知aA8C是边长为2的等边三角形，A。为BC边上的中线，M为的中点，

则AΛ∕=Λ∕D=当，AM=MD,

又而+前=2丽，

则两∙(MB+MC)=-2MA2≈-2×(γ)2--∣.

答案：(I)B(2)-|

例2解析：(1)由。〃)，得COSXSinx—√5sin2χ=0,所以SinX=O或CoSX=√5sinx,

若sinx=0,则cos2x=12sin"'x--1.

若cosx=√3sinx,又sin2x÷cos2x=1,贝Usin2x=-,cos2x=1—2sin2工=二综上，cosIx

42

的值为1或点

(2)fix)=ba-a1=√3sinxcosx÷sin2χ-1=—sin2x÷1-c°s2x-1=sin(2χ--)~-.

2262

令人X)=O,得Sin(Zr-J)=;,又x∈[-mπ],知2χ-J∈[-岑，拳],

6Z6L6oJ

则2x—三=一生，一C,Δ,空，所以X=—四，-Ξ,二Ξ,

666666262

巩固训练2解析：(1次0=V5sin2X÷2COS2Λ-1+//i=V3si∏2x÷cos2x+m

=2(γsin2x÷∣cos2x)+∕∏=2(cos¾n2%÷sin%os2x)+m

=2sin(2x+-)÷∕w,

6

・T2π2π

∙∙τ=^=3=π,

加X)的最大值为2X1+加=2,

解得m=0.

⑵由⑴得∕x)=2sin(2x+¾,

6

7π'

∙.∙χ∈[θ,=,.∙.2x+三∈E,

6L6

.∙.当2x+T=?时，即W时,,X)min=2X(T)=T.

例3解析：(1)因为帆_L〃，所以(〃-b)XsinB+(sinA+sinC)(c—a)=0,

由正弦定理得(。一b)X8=3+c)(α-c∙).

即a2+b2-c2=ab,由余弦定理得cosC=a+b~C=~

2ab2

因为O<CV71,所以C=g.

(2)在三角形A。C中，AD1=AC1+CD1-2ACCDcosZACD,

即13=16+CΩ2-4CO,解得CZ)=I或CO=3,即α=2或α=6,

因为sinB<sinC9故B<C,

因为C=今所以A>C>8,故a>c>b,所以。=6,

所以5AABC=TdbsinC=^X6X4X-^=6A/3.

巩固训练3解析：(1)CoS等=CoSw-今=SinT，

A

:b-=aB,

∙sin2sin

由正弦定理得SinBSinT=SinASin3,

Δ

VsinB≠0,Λsin-=sinA,

2

Λsing=2Sinɪeosɪ,VA∈(O,π),^∈(0,∣),

Λsin-≠0,

2

ΛA=-.

3

(2):丽・AC=3,

Λhecos(π—A)=39得bc=6,

由余弦定理得b2+c2=a2+2bcCoSA=I3,

AD=i(AB+AC),

Λ∣W=1(AB+AC)2=-(c2+h2+2hccosA)=[

444

Λ∣AD∣=^,

即AD的长为

专题突破❺平面向量与三角形的“四心”

例1解析：由已知得

3P0=0A-OP+OB-OP+OC-OP,

所以3雨+3和=殖+而+玩，

即鼐+而+前=0,

所以点O是AABC的重心.

故选C.

答案：C

例2解析：因为殖2+近』而2+瓦2,

所以就2-OB2=CA2-BC2,

所以（嬴一