2023-2024届新高考一轮复习人教A版 第二章 第5节　指数与指数函数 作业

第5节指数与指数函数

课时作业灵活分层，高效提能________________________

［选题明细表］

知识点、方法题号

根式与指数幕的运算1,2,7

指数函数的图象及应用4,6,10

指数函数的性质及应用3,5,8,9,11,12

指数函数的图象与性质的

13,14,15,16

综合应用

rA级基础巩固练

2

1.已知a>0,则An三等于(B)

7√α∙√αz

65

A.ɑʒB.aβ

55

C.a6D.aɜ

n2n2o_l_25

解析：-3八=~1~∑=a5ɜɪɑð-

yja

vɑ*a2∙«3

2.已矢口函数f(x)=a'+ajt,且f(l)=3,贝IJf(O)+f(l)+f(2)的值是(C)

A.14B.13C.12D.11

解析：由题意，函数f(x)=aX+W,且f(1)=3,可得a+工3.

a

又f(2)=a2+a^2=(a+⅛2-2=7,f(0)=1+1=2,

a

所以f(0)+f(l)+f(2)=2+3+7=12.

3.已知a=0.40∙3,b=0.30∙3,C=0.304,则(B)

A.a>c>bB.a>b>c

C.c>a>bD.b>c>a

解析：因为O.3O∙3>O.3°",且y=0.3*是减函数,

所以b>c>O.

而,(震严吗。∙3>],即a4

所以a>b>c.

4.已知函数f(x)=(χ-a)(x-b)(其中a>b)的图象如图所示,则函数

f∕(0)<0,(αb<0,①

解析：由图象可知∣∕(1)>0,=I(I-α)(1-匕)>0,②

ʧ(-1)<0(k(-l-a)(-l-b)<0,③

因为a>b,所以由①可得a>0>b,由③可得T-b>0nbG1,由②可得

l-a>0≠>a<l,因此有l>a>0>T>b,所以函数g(x)=a'+b是减函

数,g(O)=l+b<O,所以选项A符合.

5.(多选题)(2023・山东聊城模拟)已知函数f(x)=2x-2x,有下列四个

结论,其中正确的是(ABD)

A.f(0)=0

B.f(x)是奇函数

C.f(x)在(-8,+8)上单调递增

D.对任意的实数a,方程f(x)-a=0都有解

解析:f(x)=2-2x,则f(O)=a2°=0,故A正确；

f(x)的定义域为R,且f(r)=2J2-X=-f(x),所以f(x)是奇函数，

故B正确；

f(x)=⅛r2*在R上是减函数,故C错误；

当Xf-8时,f(χ)→+∞；

当Xf+8时一,f(χ)f一8,

即f(x)的值域是(-8,+8),

它又是R上的减函数，

因此对任意实数a,f(x)=a都有解,故D正确.

6.若函数y=a'-(b+l)(a>0,且a≠l)的图象经过第一、第三、第四象

限,则必有(D)

A.O<a<l,b>OB.0<a<l,b<0

C.a>l,b<OD.a>l,b>O

解析:法一由指数函数y=a*(a>l)图象的性质知函数y=a*(a>l)的图

象过第一、第二象限,且恒过点(0,1),而函数y=a'-(b+l)的图象是由

y=a,的图象向下平移(b+l)个单位长度得到的，如图，若函数y=a-

(b+l)的图象过第一、第三、第四象限，则a>l,且b+l>l,从而a>l,且

b>0.

法二由函数是增函数知a>l,

又x=0时，f(0)<0知b>0.

,.(Va^∙ɪ)2∙√α∙34b

7.已l矢口a>0,b>0,贝π——⅛=-----=

vab5

解析.(痘4)弓∙G∙娇

2_111

_(a3∙b~1)2∙a2∙

1

(ɑð5)6

Illl

a3∙b2∙d2∙b3

ɪʒ

aβ∙/76

1_1_11,1_5

=fl236∙⅛3+26=1.

答案：1

8.(2022・山东荷泽高三二模)写出一个同时满足下列两个条件的非

常数函数.

①当X1X2≥O时，f(xι+x2)=f(X1)f(x2)；

②f(x)为偶函数.

解析:若满足①对任意的X1X2≥O有f(X1+X2)=f(Xi)f(X2)成立,则对应

的函数为指数函数y=a*(a>0,且a≠l)的形式;若满足②f(X)为偶函数,

只需要将X加绝对值即可，所以满足①②两个条件的函数满足

f(x)=a*(a>0,且a≠l)即可.

答案:f(x)=2'(答案不唯一)

9.解关于X的不等式:a』>a"7(a>0,且a≠l).

解:①当0<a〈l时,y=a*为减函数，

则-5x<x+7,解得x>-

②当a>l时,y=ax为增函数，则-5x>x+7,

解得X<-∣.

6

综上，当O<a<l时一,不等式的解集为｛xIx>-^｝;

当a>l时,不等式的解集为｛xIx<4∣•

综合运用练

10.（多选题）已知实数a,b满足等式2021a=2022、下列关系式可能

成立的是（BCD）

A.O<a<bB.a<b<O

C.O<b<aD.a=b

解析:分别画出y=202lx,y=2022”的图象,实数a,b满足等式202Γ=

2022b,

可得a>b>O,a<b<O,a=b=O,而O<a<b不成立.

11已知函数f(x)=2x∕x,则函数y=f(x)在［-1,1］上的值域为,

不等式f(x)>16-9・2'的解集为.

解析：令t=2∖当x∈时，t∈号,2］,则可将原函数转化为

y=t-t2=-(t-∣)⅛

当t=⅛',yM；;当t=2时，y=-2,

24rain

所以f(X)在［-L,1］上的值域为［-2,；］.

因为f(x)>16-9・2s,即2。4'>16-9∙2x,

所以4x-10∙2x+16=(2x-2)(2-8)<0,

解得2<2x<8,所以l<x<3,即不等式f(x)>16-9・2,的解集为(1,3).

答案：［-2,g(1,3)

4

12.已知实数a>0,且a≠l,若函数f(x)=『；%，的值域为

［4,+8),则a的取值范围是.

解析:实数a>0,且a≠l,

若函数f⑺弋丁:/2'的值域为H+8),

当0<a<l时，当x>2时,f(x)的值域为(0,a)与值域为［4,+8)矛盾，

所以OCaG不成立；

当a>l时,对于函数f(x)=6-χ,x≤2,函数的值域为［4,+∞),所以只需

当x>2时值域为［4,+8)的子集即可.因为a>l,所以f(x)在x>2时单

调递增,f(x)>a2,即a2≥4,解得a22(舍去a≤-2).

综上可知,a的取值范围为⑵+∞).

答案：［2,+8)

13.已知函数f(x)=b-ali(其中a,b为常数,且a>0,a≠l)的图象经过

点A(1,6),B⑶24).

⑴求f(x)的解析式；

⑵若不等式(与x+()=m20在上恒成立,求实数的取值

abπι

范围.

解：(1)因为f(x)的图象过点A(l,6),B(3,24),

所以［TA=Gz所以a?=%

{,b∙a6=24,

又a>0,所以a=2,b=3,

所以f(x)=3∙2'.

(2)由(D知a=2,b=3,

当χ∈(一8,1］时-,

停尸+《尸』与。恒成立，

即m≤(?7(》>(在(-8,1］上恒成立.

又因为y=9'与y=0)χ在(-8,1］上均单调递减,所以丫=(3斗(,,在

(-8,1］上也单调递减,所以当χ=l时,y=0)χ+0)*有最小值a所以

m≤f,即m的取值范围是(-8,1］.

66

14.已知定义域为R的函数f(x)=翳是奇函数.

3x+n

(1)求m,n的值；

⑵用定义法证明f(x)在(-8,+oo)上为减函数；

(3)若对于任意t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求k的取

值范围.

⑴解：因为f(x)为R上的奇函数，

所以f(0)=0,即m-3o=0,解得m=l,

又因为f(T)=-f(1),所以等L-F，解得n=L经检验当m=l且n=l

31+n3+n

时,f(X)满足f(-χ)=-f(X),符合题意.

⑵证明：由⑴得f(X)=嘉=T+J7,任取实数Xi,X2,且X1<X2,

3x+l3Λ+1

则f(xAf(xJ与*高石詈熹M

因为xKx2,可得3h<3?

且(3"ι+l)(3%2+l)>0,

所以f(Xi)-f(x2)>0,即f(xι)>f(x2),

所以函数f(X)在(-8,+8)上为减函数.

(3)解:根据(1)(2)知，函数f(x)是奇函数且在(-8,+8)上为减函数,

所以不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立，即f(t2-2t)<-f(2t2-k)=

f(-2t2+k),t2-2t>-2f2+k对任意的t∈R都成立，即k<3t2-2t对任意

的t∈R都成立.因为3t2-2t=3(t-∣)⅛当t三时,3t2-2t有最小值,最

小值为q,所以k<-∣,即k的取值范围是(-∞,-|).

应用创新练

15.已知函数f(x),若在其定义域内存在实数X满足fGx)=f(x),则

称函数f(x)为“局部奇函数”，若函数f(x)=4'-m-2匚3是定义在R

上的“局部奇函数”，则实数m的取值范围是(B)

A.[-2,2)B.[-2,+8)

CS,2)D.[-4