2023年安徽省宿州市统招专升本数学自考模拟考试(含答案带解析)

2023年安徽省宿州市统招专升本数学自考

模拟考试(含答案带解析)

学校:班级:姓名:考号:

一、单选题(30题)

1.

函数/(x)="β"一°’在x=0处连续，则a=()

α÷x,x>0

A.e2B.e^'C.1D.O

2.

下列级数中绝对收敛的是()

ʌ,ɪ](-i)-ɪbviɪi

CEl尸备D2I尸(可

甲乙两门炮彼此独立地向一架飞机射击.设甲击中的概率为0.3.乙击中的概率为0.4.

则飞机被击中的概率为()

A.0.58B.0.46

C.0.42D.0.7

4.

若/(X0)=一3.则Iim上型二色匚^=(

Λ→0h

A.-3B.—6C.-9D.-12

设3,=cos(sinʃ),贝IJdy=()

A.—sin(sinʃ)eosʃdʃB.—sin(sinʃ)dʃ

C.—cos(SinW)CoSjrCLrD.—eos(sinɪ)dʃ

6.

函数/(/)=aresin(ʃ—2)的定义域是

A∙[l∙3]B.(—8.+OO)

c.[2.以2+为D.(1.3)

7.

设L=Jɪn(l+x2-√)dσ∙t=(工:+，)匕.则以卜,结论成立的是

√+,1≤∣∕*∕s口

AJ<ItB.I1>I1

C.Ij=IZDJ与h的大小不能心定

8.

»

f/(j)e^7dj=e^7+CJ∣∣∕(j)-

1

X

A.

_ɪ

X

B.

1

ʃ2

C.

1

9.

微分方程以十g=O的通解是（）

yZ

A.X2+y=25B.31+4N=C

C.√+/=CΓλy2-Xz=7

10.

A「20】2ʌ

,—(-COSZ2)(1/=()

ɑʃjSinr

Λ.—cosr2B.CoS(Sirkr¥cos/

C.ʃeosʃ2D.cos(SinM)

11.

,已知P(A)=O.5.P(B)=0.6.P(BIA)=0.8.则P(AUB)=()

A.0.6B,0.7C.0.8D.0.9

12.

.下列说法正确的是()

Λ.函数的极值点一定是函数的驻点B.函数的驻点一定是函数的极值点

C.二阶导数非零的驻点一定是极值点D.以上说法都不对

13.

函数》=√2-ɪ2+arcsint—"的定义域是（）

A.(11B._—1,>∕2]

c.(—1.y?」D.[_—1

14.

设函数z=ejy,则上-=()

(1.0)

A.1B.0C.eD.e-ɪ

15.

.设/Q)在(0,+8)上连续.且/(Jr)=Jln(3产+l)ck∙则/'(D=()

A.-21n2B.2ln2

C.-ln(ɜʃ2+1)D——

2

16.

不定积分卜O*才/'(12sina)d^—()

A.2/(1—2sinjr)÷CB.-ɪ-/(l—2sirκr)÷C

C.—2/(1—2sin∕)÷CD.—ɪ/(1—2sina)÷C

17.

定积分『「一也的值是

()

Jo1十工

A.21n-BJn2-1C.4∙ln2D.1-ln2

18.

二12

级数MK)是()

A.调和级数B,等比级数C麻级数D.二级数

19.

6.交换I=Celj7；/(x,y)&+J：Gji'ʃf(x,y)dx的积分次序,则下列各项正确的

是()

A」“J；J(XJ)办J"。/(XJ)办

c∙f：纯"(P)办D.「小泗’

20.

.aresinʃ+areeosʃ=()

A.0B.I7D.π

21.

设j/(z)dz=ze'+C则/(ʃ)=()

A.xeτB.H-xer

C.ɪeʃ÷ɪD.(r+De^

22.

若当①一0时,人+2xi+3r,与ʃ是等价无穷小，则常数A=()

A.0B.1C.2D.3

23.

过点AO(2∙0,-1)•且垂直于平面N—2V+3s+2=0的直线方程是()

A=ɪ=£±1B=:ɪ=Z-1

1-23-12-3

∙r+2ɪ≡一12_+_1

cr=-=D.i⅛==ɪ=

∙^^12^~3~一ɪ2-3

24.

极限Iim2∙rsin—=()

r→J-

A.6区3C2D.0

25.

CJT2-1,才V0,

/3=1lim∕X,r)存在，则a=()

12彳+0•.z∙>0.3

Λ.一1B.0C.1D.2

26.

函数Λχ)s=χ-士3/-的极值点的个数是（)

2

A.0B.1C.2D.3

27.

.已知曲线∕Q∙)=M与g(.r)=・/.当它们的切线相互垂直时.自变量.r的值应为

28.

交换二次积分次序［dyjj∕(H.Wd∙r=

A.Jdzʃ7(*,y)d.yB.ʃɛdɪ^f(ɪ^)d^

C.JD<1ΓJf(τ,y)dyD.［dj∫'jQ,y)dy

29.

已知当.rfO时∙2—2cosʃ~ar2,则a的值是()

A.1B.2CɪD.-1

30.

极限Iimln(M+a)Tna•=J,α>0.则α的值是()

LOX

；

A.1B.

C.2D.√2

二、填空题(20题)

微分方程Λ'y,--3y=ʃ2的通解为_______________.

31.

32.

函数/(ʃ)=M—X--2在区间［0.2］上使用拉格朗日中值定理时.结论中的

33.

已知/(z)=J若函数/(i)在∙r=1处连续，则ɑ

Ilnʃ,ʃ≥1.

微分方程`a'-3y=ʃ2的通解为^

34.'--------------------------

设/(z)=√ei-+1.则J,rCi)=

35._____________________

曲线在Y=r¾-在(2∙2)点处的切线方程为

36.1+ʃ

ln1+

r(⅛).

XT8areeotʃ

37.____

'111「201.

二阶方阵/满足4=.则l4.

121111

38.ljlj=

39.

设函数f(x)在区间(-8,8)内连续，并且［/。)山=5乂3+40,(C为某个常数)

Xf(x)=∙C=•

lim(√r?,÷1—4n)x/n—\=

40.—

莒，一1≤]VO,

设/（]）=，2,O≤N∙≤1,则/（O）=.

ʃ—1,IV/V3,

41.

42.

（0,ʃ<Ot

设连续随机变量X的分布函数为FQ）=JAr2.0≤j∙<1,R∣JA=

1,a∙≥1,

43微分方程k'=VIny的通解为ʃ=.

将/(x)=L展开成x-l的第级数，则展开式为

44.X

设函数/（ʃ）=4w+],贝U/[/（/）—1]=

46已知函数/(〃)=xfii,u=1—Cosr•则复合函数/(ʃ)=

（X=t-YSin

曲线1在点％=O处的切线方程为___________

47.V=3e<

48.

已知函数f(x)=ɪnʃ为可导函数•则/(ʃ)在点I=1.Ol处的近似值为.

49.已知事件满足P(AB)=P(式巨).且P(A)=0.4.则P(B)U

dx

5o交换累次积分的积分次序：fE"xj)dy=.

三、计算题(15题)

COon

求级数Z-Xn的收敛半径和收敛域.

51.“0八+1

52.

2

设函数Z=/(ʃ-3-,y-工)，其中函数/具有二阶连续偏导数,求鲁.

∂χdy

53判定级数与(舟)的敛散性.

求吧ɪn(l+ʃ).

54.

55.

dτdy.其中D为圆/+y?=1及/+必=9所国成的环形区域.

56.

1-eosɑɪ

ʃ<O,

X2

1,

设/(N)=<“在r=O处连续,试求常数0,6.

丁

6sinτ+cos/2ck

Jo

，ʃ>O

I

57.

设Λ,=/(1)是由方程σr>,+j;ln.r=sin2.r确定的隐函数.求史

CLr

计算定积分

58.

fdi

59Jʃlnʃlnlnʃ"

60.

试确定曲线f(x)=axi+bx2+cx+16中α,b,c,使得曲线在x=-2及x=4处有

水平切线，且点(1,-10)在曲线上.

ðɪ.求微分方程y÷y-2y=1%，的通解.

62.

设2=y∙z(y)1Zg(D其中/«)")分别为可微函数.，啮奈

求定积分(①+，2a—)dʃ.

63.JoV'

64.

fl7-I11

(2O-1]

设A=.β=423.C=-23.计算ar+(AB)。

132

O1JO2

65.

22

已知y=ɪn(l+ɪ)+sin(2JC+2,)，求dy.

四、证明题（10题）

并由此证明］」一=L

的麦（马）克劳林展开式,

≈（«+1）!

求由抛物线y=1—〃及其在点（1,0）的切线和y轴所围成的平面图形的面积.

68.

证明不等式：彳>0时J+*n(w+√1÷.r2)>√l÷τ2.

69.

设ʃ(ɪ)在区间[0,用上连续，证明：「/(√)dx=2p∕(x2)dr.

J—0J0

设0V“≤〃・证明不等式与里≤In2≤匕幺

70.ba

71.

已知方程ʃɪɪ一以一X3+==0有一正根才=1.证明方程ILrK）-7χt-3√+1=0

必有一个小于1的正根.

72.

设“>>O,利用拉格朗日中值定理证明：纥心≤In9≤三a.

abb

证明不等式：当w>；时,e>ι>2工

73.L

证明：IXG(Oj)时，(1+x)ln2(l+x)<X2.

74.

75证明：当OVz≤式时，∕sinzI2cos∕<2.

五、应用题(10题)

平面图形。由曲线)=石♦直线),=①-2及N轴所围成.

(1)求此平面图形的面积；

“(2)求此平面图形绕了轴旋转一周而成的旋转体体积.

76.

77.

将长为。的铁丝切成两段L段围成正方形,另一段雕圆形洞这两段帙丝长各是多

少时.正方形与圆形的面积之和最小？

78.

某公司有50套公寓要出租.当月租金定为2000元时,公寓会全部租出去，当月租金每

增加100元时•就会多出一套公寓租不出去，而租出去的公寓每套每月需花费200元的维修

费.试问租金定为多少可获得最大收入？最大收入是多少？

79.

由曲线y=Q-l)Q-2)和工轴围成一平面图形,求此平面图形绕y轴旋转一周所

成的旋转体的体积.

80.

曲线？=工3（工＞0）,直线Hrry=2以及3轴围成一平面图形D,试求平面图形D绕

5∙轴旋转一周所得旋转体的体积.

81.

设某产品的需求函数为Q=200-4p,其中P为价格，。为需求量，求边际收入函

数，以及0=50和100时的边际收入，并解释所得结果的经济意义.

82.

曲线.y=J∙3（H2O）,直线=2以及、轴围成一平面图形D.试求平面图形D绕

3,轴旋转一周所得旋转体的体积.

83.

用薄铁板做一体积为。的有盖圆柱形桶，问桶底直径与桶高应有怎样的比例，才能

使所用材料最省.

立某产品的成本函数：

e（ʃ）=-ɪ-ʃ2+6ι+IOO（元/件）

销售价格与产品的函数关系为=-3p÷138

（1）求总收入函数R（H）;

（2）求总利润函数/ʌʃ）;

（3）为使利润最大化，应销售多少产品？

14）最大利润是多少？

85.

某工厂按现有设备每月生产X个商品，总费用为25+x+（万元）.若将这些商

4

品以每个11万元售出，问每月生产多少个商品时利润最大？最大利润是多少？

六、综合题(2题)

标平面图形D的面积；

86.

已知函数/(ʃ)=zr~r+⅛∙

(D求/Cr)的定义域；

(2)判断函数/Q)的奇偶性；

(3)证明：当7>1时/(/)一2,VO恒成立.

87.

参考答案

1.C

C

【评注】根据连续定义，可知极限值=函数值，Iime2x=l=lim(α+x)=α,所以

x→0^x→0ψ

a≈∖.

2.D

【精析】A、B项均为条件收敛;C项中Iimɪ=1≠0,发散；D项中

-PnI1

H9-A.O-9

∑(-1尸仔)=∑(J,)为等比级数,公比L当Vl,收敛,故D项绝对收敛.

3.A

［答案1A

【精析】设飞机被击中为事件A,则

F(A)=0.3×0.6+0.7×0.4+0.3×0.4=0.58.

或P(A)=1-0.7×0.6=0.58.

4.D

［精析］Iim/Qb+人)一/(工。)+八小)一/(*-3∕ι)=∣jm/5+1)-/(*)+

Λ→0hΛ→0h

3Iim八"一吗「八’?)=4/(Z0)=-12.故应选D.

Λ→0—oh

5.A

【精析】dy=dQcos(sinʃ)］=一sin(sinʃ)eosʃdʃ.

6.A

L答案」ʌ

【精析】要使函数有意义•则须一1≤才一2≤1.即1≤.r≤3.故函数的定义域为U4」.

7A【解析】当/+J≤1时，In。+/+/)V/卜丁故选A.

/,r∖

8.C

【精析】然/⑴Uir=一+C两姗1求导得,/⑴F=F微/⑴二

T

［≡M

I

9.C

【精析】由@十业=O,得必∙=-匕,分离变量得一ʃdʃ=>dy.

yXy.T

2

两边积分,得+C1=9,即/+V=C为原微分方程的通解，故应选C.

10.B

［答案］B

【精析】原式=—［―eos(sinʃ)2］∙(sinʃ)'=COS(Sini)?CoS.τ,应选B.

11.B

［答案］B

【精析】P(A)=0.5.P(BIA)=窄黑=0∙8,所以P(AB)=0.4.则P(AUB)=

P(A)+P(B)-PGlB)=0.5+0.6-0.4=0.7.故选B.

12.C

［答案1c

【精析】函数的极值在驻点或导数不存在的点处取得3=11I在1=0处取得极小

值,但在该点导数不存在.A项不正确：_r=O是）=r3的驻点.但不是极值点.故B项

不正确；C选项正确.

［答案］B

2-J2≥().

【精析】由题可知

1...ʃ-2解得一l≤∙r≤√z

ɪ∙¾:Q1♦

【评注】^-=exy-y,所以包

（10）=°，所以选B.

14.BSXdx

15.A

【精析】由于/O=ln(3z24-Ddz=—ln(3/2+1)d∕.

J-rJO

所以/(ʃ)=-In(ɜʃ2+1),/"(1)=~ln4=-2ln2.故应选A.

16.D

【精析】∣cosj∕(l-2siιu∙)dj∙ɪ--ɪ-/(l-2siιιr)d(l-2sinj)=-^-∕(l-2siar)÷C.

JLJL

17.D

【精析】1+ɪ)]=1—ln2.

„I211

【精析】2（5）=2与为2=2的。级数.故选D.

1\/Jt-I"

CD解：由题意画出积分区域如图:故选B.

20.C

21D【精析】两边同时求导，得/(ɪ)=(ʃ+DeL故选D.

22.B

kx

【精析】Iim+2>+3〉=1∙mA+"+9/=R=1.故应选B.

j→QJC,r→(∣ɪ

23.A

L答案」A

【精析】由题意可知平血的法向位为〃(1.2.3).因直线与该平面垂宜.故该宜我的

方向向量可取S-(1∙—2.；§)•乂该直线过点打¢2.0.一13故所求直线方程为工，

yzI1

≡I3'

24.A

3

ɔSIn—

【精析】Iim2ιsinJ=Iim—÷ɪ-•6=6.

.f→ʃA-*3

T

25.A

L答案」A

【精析】由于Hπ√3存在.则liπ√(∙r)-lim∕(∙r).由题可知Iimf(存Iim(M-I)--I.

LOk(τk犷D-D一

Iim/(Jc)=Iim(ZJC∙a)=U,故a--1.

>ε-*0+

26.C

C

【评注】r(χ)=>j=,x=i为驻点；X=O为不可导点,函数/(x)在X=I与X=O

处左右单调性均改变，所以函数有两个极值点.

27.B

［答案］B

【精析】/(ʃ)=2∕∙g'Q)=3/,两曲线的切线相互垂直♦即

28.D

［答案］D

【精析】如图所示.积分区域可表示为J交换积分次序后积分区域可表

≤j≤7y∙

fθ≤ʃ≤1.rir√?fiρ

示为1,故可得d.vjf(x,y)dx=jCLrJ?/(ɪ,j)dy.

Iʃ-≤y≤彳，

［答案］A

J_二

【精析】Km2-2*=Um'(1一。。丫):2［而T=1,故“=1.

I-Ha.r^j-Oar-a，・“.r-a

30.C

［答案］C

【精析】IimInQ+。)—lnα=+")=J_=5.故)=2.所以选C

LOʃLoXaL

一∙a

a

31.

y—Cr3一ʃ2

【精析】方程化为y'--.y=ʃ,p(ʃ)=——,Q(j)=ʃ.

XX

y=e∫^dz(J①e~^+C)

*

=e3lar(WeTardl+C)

,r1

=ʃ3(­dʃ÷C)=Cr3—ʃ2.

32.

,［答案］1

【精析】由拉格朗日中值定理.知

/，(E)=/⑹一/((，)=/⑵一/(O)

b—a2

_0—(-2)=1

1∕z(G=21-1，当工=1时，有/'(1)=1,故S=1.

33.1

【精析】Iini/(ʃ)=Iirn(I—〃)=1—a,Iim/(ɪ)=Iimlnʃ=Inl=0=/(I),由

,r-*l.r-*lJfl,r-∙I

/(ʃ)在工=1连续，得1一a=0.即a=L

34.

y=Cr3-xz

【精析】方程化为“一口=才,尸（.=一,。父）=才,

y=e∫^dτ(］\"一」di+C)

=e31lιr(IeTInZdi+C)

=I,(J^⅛d∙τ÷C)=Cr3-ʃ2.

35.

［答案］ie-1

,i1

je-ι【精析】√"(z)=2ze'+de"i.故/"(i)=2ie—ie'=ɪeL

36.

_1,4

yy+w

33

【精析】.所以k又因为过点(2.2),

(1+ʃ)2(1+ʃ)2

所以切线方程为y=S+]

ɔo

37.1

In/1÷ɪʌ—1

一√

【精析】Iim----------=Iim——----------Iim-----1--=1.

ʃT8areeotʃʃ∙*+°°areeotʃ'-*÷∞

^l+x2

2

11..20

【评注】M=I.∙.∣∕1∣=2.

121

38.2

39.

15X2,-2

【评注】方程两边对X求导数得/(x)=15∕,代入原方程得

23

p5∕d∕=5x+40,或5也=5/+40,即5X3-5C3=5X3+40.解得c=-2.

40.

T

〃+1-〃

Iim(+1-5)∖/n—1=Iim•Jn—1

ff-→<X>Fj-»00+1+G

41.

2由/(ʃ)的表达式可知，当①=O时・八0)=2.

42.1

【精析】IIIF(,r)的连续性.有IiInF(.Q="(1).即IimArz=1.得ʌ=]

Λ,-∙lZ-*l

43.

eCx

0

【评注】分离变量得：一生一=如，Inlln>>1=InIxI+C1>Λʃ≡e.

ʃlnʃX

44.

£(Ty(XT)",其中0<x<2

W=O

11®1

【评注】因f(x)=-==y(-i),,(x-ιy,从而将/a)=一展开成％-1的幕级

XI-(I-X)方X

数，当∣1-Λ∣<1时级数收敛，解得0<x<2.

45.

lβ,r+1

[答案116才+1

【精析】/-Ey(J∙)-Ij=/(4j∙÷1-1)=f(4x)=4∙4x÷1=16Jf+1.

46.

√f1—cos.r.

,

由题有/(“)=y∕u.U=1—eosʃ.则/(.r)=/(u(ʃ))=√M(.Z)=√1—COS.Z'.

47.

-j-ʌr—?+3=O

【精析】累L=I⅛=*当-。时，L3,则切线方程为，=fɪ+3.

48.

0.01

【精析】由/(ʃo+ʌʃ)Q/(ʃo)+/“(才0)ʌʃ•故/(l+0.Ol)/(1)+1)∙O.Ol=

Inl+(ɪI=J∙0.01=0.01.

49.0

[答案10.6

【精析】P(.4B)=P(AB)=P(AUB)=I-P(AUB).乂P(A∪B)=P(A)+

P(B)—P(AB).所以P(A)+P(B)=1.所以P(B)=I-P(A)=1-0.4=0.6.

50.

W/,加

51.

解:这是标准的嘉函数，收敛半径R=L,

P

而P=Iiml/=IimjHL."1]=3IimKtI=3,故收敛半径R=L

…α"Λ→X^W+23Λ)Λ→B0W+23

当X=L时级数为中一这是调和函数，发散，

3⅛M+1

当X=-J时级数为中且匚，是交错级数，满足莱布尼茨定理条件，收敛，故所给级

3Zo«+1

数的收敛域为LIL35I3Y；

52.

【精析】*=八∙2ι一/‘2，

a：；,=∙(D÷∕*i2,2刊-LAi(―D+/Z∙2y]

v,

=-2xfil-(4卬+1)∕,2-2yf∖Afiz=∕21).

53.

【精析】(WaT)"=Tv(/)”,又级数百廿『为q=/Vl的几何级

数，收敛,

故由比较审敛法知之(而言，也收敛.

54.

［格析］原式=Iim=IimIn(I")一・

χ→oɪln(l÷X)ʃ*

----------1

,.I-X∣.-11

=⅛-2^---------⅛2ατT)=--2∙

55.

【精析】画出区域D如图所示，由积分区域的对称性及被

积函数关于1轴和》轴都是偶函数,故有

其中D为区域D在第一象限的部分,即

i

D1={(χ,y)I1≤χF√≤9,x≥0,j≥0}.

利用极坐标变换，"可表示为O≤0≤手，1≤r≤3,故

(rcos∕?)2∙rdr

r3dr

=20∫;LM2?此

=20∙}(6+∙^sin26

=5w.

因此=420π.

DDj

56.

【精析】由f(∙r)在R=O处连续，则lim∕(∙r)=Iim/(ɪ)=/(O).

.r-∙υ.—J-O、+

1_J"(g"1

BPIirn-----=Iim---------------ɪ----=­a~=1•得〃=±√r2.

」一)Xl,→()ʃ乙

6sin.r÷cos/'d/

Iim------------------------=Iim(fteosʃ+eosʃ^)=〃+1=1.得〃=0.

D+ʃLt)+

57.

【精析】两边同时对才求导•得

ejrjr(3>+xyf)+上+y'Ini=2COS2JΓ,

∣∣1∣∣，=2wcog∙—QeQ一—

x2e^+ʃlnʃ

58.

【精析】令Jr=Sin,.da^=cosrdr.则

59.

dτ]

d(lnlnɪ)=Inlnlnʃ÷C.

ʃlnʃlnlnʃInlnʃ

60.

解：∕,(x)=30x2+2fex+c.又•.•/(-2)=/'(4)=0且(1,-10)点在曲线上,

12。-4b+c=0,

48α+8⅛+c=0,解得α=1,6=-3,c=-24.

(a+6+c+16=-10,

61.

【精析】对应齐次方程的特征方程为r2+r-2=0,

特征根为r1=-2,r2=1,

对应齐次方程的通解为Y=Ge-2,+GeJ

入=—2是特征单根，故设原方程的特解为=Are-2",

j

3)'=(A-2AcL,(,y∙Y=(-4A+4Aι)e-S

代人原方程得A=-I

ɔ

即原方程的一个特解为y=——1ʃeTr.

ɔ

从而原方程的通解为N=GeF+Qe，一黄e汽

62.

z,

【精析】∣+g(f)+^(7)(^)

*仔口仔)7♦”介

7f)β(^7)+v(⅛)∙⅛

=伸U，,/信)+g'(D

63.

-2_________•2r2_________

(ʃ+χ/2J—a:2)dʃ=N也+χ/2JC—X2dʃ

«0*0Jo

22r2

ʒ--√rl—(1—.r)2d(1—ʃ)

ZoJ0

c2_______________

=2-√1-(1--Λ)2d(l-ʃ)

J0

令/=1—ɪrɪ

----------2+√1—∕2d∕

J—1

=2+(ɪaresinz+fk)L=2+5∙

64.

17-1

20-1014-3

【精析】AB=423=

132171310

1201

017

(AB)7=1413

-310

17

BC=42

20

-1337

BC1(AB)丁=1429

—114

65.

【精析】dy=[Ind+ʃ2)+sin2(2?+2')]'dr

=-2~r-clr+2sin(2,r+2,)CoS(2z+2r)(2+2'ln2)dι

1+z'

+(2+2'ln2)sin(4∙z+2f)]cLr.

1+ʃ-

66.

,2

1d1xx3XΛ]

证明：f(x)=--(ex-l)=—ʌl+x+-+-----F∙∙∙d------1∙∙∙∙-11

dxxdx2!3!M!J

=A1+3XX,212^-X2+•••+TXl+…

∙^∙.・.,-^∙...=-I—x+x∈(-oo,+oo).

dx(2!3!〃！2!3!4!w!

123

由上展开式知/⑴=，+勺+1+…+-------十・•・=7----------

5+1)!tf(w÷l)!

▽由〃、d(e*-l)ezx-(ex-l)-ljf

又由/(X)=石匕J=~√一(x-l)e+l

r,得/Q)=1>故有£G：“=L

67.

【精析】由题意知，抛物线在点(1.0)处切线的斜率/=y'∣=—2/=-2.

I(i.o>I(1.0)

故切线方程为了一0=—2(H-I),即y=—2工十2,易知切线与》轴交点为(0,2),故

所求面积

S=[[-2z+2-(1-ɪ2)jdɪ=f(x?-2N十1)dʃ=f=-ɪ-.

J0J0303

68.

【证明】令f(ʃ)二1I.rlɪi(ʃI∖/1∙.r2)—√zlIʃ2.

1I——二

f'(.z∙)=ln(.z'∙y/l^^I.r')(ʃ•------=~,∣'Jr----------=In(ʃf>∕1-J.r2).

.r∙J∖^~■.r~2√fJ^^I.r2

当才时∙∕(-r)与0,故函数/(r)在(0.t工)上单调增加.

则有/(ʃ)>ʃ(θ)=0.即1+ʃln(ʃ+√Γ+7r)>√1+.τ2.得证.

69.

【证明】PIf(.x2')dx=f0/(√)dʃ+[f(j∙2)cLr,

J-aJ-aJO

令ʃ=—t.则

f0/(xz)dx=ʃ∕L(-z)23d(-r)=—ʃf(F)df

/(Z2)d∕=f(jc2)dʃ.

2

则]/(x)djr/(ɪ2)cLr÷/(ɪ2)dʃ=2/(ʃ2)dʃ.

70.

71.

【证明】令/(ʃ)=ʃ"-X7-13+1则根据题意可知JX1)=0.

因为/(ʃ)在［0.1］上连续.在(OJ)内可导•且/(O)=/(1)=0.

故由罗尔定理可知(0.1).使得/'(。=O,即11£°-7:一3$+1=0.

故方程llʃ*0-7√-3√+1=0必有一个小于1的正根.

72.

【证明】当a=〃时,不等式明显成立.

当a>/>时,不等式等价于工≤匣二理≤1,

aa-bb

构造函数,f(∙r)=lnʃ,∕y(x)="ɪ",当a>6>0时,∙τ∈(.b,a'),fr(x')>0,∕<x)为

增函数，

又/(才)=In］在上连续.且在(以〃)内可导.则根据拉格朗日中值定理.在(〃,a)

上存在一点已使得/'(£)=&一=®二手=ɪ.

a-粤Oa-Oξ

所以相当于要证明L≤4≤，又OVbVEVa,所以

aξD

有L<4=皿二乎V即不等式成立.

综上a≥6>0时，纥心≤In：≤三二2

abb

73.

【证明】构造函数/(.r)e"-2八在!_4.I)上连续./(#=2ei≈ι-2.

当.r>」时./(,r)>O/(.r)在(4∙T工)上单调增加.

即/(.r)∕∕(})=0.即当时.e->2x.

74.

t证明】令函数f(x