高二数学两个基本计数原理2

1.1两个根本计数原理

问题一：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，一天中，火车有3班，汽车有2班．那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？解：因为一天中乘火车有3种走法，乘汽车有2种走法，每一种走法都可以从甲地到乙地，所以共有3＋2＝5种不同的走法。

分类计数原理又称为加法原理。

分类计数原理完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2种不同的方法，…，在第n类方式中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法。

问题二：从甲地到乙地，要从甲地选乘火车到丙地，再于次日从丙地乘汽车到乙地。一天中，火车有3班，汽车有2班。那么两天中，从甲地到乙地共有多少种不同的走法？

这个问题与前一个问题有什么区别？

在前一个问题中，采用乘火车或汽车中的任何一种方式，都可以从甲地到乙地；而在这个问题中，必须经过先乘火车、后乘汽车两个步骤，才能从甲地到乙地．解：因为乘火车有3种走法，乘汽车有2种走法，所以乘一次火车再接乘一次汽车从甲地到乙地，共有3×2＝6种不同的走法。

分步计数原理完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2

种不同的方法，…，做第n步时有mn种不同的方法。那么完成这件事共有

种不同的方法。

分步计数原理又称为乘法原理。分类计数原理(加法原理)中，“完成一件事，有n类方式”，即每种方式都可以独立地完成这件事。进行分类时，要求各类方式彼此之间是相互排斥的，不管那一类方法中的哪一种方法，都能独立完成这件事。只有满足这个条件，才能直接用加法原理，否那么不可以。分步计数原理(乘法原理)中，“完成一件事，需要分成n个步骤”，是说每个步骤都缺乏以完成这件事。如果完成一件事需要分成几个步骤，各步骤都不可缺少，需要依次完成所有步骤才能完成这件事，而各步要求相互独立，即相对于前一步的每一种方法，下一步有m种不同的方法，那么完成这件事的方法数就可以直接用乘法原理。例1、某班共有男生28名、女生20名，从该班选出学生代表参加校学代会。〔1)假设学校分配给该班1名代表，有多少种不同的选法？〔2〕假设学校分配给该班2名代表，且男女生代表各1名，有多少种不同的选法？

应用这两个原理的关键是看完成这件事情是“分类”还是“分步”。

例2、在下面两个图中，使电路接通的不同方法各有多少种？（1）AB（2）BA例3、为了确保电子信箱的平安，在注册时，通常要设置电子信箱密码。在某网站设置的信箱中，〔1〕密码为4位，每位均为0到9这10个数字中的一个数字，这样的密码共有多少个？〔2〕密码为4位，每位均为0到9这10个数字中的一个，或是从A到Z这26个英文字母中的1个。这样的密码共有多少个？〔3〕密码为4到6位，每位均为0到9这10个数字中的一个。这样的密码共有多少个？例4、〔1〕4名同学选报跑步、跳高、跳远三个工程，每人报一项，共有多少种报名方法？〔2〕4名同学争夺跑步、跳高、跳远三个工程的冠军，共有多少种可能的结果？

例5、某中学的一幢5层教学楼共有3处楼梯，问从1楼到5楼共有多少种不同的走法？

例6、有n个元素的集合的子集共有多少个？1.1两个根本计数原理〔二〕

什么是分类计数原理？

什么是分步计数原理？

应用这两个原理时应注意什么问题？

例1、要从甲、乙、丙三名工人中选出两名分别上日班和晚班，有多少种不同的选法？

例2、某艺术组有9人，每人至少会钢琴和小号中的一种乐器，其中7人会钢琴，3人会小号，从中选出会钢琴和会小号的各一人，有多少种不同的选法？

例3、用红、黄、蓝不同颜色的旗各三面，每次升一面、两面、三面在某一旗杆上纵向排列，共可以组成多少种不同的信号？例4、〔1〕8张卡片上写着0,1,2,…,7共8个数字，取其中的三张卡片排放在一起，可组成多少个不同的三位数？〔2〕4张卡片的正、反面分别写有0与1、2与3、4与5、6与7，将其中的3张卡片排放在一起，共有多少个不同的三位数？

例5、自然数2520有多少个正约数？

例6、书架上原来并排放着5本不同的书，现要插入三本不同的书，那么不同的插法有多少种？；彝祖芯方彝族芯方psz72ntr出来。耿英说：“李叔叔来了！这水缸是我让哥哥悠出来的，好晒水洗衣裳啊！台阶下就是水井，厨房里不需要这口大水缸的。”李老乡说：“噢，是这样，你们现用现打就行了。这口大水缸是房东的女儿女婿为他们 放的。他们年纪大了，得女儿女婿为他们隔两天打一次水存放在水缸里。你们悠出来晒水洗衣裳，倒也是个不错的主意呢！”又问：“怎么样，这院子还好住吧？”耿直抢着说：“李叔叔，忒好住了，不但需要什么有什么，而且我们没有想到的也都有了！”耿英也说：“就是！李叔叔，这个小院儿真得非常好，我们根本就没有想到，居然能租到这么好住的独户小院儿！”李老乡欣慰地笑了。耿正问：“李叔叔，这个小院儿的租金应该不会低吧？我们得交给房东，并且感谢他为我们准备了这么方便的生活条件！还有，您和婶子为我们清扫得这么干净，还准备了那么多东西，我们也得……”李老乡赶快打断耿正的话，连声说：“好啦好啦，正侄儿你听我说，这个小院儿的租金也没有多少，一个月只半两银子而已。第一个月的租金我已经预交了。以后嘛，每个月的最后一天交给房东就行。到时候我带你们去吧，是老俩口。这个院子原本是他们自己住的，一月前才搬到女儿家去。他们年纪大了，女儿不准备再让他们单独居住，这才想起来把整个院子租出去的。他们的女儿家是我的邻居，平时相处得挺好的。我告诉他们，是我的老乡们要住的，他们当然就不会提出来要多少租金了，还说权当是为他们看守院落也就是了。他们家的典当行生意做得满好呢，本不差这几个小钱儿的。至于我和你们婶子为你们做的，以后不准再提了。是叔把你们叫来的，理应帮助你们安排下来嘛！”见李老乡说得如此诚恳，耿正兄妹三人也就不好再说什么了。耿正笑着说：“那就听李叔叔的安排吧，我们以后合作的日子还长着呢！咱一定会合作得很好的！”李老乡快乐地说：“这就对了！咱们走吧，简单的接风洗尘饭菜都准备好了，你们婶子和娃娃们在家里等着呢！我已经把骡车赶过来了，咱们坐车去！”耿英说：“李叔叔，怎么还用坐车去，远吗？”李老乡说：“在城东，有一段儿路呢！咳，咱们要在杭州本地开铺子了，这以后啊，骡车就没有多大的用处喽。所以啊，我准备连骡子带车都处理掉得了，省得再照顾这头大牲口。不过啊，在处理掉之前，还得