2023年山东省济南市钢城区中考数学一模试卷(含答案)

2023年山东省济南市钢城区中考数学一模试卷

一、选择题（本题共10小题，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记

零分，共40分）

1.（4分）-2的绝对值是（）

A.-2B.2C.--D.ɪ

22

2.（4分）由五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从左面看该几何体的形状图是

（）

ZZ7

片—与

正面

.⅛

AB.——

c.⅛

D.——

3.（4分）下列数学曲线中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

6:

A.笛卡尔心形线B.卡西尼卵形线

O

C.N-----------H赵爽弦图D.、一/费马螺线

4.（4分）如图，三角板的直角顶点在直尺的一边上.若/1=30°,Z2=70o,则23的

度数是（）

1

一

A.30°B.40oC.50oD.60o

5.（4分）中华人民共和国第十四届人民代表大会第一次会议政府工作报告指出：2023年国

内生产总值预期增长目标5%左右，城镇新增就业1200万人左右，将1200万用科学记数

法表示为（）

A.12×IO6B.1.2×IO7C.1.2×IO8D.0.12×IO8

6.（4分）下列计算正确的是（）

A.4a-2a—2B.a8÷a4=za2C.a2ai=a5D.（⅛2）3=⅛5

7.（4分）已知实数”,人在数轴上对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是（）

IqlII?IIIA

-3-2-10123

A.a+b>OB.ab>OC.（-α）+⅛<0D.∣⅛∣<∣α∣

8.（4分）“航天知识竞赛”活动中，获得“小宇航员”称号的小颖得到了A,B,C,。四

枚纪念章（除图案外完全相同），如图所示，四枚纪念章上分别印有“嫦娥五号”、“天问

一号”、“长征火箭”和“天宫一号”的图案.她将这四枚纪念章背面朝上放在桌面上，

然后从中随机选取两枚送给同学小彬，求小颖送给小彬的两枚纪念章中恰好有一枚印有

“嫦娥五号”图案的概率是（）

9.（4分）如图，在平行四边形ABS中，以点A为圆心，AD长为半径作弧交AB于点E,

再分别以点。，E为圆心,大于工OE的长为半径作弧，两弧交于点P,作射线AP交CQ

2

于点尸若A8=8,BF=5,则ABC尸的周长为（）

C.13D.14

10.（4分）若点P（x,yι）与。（x,”）分别是两个函数图象Ci与Ci上的任一点.当a

WxW6时，有-IWyL*W1成立，则称这两个函数在αWxW。上是“相邻函数”.例如，

点P（x,y∖）与0（方分别是两个函数y=3x+l与y=2χ-1图象上的任一点，当-

3≤JC≤-1时，yι-yι=（3x+l）-（2x-1）=x+2,它在-3≤x≤-1上，-IwyI-y2

≤1成立，因此这两个函数在-3WXW-1上是“相邻函数”.若函数y=7-X与>=以

在OWXW2上是“相邻函数”，求。的取值范围.（）

d

A.-3≤α≤1B.y≤a≤1C.a≥^^∙∙^^≤a≤∙^∙

二、填空题（本大题共6小题，只要求填写最后结果，每小题填对得4分，共24分）

11.（4分）因式分解：l-4y2=.

12.（4分）如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形构成，向游戏板随机投掷一枚飞

镖（飞镖每次都落在游戏板上），击中阴影部分的概率为

14.（4分）已知X=I是方程/-3x+c=0的一个根，则实数C的值是.

15.（4分）如图①分别以直角三角形的三条边为边，向形外分别作正三角形，则图中的Si,

S2,S3满足的数量关系是.现将B尸向上翻折，如图②，已知S甲=6,

Sz,=5,S丙=4,则AABC的面积是.

图①图②

16.（4分）如图，在菱形ABeD中，过点。作。LCD交对角线4C于点E,连接BE,点

P是线段BE上一动点，作P关于直线QE的对称点P,点。是AC上一动点，连接P'Q,

DQ.若AE=14,CE=I8,则OQ-PQ的最大值为.

三、解答题（本大题共IO小题，共86分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或推演

步骤）

17.（6分）计算:（π-1）0+4sin45o-√8+∣-3∣∙

（5x-2>3（x-l）

18.（6分）解不等式组X-11,并把解集在数轴上表示出来.

[-Γ<4-χ

19.（6分）如图，已知正方形ABCz）,「是对角线AC上任意一点，P不与A、C重合，求

20.（8分）为了解甲、乙两座城市的邮政企业4月份收入的情况，从这两座城市的邮政企

业中，各随机抽取了25家邮政企业，获得了它们4月份收入（单位：百万元）的数据，

并对数据进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息.

a.甲城市邮政企业4月份收入的数据的频数分布直方图如下：

（数据分成5组：6≤x≤8,8≤x<10,I0≤x<12,I2≤x<14,I4≤x<16）

b.甲城市邮政企业4月份收入的数据在IOWX<12这一组的是：1O.O,10.0,10.1,10.9,

11.4,11.5,11.6,11.8

c.甲、乙两座城市邮政企业4月份收入的数据的平均数、中位数如下：

平均数中位数

甲城市10.8m

乙城市11.011.5

根据以上信息，回答下列问题：

（1）甲城市抽取4月份收入数据在8Wx<10的有家邮政企业，并补全频数分

布直方图；

（2）写出表中机的值；

（3）在甲城市抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数

为pi.在乙城市抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个

数为P2∙比较pi,p2的大小，并说明理由；

（4）若乙城市共有200家邮政企业，估计乙城市的邮政企业4月份的总收入（直接写出

结果）.

21.（8分）脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活.如图①是政府给贫困户新建的房屋,

如图②是房屋的侧面示意图,它是一个轴对称图形,对称轴是房屋的高AB所在的直线.为

了测量房屋的高度，在地面上C点测得屋项A的仰角为35°,此时地面上C点、屋檐上

E点、屋顶上A点三点恰好共线，继续向房屋方向走8加到达点。时，又测得屋檐E点

的仰角为55°,房屋的顶层横梁EF=I2m，ET//CB,AB交EF于点GD,8在

同一水平线上）.（参考数据：sin35°=⅛=0.6,cos35°≈⅛0.8,tan350≡≡0.7,sin550≈⅛≈0.8,

cos55osa0.6,tan55oΛ≈1.4)

（1）求屋项到横梁的距离AG；

（2）求房屋的高AB.

22.（8分）如图，在AABC中，AB=AC,以AB为直径作。。与AC交于点E,过点A作

OO的切线交BC的延长线于点D.

（1）求证：ND=NEBG

23.（10分）端午节前夕，某超市从厂家分两次购进4、8两种品牌的粽子，两次进货时，

两种品牌粽子的进价不变.第一次购进A品牌粽子100袋和B品牌粽子150袋，总费用

为7000元；第二次购进A品牌粽子180袋和B品牌粽子120袋，总费用为8100元.

（1）求A、B两种品牌粽子每袋的进价各是多少元；

（2）该超市计划一次购进两种品牌粽子共300袋,且A品牌粽子的进货量不超过B品牌

粽子的2倍，则该超市应怎、样进货才能使总费用最低？

24.（10分）已知一次函数yι=工+2与反比例函数）2=上的图象交于A（2,机）、B两点,

2X

交y轴于点C.

（1）求反比例函数的表达式和点8的坐标；

（2）过点C的直线交X轴于点E,且与反比例函数图象只有一个交点，求CE的长；

（3）我们把一组邻边垂直且相等，一条对角线平分另一条对角线的四边形叫做“维纳斯

四边形设点P是），轴负半轴上一点，点。是第一象限内的反比例函数图象上一点，

当四边形4PBQ是“维纳斯四边形”时，求。点的横坐标XQ的值.

25.（12分）在aABC与DE中，连接DC,点M、N分别为力E和。C的中点，连接CE.

（1）【观察猜想】

如图①，若AB=AC,AD^AE,NBAC=ND4E=60°,MN与BD的数量关系

是;

（2）【类比探究】

如图②，若AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE=90Q,请写出MN与8。的数量关系

并就图②的情形说明理由：

（3）【解决问题】

如图③，ZBAC=ZDAE=90°,NHCB=∕4EO=30°,3AD=AB=6,将△4£）£：绕点

A进行旋转，当点。落在AABC的边上时，请求出MN的长.

26.（12分）已知抛物线y=αr2+fev+c与X轴交于A（-1,0）,B（5,0）两点，C为抛物

线的顶点，抛物线的对称轴交X轴于点£>,连接AC,BC,且tan∕C8O="，如图所示.

3

（1）求抛物线的解析式；

（2）设P是抛物线的对称轴上的一个动点.

①过点P作X轴的平行线交线段BC于点E,过点E作EFlPE交抛物线于点F,连接

FB、FC,求ABCF的面积的最大值；

2023年山东省济南市钢城区中考数学一模试卷

（参考答案）

一、选择题（本题共10小题，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记

零分，共40分）

1.（4分）-2的绝对值是（）

A.-2B.2C.-ɪD.ɪ

22

【解答】解：∣-2∣=2.

故选：B.

2.（4分）由五个大小相同的正方体搭成的儿何体如图所示，从左面看该几何体的形状图是

（）

∕ΣΣΛ

正面

【解答】解：从左边看第一层是两个小正方形，第二层左边一个小正方形，如图所示:

故选：C.

3.（4分）下列数学曲线中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A.笛卡尔心形线B.卡西尼卵形线

【解答】解：A.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意;

B.该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意;

C.该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意;

D该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意.

故选：B.

4.（4分）如图，三角板的直角顶点在直尺的一边上.若/1=30°,/2=70°,则/3的

C.50°D.60°

ΛZ2=Z4=70°,

:/4+/5=180°,

ΛZ5=180o-70°=110°,

VZl+Z3+Z5=180o,Nl=30°,

ΛZ3=180o-Zl-Z5=180o-30°-IlOo=40°,

故选:B.

5.（4分）中华人民共和国第十四届人民代表大会第一次会议政府工作报告指出：2023年国

内生产总值预期增长目标5%左右，城镇新增就业1200万人左右，将1200万用科学记数

法表示为（）

A.12×106B.1.2×IO7C.1.2×108D.0.12×108

【解答】解：1200万=12000000,

用科学记数法表示为1.2X107.

故选：B.

6.（4分）下列计算正确的是（）

A.4«-2a=2B.α8÷a4=α2C.α2α3=α5D.（序）3-b5

【解答】解：A中4“-2”=2α≠2,错误，故不符合要求；

8中错误，故不符合要求；

C中∕=q5,正确，故符合要求；

。中（庐）3-b6≠b5,错误，故不符合要求；

故选C.

7.（4分）己知实数4,6在数轴上对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是（）

IglII」IIIA

-3-2-10123

A.a+b>OB.ah>OC.（-«）+⅛<0D.∣⅛∣<H

【解答】解：A.由数轴可知：-3Va<-2,0<⅛<l,可得-3<α+∕><-1<0,故A

选项不符合题意.

B.由数轴可知：-3Vα<-2,0<⅛<l,可得必<0,故B选项不符合题意.

C.由数轴可知：-3<a<-2,0<⅛<l,可得2<-aV3,可得0<2<（-«）+h<4,

故C选项不符合题意.

D.由数轴可知：-3<α<-2,0<b<∖,可得2<∣α∣V3,0<∣⅛∣<l,BP∣⅛∣<∣α∣,故。

选项符合题意.

故选：D.

8.（4分）“航天知识竞赛”活动中，获得“小宇航员”称号的小颖得到了A,B,C,。四

枚纪念章（除图案外完全相同），如图所示，四枚纪念章上分别印有“嫦娥五号”、“天问

一号”、“长征火箭”和“天宫一号”的图案.她将这四枚纪念章背面朝上放在桌面上，

然后从中随机选取两枚送给同学小彬，求小颖送给小彬的两枚纪念章中恰好有一枚印有

“嫦娥五号”图案的概率是（）

A.嫦娥五号B.天问一号

C.长征火箭D.天宫一号

【解答】解：画树状图如下:

开始

共有12种等可能的结果，其中小颖送给小彬的两枚纪念章中恰好有一枚印有“A.嫦娥

五号”图案的结果有：AB,AC,AD,BA,CA,DA,共6种，

小颖送给小彬的两枚纪念章中恰好有一枚印有“嫦娥五号”图案的概率为且小.

122

故选：D.

9∙（4分）如图，在平行四边形ABC。中，以点4为圆心，AD长为半径作弧交AB于点E,

再分别以点E为圆心，大于工DE的长为半径作弧，两弧交于点P,作射线4P交CD

2

A.11B.12C.13D.14

【解答】解：由作图得：AP平分NA40,

：.ZDAP=ΛPAB,

在平行四边形43CD中，有AQ=BC,AB//CDfCD=AB=Sf

：.ZPAB=ZAFD=NDAF,

：・AD=DF=BC,

Λ∆BCF的周长为：BC+CF+BF=DF+CF+BF=CD^BF=AB+CD=13,

故选：C.

10.(4分)若点P(X,yι)与Q(龙，”)分别是两个函数图象CI与C2上的任一点.当。

≤x≤⅛∣⅛,有-IWyi-”WI成立，则称这两个函数在QgWb上是“相邻函数”.例如，

点P(X,yι)与。(冗，J2)分别是两个函数y=3x+l与y=2χ-1图象上的任一点，当-

3≤x≤-1时，y↑-y2=(3x+1)-(2x-1)=九+2,它在-3≤x≤-1上，-l≤yι-γι

<1成立，因此这两个函数在-3WxW-1上是“相邻函数”.若函数y=∕-χ与y=0r

在OWXW2上是“相邻函数。求〃的取值范围.()

A.-3<αWlB.∣<a<lC∙a>∣D,∣<a<∣

【解答】解：：函数y=∕-χ与尸以在OWXW2上是“相邻函数”，

构造函数y=x2-(«+])%,在0WxW2上-IWyWL

根据抛物线J=/-(α+l)X对称轴的位置不同，分四种情况：

y最小=o+o=o

y最大=4-2(a+l)≤1

解得：a^l,

2

，此时无解；

②当θwɪtlwi,即-IWaWl时(如图2),

2

y最小=2-(a+l)-^^≥-l

《乙乙,

y最大=4-2(a+l)<1

解得：-→≤a≤1,

③当IW史上W2,即IVaW3时(如图3),

2

y最小=2-(a+l)-^^≥-l

y最大=o+°=o

解得：-3WaW1,

此时无解；

④当2<Qλ,即a>3时(如图4),

2

'y最小=4-2(a+l)≥-l

,y最大二°

解得：4w3,

2

此时无解.

综上可知，若函数y=/-X与y=αx在OWXW2上是“相邻函数”，则α的取值范围为

故选：B.

二、填空题(本大题共6小题，只要求填写最后结果，每小题填对得4分，共24分)

11.(4分)因式分解：l-4y2=(l-2y)(l+2v).

【解答】解：1-4y2=M-(2y)2=(1-2y)(l+2y).

故答案为：(1-2y)(I+2y).

12.(4分)如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形构成，向游戏板随机投掷一枚飞

镖(飞镖每次都落在游戏板上)，击中阴影部分的概率为ɪ.

一3一

【解答】解：：总面积为9个小正方形的面积，其中阴影部分面积为3个小正方形的面

积，

.∙.击中阴影部分的概率是31.

93

故答案为：1.

3

13.(4分)方程的解为χ=5.

χ-3x+1

【解答】解：去分母得：x+l=3(χ-3),

去括号得：x+l=3x-9,

移项合并得：-2x=-10,

解得：X=5,

经检验尤=5是分式方程的解.

故答案为：x=5

14.（4分）已知X=I是方程/-3x+c=0的一个根，则实数C的值是2.

【解答】解：∙.”=1是方程f-3x+c=0的一个根，

Λl-3+c=0,

解得：c=2,

故答案为：2.

15.（4分）如图①分别以直角三角形的三条边为边，向形外分别作正三角形，则图中的Si,

S2,S3满足的数量关系是S1+S2=S3.现将AAB厂向上翻折,如图②，已知S甲=6,S

z=5,S丙=4,则AABC的面积是7.

图①图②

【解答】解：；/ACB=90°,

.∙.AC2+BC2=AB2,

V∕∖ACE,l∖BCD、Z∖AB尸是等边三角形，

ΛSi=^-AC2,52=近BC2,Si=J^-AB2,Sι+S2=近AC2+BC2)=®-A肉=Sk

44444

即51+52=S3;

设AABC的面积为S,图②中2个白色图形的面积分别为a、b,如图②所示：

;S∣+S2=S3,

∙*∙S甲+α+S乙+b=S丙+α+6+S,

：♦S∣∣∣+5乙=S丙+S,

∙*∙S-S∣∣ι+S乙-S丙=6+5-4=7；

故答案为：S1+S2=S3;7.

16.（4分）如图，在菱形ABCD中，过点。作。CD交对角线4C于点E,连接BE,点

P是线段BE上一动点，作P关于直线QE的对称点P,点。是AC上一动点，连接P'Q,

DQ.若AE=I4,CE=18,则QQ-PQ的最大值为_至返__.

【解答】解：如图，连接8。交AC于点0,过点。作。KLBC于点K,延长QE交AB

于点R,连接EP'并延长，延长线交AB于点J,作E/关于AC的对称线段E/',则点

P'的对应点P"在线段EJ'上.

当。，P",。共线时，QO-QP'的值最大，最大值是线段OP"的长，

当点P与B重合时，点P"与J'重合，此时OQ-QP'的值最大，最大值是线段D/'

的长，也就是线段BJ的长.

•••四边形ABS是菱形,

.∖AC±BD,AO=OC,

VAE=14.EC=I8,

：.AC=32,Ao=OC=16,

，OE=AO-AE=16-14=2,

'：DELCD,

.'.ZD0E=ZEDC=9Qa,

•：NDEo=NDEC,

：.XEDOsXECD,

：.D彦=EO∙EC=36,

：.DE=EB=EJ=6,

∙'∙CD≈VEC2-DE2^V182-62=12V2，

∙'∙0D=VDE2-OE2=Ve2-22=4&，

ΛθD=8√2,

「SgCB=LxOCXBD=工BC∙DK,

22

.0^16×8√2=32

12√23^1

•：NBER=NDCK,

32

sinZBER=sinZOCK=型=—¾=∙=全巨，

CD12√29

：.RB=BE义生巨~=登匣,

93

"：EJ=EB,ERVBJ,

：.JR=BR=®2,

3

：.JB=DJ'=Jg返

3_

.∙.QQ-PQ的最大值为工⅛善.

解法二:DQ-P'Q=BQ-FQWBP,显然P的轨迹EJ,故最大值为BJ.勾股得CD,OD.△

BDJSXBAD,BCil=BJ*BA,可得ɪ.

_3

故答案为：名互.

3

三、解答题（本大题共10小题，共86分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或推演

步骤）

17.（6分）计算：（n-l）0+4sin45o-√8+∣-3|.

【解答】解：原式=1+4X叵-2&+3

2

=1+2&-2√2+3

=4.

（5χ-2>3（X-I）

18.（6分）解不等式组χ-l/，并把解集在数轴上表示出来.

k<4-χ

5χ-2〉3（X-I）①

【解答】解:

⅛<4r②'

解不等式①得：x>-ɪ,

2

解不等式②得：xW3,

不等式的解集为：-i<x≤3,

2

在数轴上表示为：

IIII∣8∣III∣>

-5-4-3-2-4j_012345

~~2

19.（6分）如图，已知正方形ABCZλP是对角线AC上任意一点，尸不与A、C重合，求

【解答】证明：•••四边形ABco是正方形，

：.AB=AD,ZBAP=ZDAP,

Λ⅛∆ABP和AAOP中，

,AB=AD

-ZBAP=ZDAP.

AP=AP

Λ/∖ABP^∕∖ADP（SAS）,

.∙.ZABP=ZADP.

20.（8分）为了解甲、乙两座城市的邮政企业4月份收入的情况，从这两座城市的邮政企

业中，各随机抽取了25家邮政企业，获得了它们4月份收入（单位：百万元）的数据，

并对数据进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息.

«.甲城市邮政企业4月份收入的数据的频数分布直方图如下：

频数

（数据分成5组：6≤x≤8,8≤x<10,I0≤x<12,I2≤x<14,I4≤x<16）

b.甲城市邮政企业4月份收入的数据在IOWX<12这一组的是：10.0,10.0,10.1,10.9,

11.4,11.5,11.6,11.8

c.甲、乙两座城市邮政企业4月份收入的数据的平均数、中位数如下：

平均数中位数

甲城市10.8m

乙城市11.011.5

根据以上信息，回答下列问题：

（1）甲城市抽取4月份收入数据在8WxV10的有」家邮政企业，并补全频数分布

直方图；

（2）写出表中,〃的值；

（3）在甲城市抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数

为pi.在乙城市抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个

数为P2∙比较pi,p2的大小，并说明理由；

（4）若乙城市共有200家邮政企业，估计乙城市的邮政企业4月份的总收入（直接写出

结果

【解答】解：（1）甲城市抽取4月份收入数据在8Wx<10的有25-3-8-3-4=7；

频数

(2)将甲城市抽取的25家邮政企业4月份的营业额从小到大排列，处在中间位置的一

个数是10.1,

因此中位数是10.1,即ZM=IO.1；

(3)由题意得pι=5+3+4=12(家),

由于乙城市抽取的25家邮政企业4月份的营业额的平均数是11.0,中位数是11.5,

因此所抽取的25家邮政企业4月份营业额在11.5及以上的占一半，

也就是P2的值至少为13,

，pi<02;

(4)11.0×200=2200(百万元)，

答：乙城市200家邮政企业4月份的总收入约为2200百万元.

21.(8分)脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活.如图①是政府给贫困户新建的房屋,

如图②是房屋的侧面示意图,它是一个轴对称图形,对称轴是房屋的高AB所在的直线.为

了测量房屋的高度，在地面上C点测得屋项A的仰角为35°,此时地面上C点、屋檐上

E点、屋顶上A点三点恰好共线，继续向房屋方向走8〃?到达点。时，又测得屋檐E点

的仰角为55°,房屋的顶层横梁EF=I2,”，ET//CB,AB交EF于点GD,8在

同一水平线上).(参考数据：sin35°S«0.6,cos35°≈⅛0.8,tan350≡≡0.7,sin550≈⅛≈0.8,

cos55°≈0.6.tan55°≈1.4)

(1)求屋项到横梁的距离AG；

(2)求房屋的高AB.

【解答】解：（1）；房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高AB

所在的直线，EF//BC,

J.AGVEF,EG=工EF,/AEG=NACB=35°,

2

在RtZ∖AGE中，ZAGf=90o,NAEG=35°,

VtanZAEG=tan350=更二EG=6米，

EG

ΛAG=6×0.7=4.2（米）；

答：屋顶到横梁的距离AG约为4.2米；

（2）过£作£〃_1。3于"

设EH=X米，

在Rt中，NEHD=90°,ZEDH=60°,

YtanNfD//=里，

DH

.,.DH=——^―,

tan55

在RtZXEC”中，NEHC=90°,NECH=35°,

；tan/ECH=里，

CH

CH=——

tan35

-QH=CQ=8米，

；•――-—^=8，

tan35tan55

解得：XQll.2,

：.AB=AG+BG^11.2+4.2««15.4（米）,

答：房屋的高AB约为15.4米.

图②

22.（8分）如图，在4A8C中，AB=AC,以AB为直径作OO与AC交于点E,过点A作

。0的切线交BC的延长线于点D.

(1)求证：ND=NEBC;

(2)若CD=2BC,Afi=3,求。。的半径.

【解答】（1）证明：。与Oo相切于点A,

.∙.ND4O=90°,

ΛZD+ZABD=90°，

「AB是。。的直径,

ΛZAEB=90°,

ΛZBEC≈180o-ZAEB=90°,

J.ZACB+ZEBC=90°,

"：AB=AC,

：.ZACB^ZABC,

,ND=NEBC;

(2)解：".'CD=2BC,

：.BD^3BC,

∙.∙∕D4B=/CEB=90°,ND=NEBC,

：.MDABSl∖BEC,

•••B"D—一A"B'iɔ，

BCEC

：.AB=3EC,

∖9AB=AC,AE=3,

.∖AE+EC=AB1

:∙3+EC=3EC,

：・EC=I.5,

ΛAB=3EC=4.5,

.∙.0。的半径为2.25.

23.(10分)端午节前夕，某超市从厂家分两次购进4、B两种品牌的粽子，两次进货时，

两种品牌粽子的进价不变.第一次购进A品牌粽子1()0袋和8品牌粽子150袋，总费用

为7000元；第二次购进A品牌粽子180袋和8品牌粽子120袋，总费用为8100元.

(1)求A、2两种品牌粽子每袋的进价各是多少元；

(2)该超市计划一次购进两种品牌粽子共300袋，且A品牌粽子的进货量不超过B品牌

粽子的2倍，则该超市应怎样进货才能使总费用最低？

【解答】解：(I)A种品牌粽子每袋的进价是X元，B种品牌粽子每袋的进价是y元，

根据题意得，(ι°°χ+i5°y=70°°,

1180x+120y=8100

解得卜=25,

ly=30

答：A种品牌粽子每袋的进价是25元，B种品牌粽子每袋的进价是30元；

(2)设超市购进B种品牌的粽子,〃袋，A种品牌的粽子(300-∕n)袋，总费用为W元,

依题意，得W=25(30O-Zn)+30w=5∕n+7500,

V5>0,

W随胆的增大而增大，

V300-∕n≤2w,

Λ∕n≥100,

.•./”=100时，W有最小值，此时购进8种品牌的粽子100袋，A种品牌的粽子200袋，

W=5X100+7500=8000(元).

答：购进B种品牌的粽子100袋，A种品牌的粽子200袋，能使总费用最低.

24.QO分)已知一次函数yι=L+2与反比例函数>2=X■的图象交于A(2,机)、B两点，

2X

交y轴于点C.

(1)求反比例函数的表达式和点B的坐标;

(2)过点C的直线交X轴于点£且与反比例函数图象只有一个交点，求CE的长；

(3)我们把一组邻边垂直且相等，一条对角线平分另一条对角线的四边形叫做“维纳斯

四边形设点P是y轴负半轴上一点，点。是第一象限内的反比例函数图象上一点，

【解答】解：(1)；一次函数yι=∕x+2图象过A(2,m),

・

∙•机=*1X2+2=30,

ΛA(2,3),

：反比例函数”=K的图象过点A(2,3),

X

.∙.Z=2X3=6,

.∙.反比例函数的表达式为”=旦，

X

'1

yx+2

^^fx=2fx=-6

闻.解得/或，

yJ.ly=3Iy=-I

X

・・・3点的坐标为(-6,-1)；

(2)令X=0,贝!∣y=∕χ+2=2,

：.C(0,2),

设直线CE的解析式为y=αr+2,

由以+2=2整理得，ax1+2x-6=0,

X

・・・直线CE与反比例函数图象只有一个交点,

，Δ=22-4α∙(-6)=0,

・・〃=――,

6

.∙.y=--x+2,

6

令y=0,则X=I2,

.∙.E点的坐标为(12,0)

.∙.CE=√i22+22=2√37;

(3)如图，当NAPB=90°时，点B作BMLy轴于MAM_Ly轴于M,AB与PQ的交

点为力，PD=QD,

设Q(χ,A)设＞0),

X

：.D(Aχ,ɪ-ɪ),

2x2

:点。在一次函数yι=∕x+2图象上，

,3-3=工∙L3C+2,整理得/+14χ-12=0,

X222

解得X=闹-7(负数舍去)，

.∙∙Q点的横坐标XQ的值为闹-7.

25.(12分)在AABC与AAOE中，连接。C,点M、N分别为OE和。C的中点，连接CE.

(1)【观察猜想】

如图①，AB=AC,AD=AE,NBAC=N"4E=60°,MN与8。的数量关系是BD

=2MN；

(2)【类比探究】

如图②，AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE=90a,请写出MN与Bo的数量关系

并就图②的情形说明理由；

(3)【解决问题】

如图③，ZBAC=ZDAE=90o,/ACB=/AED=30°,3AD=AB=6,将AAOE绕点

A进行旋转，当点。落在aABC的边上时，请求出MN的长.

【解答】解：(1)连接CE,延长CE交AB于点。，交直线8。于点G,

图1

：点M、N分别为OE和。C的中点,

.∖MN∕∕CE,CE=2MN,

.-.NBPM=NQGB,

「NBAC=NZME=60°,

：.ZDAE-NBAE=NBAC-ZBAE,

即ND4B=∕E4C,

"：AB=AC,AD=AE,

,△ADBqAAEC(SAS),

.∙.ZDBA=ZECA,BD=CE=IMN.

故答案为：BD=2MN;

(2)BD=2MN.

理由：连接CE,延长CE交A