吉林省长白朝鲜族自治县实验中学2020-2021学年高二上学期第二次月考数学试卷

高二年级上学期第二次月考数学试卷一：选择题（每小题5分，12小题共计60分）1．下列说法正确的是（）A．有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱B．三棱锥的四个面都可以是直角三角形C．有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台D．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥2．某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是（）A． B．7 C． D．3．设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，且，（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则4．球面上有四个点，若两两垂直，且，则该球的表面积为（）A． B． C． D．5．在三棱锥中，已知所有棱长均为，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A． B． C． D．6．如图，点为正方形的中心，为正三角形，平面平面是线段的中点，则（）A．，且直线是相交直线B．，且直线是相交直线C．，且直线是异面直线D．，且直线是异面直线7．如图，在三棱柱中，M，N分别为棱，的中点，过作一平面分别交底面三角形的边，于点E，F，则（）A．B．四边形为梯形C．四边形为平行四边形D．8．直线的斜率为（）A． B． C． D．9．过直线和的交点，且与直线平行的直线方程是（）A． B． C． D．10．已知直线y＝2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线，若点A，B的坐标分别是(－4，2)，(3，1)，则点C的坐标为()A．(－2，4) B．(－2，－4) C．(2，4) D．(2，－4)11．直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是A． B． C． D．12．阿波罗尼斯是亚历山大时期的著名数学家，“阿波罗尼斯圆”是他的主要研究成果之一：若动点与两定点，的距离之比为(，且)，则点的轨迹就是圆，事实上，互换该定理中的部分题设和结论，命题依然成立.已知点，点为圆：上的点，若存在轴上的定点和常数，对满足已知条件的点均有，则（）A．1 B． C． D．二：填空题（每小题5分，共4小题20分）13．已知圆锥侧面展开图的圆心角为90°，则该圆锥的底面半径与母线长的比为________.14．如图，在三棱锥中，点，，分别在棱，，上，且平面平面，若，则与的面积之比为______.15．已知直线：与：垂直，则的值是__________.16．以点P（1，1）为圆心，且经过原点的圆的标准方程为____________．三：解答题（共计70分）17．（本小题12分）如图，在四棱锥QUOTE中，底面四边形QUOTE满足QUOTE，且QUOTE，QUOTE，点QUOTE和QUOTE分别为棱QUOTE和QUOTE的中点．（1）求证：QUOTE平面QUOTE；（2）求证：平面QUOTE平面QUOTE．18．（本小题12分）如图,直三棱柱中,分别为的中点.(1)证明:平面;(2)求与平面所成角的正弦值.19．（本小题10分）求两条垂直的直线和的交点坐标．求平行于直线，且与它的距离为的直线方程．20．（本小题12分）已知点，求：（1）直线的方程；（2）以线段为直径的圆的方程.21．（本小题12分）平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，.（1）求边上的高所在的直线方程；（2）求的面积.22．（本小题12分）养路处建造圆锥形仓库（无底）用于贮藏食盐（供融化高速公路上的积雪之用），已建的仓库的底面直径为，高.养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐.现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大（高不变）；二是高度增加（底面直径不变）.（1）分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；（2）分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；（3）哪个方案更经济些高二第二次月考数学参考答案1．B【解析】【分析】对选项逐一判断，即得答案.【详解】如图所示对，如图（1），将两个相同的斜平行六面体叠放，符合条件但却不是棱柱，故错误；对，如图（2），底面，是圆的直径，点是圆上一点，则三棱锥的四个面都是直角三角形.故正确；对，如图（3），延长其侧棱不交于一点，符合条件但却不是棱台，故错误；对，如图（4），以直角的斜边为轴旋转得到的是两个对底的圆锥，故错误.故选：.【点睛】本题考查棱柱、棱锥、棱台和圆锥的结构特征，属于基础题.2．D【解析】【分析】由三视图可知该几何体是由一个正方体截去一个三棱锥后剩余的部分，然后计算体积即可.【详解】如图，由三视图可知该几何体是由边长为2的正方体截去三棱锥后剩余的部分，其中点E为棱的中点，则所求体积为.故选：D．【点睛】本题考查利用空间几何体的三视图求体积，考查空间想象能力和计算能力，解题关键是判断出几何体的形状，属于常考题．3．A【解析】试题分析：由面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一平面的一条垂线，则两面垂直，可得，可得考点：空间线面平行垂直的判定与性质4．D【解析】【详解】【分析】分析：首先求得外接球半径，然后求解其表面积即可.详解：由题意可知，该球是一个棱长为4的正方体的外接球，设球的半径为，由题意可得：,据此可得：，外接球的表面积为：.本题选择D选项.点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.5．A【解析】【分析】取的中点，连接、，于是得到异面直线与所成的角为，然后计算出的三条边长，并利用余弦定理计算出，即可得出答案．【详解】如下图所示，取的中点，连接、，由于、分别为、的中点，则，且，所以，异面直线与所成的角为或其补角，三棱锥是边长为的正四面体，则、均是边长为的等边三角形，为的中点，则，且，同理可得，在中，由余弦定理得，因此，异面直线与所成角的余弦值为，故选A．【点睛】本题考查异面直线所成角的计算，利用平移法求异面直线所成角的基本步骤如下：（1）一作：平移直线，找出异面直线所成的角；（2）二证：对异面直线所成的角进行说明；（3）三计算：选择合适的三角形，并计算出三角形的边长，利用余弦定理计算所求的角．6．B【解析】【分析】利用垂直关系，再结合勾股定理进而解决问题．【详解】如图所示，作于，连接，过作于．连，平面平面．平面，平面，平面，与均为直角三角形．设正方形边长为2，易知，．，故选B．【点睛】本题考查空间想象能力和计算能力，解答本题的关键是构造直角三角性．7．B【解析】【分析】由已知条件及线面平行的性质可得且，可得四边形为梯形，可得答案.【详解】解：∵在中，，，，.又平面，平面，平面.又平面，平面平面，，.显然在中，，，∴四边形为梯形.故选：B.【点睛】本题主要考查直线与平面平行的性质定理，需注意其灵活运用，属于基础题型.8．A【解析】【分析】将直线方程整理为斜截式，然后确定其斜率即可.【详解】直线方程即：，整理为斜截式即，据此可知直线的斜率为.本题选择A选项.【点睛】本题主要考查直线斜率的计算，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9．B【解析】【分析】解方程组，求出交点坐标.设所求直线的方程为，把交点坐标代入，求出，即得所求直线的方程.【详解】解方程组得，即交点坐标为.所求直线与直线平行，设所求直线的方程为，把点代入得，所以所求直线的方程为.故选：.【点睛】本题考查直线的方程，属于基础题.10．C【解析】【分析】求出A(－4，2)关于直线y＝2x的对称点为(x，y)，可写出BC所在直线方程，与直线y＝2x联立，即可求出C点坐标.【详解】设A(－4，2)关于直线y＝2x的对称点为(x，y)，则，解得∴BC所在直线方程为y－1＝(x－3)，即3x＋y－10＝0.联立直线y=2x，解得，则C(2，4)．故选C.【点睛】本题主要考查了点关于直线的对称点，属于中档题.11．A【解析】分析：先求出A，B两点坐标得到再计算圆心到直线距离，得到点P到直线距离范围，由面积公式计算即可详解：直线分别与轴，轴交于，两点,则点P在圆上圆心为（2，0），则圆心到直线距离故点P到直线的距离的范围为则故答案选A.点睛：本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题．12．B【解析】【分析】作出图形，由已知可得，代入坐标可得选项.【详解】如下图所示，由于圆上的任意一点均有，所以A,B两点也满足该关系式.，，，，，解得，故选：B.【点睛】本题考查曲线的新定义，关键在于理解和运用新定义，属于中档题.13．【解析】【分析】由题意知圆锥侧面展开图是以母线为半径的圆，由它的弧对应圆锥底面的周长即可求底面半径与母线长的比；【详解】设圆锥的母线长是R，则扇形的弧长是，设底面半径是r，则，所以，所以圆锥的底面半径与母线长的比为1∶4.故答案为：【点睛】本题考查了圆锥，利用圆锥侧面展开扇形的弧长等于底面圆的周长求母线与底面半径的比；14．【解析】【分析】利用面面平行的性质定理可得，从而可得，，根据相似三角形的面积比等于边长比的平方即可.【详解】由平面平面，可得，所以，同理，所以∽的面积之比为.故答案为：【点睛】本题考查了面面平行的性质定理，掌握定理的内容是解题的关键，属于基础题.15．1或4【解析】直线与垂直，，化简可得，解得k=1或k=4.16．【解析】【分析】已知圆的圆心，且圆经过原点，所以圆心到原点的距离就是圆的半径，然后直接代入圆的标准方程即可．【详解】∵P（1，1）为圆心，且经过原点，∴半径r=，∴圆的标准方程为.故答案为．【点睛】本题考查了圆的标准方程，解答此题的关键是求出圆的半径，是基础题．17．（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）先证明QUOTE∥平面QUOTE，QUOTE∥平面QUOTE，进而得到平面QUOTE∥平面QUOTE，然后根据面面平行的性质可得结论成立．（2）先证明QUOTE平面QUOTE，根据QUOTE∥QUOTE，可得QUOTE平面QUOTE，于是可得面面垂直．【详解】（1）在底面四边形QUOTE中，由QUOTE，可得QUOTE∥QUOTE；又QUOTE，QUOTE为QUOTE的中点，所以QUOTE，从而四边形QUOTE为平行四边形，所以QUOTE∥QUOTE，又QUOTE平面QUOTE，QUOTE平面QUOTE，所以QUOTE∥平面QUOTE．由题意，QUOTE是QUOTE的中位线，所以QUOTE∥QUOTE，又QUOTE平面QUOTE，QUOTE平面QUOTE，所以QUOTE∥平面QUOTE．又QUOTE与QUOTE是平面QUOTE内两相交直线，所以平面QUOTE∥平面QUOTE；因为QUOTE平面QUOTE，所以QUOTE∥平面QUOTE．（2）由（1）知QUOTE∥QUOTE，因为QUOTE，所以QUOTE，又QUOTE，且QUOTE是平面QUOTE内两相交直线，所以QUOTE平面QUOTE，从而QUOTE平面QUOTE，又QUOTE平面QUOTE，所以平面QUOTE平面QUOTE．【点睛】解答类似问题的关键是根据图形，并结合三种平行（垂直）间的相互转化关系进行求解，解题时注意解题步骤的完整性，特别是定理中的关键性词语，在证题过程中要得到体现，属于基础题．18．（1）见解析；（2）【解析】【分析】(1)法一：要证平面，只需证明即可，通过构造平行四边形可证之；法二：可先证平面平面，利用面面平行的性质即可得到平面;（2）法一：由于即为与平面所成的角，利用数据求之；法二：（等积法）利用等积法计算出到平面的距离，从而要求的答案为：即可.【详解】（1）法一：取中点，连接，在直三棱柱中，.∵为中点，为中点，∴，∴四边形为平行四边形，∴.∵平面，平面，∴平面.法二：取中点，连结，在直三棱柱中，.∵为中点，为中点，∴，∴四边形为平行四边形，∴.又平面，平面，∴平面.∵分别为中点，∴.又平面，平面，∴平面.平面平面.平面平面.（2）法一：直三棱柱中，平面，∴.又∵，且，∴平面.过作于.∵平面，∴.又平面.又即为与平面所成的角..法二：（等积法）与平面所成的角相等.连结，直三棱柱中，平面，∴.又平面.，.设到平面的距离为，.∵，即.设与平面所成的角为，.【点睛】本题主要考查线面平行，线面角所成正弦值的相关计算，意在考查学生的空间想象能力，分析能力，转化能力，计算能力.19．（1）；（2）或.【解析】【分析】由题意利用两条直线垂直的性质，求得a的值，再联立方程组求得两直线交点的坐标．由题意利用用待定系数法设出直线的方程，再利用两条平行线间的距离公式求得m的值，可得要求的直线的方程．【详解】两条垂直的直线和，，解得，两条垂直的直线：和，由，解得，故直线和的交点坐标．设平行于直线，且与它的距离为的直线方程为，则，解得，或，故所求直线方程为：，或．【点睛】本题主要考查两条直线平行与垂直的