高考数学人教B版一轮复习训练3-3利用导数研究函数的极值最值

核心考点·精准研析考点一用导数解决函数的极值问题

命题精解读考什么:(1)考查求值、解方程、解不等式等问题.(2)考查数学运算、直观想象、逻辑推理的核心素养及数形结合、分类与整合等数学思想.怎么考:与函数图象、方程、不等式、函数单调性等知识结合考查求函数极值、知函数极值求参数等问题.新趋势:函数极值、导数的几何意义及函数图象等知识交汇考查为主学霸好方法1.求函数f(x)极值的一般解题步骤(1)确定函数的定义域;(2)求导数f′(x);(3)解方程f′(x)=0,求出函数定义域内的所有根;(4)列表检验f′(x)在f′(x)=0的根x0左右两侧值的符号.2.已知函数极值点或极值求参数的两个要领(1)列式:根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组,利用待定系数法求解.(2)验证:因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件,所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.由图象判断函数的极值【典例】(2020·咸阳模拟)已知三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示,则QUOTE=________.

【解析】f′(x)=3ax2+2bx+c;根据图象知,x=1,2是f(x)的两个极值点;所以x=1,2是方程3ax2+2bx+c=0的两实数根;根据根与系数的关系得,QUOTE所以2b=3a,c=6a,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE=1.答案:1由函数f(x)的图象确定极值点的主要依据是什么?提示:局部最高(低)点的横坐标是极大(小)值点.求已知函数的极值【典例】已知函数f(x)=x1+QUOTE(a∈R,e为自然对数的底数). 导学号(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于x轴,求a的值.(2)求函数f(x)的极值.【解析】(1)由f(x)=x1+QUOTE,得f′(x)=1QUOTE.又曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于x轴,所以f′(1)=0,即1QUOTE=0,解得a=e.(2)f′(x)=1QUOTE,当a≤0时,f′(x)>0,f(x)为(∞,+∞)上的增函数,所以函数f(x)无极值.当a>0时,令f′(x)=0,得ex=a,即x=lna,当x∈(∞,lna)时,f′(x)<0;当x∈(lna,+∞)时,f′(x)>0,所以f(x)在(∞,lna)上单调递减,在(lna,+∞)上单调递增,故f(x)在x=lna处取得极小值且极小值为f(lna)=lna,无极大值.综上,当a≤0时,函数f(x)无极值;当a>0时,f(x)在lna处得极小值lna,无极大值.若函数f(x)在区间[a,b]内有极值,则极值点有可能是a或b吗?f(x)在(a,b)内可以是单调函数吗?提示:若函数y=f(x)在区间[a,b]内有极值,那么y=f(x)在(a,b)内绝不是单调函数,即在某区间上单调函数没有极值,且极值点一定不是a和b.已知函数极值情况求参数值(范围)【典例】设a∈R,若函数y=x+alnx在区间QUOTE上有极值点,则a的取值范围为 导学号()A.QUOTEB.QUOTEC.QUOTE∪(e,+∞)D.(∞,e)∪QUOTE【解析】选B.因为函数y=f(x)=x+alnx在区间QUOTE上有极值点,所以y′在区间QUOTE上有零点.f′(x)=1+QUOTE=QUOTE(x>0).所以f′QUOTE·f′(e)<0,所以(ea+1)QUOTE<0,解得e<a<QUOTE,所以a的取值范围为QUOTE.已知函数极值求参数,常转化为什么问题?提示:常转化为方程的根和函数零点的问题.1.设函数f(x)在R上可导,其导函数为f′(x),且函数y=(1x)f′(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是 ()A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)D.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)【解析】选D.由题图可知,当x<2时,1x>3,此时f′(x)>0;当2<x<1时,0<1x<3,此时f′(x)<0;当1<x<2时,1<1x<0,此时f′(x)<0;当x>2时,1x<1,此时f′(x)>0,由此可以得到函数f(x)在x=2处取得极大值,在x=2处取得极小值.2.设函数f(x)=lnx+ax2QUOTEx,若x=1是函数f(x)的极大值点,则函数f(x)的极小值为________.

【解析】函数f(x)=lnx+ax2QUOTEx,函数定义域为(0,+∞),f′(x)=QUOTE+2axQUOTE.若x=1是函数f(x)的极大值点,则f′(1)=0,解得a=QUOTE;所以f(x)=lnx+QUOTEx2QUOTEx,f′(x)=QUOTE+QUOTExQUOTE=QUOTE=QUOTE;当f′(x)>0时,0<x<1或x>2;函数在(0,1)和(2,+∞)上单调递增;当f′(x)<0时,1<x<2,函数在(1,2)上单调递减;所以函数在x=1时有极大值;函数在x=2时有极小值为f(2)=ln22.答案:ln223.(2019·荆门模拟)已知函数f(x)=x2+2x2xex.求函数f(x)的极值.【解析】因为函数f(x)=x2+2x2xex(x∈R),所以f′(x)=2x+22ex2xex=(2x+2)(1ex),由f′(x)=0,得x=1或x=0,列表讨论,得:x(∞,1)1(1,0)0(0,+∞)f′(x)0+0f(x)↘极小值↗极大值↘所以当x=1时,f(x)极小值=f(1)=12+2×QUOTE=QUOTE1,当x=0时,f(x)极大值=f(0)=0.设函数f(x)=ex(sinxcosx)(0≤x≤2016π),则函数f(x)的各极大值之和为 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】选D.因为函数f(x)=ex(sinxcosx),所以f′(x)=[ex(sinxcosx)]′=ex(sinxcosx)+ex(cosx+sinx)=2exsinx;令f′(x)=0,解得x=kπ(k∈Z);所以当2kπ<x<2kπ+π时,f′(x)>0,原函数单调递增,当2kπ+π<x<2kπ+2π时,f′(x)<0,原函数单调递减;所以当x=2kπ+π时,函数f(x)取得极大值,此时f(2kπ+π)=e2kπ+π[sin(2kπ+π)cos(2kπ+π)]=e2kπ+π;又因为0≤x≤2016π,所以0和2016π都不是极值点,所以函数f(x)的各极大值之和为:eπ+e3π+e5π+…+e2015π=QUOTE.考点二用导数解决函数的最值问题

【典例】(2019·黄冈模拟)已知函数f(x)=QUOTEax,曲线y=f(x)在x=1处的切线经过点(2,1).(1)求实数a的值;(2)设b>1,求f(x)在区间QUOTE上的最大值和最小值.【解题导思】序号题目拆解(1)利用导数的几何意义求参数利用求导的方法求出函数在切点处的切线斜率,再利用切点坐标与切线的斜率之间的关系求出a的值(2)研究函数f(x)的单调性利用对x分类讨论的方法,结合b的取值范围,用求导的方法判断函数的单调性求函数f(x)的最值从而求出函数的极值,进而求出函数的最值【解析】(1)f(x)的导函数为f′(x)=QUOTE⇒f′(1)=QUOTE=1a,依题意,有QUOTE=1a,即QUOTE=1a,解得a=1.(2)由(1)得f′(x)=QUOTE,当0<x<1时,1x2>0,lnx>0,所以f′(x)>0,故f(x)在(0,1)上单调递增;当x>1时,1x2<0,lnx<0,所以f′(x)<0,故f(x)在(1,+∞)上单调递减,所以f(x)在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,+∞)上单调递减.因为0<QUOTE<1<b,所以f(x)的最大值为f(1)=1.设h(b)=f(b)fQUOTE=QUOTElnbb+QUOTE,其中b>1则h′QUOTE=QUOTElnb>0,故h(b)在区间(1,+∞)上单调递增.当b→1时,h(b)→0⇒h(b)>0⇒f(b)>fQUOTE.故f(x)的最小值为fQUOTE=blnbQUOTE.求函数f(x)在闭区间[a,b]内的最大值和最小值的思路(1)若所给的闭区间[a,b]不含参数,则只需对函数f(x)求导,并求f′(x)=0在区间[a,b]内的根,再计算使导数等于零的根的函数值,把该函数值与f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.(2)若所给的闭区间[a,b]含参数,则需对函数f(x)求导,通过对参数分类讨论,判断函数的单调性,从而得到函数f(x)的最值.(2019·南昌模拟)设函数f(x)=lnx2mx2n(m,n∈R).(1)讨论f(x)的单调性.(2)若f(x)有最大值ln2,求m+n的最小值.【解析】(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=QUOTE4mx=QUOTE,当m≤0时,f′(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增;当m>0时,令f′(x)>0,得0<x<QUOTE,令f′(x)<0得x>QUOTE,所以f(x)在QUOTE上单调递增,在QUOTE上单调递减.(2)由(1)知,当m>0时,f(x)在QUOTE上单调递增,在QUOTE上单调递减.所以f(x)max=fQUOTE=lnQUOTE-2m·QUOTEn=ln2QUOTElnmQUOTEn=ln2,所以n=QUOTElnmQUOTE,所以m+n=mQUOTElnmQUOTE,令h(x)=xQUOTElnxQUOTE(x>0),则h′(x)=1QUOTE=QUOTE,所以h(x)在QUOTE上单调递减,在QUOTE上单调递增,所以h(x)min=hQUOTE=QUOTEln2,所以m+n的最小值为QUOTEln2.考点三用导数解决生活中的优化问题

【典例】某食品厂进行蘑菇的深加工,每千克蘑菇的成本为20元,并且每千克蘑菇的加工费为t元(t为常数,且2≤t≤5).设该食品厂每千克蘑菇的出厂价为x元(25≤x≤40),根据市场调查,日销售量q千克与ex成反比,当每千克蘑菇的出厂价为30元时,日销售量为100千克. 导学号(1)求该工厂的每日利润y元与每千克蘑菇的出厂价x元的函数关系式.(2)若t=5,当每千克蘑菇的出厂价x为多少时,该工厂的每日利润y最大?并求最大值.【解题导思】序号联想解题(1)待定系数法求函数关系根据已知条件得出日销量函数表达式q=QUOTE(k≠0),将x=30,q=100代入日销量函数表达式中求出k的值,进而得到利润y与出厂价x之间的函数关系式.(2)通过求函数最值,解答实际问题将t=5代入函数中,根据导数求得函数的单调区间,进而得函数的最值.【解析】(1)设日销量q=QUOTE(k≠0),则QUOTE=100,所以k=100e30,所以日销量q=QUOTE,所以y=QUOTE(25≤x≤40).(2)当t=5时,y=QUOTE,y′=QUOTE.由y′≥0得x≤26,由y′≤0,得x≥26,所以y在区间[25,26]上单调递增,在区间[26,40]上单调递减,所以当x=26时,ymax=100e4,即当每千克蘑菇的出厂价为26元时,该工厂的每日利润最大,最大值为100e4元.利用导数解决生活中的优化问题的四个步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系,建立实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系式y=f(x).(2)求函数的导数f′(x),解方程f′(x)=0.(3)比较函数在区间端点和f′(x)=0处的点的函数值的大小,最大(小)者为最大(小)值.(4)回归实际问题作答.某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克)满足关系式y=QUOTE+10(x5)2,其中2<x<5,a为常数.已知销售价格为4元/千克时,每日可售出该商品10.5千克.(1)求a的值;(2)若该商品的成本为2元/千克,试确定销售价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大.【解析】(1)因为x=4时,y=10.5,所以QUOTE+10=10.5,所以a=1.(2)由(1)可知