一中（西校区）高三上学期期中考试数学（理）试题

集宁一中西校区20202021学年第一学期期中考试高三年级理科数学试题本试卷满分为150分，考试时间为120分钟命题人：滑雪审核人：王文辉第I卷（选择题共60分）选择题（每小题5分，共12小题，共60分）1．若集合，，则（）A． B． C． D．2．若，则（）A． B．0 C．1 D．23．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过图①中的由于这些数能表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，将图②中的这样的数称为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是()A．189 B．1024C．1225 D．13784．函数的图象大致为（）A．B．C． D．5．已知则的大小关系为（）6．已知非零向量满足，且，则与的夹角为（）A． B． C． D．7．已知奇函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（）A． B．C． D．8．记Sn为等比数列{an}的前n项和．若，则=（） A．2n–1 B．2–21–n C．2–2n–1 D．21–n–19．已知函数（且）的图象恒过定点A，若点A在直线上，其中，则的最小值为（）A． B． C．2 D．410.若是以O为圆心，半径为1的圆的直径，C为圆外一点，且.则（）A．3B．C．0D．不确定，随着直径的变化而变化11.已知函数且恒成立，则实数的取值范围是（）12.若函数，则函数的零点个数为（）A．3 B．4 C．5 D．6填空题（每小题5分，共4小题，共20分）13.若关于x的不等式在区间上有解，则实数a的取值范围为________.14.已知向量，，，且A，B，C三点共线，则k的值是________.15.若函数存在两条均过原点的切线，则实数a的取值范围是________.16.关于函数f（x）=有如下四个命题：①f（x）的图像关于y轴对称．②f（x）的图像关于原点对称．③f（x）的图像关于直线x=对称．④f（x）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________．解答题（本大题共6个题，共70分）17.（10分）设函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π<φ<0)，y＝f(x)图象的一条对称轴是直线x＝.(1)求φ；(2)画出函数y＝f(x)在区间[0，π]上的图象．18.（12分）已知，中，角，，所对的边为，，.（1）求的单调递增区间；（2）若，，求周长的取值范围.19.（12分）已知数列的前项和为，满足，.（1）求数列的前项和；（2）令，求的前项和.20．（12分）设是数列的前n项和，已知，⑴求数列的通项公式；⑵设，求数列的前项和．21.（12分）已知函数.（1）求函数的最大值；（2）对任意，不等式恒成立，求整数的最小值.22.（12分）已知函数.（1）若，证明：当时，；（2）若在有两个零点，求的取值范围.集宁一中西校区20202021学年第一学期期中考试高三年级理科数学试题答案选择题BDCAAB，DBCAAB。二、填空题13.14.15.16.②③B.解：因为集合，，所以.D解：因为，所以，所以，所以C解：三角形数的通项公式是，正方形数的通项公式是，所以两个通项都满足的是，三角形数是，正方形数是．A解：函数的定义域为，因为，所以为偶函数，所以排除C,D,又因为当时，，当时，，所以排除B，故选：A.A解：因为所以.6.B解：因为，所以=0，所以，所以=，所以与的夹角为，故选B．D解：根据题意，为奇函数且，则，又由在上单调递减，则在上，，在上，,又由为奇函数，则在上，，在上，，则的解集为的解集为；或，分析可得：或，故不等式的解集为；故选D．8.B解：设等比数列的公比为，由可得：，所以，因此.故选：B.9.C解：令，，，∴，点在直线上，则，即，∵，，∴，∴，当且仅当，即时等号成立．故选：C．10.A解：如图，，故选：A.A解：不妨设可得令则在区间上单调递减，所以在区间上恒成立，当时，当时，，则，所以在区间上单调递减，则，所以.B解：函数，的零点即的根，设，则，先解方程的根t，再计算的解.时得；时得.如图所示，函数的图像，方程和方程各有两个解，即方程共有4个解，故的零点有4个.故选：B.二、填空题解：∵不等式在区间上有解，∴不等式在区间上有解，∴不等式在区间上有解，令，（），则，∴当时，，单调递减，∴不等式在区间上有解，即,∴故答案为：14.解：，.因为A，B，C三点共线，所以共线，所以，解得.解：由题意得的定义域为，且，设切点坐标为，则过原点的切线斜率，整理得存在两条过原点的切线，存在两个不同的解.设，则问题等价于于存在两个不同的交点，又当时，，单调递增，.又当时，；当时，，若于存在两个不同的交点，则.解得.16.②③解：对于命题①，，，则，所以，函数的图象不关于轴对称，命题①错误；对于命题②，函数的定义域为，定义域关于原点对称，，所以，函数的图象关于原点对称，命题②正确；对于命题③，，，则，所以，函数的图象关于直线对称，命题③正确；对于命题④，当时，，则，命题④错误.故答案为：②③.三、解答题17.（10分）解：（1）∵，∴．∵，∴．（5分）（2）（5分）由知

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故函数在区间上的图象如图所示．18.（1），；（2）解：（1），∴在上单调递增，∴，（6分）（2），得，即，，则，而，由余弦定理知：，有，所以当且仅当时等号成立，而在中，∵周长，∴(12分）19.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【详解】（Ⅰ）由，得，易见，时也适合该式，∴.（6分）（Ⅱ），.（6分）20.（1）（2）解：（1）因为，所以当时，两式相减得，所以，当时，，，则所以数列为首项为，公比为的等比数列，故（4分）（2）由（1）可得所以故当为奇数时，当为偶数时，综上（8分）21.（1）；（2）.解：（1）由得定义域为，又，由得；由得，所以函数在上单调递增，在上单调递减；因此；（6分）（2）由（1）知在上单调递减，所以在上恒成立；即在上恒成立，令，则恒成立，所以，；因此，则，又对任意，不等式恒成立，为整数，所以