2021新高考数学二轮复习学案板块1命题区间精讲精讲12直线与圆抛物线

直线与圆、抛物线命题点1直线的方程及应用1．求直线方程的方法求直线方程主要有直接法和待定系数法．直接法是选择适当的形式，直接求出直线方程．待定系数法通常先由条件建立含参数的方程，再将条件代入求参数，即可得到直线方程．2．求解轴对称问题的2个关键点一是两对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点的中点在对称轴上．[高考题型全通关]1．设λ∈R，则“λ＝－3”是“直线2λx＋(λ－1)y＝1与直线6x＋(1－λ)y＝4平行”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A[当λ＝－3时，两条直线的方程分别为6x＋4y＋1＝0，3x＋2y－2＝0，此时两条直线平行．若两条直线平行，则2λ(1－λ)＝6(λ－1)且2λ×(－4)≠6×(－1)，解得λ＝－3或λ＝1，经检验，两根均符合题意．综上可知，“λ＝－3”是“直线2λx＋(λ－1)y＝1与直线6x＋(1－λ)y＝4平行”的充分不必要条件，故选A．]2．过点A(1，2)的直线在两坐标轴上的截距之和为0，则该直线的方程为()A．x－y＋1＝0B．x＋y－3＝0C．2x－y＝0或x＋y－3＝0D．2x－y＝0或x－y＋1＝0D[当直线过原点时，可得其斜率为eq\f(2－0,1－0)＝2，故该直线的方程为y＝2x，即2x－y＝0.当直线不过原点时，设其方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,－a)＝1，由该直线过点(1，2)可得eq\f(1,a)－eq\f(2,a)＝1，解得a＝－1，则该直线的方程为x－y＋1＝0.综上可知，该直线的方程为2x－y＝0或x－y＋1＝0，故选D．]3．(2020·全国卷Ⅲ)点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)距离的最大值为()A．1B．eq\r(2)C．eq\r(3)D．2B[法一：由点到直线的距离公式知点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)的距离d＝eq\f(|k·0－－1＋k|,\r(k2＋1))＝eq\f(|k＋1|,\r(k2＋1))＝eq\r(\f(k2＋2k＋1,k2＋1))＝eq\r(1＋\f(2k,k2＋1)).当k＝0时，d＝1；当k≠0时，d＝eq\r(1＋\f(2k,k2＋1))＝eq\r(1＋\f(2,k＋\f(1,k)))，要使d最大，需k＞0且k＋eq\f(1,k)最小，∴当k＝1时，dmax＝eq\r(2)，故选B．法二：记点A(0，－1)，直线y＝k(x＋1)恒过点B(－1，0)，当AB垂直于直线y＝k(x＋1)时，点A(0，－1)到直线y＝k(x＋1)的距离最大，且最大值为|AB|＝eq\r(2)，故选B．]4．设点P为直线l：x＋y－4＝0上的动点，点A(－2，0)，B(2，0)，则|PA|＋|PB|的最小值为()A．2eq\r(10)B．eq\r(26)C．2eq\r(5)D．eq\r(10)A[设点B(2，0)关于直线l的对称点为B1(a，b)，则由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(b－0,a－2)×－1＝－1，,\f(a＋2,2)＋\f(b,2)－4＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝2，))所以B1(4，2)．因为|PA|＋|PB|＝|PA|＋|PB1|，所以当A，P，B1三点共线时，|PA|＋|PB|最小，最小值为|AB1|＝eq\r(4＋22＋2－02)＝2eq\r(10).故选A．]命题点2圆的方程及应用解决圆的方程应关注4点(1)由圆心和半径可直接得圆的标准方程；(2)不在同一直线上的三点可确定一个圆；(3)弦的垂直平分线一定过圆心；(4)与圆上的点有关的问题常转化为与圆心有关的问题去处理．[高考题型全通关]1．(2020·全国卷Ⅲ)在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若eq\o(AC,\s\up8(→))·eq\o(BC,\s\up8(→))＝1，则C的轨迹为()A．圆B．椭圆C．抛物线D．直线A[以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系(图略)，设A(－a，0)，B(a，0)，C(x，y)，则eq\o(AC,\s\up8(→))＝(x＋a，y)，eq\o(BC,\s\up8(→))＝(x－a，y)，∵eq\o(AC,\s\up8(→))·eq\o(BC,\s\up8(→))＝1，∴(x＋a)(x－a)＋y·y＝1，∴x2＋y2＝a2＋1，∴点C的轨迹为圆，故选A．]2．(2020·合肥调研)若直线l：ax－by＋2＝0(a>0，b>0)经过圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的圆心，则eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的最小值为()A．2eq\r(2)B．eq\r(2)C．2eq\r(2)＋1D．eq\r(2)＋eq\f(3,2)D[直线ax－by＋2＝0(a＞0，b＞0)经过圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的圆心，所以圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的圆心(－1，2)在直线ax－by＋2＝0上，可得－a－2b＋2＝0，即a＋2b＝2，所以eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(1,2)(a＋2b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))＝eq\f(3,2)＋eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2b,a)＋\f(a,b)))≥eq\f(3,2)＋eq\r(\f(2b,a)·\f(a,b))＝eq\f(3,2)＋eq\r(2)，当且仅当eq\f(2b,a)＝eq\f(a,b)时等号成立，所以eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的最小值为eq\f(3,2)＋eq\r(2)，故选D．]3．[多选](2020·日照模拟)设圆A：x2＋y2－2x－3＝0，则下列说法正确的是()A．圆A的半径为2B．圆A截y轴所得的弦长为2eq\r(3)C．圆A上的点到直线3x－4y＋12＝0的最小距离为1D．圆A与圆B：x2＋y2－8x－8y＋23＝0相离ABC[把圆A的方程x2＋y2－2x－3＝0化成标准方程为(x－1)2＋y2＝4，所以该圆A的圆心坐标为(1，0)，半径为2，A正确；该圆A截y轴所得的弦长|CD|＝2×eq\r(4－1)＝2eq\r(3)，B正确；圆心(1，0)到直线3x－4y＋12＝0的距离为3，故圆A上的点到直线3x－4y＋12＝0的最小距离为3－2＝1，C正确；圆B：x2＋y2－8x－8y＋23＝0的圆心为(4，4)，半径为3，根据eq\r(4－12＋42)＝5可知，圆A与圆B相切，D错误．故选ABC．]4．已知圆C截两坐标轴所得弦长相等，且圆C过点(－1，0)和(2，3)，则圆C的半径为()A．2eq\r(2)B．8C．5D．eq\r(5)D[∵圆C截两坐标轴所得弦长相等，∴圆心C在直线y＝x或y＝－x上．①当圆心C在直线y＝x上时，设C(m，m)，半径为R，则(m＋1)2＋m2＝(m－2)2＋(m－3)2＝R2，可得m＝1，R2＝5，∴R＝eq\r(5).②当圆心C在直线y＝－x上时，设C(m，－m)，半径为R，则(m＋1)2＋(－m)2＝(m－2)2＋(－m－3)2＝R2，该方程组无解．∴圆C的半径为eq\r(5)，故选D．]5.已知点O(0，0)，A(0，2)，点M是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，则△OAM面积的最小值为()A．1B．2C．3D．4A[作出点O，A及圆，如图所示，由图易知当点M的坐标为(1，－1)时，△OAM的面积取得最小值，又|AO|＝2，此时点M到直线OA的距离为1，所以△OAM面积的最小值为eq\f(1,2)×2×1＝1.故选A．]6．若圆C：x2＋(y－4)2＝18与圆D：(x－1)2＋(y－1)2＝R2(R＞0)的公共弦长为6eq\r(2)，则圆D的半径为()A．5B．2eq\r(5)C．2eq\r(6)D．2eq\r(7)D[由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y－42＝18，,x－12＋y－12＝R2，))得2x－6y＝4－R2.因为圆C的直径为6eq\r(2)，且圆C与圆D的公共弦长为6eq\r(2)，所以直线2x－6y＝4－R2经过圆C的圆心(0，4)，则2×0－6×4＝4－R2，所以R2＝28，所以圆D的半径为2eq\r(7).故选D．]7．[多选](2020·淄博模拟)已知圆C过点M(1，－2)且与两坐标轴均相切，则下列叙述正确的是()A．满足条件的圆C的圆心在一条直线上B．满足条件的圆C有且只有一个C．点(2，－1)在满足条件的圆C上D．满足条件的圆C有且只有两个，它们的圆心距为4eq\r(2)ACD[因为圆C和两个坐标轴都相切，且过点M(1，－2)，所以设圆心坐标为(a，－a)(a＞0)，故圆心在y＝－x上，A正确；圆C的方程为(x－a)2＋(y＋a)2＝a2，把点M的坐标代入可得a2－6a＋5＝0，解得a＝1或a＝5，则圆心坐标为(1，－1)或(5，－5)，所以满足条件的圆C有且只有两个，故B错误；圆C的方程分别为(x－1)2＋(y＋1)2＝1，(x－5)2＋(y＋5)2＝25，将点(2，－1)代入可知满足(x－1)2＋(y＋1)2＝1，故C正确；它们的圆心距为eq\r(5－12＋－5＋12)＝4eq\r(2)，D正确．]8．已知点A(－2，0)，B(0，2)，若点C是圆x2－2ax＋y2＋a2－1＝0上的动点，△ABC的面积S的最小值为3－eq\r(2)，则实数a的值为________．1或－5[由题意知，圆的标准方程为(x－a)2＋y2＝1，则圆心为(a，0)，半径r＝1.由A(－2，0)，B(0，2)，可得直线AB的方程为eq\f(x,－2)＋eq\f(y,2)＝1，即x－y＋2＝0.∴圆心到直线AB的距离d＝eq\f(|a＋2|,\r(2))，则圆上的点到直线AB的距离的最小值为d－r＝eq\f(|a＋2|,\r(2))－1.又|AB|＝eq\r(4＋4)＝2eq\r(2)，∴Smin＝eq\f(1,2)|AB|·(d－r)＝eq\r(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|a＋2|,\r(2))－1))＝3－eq\r(2)，解得a＝1或－5.]命题点3直线和圆的位置关系解决直线与圆的位置关系问题应关注3点(1)处理直线与圆的位置关系问题时，主要利用几何法，即利用圆心到直线的距离与半径的大小关系判断，并依据相关几何性质求解．(2)弦长问题，主要依据弦长的一半、弦心距、半径之间的关系求解．(3)过圆内一点且垂直于过这点的半径的弦最短．[高考题型全通关]1．(2020·长春质量监测一)已知直线x＋y＝0与圆(x－1)2＋(y－b)2＝2相切，则b＝()A．－3B．1C．－3或1D．eq\f(5,2)C[由圆的方程知，圆的圆心为(1，b)，半径为eq\r(2).由直线与圆相切，得eq\f(|1＋b|,\r(12＋12))＝eq\r(2)，解得b＝－3或b＝1，故选C．]2．(2020·四省八校联盟高三联考)直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围为()A．[2，6] B．[4，8]C．[eq\r(2)，3eq\r(2)] D．[2eq\r(2)，3eq\r(2)]A[根据题意，A(－2，0)，B(0，－2)，所以|AB|＝2eq\r(2)，圆心(2，0)到直线x＋y＋2＝0的距离d＝eq\f(|2＋0＋2|,\r(2))＝2eq\r(2)，圆的半径为eq\r(2)，设点P到直线x＋y＋2＝0的距离为d′，则eq\r(2)≤d′≤3eq\r(2)，所以eq\f(1,2)×2eq\r(2)×eq\r(2)≤S△ABP≤eq\f(1,2)×2eq\r(2)×3eq\r(2)，即2≤S△ABP≤6.]3．已知直线l：x－eq\r(3)y－a＝0与圆C：(x－3)2＋(y＋eq\r(3))2＝4交于点M，N，点P在圆C上，且∠MPN＝eq\f(π,3)，则实数a的值为()A．2或10 B．4或8C．6±2eq\r(2) D．6±2eq\r(3)B[由∠MPN＝eq\f(π,3)得∠MCN＝2∠MPN＝eq\f(2π,3).在△MCN中，CM＝CN＝2，∠CMN＝∠CNM＝eq\f(π,6)，可得点C(3，－eq\r(3))到直线MN，即直线l：x－eq\r(3)y－a＝0的距离为2sineq\f(π,6)＝1，所以eq\f(|3－\r(3)×－\r(3)－a|,\r(1＋3))＝1，解得a＝4或a＝8.故选B．]4．已知圆x2＋y2－2x＋2y＋a＝0截直线x＋y－4＝0所得弦的长度小于6，则实数a的取值范围为()A．(2－eq\r(17)，2＋eq\r(17)) B．(2－eq\r(17)，2)C．(－15，2) D．(－15，－6)D[由题意知，圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2－a，则圆心为(1，－1)，半径为eq\r(2－a)，显然2－a＞0，即a＜2.圆心到直线x＋y－4＝0的距离d＝eq\f(|1－1－4|,\r(2))＝2eq\r(2)，则由题意得2eq\r(2－a－8)＜6，解得－15＜a＜－6.综上所述，a∈(－15，－6)．]5．已知点P是直线l：3x＋4y－7＝0上的动点，过点P引圆C：(x＋1)2＋y2＝r2(r＞0)的两条切线PM，PN，M，N为切点，当∠MPN的最大值为eq\f(π,3)时，则r的值为()A．4B．3C．2D．1D[连接PC(图略)，因为点P在直线l：3x＋4y－7＝0上，所以当PC⊥l时，∠MPN最大，由题意知，此时∠MPN＝eq\f(π,3)，所以∠CPM＝eq\f(π,6)，所以|PC|＝2r，又因为C到l的距离d＝eq\f(|－3－7|,\r(32＋42))＝2，所以|PC|＝2，所以r＝1，故选D．]6．A，B是圆O：x2＋y2＝1上的两个动点，且∠AOB＝120°，A，B到直线l：3x＋4y－10＝0的距离分别为d1，d2，则d1＋d2的最大值是()A．3B．4C．5D．6C[由题意可设A(cosα，sinα)，B(cos(α＋120°)，sin(α＋120°))，其中α∈R，则d1＝eq\f(1,5)(10－3cosα－4sinα)，d2＝eq\f(1,5)[10－3cos(α＋120°)－4sin(α＋120°)]，∴d1＋d2＝4－eq\f(1,5)[3cosα＋3cos(α＋120°)＋4sinα＋4sin(α＋120°)]＝4－eq\f(1,5)[6cos60°cos(α＋60°)＋8cos60°sin(α＋60°)]＝4－eq\f(1,5)[3cos(α＋60°)＋4sin(α＋60°)]＝4－eq\f(1,5)×5[sin(α＋60°＋β)]≤5，其中cosβ＝eq\f(4,5)，sinβ＝eq\f(3,5)，易知当sin(α＋60°＋β)＝－1时，d1＋d2的最大值是5.故选C．]7．已知点P(－1，2)及圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝4，一束光线从点P出发，经x轴上一点Q反射后与圆相切于点T，则|PQ|＋|QT|＝________.4eq\r(3)[设点P关于x轴的对称点为P′，则P′(－1，－2)，如图所示，连接P′C，P′Q，CT，显然P′，Q，T三点共线．由题意可知，直线P′Q与圆相切，|PQ|＋|QT|＝|P′T|.∵圆心C的坐标为(3，4)，圆的半径r＝2，∴|CP′|2＝(－1－3)2＋(－2－4)2＝52，|CT|＝r＝2，∴|PQ|＋|QT|＝|P′T|＝eq\r(|CP′|2－|CT|2)＝4eq\r(3).]8．[一题两空](2020·泰安模拟)已知直线l：(λ＋2μ)x＋(λ－μ)y－4λ－8μ＝0交⊙O：x2＋y2＝25于A，B两点，C为l外一动点，且|AC|＝2|BC|，则|AB|的最小值为________；当|AB|最小时，△ABC面积的最大值为________．612[由(λ＋2μ)x＋(λ－μ)y－4λ－8μ＝0得λ(x＋y－4)＋μ(2x－y－8)＝0，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－4＝0，,2x－y－8＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝0，))所以直线(λ＋2μ)x＋(λ－μ)y－4λ－8μ＝0经过定点M(4，0)，设O为坐标原点，若|AB|最小，则OM⊥AB，此时|AB|＝2eq\r(25－42)＝6.法一：设A(4，3)，B(4，－3)，C(x，y)，由|AC|＝2|BC|，可得eq\r(x－42＋y－32)＝2·eq\r(x－42＋y＋32)，化简得点C的轨迹方程为(x－4)2＋(y＋5)2＝16，则点C的轨迹是圆心为(4，－5)，半径为4的圆，易知圆心(4，－5)在直线AB上，因而C点到AB的最大距离为4，故△ABC面积的最大值为eq\f(1,2)×6×4＝12.法二：设BC＝x，则AC＝2x，由余弦定理知36＝x2＋(2x)2－2·x·2x·cos∠ACB，得x2＝eq\f(36,5－4cos∠ACB)，从而S△ABC＝eq\f(1,2)x·2x·sin∠ACB＝eq\f(36sin∠ACB,5－4cos∠ACB)＝－9×eq\f(0－sin∠ACB,\f(5,4)－cos∠ACB)，其中eq\f(0－sin∠ACB,\f(5,4)－cos∠ACB)可以看成单位圆上的点(cos∠ACB，sin∠ACB)与点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，0))连线的斜率，可求得其最小值为－eq\f(4,3)，所以△ABC面积的最大值为12.]命题点4抛物线求解抛物线问题应重点关注2个方面(1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．(2)在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此．[高考题型全通关]1．若抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是()A．4B．6C．8D．12B[抛物线y2＝8x的准线方程为x＝－2，∵点P到y轴的距离是4，∴点P到准线的距离是4＋2＝6.根据抛物线的定义可知点P到该抛物线焦点的距离是6，故选B．]2．(2020·长春质量监测一)已知椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的右焦点F是抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，过F作倾斜角为60°的直线交抛物线于A，B(A在x轴上方)两点，则eq\f(|AF|,|BF|)的值为()A．eq\r(3)B．2C．3D．4C[由题意知F(1，0)，所以eq\f(p,2)＝1，p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x.过F且倾斜角为60°的直线的方程为y＝eq\r(3)(x－1)，代入抛物线方程，得3x2－10x＋3＝0，解得xA＝3，xB＝eq\f(1,3).法一：所以yeq\o\al(2,A)＝12，yeq\o\al(2,B)＝eq\f(4,3)，所以eq\f(|AF|,|BF|)＝eq\f(\r(3－12＋12),\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－1))eq\s\up12(2)＋\f(4,3)))＝3，故选C．法二：由抛物线的定义，得|AF|＝xA＋eq\f(p,2)＝4，|BF|＝xB＋eq\f(p,2)＝eq\f(4,3)，所以eq\f(|AF|,|BF|)＝3，故选C．]3．(2020·陕西百校联盟第一次模拟)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若eq\o(FP,\s\up8(→))＝4eq\o(FQ,\s\up8(→))，则|QF|＝()A．1B．eq\f(3,2)C．2D．eq\f(5,2)B[依题意得F(1，0)．设l与x轴的交点为M，则|FM|＝2.如图，过点Q作l的垂线，垂足为Q1，则eq\f(|QQ1|,|FM|)＝eq\f(|PQ|,|PF|)＝eq\f(3,4)，所以|QQ1|＝eq\f(3,4)|FM|＝eq\f(3,2)，所以|QF|＝|QQ1|＝eq\f(3,2)，选B．]4．[多选](2020·淄博模拟)已知抛物线C：x2＝3y的焦点为F，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，其中点A在第一象限，若弦AB的长为4，则()A．直线l的倾斜角为30°或150°B．|AF|－|BF|＝4C．eq\f(|AF|,|BF|)＝eq\f(1,3)或3D．S△AOB＝eq\f(9,2)AC[由题意知Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4)))，故可设直线l的方程为y＝kx＋eq\f(3,4)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝3y，,y＝kx＋\f(3,4)，))消去y，得4x2－12kx－9＝0，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝3k，,x1x2＝－\f(9,4)，))∴|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝3(1＋k2)＝4，∴k＝±eq\f(\r(3),3).设直线l的倾斜角为θ，则θ＝30°或θ＝150°.设eq\f(|AF|,|BF|)＝λ，则当θ＝30°时，|AF|＋|BF|＝(λ＋1)|BF|＝4，又由抛物线的定义易知|AF|－|BF|＝(λ－1)|BF|＝2，∴eq\f(λ＋1|BF|,λ－1|BF|)＝eq\f(4,2)＝2，∴eq\f(λ＋1,λ－1)＝2，∴λ＝3，即eq\f(|AF|,|BF|)＝3.由抛物线的对称性知，当θ＝150°时，λ＝eq\f(1,3)，即eq\f(|AF|,|BF|)＝eq\f(1,3).S△AOB＝eq\f(1,2)×|OF|×|x1－x2|＝eq\f(1,2)×eq\f(3,4)×[eq\r(x1＋x22－4x1x2)]＝eq\f(1,2)×eq\f(3,4)×[eq\r(3－4×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9,4))))]＝eq\f(3\r(3),4).故选AC．]5．[多选](2020·潍坊模拟)过抛物线y2＝3x的焦点F的直线与抛物线交于A(x1，y1)(y1＞0)，B(x2，y2)两点，点A，B在抛物线准线上的射影分别为A1，B1，AO交准线于点M(O为坐标原点)，则下列说法正确的是()A．eq\o(OA,\s\up8(→))·eq\o(OB,\s\up8(→))＝0B．∠A1FB1＝90°C．直线MB∥x轴D．|AF|·|BF|的最小值是eq\f(9,4)BCD[由题意可知，抛物线y2＝3x的焦点F的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，0))，准线方程为x＝－eq\f(3,4).易知直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为x＝my＋eq\f(3,4)，代入y2＝3x，得y2－3my－eq\f(9,4)＝0，所以y1＋y2＝3m，y1y2＝－eq\f(9,4)，则x1x2＝(my1＋eq\f(3,4))(my2＋eq\f(3,4))＝eq\f(9,16)，所以eq\o(OA,\s\up8(→))·eq\o(OB,\s\up8(→))＝(x1，y1)·(x2，y2)＝x1x2＋y1y2＝eq\f(9,16)－eq\f(9,4)＝－eq\f(27,16)≠0，所以A不正确；因为Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y\o\al(2,1),3)，y1))，O(0，0)，Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)，yM))三点共线，所以eq\f(y1,\f(y\o\al(2,1),3))＝eq\f(yM,－\f(3,4))，所以y1yM＝－eq\f(9,4)，又y1y2＝－eq\f(9,4)，所以yM＝y2，所以直线MB∥x轴，所以C正确；易知A1，B1的坐标分别为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)，y1))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)，y2))，所以eq\o(FA1,\s\up8(→))·eq\o(FB1,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)－\f(3,4)，y1))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)－\f(3,4)，y2))＝eq\f(9,4)＋y1y2＝eq\f(9,4)－eq\f(9,4)＝0，所以∠A1FB1＝90°，所以B正确；设直线AB的倾斜角为θ(θ≠0)，则|AF|＝eq\f(\f(3,2),1－cosθ)，|BF|＝eq\f(\f(3,2),1＋cosθ)，所以|AF|·|BF|＝eq\f(\f(3,2),1－cosθ)·eq\f(\f(3,2),1＋cosθ)＝eq\f(\f(9,4),sin2θ)≥eq\f(9,4)，当且仅当AB⊥x轴时取等号，所以D正确．故选BCD．]6．(2020·广东四校联考)已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，O为坐标原点，点M，N为抛物线准线上相异的两点，且M，N两点的纵坐标之积为－4，直线OM，ON分别交抛物线于A，B两点，若A，F，B三点共线，则p＝________.2[抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，准线方程为x＝－eq\f(p,2)，设Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，m))，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，n))，则mn＝－4，直线OM的斜率kOM＝eq\f(m,－\f(p,2))＝－eq\f(2m,p)，直线OM的方程为y＝－eq\f(2m,p)x，直线ON的斜率kON＝eq\f(n,－\f(p,2))＝－eq\f(2n,p)，直线ON的方程为y＝－eq\f(2n,p)x，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－\f(2m,p)x,y2＝2px))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0,y＝0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(p3,2m2),y＝－\f(p2,m)))，根据题意可得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p3,2m2)，－\f(p2,m)))