高二数学人教A版选修1-2作业学业质量标准检测2

第二章学业质量标准检测时间120分钟，满分150分．一、单项选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．命题“所有有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是(C)A．使用了归纳推理B．使用了类比推理C．使用了“三段论”，但大前提错误D．使用了“三段论”，但小前提错误[解析]大前提是错误的，故选C．2．三段论：①“所有的中国人都坚强不屈”②“武汉人是中国人”③“武汉人一定坚强不屈”中，其中“大前提”和“小前提”分别是(A)A．①② B．①③C．②③ D．②①[解析]大前提是“所有的中国人都坚强不屈”，小前提是“武汉人是中国人”，故选A．3．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n个“金鱼”图形需要火柴棒的根数为(C)A．6n－2 B．8n－2C．6n＋2 D．8n＋2[解析]归纳“金鱼”图形的构成规律知，后面“金鱼”都比它前面的“金鱼”多了去掉尾巴后6根火柴组成的鱼头部分，故各“金鱼”图形所用火柴棒的根数构成一首项为8，公差是6的等差数列，通项公式为an＝6n＋2．4．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝(C)A．28 B．76C．123 D．199[解析]利用归纳法：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4＝3＋1，a4＋b4＝4＋3＝7，a5＋b5＝7＋4＝11，a6＋b6＝11＋7＝18，a7＋b7＝18＋11＝29，a8＋b8＝29＋18＝47，a9＋b9＝47＋29＝76，a10＋b10＝76＋47＝123．规律为从第三组开始，其结果为前两组结果的和．5．若a，b，c是不全相等的正数，给出下列判断：①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；②a>b与a＜b及a＝b中至少有一个成立；③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立．其中判断正确的个数是(C)A．0 B．1C．2 D．3[解析]①②正确，③中，a≠c，b≠c，a≠b能同时成立，如a＝1，b＝2，c＝3，故选C．6．已知圆x2＋y2＝r2(r>0)的面积为S＝πr2，由此类比椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的面积最有可能是(C)A．πa2 B．πb2C．πab D．π(ab)2[解析]圆的方程可以看作是椭圆方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)中，a＝b时的情形，∵S圆＝πr2，∴类比出椭圆的面积为S＝πab．7．在一次调查中，甲、乙、丙、丁四名同学的阅读量有如下关系：同学甲、丙的阅读量之和与乙、丁的阅读量之和相同，甲、乙的阅读量之和大于丙、丁的阅读量之和，丁的阅读量大于乙、丙的阅读量之和．那么这四名同学按阅读量从大到小的顺序排列为(A)A．甲、丁、乙、丙 B．丁、甲、乙、丙C．丁、乙、丙、甲 D．乙、甲、丁、丙[解析]因为甲、丙的阅读量之和等于乙、丁的阅读量之和，甲、乙的阅读量之和大于丙、丁的阅读量之和，所以乙的阅读量大于丙的阅读量，甲的阅读量大于丁的阅读量，因为丁的阅读量大于乙、丙的阅读量之和，所以丁的阅读量大于乙的阅读量且大于丙的阅读量，所以这四名同学按阅读量从大到小的排序依次为甲、丁、乙、丙．故选A．8．某市为了缓解交通压力实行机动车辆限行政策，每辆机动车每周一到周五都要限行一天，周末(周六和周日)不限行．某公司有A，B，C，D，E五辆车，保证每天至少有四辆车可以上路行驶．已知E车周四限行，B车昨天限行，从今天算起，A，C两车连续四天都能上路行驶，E车明天可以上路，由此可知下列推测一定正确的是(B)A．今天是周六 B．今天是周四C．A车周三限行 D．C车周五限行[解析]因为每天至少有四辆车可以上路行驶，E车明天可以上路，E车周四限行，所以今天不是周三；因为B车昨天限行，所以今天不是周一，也不是周日；因为A，C两车连续四天都能上路行驶，所以今天不是周五，周二和周六，所以今天是周四，故选B．二、多项选择题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1,3,6,10，…这样的数称为“三角形数”，而把1,4,9,16，…这样的数称为“正方形数”．从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和，下列等式中，符合这一规律的是(BD)A．25＝9＋16 B．36＝15＋21C．49＝18＋31 D．64＝28＋36[解析]这些三角形数的规律是1,3,6,10,15,21,28,36,45，…，且正方形数是这串数中的相邻两数之和，很容易发现15＋21＝36,28＋36＝64，只有BD正确．10．下列函数f(x)中，满足“对任意x1、x2∈(0，＋∞)，当x1＜x2时，都有f(x1)>f(x2)”的是(AC)A．f(x)＝eq\f(1,x) B．f(x)＝(x－1)2C．f(x)＝e－x D．f(x)＝ln(x＋1)[解析]若满足题目中的条件，则f(x)在(0，＋∞)上为减函数，在A、B、C、D四选项中，由函数基本性质知，AC是减函数，故选AC．11．类比“两角和与差的正弦公式”的形式，对于给定的两个函数：S(x)＝ax－a－x，C(x)＝ax＋a－x，其中a＞0，且a≠1，下面正确的运算公式是(CD)A．S(x＋y)＝S(x)C(y)＋C(x)S(y)B．S(x－y)＝S(x)C(y)－C(x)S(y)C．2S(x＋y)＝S(x)C(y)＋C(x)S(y)D．2S(x－y)＝S(x)C(y)－C(x)S(y)[解析]经验证易知AB错误，依题意，注意到2S(x＋y)＝2(ax＋y－a－x－y)，又S(x)C(y)＋C(x)S(y)＝2(ax＋y－a－x－y)，因此有2S(x＋y)＝S(x)C(y)＋C(x)S(y)；同理有2S(x－y)＝S(x)C(y)－C(x)S(y)，综上所述，选CD．12．已知f(x)＝x3＋x，a、b、c∈R，且a＋b>0，a＋c>0，b＋c>0，则下列对于f(a)＋f(b)＋f(c)的取值说法不正确的是(BCD)A．一定大于零 B．一定等于零C．一定小于零 D．正负都有可能[解析]f(x)＝x3＋x是奇函数，且在R上是增函数，由a＋b>0得a>－b，所以f(a)>f(－b)，即f(a)＋f(b)>0，同理f(a)＋f(c)>0，f(b)＋f(c)>0，所以f(a)＋f(b)＋f(c)>0，故选BCD．三、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上)13．甲、乙、丙、丁四人分别从一个装有编号为1,2,3,4的四个完全相同的小球的袋中依次取出一个小球．现知道：①甲取出的小球编号为偶数；②乙取出的小球编号比甲大；③乙、丙取出的小球编号差的绝对值比甲大．则丁取出的小球编号是__3__．[解析]由①②可知，甲取出的小球编号为2，乙取出的小球编号可能是3或4.又|1－4|＝3＞2，|1－3|＝2，所以由③可知，乙取出的小球编号是4，丙取出的小球编号是1，故丁取出的小球编号是3．故答案为3．14．设函数f(x)＝eq\f(x,x＋2)(x>0)，观察：f1(x)＝f(x)＝eq\f(x,x＋2)，f2(x)＝f(f1(x))＝eq\f(x,3x＋4)，f3(x)＝f(f2(x))＝eq\f(x,7x＋8)，f4(x)＝f(f3(x))＝eq\f(x,15x＋16)，…根据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N*且n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝__eq\f(x,2n－1x＋2n)__．[解析]由已知可归纳如下：f1(x)＝eq\f(x,21－1x＋21)，f2(x)＝eq\f(x,22－1x＋22)，f3(x)＝eq\f(x,23－1x＋23)，f4(x)＝eq\f(x,24－1x＋24)，…，fn(x)＝eq\f(x,2n－1x＋2n)．15．甲、乙、丙三位同学中有一人申请了北京大学的自主招生考试，当他们被问到谁申请了北京大学的自主招生考试时，甲说：丙没有申请；乙说：甲申请了；丙说：甲说对了．如果这三位同学中只有一人说的是假话，那么申请了北京大学的自主招生考试的同学是__乙__．[解析]由题意得，甲、丙两人说的话同真同假，又只有一人说的是假话，所以乙说的是假话，甲、丙说的是真话，则甲没申请，丙没申请，故申请人为乙．16．观察下列等式：1＝113＝11＋2＝313＋23＝91＋2＋3＝613＋23＋33＝361＋2＋3＋4＝1013＋23＋33＋43＝1001＋2＋3＋4＋5＝1513＋23＋33＋43＋53＝225……可以推测：13＋23＋33＋…＋n3＝__eq\f(n2n＋12,4)__.(n∈N*，用含有n的代数式表示)[解析]由条件可知：13＝12,13＋23＝9＝32＝(1＋2)2,13＋23＋33＝36＝62＝(1＋2＋3)2，…，不难得出．13＋23＋33＋…＋n3＝(1＋2＋3＋…＋n)2＝[eq\f(nn＋1,2)]2＝eq\f(n2n＋12,4)．四、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本题满分10分)已知a、b、c∈R＋，求证：eq\r(\f(a2＋b2＋c2,3))≥eq\f(a＋b＋c,3)．[解析]分析法：要证eq\r(\f(a2＋b2＋c2,3))≥eq\f(a＋b＋c,3)，只需证：eq\f(a2＋b2＋c2,3)≥(eq\f(a＋b＋c,3))2，只需证：3(a2＋b2＋c2)≥a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca，只需证：2(a2＋b2＋c2)≥2ab＋2bc＋2ca，只需证：(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≥0，而这是显然成立的，所以eq\r(\f(a2＋b2＋c2,3))≥eq\f(a＋b＋c,3)成立．综合法：∵a、b、c∈R＋，∴(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≥0，∴2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ac)，∴3(a2＋b2＋c2)≥a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac，∴3(a2＋b2＋c2)≥(a＋b＋c)2，∴eq\r(\f(a2＋b2＋c2,3))≥eq\f(a＋b＋c,3)．18．(本题满分12分)先解答(1)，再通过结构类比解答(2)．(1)求证：tan(x＋eq\f(π,4))＝eq\f(1＋tanx,1－tanx)；(2)设x∈R，a为非零常数，且f(x＋a)＝eq\f(1＋fx,1－fx)，试问：f(x)是周期函数吗？证明你的结论．[解析](1)证明：根据两角和的正切公式得tan(x＋eq\f(π,4))＝eq\f(tanx＋tan\f(π,4),1－tanxtan\f(π,4))＝eq\f(tanx＋1,1－tanx)＝eq\f(1＋tanx,1－tanx)，即tan(x＋eq\f(π,4))＝eq\f(1＋tanx,1－tanx)，命题得证．(2)猜想f(x)是以4a为周期的周期函数．因为f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝eq\f(1＋fx＋a,1－fx＋a)＝eq\f(1＋\f(1＋fx,1－fx),1－\f(1＋fx,1－fx))＝－eq\f(1,fx)．所以f(x＋4a)＝f[(x＋2a)＋2a]＝－eq\f(1,fx＋2a)＝f(x)．所以f(x)是以4a为周期的周期函数．19．(本题满分12分)我们知道，在△ABC中，若c2＝a2＋b2，则△ABC是直角三角形．现在请你研究：若cn＝an＋bn(n＞2)，问△ABC为何种三角形？为什么？[解析]锐角三角形∵cn＝an＋bn(n＞2)，∴c＞a,c＞b，由c是△ABC的最大边，所以要证△ABC是锐角三角形，只需证角C为锐角，即证cosC＞0．∵cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)，∴要证cosC＞0，只要证a2＋b2＞c2， ①注意到条件：an＋bn＝cn，于是将①等价变形为：(a2＋b2)cn－2＞cn. ②∵c＞a，c＞b，n＞2，∴cn－2＞an－2，cn－2＞bn－2，即cn－2－an－2＞0，cn－2－bn－2＞0，从而(a2＋b2)cn－2－cn＝(a2＋b2)cn－2－an－bn＝a2(cn－2－an－2)＋b2(cn－2－bn－2)＞0，这说明②式成立，从而①式也成立．故cosC＞0，C是锐角，△ABC为锐角三角形．20．(本题满分12分)求证：在锐角三角形ABC中，sinA＋sinB＋sinC>cosA＋cosB＋cosC．[解析]因为在锐角三角形中，A＋B>eq\f(π,2)，所以A>eq\f(π,2)－B，所以0＜eq\f(π,2)－B＜A＜eq\f(π,2)．又因为在(0，eq\f(π,2))内，正弦函数是单调递增函数，所以sinA>sin(eq\f(π,2)－B)＝cosB，即sinA>cosB．同理可证sinB>cosC，sinC>cosA．把以上三式两端分别相加，得sinA＋sinB＋sinC>cosA＋cosB＋cosC．21．(本题满分12分)已知结论：在直角三角形中，若两直角边长分别为a，b，斜边长为c，则斜边上的高h＝eq\f(ab,c).若把该结论推广到空间：在侧棱互相垂直的四面体A－BCD中，若三个侧面的面积分别为S1，S2，S3，底面面积为S，则该四面体的高H与S，S1，S2，S3之间的关系是什么？(用S，S1，S2，S3表示)[解析]记该四面体A－BCD的三条侧棱长分别为a，b，c，不妨设S1＝eq\f(1,2)ab，S2＝eq\f(1,2)bc，S3＝eq\f(1,2)ac，由eq\f(1,3)SH＝eq\f(1,3)S1c，得H＝eq\f(S1c,S)，于是H＝eq\f(\r(S\o\al(2,1)c2),S)＝eq\f(\r(\f(1,4)a2b2c2),S)＝eq\f(\r(2\f(1,2)ab\f(1,2)bc\f(