高中数学培优讲义练习（人教A版2019选择性必修三）综合测试卷选择性必修三全册（提高篇）

选择性必修三全册综合测试卷（提高篇）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）（2022春·山西太原·高二期中）以下说法错误的是（

）A．用样本相关系数r来刻画成对样本数据的相关程度时，若r越大，则成对样本数据的线性相关程度越强B．经验回归方程y=bC．用残差平方和来刻画模型的拟合效果时，若残差平方和越小，则相应模型的拟合效果越好D．用相关指数R2来刻画模型的拟合效果时，若R【解题思路】根据回归分析的相关依次讨论各选项即可得答案.【解答过程】解：对于A选项，样本相关系数r来刻画成对样本数据的相关程度，当r越大，则成对样本数据的线性相关程度越强，故A正确；对于B选项，经验回归方程y=bx+对于C选项，残差平方和越小，则相应模型的拟合效果越好，故C正确；对于D选项，相关指数R2来刻画模型的拟合效果时，若R故选：D.2．（5分）（2023春·山西晋城·高三阶段练习）某文艺演出团从包括甲、乙、丙在内的7名演员中选派4名参加演出，要求甲、乙、丙这3名演员中至少有1人参加，且当这3名演员都参加时，甲和乙的演出顺序不能相邻，丙必须排在前两位，则所选派的这4名演员不同的演出顺序有（

）A．680种 B．720种 C．744种 D．768种【解题思路】考虑甲乙丙中有1，2，3人参加时三种情况，根据分类和分步原理，结合排列组合公式计算种数相加得到答案.【解答过程】当甲乙丙中有1人参加时：C3当甲乙丙中有2人参加时：C3当甲乙丙中有3人参加时：C4综上所述：共有288+432+24=744种顺序.故选：C.3．（5分）（2023·高二单元测试）为了了解居家学习期间性别因素是否对学生体育锻炼的经常性有影响，某校随机抽取了40名学生进行调查，按照性别和体育锻炼情况整理出如下的2×2列联表：性别锻炼情况合计不经常经常女生/人14721男生/人81119合计/人221840注：χ2独立性检验中，χ常用的小概率值和相应的临界值如下表：α0.10.050.010.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.828根据这些数据，给出下列四个结论：①依据频率稳定于概率的原理，可以认为性别对体育锻炼的经常性有影响；②依据频率稳定于概率的原理，可以认为性别对体育锻炼的经常性没有影响；③根据小概率值α=0.05的独立性检验，可以认为性别对体育锻炼的经常性有影响，这个推断犯错误的概率不超过0.05；④根据小概率值α=0.05的独立性检验，没有充分证据推断性别对体育锻炼的经常性有影响，因此可以认为性别对体育锻炼的经常性没有影响．其中，正确结论的序号是（

）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【解题思路】分别求出男生和女生经常锻炼的频率即可依据频率稳定于概率的原理判断，求出卡方值，和3.841比较即可根据小概率值α=0.05的独立性检验判断.【解答过程】由表可知，女生有21人，其中经常锻炼的有7人，频率为721男生有19人，其中经常锻炼的有11人，频率为1119因为1119>13，依据频率稳定于概率的原理，可以认为性别对体育锻炼的经常性有影响，故χ2=40×14×11−7×8221×19×22×18≈2.431<3.841故选：B.4．（5分）（2023·全国·高三专题练习）随机变量X的分布列是（

）X246PabcA．EX≥D(X)C．E(X)≥D(X) D．E(X)≤D(X)【解题思路】由均值的定义求出均值E(X)=2a+4b+6c,a+b+c=1，由方差公式计算出方差D(X)=(2－E(X))【解答过程】E(X)=2a+4b+6c，D(X)=E=2(2a+4b+6c)2故选：A.5．（5分）（2022春·湖北十堰·高二阶段练习）已知某校有1200名同学参加某次模拟考试，其中数学考试成绩X近似服从正态分布N100,225，则下列说法正确的有（

（参考数据：①P(μ−σ<X≤μ+σ)=0.6827；②P(μ−2σ<X≤μ+2σ)=0.9545；③P(μ−3σ<X≤μ+3σ)=0.9973）A．这次考试成绩超过100分的约有500人B．这次考试分数低于70分的约有27人C．P(115<X≤130)=0.0514D．从中任取3名同学，至少有2人的分数超过100分的概率为2【解题思路】由正态分布的性质则PX>100【解答过程】由题意可知，对于选项A，μ=100，σ=15，则PX>100=1对于选项B，PX>70=P70<X<100+PX>100=12对于选项C，PX<115=PX<100+12P100−15<X<100+15=0.5+1对于选项D，因为PX>100=12，且至少有2人的分数超过100分的情况如下：①恰好2人时概率为C321故选：B．6．（5分）（2023秋·安徽亳州·高二期末）已知1−2x2023=aA．展开式中所有项的二项式系数的和为2B．展开式中所有偶数项系数的和为3C．展开式中所有奇数项系数的和为3D．a【解题思路】根据二项式系数的和即可判断A；分别令x=1,x=−1，即可判断BC；令x=0.x=1【解答过程】对于A，二项式1−2x2023展开式中所有项的二项式系数的和为2对于B，令x=1，a0令x=−1，则a0两式相减得展开式中所有偶数项系数的和为−3对于C，由选项B知，两式相加得展开式中所有奇数项系数的和为32023对于D，令x=0，则a0令x=12，则所以a1故选：B.7．（5分）（2022秋·陕西咸阳·高三开学考试）某企业秉承“科学技术是第一生产力”的发展理念，投入大量科研经费进行技术革新，该企业统计了最近6年投入的年科研经费x（单位：百万元）和年利润y（单位：百万元）的数据，并绘制成如图所示的散点图．已知x，y的平均值分别为x=7，y=10．甲统计员得到的回归方程为y=1.69x+①当投入年科研经费为20（百万元）时，按乙统计员的回归方程可得年利润估计值为75.6（百万元）（取e3.4②a=−1.83③方程y=1.69x+a比方程④y与x正相关．以上说法正确的是（

）A．①③④ B．②③ C．②④ D．①②④【解题思路】结合样本中心点过回归直线方程，已知数据，散点图等依次判断各命题即可得答案.【解答过程】解：将x=20代入y=2.52e0.17x，得y将x=7，y=10代入y=1.69x+a得由散点图可知，回归方程y=2.52e0.17x比y因为y随x的增大而增大，所以y与x正相关，④正确．故①②④正确．故选：D．8．（5分）（2022春·全国·高二期末）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球(球除颜色外，大小质地均相同)．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1, A2和A①事件A1与A②A1，A2，③P(B|A④PB⑤P(A．5 B．4 C．3 D．2【解题思路】先判断出A1，A2，A3是两两互斥的事件，且不满足PA1A2=PA【解答过程】显然，A1，A2，PA1=55+2+3=12，PA2=25+2+3=1PB=PPA1B故选：C.二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．（5分）（2023·全国·高二专题练习）下列结论正确的是（

）A．k=0B．多项式1+2x−xC．若(2x−1)10=D．2【解题思路】对于A利用二项式定理可证明，对于B分4种情况分别求x3【解答过程】对于A，k=0==(1+2)对于B，1+2x−x6的展开式的通项为C6当r=3时，有C63(2x当r=4时，有C64(当r=5时，有C65(2x当r=4时，有C66(故多项式1+2x−x6展开式中对于C，(2x−1)10的展开式的通项为(−1)10−r2rC所以a0所以令x=−1，有(−2−1)10因此a0故C正确；对于D，2=(C故选：ACD.10．（5分）（2022春·重庆万州·高二阶段练习）第24届冬奥会于2022年2月4日在中国北京市和张家口市联合举行.甲，乙等5名志愿者计划到高山滑雪、自由式滑雪、短道速滑和花样滑冰4个比赛区从事志愿者活动，则下列说法正确的有（

）A．若短道速滑赛区必须安排2人，其余各安排1人，则有60种不同的方案B．若每个比赛区至少安排1人，则有240种不同的方案C．安排这5人排成一排拍照，若甲、乙相邻，则有42种不同的站法D．已知这5人的身高各不相同，若安排5人拍照，前排2人，后排3人，且后排3人中身高最高的站中间，则有40种不同的站法【解题思路】应用分步计数法，结合不平均分组分配、捆绑法、特殊位置法，利用组合排列数求各选项对应安排方法的方法数.【解答过程】若短道速滑赛区必须安排2人，其余各安排1人，则先从5人中任选2人安排在短道速滑赛区，剩余3人在其余三个比赛区全排列，故有C5若每个比赛区至少安排1人，则先将5人按“2，1，1，1”形式分成四组，再分配到四个岗位上，故有C5若甲、乙相邻，可把2人看成一个整体，与剩下的3人全排列，有A44种排法，甲、乙两人相邻有A2前排有A52种站法，后排3人中最高的站中间有A2故选：ABD.11．（5分）（2022春·江苏常州·高二期末）北京冬奥会成功举办后，大众对冰雪运动关注度不断上升，为研究市民对冰雪运动的喜好是否和性别有关，某校学生社团对市民进行了一次抽样调查，得到列联表如下：冰雪运动的喜好性别合计男性女性喜欢140m140＋m不喜欢n8080＋n合计140＋n80＋m220＋m＋n若男性喜欢冰雪运动的人数占男性人数710，女性喜欢冰雪运动的人数占女性人数35，则（A．列联表中n的值为60，m的值为120B．随机对一位路人进行调查，有95%的可能性对方喜欢冰雪运动C．有95%的把握认为市民对冰雪运动的喜好和性别有关D．没有99%的把握认为市民对冰雪运动的喜好和性别有关【解题思路】根据题意分别计算m,n的值，填写列联表，计算观测值，对照临界值即可得出结论．【解答过程】解：因为男性喜欢冰雪运动的人数占男性人数的710所以140140+n=7又因为女性喜欢冰雪运动的人数占女性人数的35所以b80+m=35，解得计算260400=0.65，所以随机对一路人进行调查，有65%填写列联表为：冰雪运动的喜好性别合计男性女性喜欢140120260不喜欢6080140合计200200400由表中数据，计算K2所以有95%的把握认为市民性别和喜欢冰雪运动有关系，选项C因为K2≈4.396<6.635，所以没有99%故选：ACD．12．（5分）（2022·高二单元测试）以人工智能、量子信息等颠覆性技术为引领的前沿趋势，将重塑世界工程科技的发展模式，对人类生产力的创新提升意义重大．某公司抓住机遇，成立了甲、乙、丙三个科研小组针对某技术难题同时进行科研攻关，攻克该技术难题的小组都会受到奖励．已知甲、乙、丙三个小组攻克该技术难题的概率分别为12，12，A．甲、乙、丙三个小组均受到奖励的概率为1B．只有甲小组受到奖励的概率为1C．受到奖励的小组数的期望值等于3D．该技术难题被攻克，且只有丙小组受到奖励的概率为2【解题思路】根据相互独立事件的概率计算公式针对不同的选项分别求解，即可判断A，B；利用概率公式结合期望公式可判断C；利用条件概率的计算公式，即可判断选项D．【解答过程】对于A，甲、乙、丙三个小组均受到奖励，即三个小组都攻克了该技术难题，其概率为12对于B，只有甲小组受到奖励，即只有甲小组攻克该技术难题，其概率为12对于C，记受到奖励的小组数为X，则X的所有可能取值为0，1，2，3，且PX=0PX=1PX=3=1故X的数学期望EX=0×1对于D，设事件A为“该技术难题被攻克”，事件B为“只有丙小组受到奖励”，由题意得PA=1−1−12故选：AD.三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）（2023春·江西·高二开学考试）网课期间，小王同学趁课余时间研究起了七巧板，有一次他将七巧板拼成如下图形状，现需要给下图七巧板右下方的五个块涂色（图中的1，2，3，4，5），有4种不同颜色可供选择，要求有公共边的两块区域不能同色，有252种不同的涂色方案.【解题思路】先给2涂色，再涂5，再涂3、4，这一步要分3与5同色和3和5不同色两种情况，最后涂1，按分步计数乘法原理计算.【解答过程】第一步：涂2，有4种颜色；第二步：涂5，有3种颜色第三步：涂3、4，当3与5同色时，4有3种颜色；当3和5不同色时，3有2种颜色，4有2种颜色，第三步共7种.第四步：涂1，有3种颜色.共计4×3×7×3=252种.故答案为：252.14．（5分）（2023·高三课时练习）已知一试验田种植的某种作物一株生长果实的个数x服从正态分布N90,σ2，且P(X<70)=0.2，从试验田中随机抽取10株，果实个数在[90，110]的株数记作随机变量X，且X【解题思路】由P(X<70)=0.2,利用正态分布的对称性求得P(90<X<110)=0.5−0.2=0.3,则X~B(10,0.3),利用二项分布的方差公式可得结果.【解答过程】∵X~N90,σ2,且P(X<70)=0.2∴P(X>110)=0.2,∴P(90≤X≤110)=0.5−0.2=0.3,由题意可得X~B(10,0.3),所以X的方差为10×0.3×(1−0.3)=2.1，故答案为:2.1.15．（5分）（2022·全国·高三专题练习）有甲、乙两个班级共计105人进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩，得到如下所示的列联表：优秀非优秀总计甲班10b乙班c30已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为27，则下列说法正确的是②③①列联表中c的值为30，b的值为35；②列联表中c的值为20，b的值为45；③根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系”；④根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”．【解题思路】根据题意可计算出成绩优秀的学生数，从而求得c，继而求得b，判断①②；根据列联表数据计算K2的值并与临界值表中数据进行比较，即可判断③④【解答过程】由题意得在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为27则成绩优秀的学生有105×27=30成绩非优秀的学生有75人，乙班由30人，则甲班哟有45人，即b=45,故①错误，②正确；由列联表可得K2故按95%的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系”，③正确，④错误；故答案为：②③.16．（5分）（2022·高二单元测试）现有一款闯关游戏，共有4关，规则如下：在第n关要抛掷骰子n次，每次观察向上面的点数并做记录，如果这n次抛掷所出现的点数之和大于2n+n，则算闯过第n关，n=1，2，3，4．假定每次闯关互不影响，则下列结论错误的序号是（1）直接挑战第2关并过关的概率为712（2）连续挑战前两关并过关的概率为524（3）若直接挑战第3关，设A＝“三个点数之和等于15”，B＝“至少出现一个5点”，则PA（4）若直接挑战第4关，则过关的概率是351296【解题思路】由古典概型，独立事件的乘法公式，条件概率公式对结论逐一判断【解答过程】对于（1），22即直接挑战第2关并过关的概率为P1对于（2），21+1=3，所以挑战第1关通过的概率则连续挑战前两关并过关的概率为P=P对于（3），由题意可知，抛掷3次的基本事件有63抛掷3次至少出现一个5点的事件共有63故PB=91故PA∩B=7对于（4），当n=4时，2n而“4次点数之和大于20”包含以下35种情况：含5，5，5，6的有4种，含5，5，6，6的有6种，含6，6，6，6的有1种，含4，6，6，6的有4种，含5，6，6，6的有4种，含4，5，6，6的有12种，含3，6，6，6的有4种，所以P4故答案为：（2）.四．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2022春·高二课时练习）已知(1−x)（1）求a1（2）求1a【解题思路】（1）根据已知条件，令x=0，求得a0，令x=1，即可求得a（2）由二项式定理可得ak=−1kC2020k【解答过程】（1）1−x2020=a在①中，令x=0，得a0在①中，令x=1，得a0∴a1（2）∵(1−x)由二项式定理可得ak=−1kC∵1=n+1∴k=0=1∵1C∴k=0=202118．（12分）（2022·高二单元测试）1.如图，已知图形ABCDEF，内部连有线段.（用数字作答）(1)由点A沿着图中的线段到达点E的最近路线有多少条？(2)由点A沿着图中的线段到达点C的最近路线有多少条？(3)求出图中总计有多少个矩形？【解题思路】（1）由题意转化条件为点A需向右移动3次、向上移动3次，结合组合的知识即可得解；（2）设出直线DE上其它格点为G、H、P，按照A→E→C、A→G→C、A→H→C、A→P→C分类，结合分步乘法、组合的知识即可得解；（3）由题意转化条件为从竖线中选出两条、横线中选出两条组成图形，按照矩形的边在不在CD上分类，利用分步乘法、组合的知识即可得解.【解答过程】（1）由题意点A沿着图中的线段到达点E的最近路线需要移动6次：向右移动3次，向上移动3次，故点A到达点E的最近路线的条数为C6（2）设点G、H、P的位置如图所示：则点A沿着图中的线段到达点C的最近路线可分为4种情况：①沿着A→E→C，共有C6②沿着A→G→C（不经过E），共有C5③沿着A→H→C（不经过E、G），共有C4④沿着A→P→C（不经过E、G、H），共有C5故由点A沿着图中的线段到达点C的最近路线有60+30+16+5=111条；（3）由题意，要组成矩形则应从竖线中选出两条、横线中选出两条，可分为两种情况：①矩形的边不在CD上，共有C4②矩形的一条边在CD上，共有C4故图中共有90+12=102个矩形.19．（12分）（2023·陕西宝鸡模拟预测）在高考结束后，程浩同学回初中母校看望数学老师，顺便帮老师整理初三年级学生期中考试的数学成绩，并进行统计分析，在整个年级中随机抽取了200名学生的数学成绩，将成绩分为40,50，50,60，60,70，70,80，80,90，90,100，共6组，得到如图所示的频率分布直方图，记分数不低于90分为优秀．(1)从样本中随机选取一名学生，已知这名学生的分数不低于70分，问这名学生数学成绩为优秀的概率；(2)在样本中，采取分层抽样的方法从成绩在70,100内的学生中抽取13名，再从这13名学生中随机抽取3名，记这3名学生中成绩为优秀的人数为X，求X的分布列与数学期望．【解题思路】（1）先由频率直方图中频率之和为1求得a=0.025，从而求得不低于70分与不低于90分的人数，由此求得这名学生成绩是优秀的概率；（2）结合（1）中结论，求得成绩在70,80，80,90与90,100内的人数，从而利用分层抽样比例相同求得各区间所抽人数，由此利用组合数求得X各取值的概率，进而得到X的分布列与数学期望．【解答过程】（1）依题意，得0.005+0.010+0.020+0.030+a+0.010×10=1，解得a=0.025则不低于70分的人数为200×0.030+0.025+0.010成绩在90,100内的，即优秀的人数为200×0.010×10=20；故这名学生成绩是优秀的概率为213（2）成绩在70,80内的有200×0.030×10=60（人）；成绩在80,90内的有200×0.025×10=50（人）；成绩在90,100内的有20人；故采用分层抽样抽取的13名学生中，成绩在70,80内的有6人，在80,90内的有5人，在90,100内的有2人，所以由题可知，X的可能取值为0，1，2，则PX=0=C113所以X的分布列为：X012P1551故EX20．（12分）（2023·河北衡水·模拟预测）某游戏中的角色“突击者”的攻击有一段冷却时间（即发动一次攻击后需经过一段时间才能再次发动攻击）.其拥有两个技能，技能一是每次发动攻击后有12的概率使自己的下一次攻击立即冷却完毕并直接发动，该技能可以连续触发，从而可能连续多次跳过冷却时间持续发动攻击；技能二是每次发动攻击时有1(1)当“突击者”发动一轮攻击时，记事件A为“技能一和技能二的触发次数之和为2”，事件B为“技能一和技能二各触发1次”，求条件概率P(2)设n是正整数，“突击者”一轮攻击造成的伤害为2n的概率记为Pn，求P【解题思路】（1）分析试验过程，分别求出PA和P（2）分析“突击者”一轮攻击造成的伤害为2n,分为：i.进行2n次，均不触发技能二；前面的2n−1次触发技能一，最后一次不触发技能一；ii.第一次触发技能二，然后的n−1次触发技能一，第n次未触发技能一；iii.前面的2k,k=1,2,n−1次未触发技能二，然后接着的第2k+1次触发技能二；前面的n+k−1触发技能一，第n+k次未触发技能一.分别求概率.即可求出P【解答过程】（1）两次攻击，分成下列情况：i.第一次攻击，技能一和技能二均触发，第二次攻击，技能一和技能二均未触发；ii.第一次攻击，技能一触发，技能二未触发，第二次攻击，技能二触发，技能一未触发；iii.第一、二次攻击，技能一触发，技能二未触发，第三次攻击，技能一、二未触发；所以PAPAB所以PB（2）“突击者”一轮攻击造成的伤害为2n,分为：i.记事件D：进行2n次，均不触发技能二；前面的2n−1次触发技能一，最后一次不触发技能一.其概率为：Pii.记事件E：第一次触发技能二，然后的n−1次触发技能一，第n次未触发技能一.其概率为：Piii.记事件Fk：前面的2k,k=1,2,n−1次未触发技能二，然后接着的第2k+1次触发技能二；前面的n+k−1触发技能一，第PF则事件F1,F所以PF=P=1=8所以P===821．（12分）（2022秋·重庆沙坪坝·高三阶段练习）下面给出了根据我国2012年～2018年水果人均占有量y（单位：kg）和年份代码x绘制的散点图和线性回归方程的残差图（2012年～2018年的年份代码x分别为1～7）.（1）根据散点图说明y与x之间的相关关系（线性正相关、线性负相关或无相关关系）；（2）根据散点图相应数据计算得i=1nyi=1071，i=17（3）根据线性回归方程的残差图，分析线性回归方程的拟合效果.附：回归方程y=a+bx中斜率和截距的最小二乘计公式分别为：【解题思路】（1）由图像的走势，即可得解；（2）求线性回归方程相关量x，y以及i=17（3）由残差