2023年四川省达州市中考数学真题卷（含答案与解析）

达州市2023年高中阶段学校招生统一考试暨初中学业水平考试

数学

本考试为闭卷考试，考试时间120分钟，满分150分.本试卷分为第I卷（选择题）和第π

卷（非选择题）两部分，共8页.

温馨提示:

1.答题前，考生需用0∙5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号正确填写在答题

卡对应位置.待监考老师粘贴条形码后，再认真核对条形码上的信息与自己的准考证上的信

息是否一致.

2.选择题必须使用2B铅笔在答题卡相应位置规范填涂.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再

选涂其他答案标号；非选择题用0∙5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡对应的框

内，超出答题区答案无效；在草稿纸、试题卷上作答无效.

3.保持答题卡整洁，不要折叠、弄破、弄皱，不得使用涂改液、修正带、刮纸刀.

4.考试结束后，将试卷及答题卡一并交回.

第I卷（选择题共40分）

一、单项选择题（每小题4分，共40分）

1.一2023的倒数是（）

11

A.-2023B.2023D.-------

20232023

2.下列图形中，是长方体表面展开图是（）

C.

3.某市政府在2022年着力稳定宏观经济大盘，全市经济发展取得新成效,全年生产总值实现2502.7亿

元.数据2502.7亿用科学记数法表示为（）

A.2502.7×108B.2.5027×10"C.2.5027×10'°D.2.5027×103

4.一组数据2,3,5,2,4,则这组数据众数和中位数分别为（)

A3和5B.2和5C.2和3D.3和2

5.如图，AE//CD,AC平分NBCoN2=35°,N0=60°则/3=(

C.45°D.25°

6.下列计算正确的是（）

A.a+a^—aiB.a2-a3=a6C.(2ɑ¼)3=6<a9⅛3D.ab÷a4-CT

7.某镇的“脆红李”深受广大市民的喜爱,也是馈赠亲友的尚佳礼品，首批“脆红李”成熟后，当地某电

商用12000元购进这种“脆红李”进行销售，面市后，线上订单猛增供不应求，该电商又用IlOOO元购进

第二批这种“脆红李”，由于更多“脆红李”成熟，单价比第一批每件便宜了5元，但数量比第一批多购

进了40件，求购进的第一批“脆红李”的单价.设购进的第--批“脆红李”的单价为尤元/件，根据题意

可列方程为（）

1200011000C12000C11000

A.=------------40B.------------40=

XX—5Xx+5

12000CHOOO11000C12000

C.+40=---------D.---------+40=

x+5XXx-5

8.下列命题中，是真命题的是（）

A.平行四边形是轴对称图形

B.对角线互相垂直的四边形是菱形

C.到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上

D.在二ABC中，若NA:4:NC=3:4:5,则-ABe是直角三角形

9.如图，四边形ABC。是边长为T的正方形，曲线D44GR4∙是由多段90°的圆心角的圆心为C,半

径为CB/CQl的圆心为D，半径为QG,D41'AB∣、用品GA的圆心依次为A、B、C、。循环，则

‰‰的长是（）

乃

c2023

'4D.2022万

10.如图，抛物线y=0χ2+灰+c（α,A,c为常数）关于直线x=l对称.下列五个结论：①出七>（）；②

2α+b=0;③4a+2Z>+c>0;©am2+bm>a+b<⑤3α+c>0∙其中正确的有（）

第π卷（非选择题共Iio分）

二、填空题（每小题4分，共20分）

2

H.函数y=-7"的自变量X的取值范围是_______.

√Λ-1

12.己知知w是方程2/+乙一2=0的两个实数根，且（Xl—2）（/-2）=10,则Z的值为

13.如图，乐器上的一根弦AB=80cm,两个端点A8固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点8的黄金

分割点，支撑点。是靠近点A的黄金分割点，C,。之间的距离为.

2

如图，一次函数与反比例函数的图象相交于两点，以为边作等边三角形

14.y=2xy=—AJBAb

X

ABC,若反比例函数y=&的图象过点C,则左的值为.

X

15.在ABC中，ΛB=4√3.NC=60°,在边BC上有一点P,且3P=‘4C,连接AP,则AP的

2

最小值为.

三、解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤(共90分)

16.(1)计算：√12+I^l-(2∞3-π)0-2cos30o；

(2)先化简，再求值；∖a+2一一J]÷三々，其中“为满足0<α<4的整数.

17.在深化教育综合改革、提升区域教育整体水平的进程中，某中学以兴趣小组为载体，加强社团建设，

艺术活动学生参与面达100%，通过调查统计，八年级二班参加学校社团的情况(每位同学只能参加其中

一项)：A.剪纸社团，B.泥塑社团，C.陶笛社团，D.书法社团，E.合唱社团，并绘制了如下两幅不

完整的统计图.

图I图2

(1)该班共有学生人，并把条形统计图补充完整；

(2)扇形统计图中，机=,M=,参加剪纸社团对应的扇形圆心角为

度；

(3)小鹏和小兵参加了书法社团，由于参加书法社团几位同学都非常优秀，老师将从书法社团的学生中

选取2人参加学校组织的书法大赛，请用“列表法”或“画树状图法”，求出恰好是小鹏和小兵参加比赛

的概率.

18.如图，网格中每个小正方形的边长均为1,_ABC的顶点均在小正方形的格点上.

(1)将_ABC向下平移3个单位长度得到AAgG,画出444G；

(2)将一ABC绕点C顺时针旋转90度得到画出AA刍G;

(3)在(2)的运动过程中请计算出一ABC扫过的面积.

19.莲花湖湿地公园是当地人民喜爱的休闲景区之一，里面的秋千深受孩子们喜爱.如图所示，秋千链子

的长度为3m,当摆角NBOC恰为26°时，座板离地面的高度为0.9m,当摆动至最高位置时，摆角

NAOC为50°,求座板距地面的最大高度为多少m?(结果精确到0.1m；参考数据：sin26o≈0.44,

cos26o≈0.9.tan26o≈0.49,sin50o≈0.77,cos50o≈0.64.tan50o≈1.2)

(1)尺规作图：作/BAC角平分线交BC于点尸(不写做法，保留作图痕迹)；

(2)在(1)所作图形中，求ABP的面积.

21.如图，内接于。O,AB=BC,尸是OB延长线上的一点，NPAB=ZACB,

AC.BD相交于点E.

P

(1)求证：4j是：。的切线；

⑵若BE=2,DE=4,ZP=30°.求AP的长.

22.某县著名传统土特产品“豆笋”、“豆干”以“浓郁豆香，绿色健康”享誉全国，深受广大消费者喜

爱.已知2件豆笋和3件豆干进货价为240元，3件豆笋和4件豆干进货价为340元.

(1)分别求出每件豆笋、豆干的进价；

3

(2)某特产店计划用不超过10440元购进豆笋、豆干共200件，且豆笋的数量不低于豆干数量的一，该

2

特产店有哪几种进货方案？

(3)若该特产店每件豆笋售价为80元，每件豆干售价为55元，在(2)的条件下，怎样进货可使该特产

店获得利润最大，最大利润为多少元？

23.【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为12V的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电

流大小，完成控制灯泡L(灯丝的阻值&=2Q)亮度的实验(如图)，已知串联电路中，电流与电阻

12

⑵【探究】根据以上实验，构建出函数y=77i(x≥0),结合表格信息，探究函数

12

y=x+2(x≥0)的图象与性质∙

12

①在平面直角坐标系中画出对应函数y=≥°)的图象;

J¼

^7--------r-----------»---------T----------▼----------r---------r---------r---------▼---------r

/IlllIllll

IlllIllll

IlllIllll

A------------1-----------1--------4----------X------------1-----------1--------4---------4.---------J

UIlllIllll

IlllIllll

IlllIllll

C----------J---------」--1-------1------------1-----------1--------A---------1---------J

ɔIlllIllll

IlllIllll

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AIlllIllll

41—1—τ—T--I—1—T—τ—1

IlllIllll

IlllIllll

CIlllIllil

J--------r-------r-----τ------τ--------1-------r-------r------τ------1

IlllIllll

IlllIllll

Z--------»T++-•T-—»+q

IlllIllll

IlllIllll

J---1--n--1—-τ---->—-t---t——十—-1

IlllIllll

IlllIllll

IlllIllll

0~I~2~3~4~5~6^^7~8~ɪ

②随着自变量X的不断增大，函数值)的变化趋势是.

123

(3)【拓展】结合(2)中函数图象分析，当x≥O时，一τ≥一彳x+6的解集为________

x+22

24.如图，抛物线y="?+"+C过点4(一1,0),3(3,0),C(0,3).

(1)求抛物线的解析式；

(2)设点P是直线BC上方抛物线上一点，求出乙PBC的最大面积及此时点P的坐标；

(3)若点M是抛物线对称轴上一动点，点N为坐标平面内一点，是否存在以BC为边，点

B、C.M、N为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

25.(1)如图①，在矩形ABCD的AB边上取一点E，将VAr)E沿Z)E翻折，使点A落在5C上A'

处，若A8=6,8C=1O,求色上的值；

EB

B：.....后LC〉A，

b

A'CB'D

图①图②图③

（2）如图②，在矩形ABC。的BC边上取一点E,将四边形A8ED沿OE翻折，使点B落在QC的延长

线上B'处，若3C∙CE=24,A8=6,求BE的值；

（3）如图③，在/BC中，ZBAC45o,AD±BC,垂足为点。,AD=1（）,AE=6,过点E作

EFJ.AD交AC于点、F，连接。尸，且满足NZ）EE=2ND4C,直接写出30+:£：厂的值.

参考答案

一、单项选择题（每小题4分，共40分）

I.一2023的倒数是（）

A.-2023B.2023C.

【答案】C

【解析】

【分析】根据相乘等于1的两个数互为倒数，即可求解.

【详解】解：一2023的倒数是—」rτ,

故选：C.

【点睛】本题考查了倒数，掌握倒数的定义是解题的关键.

2.下列图形中，是长方体表面展开图的是（）

D.

【答案】C

【解析】

分析】根据长方体有六个面，以及Z字型进行判断即可.

【详解】解：A中展开图有7个面，不符合要求；

B中展开图无法还原成长方体，不符合要求；

C正确，故符合要求；

D中展开图有5个面，不符合要求，

故选：C.

【点睛】本题考查了长方体的展开图.解题的关键在于对知识的熟练掌握.

3.某市政府在2022年着力稳定宏观经济大盘，全市经济发展取得新成效，全年生产总值实现2502.7亿

元.数据2502.7亿用科学记数法表示为（）

A.2502.7×IO8B.2.5027×10"C.2.5027×IO10D.2.5027×IO3

【答案】B

【解析】

【分析】科学记数法的表示形式为αxlθ"的形式，其中l≤∣α∣<10,〃为整数.确定〃的值时，要看把原

数变成。时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相同.

【详解】解：2502.7亿元=250270000000元

250270000000=2.5027×10l'

故选：B.

【点睛】此题主要考查了科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为αX10"的形式，其中

1≤∣α∣<10,〃为整数，表示时关键要正确确定。的值以及〃的值.

4.一组数据2,3,5,2,4,则这组数据的众数和中位数分别为（）

A.3和5B.2和5C.2和3D.3和2

【答案】C

【解析】

【分析】根据众数和中位数的概念求解.

【详解】解：将数据重新排列为2,2,3,4,5,

所以这组数据的众数为2,中位数3,

故选C.

【点睛】本题考查了众数和中位数的概念：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小

到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如

果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数.

5如图，AE//CD,AC平分NBCr>,N2=35°,=60。则NB=()

A.52oB.50oC.45oD.25°

【答案】B

【解析】

【分析】根据平行线的性质得出Nl=/2=35°,再由角平分线确定NBe£>=70°,利用三角形内角和定理

求解即可.

【详解】解：；A七〃C。，

/.NI=N2=35。，

,/AC平分/88,

.∙.ZBCD=2N1=70°,

∙.∙ZD=60o,

.∙.NB=180。一ZBCD-ND=50°,

故选:B.

【点睛】题目主要考查平行线的性质及角平分线的计算，三角形内角和定理，理解题意，综合运用这些知识

点是解题关键.

6.下列计算正确的是()

A.a+a2=aiB.a2∙a3=abC.(2^¼)3=6w9⅛,D.a6÷a4=a2

【答案】D

【解析】

【分析】分别利用合并同类项、同底数基的乘法、积的乘方和幕的乘方、同底数幕的除法运算法则逐项判断

即可作出选择.

【详解】解：A、。与/不能合并，故本选项计算错误，不符合题意；

B、a2-a3=a5,故本选项计算错误，不符合题意；

C、(24%y=8∕/,故本选项计算错误，不符合题意；

b42

D、a÷a=a,故本选项计算正确，符合题意.

故选：D.

【点睛】本题考查合并同类项、同底数累的乘法、积的乘方和基的乘方、同底数塞的除法，熟练掌握相关运

算法则是解答的关键.

7.某镇的“脆红李”深受广大市民的喜爱，也是馈赠亲友的尚佳礼品，首批“脆红李”成熟后，当地某电

商用12000元购进这种“脆红李”进行销售，面市后，线上订单猛增供不应求，该电商又用IIOOO元购进

第二批这种“脆红李”，由于更多“脆红李”成熟，单价比第一批每件便宜了5元，但数量比第一批多购

进了40件，求购进的第-一批“脆红李”的单价.设购进的第一批“脆红李”的单价为X元/件，根据题意

可列方程为（）

12000IlOOO八12000八IlOOO

A.--------=-----------4Z0Iz4

Xx-5Xx+5

C12000HOOOIlOOO12000

C.--------+40=---------D.--------÷40=---------

x+5XXx—5

【答案】A

【解析】

【分析】设购进的第-一批“脆红李”的单价为X元/件，则购进第二批“脆红李”的单价为（X-5）元/件，根

据购进的第二批这种“脆红李”比第一批多购进了40件，列出方程即可.

【详解】解：设购进的第一批“脆红李”的单价为X元/件，则购进第二批“脆红李”的单价为（％-5）元/

件，根据题意得：

12000110∞

-40,故A正确.

XX—5

故选：A.

【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是找出题目中的等量关系式.

8.下列命题中，是真命题的是（）

A.平行四边形是轴对称图形

B.对角线互相垂直的四边形是菱形

C.到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上

D.在.一ABC中，若NA:4:NC=3:4:5,则..ABC是直角三角形

【答案】C

【解析】

【分析】根据平行四边形的性质及菱形的判定、垂直平分线的性质、三角形内角和定理依次判断即可.

【详解】解：A、平行四边形是中心对称图形，选项是假命题，不符合题意；

B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，

C、到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，是真命题，符合题意；

D、设NA=3x,∕∙δ=4x,/C=5x,

：三角形内角和为180°,

，3x+4x+5x=180°,

.,.χ=15o

.∙.5X=75°,则.ABC为锐角三角形，

二该选项为假命题，不符合题意.

故选：C.

【点睛】本题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题；解决此题的关键是掌握

平行四边形的性质及菱形的判定、垂直平分线的性质、三角形内角和定理.

9.如图，四边形ABCD是边长为T的正方形，曲线DAgGRA是由多段90°的圆心角的圆心为C,半

径为C4；GA的圆心为。，半径为QG,。4、4旦、4。1、GR的圆心依次为A、B、a。循环，则

【答案】A

【解析】

【分析】曲线。A4G04…是由一段段90度的弧组成的，半径每次比前一段弧半径+g,得到

A。I=A4=4xg("-l)+g,BA,=BB,,=4×∣(∏-1)+1,得出半径，再计算弧长即可.

【详解】解：由图可知，曲线D4gCQ∣A2…是由一段段90度的弧组成的，半径每次比前一段弧半径+；,

13

..AD=AA=-,BA】=BB]=1,CB=CC=-,DC=DD=2,

j22111t

I3

AD1=AA2=2+-fBA2=BB2=2+1,CB2=CC2=I+-,DC2=DD2=2÷2,

AAl=A4=4xg("-l)+g,fiʌ=ββn=4×1(M-1)+1,

故4。23%3的半径为84023=驱必=4xgx(2023-l)+l=4045,

..90.ʌ..4045

∙,∙的弧zjιτr长lx=-X4045万=--π.

*20232023JgQ2

故选A

【点睛】此题主要考查了弧长计算，弧长的计算公式：/=Y株lTTr，找到每段弧的半径变化规律是解题关键.

180

10.如图，抛物线y=0√+⅛r+c4C为常数）关于直线x=l对称.下列五个结论：®abc>0；②

2α+b=0;®4a+2b+c>0;®am2+bm>ajrb--⑤3α+c>0.其中正确的有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

【答案】B

【解析】

【分析】由抛物线的开口方向、与），轴交点以及对称轴的位置可判断。、氏C的符号，由此可判断①正

确；由抛物线的对称轴为x=l,得到-2=1,即可判断②；可知x=2时和X=O时的y值相等可判断③

Ia

正确；由图知x=l时二次函数有最小值，可判断④错误；由抛物线的对称轴为X=I可得匕=-2。，因此

y=αχ2-2&t+c,根据图像可判断⑤正确.

【详解】①•••抛物线的开口向上，

.'.67>0.

•・・抛物线与y轴交点在），轴的负半轴上，

/.c<0.

由---->0得，b<0,

2a

.∙.cιhc>0,

故①正确；

②抛物线的对称轴为x=l,

」=1,

2a

∙,∙b=一2。，

∙∙∙2a+b=0,故②正确;

③由抛物线的对称轴为X=1,可知x=2时和X=O时的），值相等.

由图知X=O时，y<0,

.∙.x=2时，y<0.

即4a+2h+c<0.

故③错误；

④由图知X=I时二次函数有最小值，

.∖a+b+c≤am2+bm+c<

.'.a+h≤am2+bm，

a+b≤m{ax+b）,

故④错误；

⑤由抛物线的对称轴为X=I可得-2=1,

2a

:.b--2a>

y=ax2-2ax+c,

当χ=—1时，y=α+2a+c—3a+c.

由图知X=-I时y>0,

.,.3a+o0.

故⑤正确.

综上所述：正确的是①②⑤，有3个，

故选:B.

【点睛】本题主要考查了二次函数的图像与系数的关系，二次函数的对称轴及顶点位置.熟练掌握二次函

数图像的性质及数形结合是解题的关键.

第H卷（非选择题共110分）

二、填空题（每小题4分，共20分）

2_

H.函数y=-τ=^的自变量X的取值范围是________.

√x-l

【答案】x>l

【解析】

【详解】分析：一般地从两个角度考虑：分式的分母不为0；偶次根式被开方数大于或等于0；当一个式子

中同时出现这两点时，应该是取让两个条件都满足的公共部分.

解答：解：根据题意得到：x-l>0,

解得X>l.

故答案为χ>l∙

点评：本题考查了函数式有意义的X的取值范围.判断一个式子是否有意义，应考虑分母上若有字母，字

母的取值不能使分母为零，二次根号下字母的取值应使被开方数为非负数.易错易混点：学生易对二次根

式的非负性和分母不等于O混淆.

12.已知西是方程2月+履一2=O的两个实数根，且(％—2乂%—2)=10,则左的值为

【答案】7

【解析】

【分析】根据根与系数的关系求出％+W与XW的值，然后整体代入求值即可.

【详解】•••斗,马是方程2/+日—2=O的两个实数根，

V(A1-2)(Λ2-2)=10,

/.xxx2-2x1-2X2+4=10,

xix2-2(x1+X2)-6=0,

-l-2×^-j^j-6=0,

.∙.解得％=7∙

故答案为：7.

【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，代数式求值.熟记一元二次方程根与系数的关系：

bc

%÷X=—和玉,x^>=—是解题关键.

2a^a

13.如图，乐器上的一根弦A5=80cm,两个端点Ag固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点8的黄金

分割点，支撑点。是靠近点A的黄金分割点，CO之间的距离为.

【答案】(80√5-160)cm

【解析】

【分析】黄金分割点是指把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之

比.其比值是一个无理数，用分数表示为避二ɪ,由此即可求解.

2

【详解】解：弦AB=80cm,点C是靠近点8的黄金分割点，设BC=%,则AC=80-x,

.∙.双E=苴二1,解方程得，χ=120-40√5，

802

点。是靠近点A的黄金分割点，设AQ=y,则BO=80-y,

.∙."二ɪ=避二ɪ,解方程得，y=120-40√5,

802

.∙.C,。之间的距离为8()-X-y=8()-120+40√5-120+40√5=8()√5-160,

故答案为：(80百-160)cm∙

【点睛】本题主要考查线段成比例，掌握线段成比例，黄金分割点的定义是解题的关键.

2

14.如图，一次函数y=2x与反比例函数y=—的图象相交于48两点，以Ab为边作等边三角形

X

k

ABC,若反比例函数y二—的图象过点。，则人的值为.

X

【答案】-6

【解析】

y=Ix

【分析】过点A作AZ)LX轴交X轴于点。，过点。作CE,X轴于点£连接。C,首先联立《2求

>二一

IX

出A(l,2),B(-l,-2),然后利用勾股定理求出AO=Bo=逐，OC=y∣AC3-OA2=√15>然后证

明出VocESVAOD,利用相似三角形性质得到cε=6,OE=2»，最后将卜2曲代入

k

y二一求解即可.

X

【详解】如图所示，过点A作AOJ_x轴交X轴于点。，过点。作CE,X轴于点区连接OC,

2

；一次函数y=2x与反比例函数y=-的图象相交于AB两点,

y=2χ

•∙.联立《2，即2x

y=-

，解得工=±1，

ΛA(l,2),B(-l,-2),

；,OD=1,AD=2，

∙'∙(9A=√l2+22=√5>

•••Ao=BO=5

∙.LABC是等边三角形，

.∙.CO±AB,ZACO=NBCo=-ZACB=30°，

；•AC=2OA=26，

；∙OC=√AC2-(9A2=√15，

,/NAoC=90。，

.∙.ZAOD+ZCOE=90°,

∙.∙ZAr)O=90°,

.,.ZAQD+NQW=90°,

.∙.ZOAD=ZCOE,

又∙∙∙ZCEO=ZODA=90°,

.∙.NOCE对AOD，

.OCCEOEEJΠ√15CEOE

AOODAD√512

，解得CE=布,OE=2邪,

.∙.点C的坐标为卜2"@,

.∙.将卜2曲,6)代入y=：得，k=一26×√3=-6.

故答案为：-6.

【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知

识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题.

15.在一4BC中，ΛB=4√3.ZC=60%在边BC上有一点P,且BP=,连接AP,则AP的

2

最小值为.

【答案】2标-2

【解析】

【分析】如图，作-ABC的外接圆，圆心为M,连接AM、BM、CM,过M作Mo_LAB于。，过B

作3NLAB,交BP的垂直平分线于N,连接4V、BN、PN,以N为圆心，BN(PN)为半径作

圆；结合圆周角定理及垂径定理易得AM=BM=CM=4,再通过圆周角定理、垂直及垂直平分线的性

质、三角形内角和定理易得NAMC=NPNB,从而易证.AMC_PNS可得也=如=2即

PNPB1

PN=gCM=2勾股定理即可求得AN=2在二APN中由三角形三边关系AP≥AN-PN即可求解.

【详解】解：如图，作一ABC的外接圆，圆心为M,连接AA/、BM、CM,过M作MDJ.AS于

D,过8作BN_LA6,交BP的垂直平分线于N,连接AN、BN、PN,以N为圆心，BN(PN)为

半径作圆；

ZC=60o,M为，ABC的外接圆的圆心，

:.ZAMB=120°,AM=BM，

.∙.ZM4B=NMBA=30°,

.-.MD=-AM,

2

MDLAB，

AD=；AB=2«,

在Rt△?1£)M中，

21

AM=MDr+Ab,

.-.AM1=f∣AΛ∕l+(2⑹-

∙∙.AΛ∕=4,

即AM=3Λ∕=CΛ∕=4,

由作图可知BNLAB,N在族的垂直平分线上,

o

ZPBN=ZBPN=90-ZABC9

/PNB=180o-(APBN+ZBPN)=IAABC,

又∙Λ/为一ABC的外接圆的圆心，

.∖ZAMC=2ZABC,

.∙.ZAMC=NPNB,

CMAM

~PN~~BN,

:^AMC-PNB,

.CMAC

•PN~'PB'

BP=-AC,

2

CMAC2

.∙.=——=-,

PNPB1

即PN=LCM=2,

2

:.PN=BN=2,

在RtZ∖A8N中，

AN=-JAB2+BN2=J(4南+22=2√13,

在,APN中，

AP≥AN-PN=2岳-2，

即AP最小值为2如-2，

故答案为：2λ∕β-2∙

【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理解直角三

角形，相似三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，30°角所对的直角边等于斜边的一半，三角形三边

之间的关系；解题的关键是结合^ABC的外接圆构造相似三角形.

三、解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（共90分）

o

16.⑴计算：√12+1-4∣-（2003-Æ）0-2cos30；

（2）先化简，再求值；∖a+2一一+其中。为满足0<“<4的整数.

Ia-2）2α-4

【答案】（1）6+3（2）-2a-6,-8

【解析】

【分析】（1）先将二次根式及绝对值、零次幕、特殊角的三角函数化简，然后进行加减运算即可；

（2）根据分式的运算法则化简，然后选择合适的值代入求解即可.

详解】解:（1）√12+1-4∣-（2003-π）°-2∞s30o

=2√3+3-√3

=G+3;

(Q+2)(Q-2)—52(Q—2)

--------------×-------

ci—2--3-Cl

cr-92(〃—2)

a—23—a

2(。+3)(。—3)

3-α

=—2a—6

为满足0<α<4的整数且4―2工0,3-。¥0,

.∙.a≠2,a≠3,

取α=l,原式=—2x1—6=—8.

【点睛】题目主要考查实数的混合运算，特殊角的三角函数及分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题

关键.

17.在深化教育综合改革、提升区域教育整体水平的进程中，某中学以兴趣小组为载体，加强社团建设，

艺术活动学生参与面达1（）（）%,通过调查统计，八年级二班参加学校社团的情况（每位同学只能参加其中

一项）：A.剪纸社团，B.泥塑社团，C.陶笛社团，D.书法社团，E.合唱社团，并绘制了如下两幅不

完整的统计图.

图1图2

（1）该班共有学生________人，并把条形统计图补充完整；

（2）扇形统计图中，m=,〃=,参加剪纸社团对应的扇形圆心角为

度：

（3）小鹏和小兵参加了书法社团，由于参加书法社团几位同学都非常优秀，老师将从书法社团的学生中

选取2人参加学校组织的书法大赛，请用“列表法”或“画树状图法”，求出恰好是小鹏和小兵参加比赛

的概率.

【答案】（1）50,详见图示；

（2）20，10,144；

【解析】

【分析】（1）利用C类人数除以所占百分比可得调查的学生人数；用总人数减去其它四项的人数可得到D

的人数，然后补图即可；

（2）根据总数与各项人数比值可求出〃?，”的值，A项目的人数与总人数比值乘360。即可得出圆心角的度

数;

（3）画树状图展示所有20种等可能的结果数，再找出恰好选中小鹏和小兵的结果数，然后利用概率公式求

解.

【小问1详解】

本次调查的学生总数：5÷10%≈50(人),

D、书法社团的人数为：50—20—10—5—10=5(人)，如图所示

ffil

故答案为：50；

【小问2详解】

由图知，1()÷5()=2()%,5÷50=10%,2()÷5()x360°=144°,

m=20,"=10,参加剪纸的圆心角度数为144。

故答案为：20,10,144

【小问3详解】

用AB,C,。,E表示社团的五个人，其中A,8分别代表小鹏和小兵树状图如下:

开始

∕Λ∖/ΛxxA∖

BCDEACDEABDEABCEABCD

共20种等可能情况，有∙(A,B),(B,4)2种情恰好是小鹏和小兵参加比赛，

故恰好选中小鹏和小兵的概率为:⅛=J7.

2010

【点睛】本题考查条形统计图和扇形统计图的综合运用，列表法与画树状图法求概率，解题的关键是掌握列

表法与画树状图法求概率的方法：先利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果〃,再从中选出符合事件

A或B的结果数目m,然后利用概率公式求事件A或B的概率.

18.如图，网格中每个小正方形的边长均为1,CABC的顶点均在小正方形的格点上.

(1)将向下平移3个单位长度得到Z∖AgG,画出AAgG;

(2)将一ABC绕点C顺时针旋转90度得到画出AA2与G；

(3)在(2)的运动过程中请计算出“ABC扫过的面积.

【答案】(1)见解析(2)见解析

【解析】

【分析】(1)先作出点A、B、C