2023-2024年中考数学复习：圆中最值问题 压轴题汇编（含答案）

2024年中考数学专题复习：圆中最值问题高频压轴题汇编

1.问题提出：

(1)如图1,。是ΔABC的外接圆，ZA=60o.BC=4,则O半径长等于；

问题探究：

(2)如图2,在矩形A8CD中，AB=A,若在边8上存在一点P,使得NAPB=90。，求

矩形ASa)面积的最大值；

问题解决：

(3)如图3,是一个矩形广场，其中AB=60%,8E足够长.为了方便居民生活，促进经

济发展，街道计划在矩形内部修建一个面积尽量大的交易市场ABCD,其中C,。分别在

边BE,A尸上，且48=45。.在具体施工中安全联防小组要求在S上找到一点Q,使

得ZAQB=45。，以便安装摄像头对市场进行安全监管.请问满足上面要求的市场ABCC)是

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2.如图1,在矩形ABa)中，AD=n,ΛB=8,点E在射线Afi上运动，将ΔAfΣ)沿印

翻折，使得点A与点G重合，连接AG交DE于点

(1)【初步探究】当点G落在3C边上时，求BG的长;

(2)【深入探究】在点E的运动过程中，BG是否存在最小值，如果存在，请求出最小值;

如果不存在，请说明理由;

(3)【拓展延伸】如图3,点尸为BG的中点，连接AP,点E在射线AB上运动过程中，求

AP长的最大值.

（图1）（图2）

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3.在半径为5的O中，AS是直径，点C是直径Λ5上方半圆上一动点，连接AC、BC.

(1)如图1,则ΔASC面积的最大值是；

(2)如图2,如果AC=8,①则BC=；②作NAC8的平分线CP交:。于点P,求长

CP的长.

(3)如图3,连接AP并保持C尸平分NAcB,O为线段BC的中点，过点。作£归，AP,

在C点运动过程中，请直接写出长的最大值.

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4.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(-6，0),点3在y轴的正半轴上，且

ZABO=30。，以点B为圆心，1为半径画与y轴交于点C(点C在点5的下方)，点

。是AB的中点，点户是8上的一个动点，从点C开始以5度/秒的速度沿圆周逆时针运

动一周，设运动时间为f秒.

(1)如图1,连接OQ,当OQ//8尸时，求/的值；

(2)如图2,点P在运动过程中，连接AP,以AP为边在左侧作等边ΔAPL>,

①当/=12秒时，求点。的坐标；

②连接当。。最大时，求此时f的值和这个最大值.

>

X

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5.问题提出：

(1)如图①，已知点C到直线AB的距离是5,以C为圆心、2为半径作圆，则C上一点

到直线ΛB的最小距离为一.

问题探究：

(2)如图②，已知正方形ABCz)的边长为2,E是BC边上的动点，BFl.AE交CD于点F,

垂足为G,连结CG,则求CG的最小值.

问题解决：

(3)如图③，有一个矩形花坛A8CE>,AB=IOm,AD=20m,根据设计造型要求，在AB

上任取一动点£,连即，过点A作防_L£D,交DE于点F,在短9上截取FP=√J∕1F,

连接P3、PC;现需在ΔP8C的区内种植一种黄色花卉，在矩形内的其它区域种植一种红

色花卉，已知种植这种黄色花卉每平方米需200元，种植这种红色花卉每平方米需180元,

完成这两种花卉的种植至少需花费多少元？(结果保留整数，参考数据：√3≈1.7)

图②

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6.如图1,已知O的内接四边形ABa>,ABUCD,BCHAD,AB=6,3C=8.

(1)求证：四边形A38为矩形.

(2)如图2,E是AD上一点，连接CE交4)于点F,连接AC.

①当点。是CE中点时•，求线段上的长度.

②当16SΛDCF=3S四边物收。时，试证明点E为AD的中点.

(3)如图3,点E是O上一点(点E不与A、C重合)，连接E4、EC、OE,点I是AAEC

的H内心，点M在线段OE上，且ME=2"。，则线段MZ的最小值为一.

BBB

图1I」82图3

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7.如图1,AB是.O的直径，且Λ5=8,过点3作，。的切线，C是切线上一点，连接AC

交：O于■点、D,连接瓦)，点E是AD的中点，连接班交AC于点F.

(1)比较大小：NCBDZCAB(填"="、”>”中的一个)；

(2)求证：CB=CF；

(3)若AF=4,求CB的值；

(4)在图1的基础上，作NAz)B的平分线交BE于点/,交O于点G,连接O/(如图2),

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8.【发现问题】爱好数学的小明在做作业时碰到这样一道题:如图1,圆。的半径为2,。4=4,

动点B在圆O上，连接AB,作等边三角形ABe(A、B、C为顺时针顺序)，求OC的最大

值.

【解决问题】小明经过多次的尝试和探索，终于得到解题思路：在图1中，连接03,以OB

为边在OB的左侧作等边三角形BQE,连接

(I)请你找出图中与OC相等的线段，并说明理由；

(2)请直接写出线段OC的最大值；

【迁移拓展】

(3)如图2,BC=6√Σ,点。是以BC为直径的半圆上不同于8、C的一个动点，以BD

为边作等边AABr>,请求出AC的最值，并说明理由.

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9.在四边形ABa)中，ADHBC,ZS=90o,AD=4,BC=6.如图，当点O在Ac)边上

时，以O为圆心OA为半径的圆经过点C,且交8C于点E,连接AE,作。尸_LA£于点F.

(1)ZAOFZACB;(填写“>”或“<”或"=")

(2)设Λβ=x,CE-y,求y与X之间的函数关系式；

(3)当X取最大值时，以A,E,C,。为顶点的四边形是哪种特殊的四边形？请求出X

的最大值并证明你的结论.(请在备用图中完成此间)

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10.定义：有一组对角互补且一组邻边相等的四边形叫做“完美四边形”.

(1)如图1,四边形ABCD是O的内接四边形，且对角线比)平分NA8C,四边形A88

(填“是”或者“不是”)“完美四边形”,若ZAβC=90。，且45=2,则。的直径为—;

(2)如图2,四边形ABCr)中，AC平分NSW,CE_L4?于E,AD+BE=AE.求证:

四边形ABCD为"完美四边形“；

(3)如图3,在“完美四边形"ABCZ)中，AD,AC=8,N&4T)=60。，对角线AC

与BD相交于点尸，设3C=x,CP=y,求y与X的函数关系式，并求)，的最大值.

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答案版

1.

【解答】解：(1)连接30并延长交。于Z),如图1:

β

图1

虞＞为直径，

.-.ZBCD=90°；

又ZD=ZA=60o

,如=Sin6。。=乌

BD2

.即=隼=二=巡

近33

ɪ-2^

••・半径为：当.

(2)以至为直径作半圆，如图2:

D,乜--'、、C

AEB

ZAPB=90°；

.∙.P只能在以AB为直径的半圆上;

.∙.PE„∣AB,即S矩形ASQ=ABPE,,AB-^AB=S.

(3)过A作AG//8交班;于G,过。作QaJLAG于“，过ABG三点做圆，如图3:

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矩形ABCD中ZABC=90°，

.^.AG为O直径.

AG//CD,

:.ZAGB=ZDCB=45°,

，。在。上，且3G=ΛB=60"?,AG=丘AB="丘m.

QH,,gAG.

∙'∙S四边形AeCo=SliABG+S平行四边形ACCD=/∙'BG+AG-QH,,—AB-BG+AG--AG=5400”.

即：满足上面要求的市场存在，市场ABcD面积为540‰J2.

2.

【解答】解：（1）当点G落在BC边上时，如图1,

四边形ABa)是矩形，

:.BC=AD=\2,CD=AB=8,NB=NC=90°,

由翻折得：DG=AD=12,

在RtACDG中，CG=JDGI-CD2=J122_82=46,

:.BG=BC-CG=I2-4国

(2)如图2,以。为圆心，A£)长为半径作

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点G在。上运动，

当点G在线段皮)上时，BG最小，此时，BG=BD-DG,

在RtAABD中，BD=y∣AB2+AD2=√82+122=4√13,

BG=BD-DG=4屈72,

故在点E的运动过程中，BG存在最小值，BG的最小值为4-12；

(3)如图3,以。为圆心，长为半径作D,延长84至“，使AH=54=8,连接GH,

AH=BA,

.∙.点A是8”的中点，

点P为3G的中点，

.∙.AP是ΔBG，的中位线，

.∙.AP=-GH,

2

则AP最大时，GH最大,

由翻折得：DG=AD=∖2,

.∙.点G在£)上运动，

当HG经过点。时，G”最大，如图4,

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H

在RtΔADH中，HD=-JAH2+AD-=√82+122=4√B,

GH=HD+DG=4而+12,

.∙.AP=gGH=2√Γ5+6,

故点E在射线AS上运动过程中，AP长的最大值为2JB+6.

3.

【解答】解：（1）O的半径为5,ΛB是直径，

.-.AB=10.

.∙.当AB边上的高最大时，ΔABC面积的最大，

■点C是直径AB上方半圆上一动点，

.∙.当COj.AB时，即Co=5时，AABC面积的最大，

.∙.ΔABC面积的最大值是LχAB∙0C=Lx10x5=25,

22

故答案为：25.

（2）①。的半径为5,ΛB是直径，

.-.AB=IO,ZδC4=90°,

.∙.BC=√AB2-AC2=√102-82=6.

故答案为：6；

②过点5作8。，PC于点O,连接PB,PA,如图，

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C

CP为NACB的平分线，NAce=90。，

.∙.ZACP=ZBCP=45°,

・•・△C03为等腰直角三角形，

.∙.CD=BD.

AB是直径，

/.ZAPB=90°,

NABP=NAcP=45。，

.∙.A4P3为等腰直角三角形，

:.PB=—AB=5yf2.

2

BD上PC,

.∖ZPDB=90°,

.∖ZPDB=ZACB=90°,

ABPC=/BAC,

:."DBsMCB,

PDBDPB5√2

.AC~~BC~AB~~∖G，

AC=8,BC=6,

∙.ΛO=4√Σ,BD=3√2,

∙.CD=BD=3√2,

∙.CP=PD+CD=4√2+3√2=7√2；

(3)连接8,OH,如图，

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C

D为线段BC的中点,

..ODA.BC,

DH,,OD+OH,

..当点O,O,7/三点在一条直线上时，DH=OD+OH,£归取最大值.

如图,

CP平分NAC3,

.∙.AP=BP.

ODLBC,DHLAP,点D,O,"三点在一条直线上,

.-.BC//AP,

.∙.四边形APBC为正方形,

DH=AC=5五,

.∙.E>H长的最大值为5√Σ∙

4.

【解答】解：(1)如图：

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AABO是直角二角形，。是AB中点，

ʌOQ=QA=QB,

:.N8OQ=ZABO=30。，

又OQllBP

NOBl=NBOQ=30。，

点P的轨迹是B中30。圆心角所对的弧，

30°,

.*.t=----=6j

5°

当点P运动到＜3延长线与1B的交点鸟时，

点P的轨迹是;8中180。+30。=210。圆心角所对的弧，

210°八

.∙.t=------=42.

5°

故f的值为6或42；

(2)①如图，ZABO=30o,OA=6

:.OB=3,AB=2√3,

当f=12时，NCSP=60。，

.∖ZABP^90°,

将线段ΛB绕点A逆时针旋转60。到线段A9,连接？。，

由旋转可知，Zβ4B,=60o,AB=AB'=2√3,

A4OP是等边三角形，

.∙.ZZMP=60o,AD=AP,

:.NBAD=NBAP,

:.AAB'D=ΛABP(SAS),

..BD=BP=I,ZABZD=NAβP=90°,

过点B'作用NJ_X轴于点N,过点。作DMJ_QN于点M,

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:.ZM=ZANBf=90°,

：.ZABfN+ZBfAN=90o,ZMBD+ZABN=90。,

ZMBiy=ZBAN,

ZB,AB=60o.NRAO=60。，

foZ

/.ZBAN=60fAN=BBN=3,

.∙.ZMBD=600,

.∖MBf=-MD=—,

2f2

7

:.MN=一・

2

②由旋转可知，点。在以点夕为圆心，1长为半径的圆上运动，

.∙.当。。最大时，点O,BS。三点共线，如图所示，设3与y轴的另一个交点为C,

.∙.C(0,4)，

/.OC=4,

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JAQ=BQ=SAB=AB=2小,

由①可知，8(0,3),

ʌβ(-γ,|)，BQ2币,3),

,

∙∙.BQ=3f

:.OQ=4,

ΛB,Q=BO,AQ=BQ=6,AB，=AB=26,

ABfQ=AABO(SSS),

.∙.ZAgBf=ZAOB=90°,

DQ=OC,AQ=AOf

/VLDQ=∕∖ACO(SAS)f

.'.AD=AC,即此时点尸与点C重合，

180°“

.*.t=------=36.

5°

综上，f=36,。。最大值是4.

5.

【解答】解：(1)过点C作CM_L/1S于点H,则CH=5,

以点C为圆心，2为半径作圆，交C”于点P,

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AHB

.∙.上一点到直线AB的最小距离为P"=CW-CP=5-2=3;

(2)取AB的中点O,连接OC,

根据题意得：G点的运动轨迹是以AS中点O为圆心，OA为半径的弧,

:.OC、OG为定值，

当O、C、G共线时，CG取得最小值，

四边形/WCD是正方形，

.∙.ZABC=90o>AB=BC=2,

。是Λβ的中点，

.-.OB=I,

在RtΔOBC中，OC=J2?+12=g,

.∙.CG的最小值为百-1;

(3)以AD为边向上作等边三角形血，以点1/为圆心，A/为半径作圆，

在：1/上取一点7,连接AT,。7,过点•/作JQJL3C于点。，过点P作/WLBC于点”,

AFLED,FP=6AF,

.AanZAPF=-,

3

/.ZAPF=30°.

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/.ZAPD=150o,

ΔAW为等边三角形，

.∙.ZΛ∕D=60o,

/.ZATD=30°,

:.ZAPD+ZATD=∖S0o,

.∙.Λ>T、。、P四点共圆，

AB=IOAZI,AD=AJ=DJ=BC=20m,

:.Jβ=(10+10√3)m,

PJ+PH..JQ,

・•・尸”的最小值为10+106-20=(106-10),7?,

完成这两种I花卉的最低种植费用为LX20X∕V∕X200+[10X20-'X20XPH]X180

22

=2∞PH+360∞

=200(10√3-10)÷36000

≈374∞(元).

6.

【解答】(1)证明：如图1,ABHCD,BC//AD,

.∙.四边形ABC。是平行四边形，

/.ZA=ZC,

四边形ABCD内接于O,

/.ZA÷ZC=180°,

/.ZA=ZC=90o,

ABc。是矩形；

(2)①解：点。是CE的中点，

..DE=DC,

.∖ΛECD=ADAC,

N8/=NADC=90。，

:.ACDFS^ADC,

DCDFπι,6DF

DADC86

9

.∖DF=~;

2

②证明：如图2,过点/作印_LAC,

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,

16SADCF=3S四边形A6CO

.∙.16x工x6xDF=3χ6χ8,

2

:.DF=3,

ΛAF=8-3=5,

ZDAC=ZiyAF,ZFDA=ZADC=90°,

,ΔFDA^>^CDA,

.FD,_AF

~DC~~ACi

FD,6

..-----=—,

510

.-.FU=3,

DF=DF=3,FiyYAC,FDVCD,

:.CF平分ZDCA,

.-.ZECD=ZECA,

；.点E为DC的中点.

(3)如图3,连接A/、CI,过点O作OO"_LAC交O于。、O',

.∙点I是ΔAEC的内心，

ZAIC=90。+LZAEC=135°,

2

.∙.点/的运动路径为分别以O、。，为圆心，OA为半径的两段弧，

ZABC=90o,AB=6,BC=S,

:.AC=√Afi2+BC-=√62+82=10,

.∙.O'A=OC=S-Ti,即。的半径为50,

点M在线段OE上，且Λ∕E=2MO,

.∖OM=-OE=-×5=-,即点"的运动路径为以。为圆心，OM为半径的圆,

333

MZ取得最小值时，点/在OE上，此时，O∕=5√2-5,

:.MI的最小值为：Ml=Ol-OM=5及-5/=5亚-竺,

33

故答案为：5y∕2--.

3

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r,

D0

E

E

即图2图3

7.

【解答】（1）解：BC是.O的切线,

/.ZABC=90°,

/.ZCBD+ZABD=90°,

AB是。的直径，

.∙.ZAZ)B=90o,

ΛZABD+ZCAB=90°，

.∙.ZCBD=ZCAB,

故答案为：=.

(2)证明：∙点石是AQ的中点，

:.ZDBE=ZABE,

ZADB=ZABC=90°f

NCFB=骄一/DBE,ZCBF=90°-ZABE,

.∖ZCFB=ZCBF,

.'.CF=CB.

(3)解：设CB=CF=X,则AC=4+x,

在RtΔABC中，AB2+BC2=AC2,

.∙.82+X2=(4÷x)2,

解得：x=6»

/.CB=6.

(4)解：O/的最小值为40-4,理由如下，

如图，连接4、AG,OG,

AB是。的直径，

.-.ZADB=90°,

OG平分NAr)5,

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/.ZAZX7=ZBZX7=45o,

../BAG=NBDG=45°,ZAOG=2ZADG=90o,

.∙.OG=AO=-AB=4,

2

.∙.AG=4√2,

BE平分ZABD、OG平分NAr>5,

.∙.4是NfiM）的角平分线，

.-.ZIAD=ZIAB,

ZGAI=NGAB+NlAB=45°+AlAB,ZGM=AlAD+ZADB=45o+AIAD，

.-.ZGAI=ZGIA,

AG=IG=4日

当点/、。、G三点共线时，0/的值最小，

【解答】解：【解决问题】

(1)如图1中，结论：OC=AE,

理由：AABC,ΔBOE都是等边三角形，

.∙.BC=BA,BO=BE,ZCBA=ZOBE=60°,

:.NCBo=ZABE,

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;.ACBO=^ABE(SAS),

OC=AE.

(2)在ΔAO石中，AE^OE+OA,

；.当E、O、A共线，

.∙.ΛE的最大值为6,

二。C的最大值为6.

【迁移拓展】

(3)如图2中，以BC1为边作等边三角形ΔBCM,

.∙.ZABC=NDBM,

AB=DB,BC=BM,

:.ΔASCSADBM(SAS),

.∙.AC=MD,

欲求AC的最大值，只要求出ZW的最大值即可,

8C=6√Σ定值，NBDC=90。,

.∙.点。在以3C为直径的O上运动，

由图可知，当点D在BC上方,DM_LBC时，DW的值最大，最大值=3忘+3卡,

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.∙.AC的最大值为3√2+3√6.

当点A线段的右侧时，同法可得AC的最小值为3面-30.

综上，AC的最小值为3"-3√Σ,AC最大值为3√Σ+3"∙

9

【解答】W-：(1)连接QE,如图1,

OFVAE,OA=OEf

二.。/平分NAOE,

.∙.ZAOF=-ZAOE,

2

ZACE=-ZAOE,

2

.∙.ZAOF=ZACE，

即ZAOF=ZACB↑

故答案为二;

(2)ADHBC,ZS=90o,

/.ZBAD=ZB=90o,

.∙.ZβAE+ZE4C>=90o.

OFVAE.

:.ZAFO=90°,

:.ZAOF+AFAO=90°,

：.ZAOF=ZBAEf

又ZAOF=ZACB9

:.ZBAE=ZACB,

又Zβ=ZS,

.∙.ΛAEB^ΛCAB.

ABBEX6-y

,■—,RrγI1J-=--------,

BCAB6X

12<

..y=—X+6，

6

(3)四边形AECO为菱形.

如图2,过点O作OGl,3C于点G,连接OC,

则四边形/WGO为矩形，

.*.OG=X，BG=OA,

设。的半径为广，在RtΔOCG中，OC=r,CG=6-rfOG=x,

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OG2+CG2=OC2,

.∙.x2+(6-r)2=r2,

0<八,4,

.∙.0<Λ;,2∖∣3,

.,.y=—J+6(0<2>/3),

6

•・”的最大值是26，

当％=2√J时，〃=4,点O与点。重合，如图3,

在RtΔOCG中，CG=6-4=2,

OC=OE,OGYBC,

:.CG=EG=2,

.∙.CE=4,

/.OA=CE，

又OAHCE,

：.四边形AECo是平行四边形，

CE=4=OC,

.∙.四边形AEeO是菱形.

10.

【解答】（1）解：连接AC,如图,

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BD平分ZABC,

：.ZABD=/CBD,

:.AD=CDf

.∙.AD=CD.

.∙.四边形ASCD是")“完美四边形”.

ZABC=90。，

.∙.AC为。的直径，

/.ZADC=