静矩法在建筑幕墙、门窗抗风压性能校核中的妙用

静矩法在建筑幕墙、门窗抗风压性能较核中的妙用建筑门窗的抗风性能较核，是门窗专业技术中经常进行的一项较为繁琐建筑门窗的抗风性能较核，是门窗专业技术中经常进行的一项较为繁琐的工作，该项工作既关系到产品的百年大计，又要体现产品的经济性，容不得有半点马虎；现代竞标过程的快速反应，也容不得我们浪费每一刻时间，因此，快速提供准确的建筑门窗抗风压性能较核数据是我们每个设计者义不容辞的责任。对建筑门窗的抗风压性能较核，本行业中基本采用：先将门窗受力平面按45度法分配给门窗构件，再将主受力构件简化为简支梁受力状态，用材料力学的弯矩计算方式进行校核。本文采用实例验证的方法，向大家推荐一种借用静矩法计算弯矩的新方法。一、验证实例图1是某一窗型采用45度分割法将风荷载的应力分配给主受力构件的平面图。其中有竖向剖面线的F1、F2和F3的受力面积分配给横梃；有横向剖面线的F4和F5受力面积分配给竖梃；没有剖面线的部分分配给相邻的窗框再传递给墙体；可见：主受力构件为横梃和竖梃。竖梃仅承受F4和F5面积应力传递到其上的分布荷载；而横梃不单承受F1、F2和F3面积应力传递到其上的分布荷载，而且承受相当于竖梃总荷载1/2的集中荷载，现在以横梃为例计算其最大弯矩。设：风荷载为Wk=3000Pa弹性模量：E=210×109N/M主受力构件截面惯性矩：I=3.15CM4A=1600B=1600C=600D=1000E=F=800二、用传统的方法计算横梃最大弯矩：画应力分配图：见图1计算各分配面积：F1=1.6×0.3-0.3×0.3=0.39F2=f3=0.4×0.4=0.16F4=F5=1×0.4-×0.4×0.4=0.24计算各面积分配荷载力:计算建筑幕墙、门窗受风荷载作用时，我们通常假设这种荷载是均布、等压、垂直的作用在玻璃平面上的，而主受力构件“梃”承受的应力相当于承受一个均质平板的压力。依据静力学中力的等效平移原则，将玻璃平面上的均布荷载等效叠加后平移到主受力构件“梃”上，此梃相当于一个承受荷载的简支梁。Q1=F1×Wk=1170NQ2=Q3=F2×Wk=480NP=((F4+F5)×Wk)/2=720N计算支座反力：由于受力对称，所以：Pa=Pb=（Q1+Q2+Q3+P）/2=1425计算分布荷载最大值：q1=Q1/(1.6-0.3)=900q2=q3=Q2/0.4=1200画简支梁受力图：（见图2）为便于计算，受力图不叠加，待分部计算后叠加计算结果。计算最大弯矩处的弯矩Wmax，由于是对成图形，最大应力在L=A/2处。①图2上部三角形部分对L处的弯矩（参见图3）：M1=q1/s.t.dt(L-t)=q1/s×(L×s2/2-s3/3)=q1×s×(L/2-s/3)=900×0.3(0.8/2-0.3/3)=81②图2上部矩形部分对L处的弯矩（参见图4）：M2=q1.dt.(L-t)=q1×(L×s-s2/2)=q1×s×(L-s/2)=900×0.5×(0.5-0.5/2)=112.5③图2下部三角形对L处的弯矩（参见图5）：M3=q2/s.t.dt.(L-t)+q2/s.(s-t).dt(L-s-t)=q2/s×(L×s2/2-s3/3)+q2/s×(L×s2/2-2×s3/3)=q2/s×(L×s2-s3)=q2/s×s2×(L-s)=q2×s×(L-s)=1200×0.4（0.8-0.4）=192④支座Pa对L处的弯矩M0=-(Pa×A/2)=-1425×0.8=-1140④最大弯矩:Mmax=M0+M1+M2+M3=-1140+81+112.5+192=-754.5（负值表示弯曲方向向上↑）三、不计算各面积分配荷载力，直接积分同样可以求得最大弯矩由于该方法不做应力平移、叠加，将实际受力图其简化后，风荷载力的方向垂直于平面简图中的“.”（见图6-图8，受力简图与应力分配图相似，实际应用时不必重画）。如果我们不计算各面积分配荷载力，可以等效采用下述计算步骤：1、画应力分配图：见图12、计算各分配面积：F1=1.6×0.3-0.3×0.3=0.39F2=f3=0.4×0.4=0.16F4=F5=1×0.4-×0.4×0.4=0.243、计算支座反力：Fa=Fb=Wk×(F1+F2+F3+(F4+F5)/2)/2=0.475Wk4、计算最大弯矩：①图1上部直角三角形部分对A/2处的弯矩（参见图6）：由于是45度分割，微面积为：t.dt，微面积上的荷载力为：Wk.t.dtM1=Wk.t.dt(L-t)=Wk×(L×s2/2-s3/3)=Wk×s2/2×(L-2×s/3)=Wk×0.32/2(0.8-0.3×2/3)=0.027×Wk②图1上部矩形部分对L处的弯矩（参见图7）：微面积为：s.dt，其上的荷载力为：Wk.s.dtM2=Wk.s.dt(L-t)=Wk×s×(x×L-x2/2)=Wk×s×x×(L–x/2)=Wk×0.3×0.5×(0.5-0.5/2)=0.0375×Wk③图2下部等腰三角形对L处的弯矩（参见图8）：由于是45度分割，微面积为：t.dt，其上的荷载力为：Wk.t.dtM3=Wk.t.dt(L-t)+t.dt(L-s-t)=Wk×(L×s2/2-s3/3)+(L×s2/2-2×s3/3)=Wk×s2×(L-s)=Wk×0.42×（0.8-0.4）=0.064×Wk.④支座Fa对A/2处的弯矩M0=-(Fa×A/2)=-0.475×Wk.×0.8=-0.38×Wk.④最大弯矩:Mmax=M0+M1+M2+M3=(-0.38+0.027+0.0375+0.064)×Wk=-0.2515×Wk=(-0.2515)×3000=-754.5计算结果与传统方法完全相同。四、等效采用静矩法计算弯矩的基本原理在上述整个计算过程中风荷载Wk总是以比例常数出现，但是如果将其提出，其结果就不是弯矩，那么会变为什么？在材料力学中，静矩一般用于计算平面图形的形心，材料力学中静矩的定义是：从任意平面图形中，在距坐标（x,y）处取一微面积dF,则x.dF和y.dF分别称为该微面积dF对于x轴的静矩和y轴的静矩。现在我们假设这个平面图形是一个均质等厚材料的平板，如果设t为该截面单位面积的重量，将上述静矩定义中的x.dF和y.dF修改为x.dF.t和y.dF.t,不难看出，变成了一个标准的弯矩定义。我们在作门窗弯矩计算过程中，分配给门窗构件的玻璃就相当于静矩中定义的平面，建筑幕墙、门窗在风荷载作用下，风荷载Wk是均布、等压、垂直的作用在这个平面上的，其充当了重量t的角色，受荷载玻璃相当于一个面积与重量成正比的均值等厚平板压在主受力构件上。很显然，若第三章的计算过程中将风荷载Wk提出，就变为求静矩的过程，由此得出结论：建筑幕墙、门窗的弯矩计算可以先等效套用静矩法计算出最大静矩Mjmax，再换算出最大弯矩Mmax,即：Mmax=Wk×Mjmax五、静矩计算过程常用简化公式：设Y坐标轴与平面呈90度，并垂足于门窗梃P点，其位置依据计算过程中选择P的位置确定。显然我们计算出的静矩是门窗梃上分配的风荷载面积对于门窗梃P点处Y坐标轴的静矩。需要说明的是：在静矩理论中没有计算支座反力的概念，但是我们的最终目的是借用静矩法计算出弯矩，不妨在此等效模拟力矩方法，且命名为支座反面积。注意第三章中用黑体标注的导出公式：①直角三角形时：M1=s2/2×(L-2×s/3)其中：s2/2为直角三角形面积；(L-2×s/3)正好是直角三角形的形心位置；②矩形时：M2=s×x×(L–x/2)其中：s×x为矩形面积；L–x/2正好是矩形的形心位置；③等腰三角形时：M3=s2×(L-s)其中：s2为等腰三角形面积；L-s正好是等腰三角形的形心位置因此我们可以定义：一个面积为F的平面，其形心到Y坐标轴的垂直距离为X,那么该平面对Y轴的静矩为Mj=F×X只要记你住直角三角形的形心位于距直角边1/3处；对称图形的形心位于其等分处，对于上例可以按照图1先分别计算出各分配平面的面积及到P点的距离，既可以采用Mj=F×X定义直接写出Y坐标轴位于P点静矩公式：①端点处Y坐标轴的支座反面积：Fa=Fb=(0.3×0.3/2+1×0.3+0.4×0.4+1×0.4-×0.4×0.4)/2=0.475②A/2点Y坐标轴的静矩：Mjmax=0.3×0.3/2×(0.8-0.3×2/3)+0.5×0.3×0.25+0.4×0.4×0.4-Fa×A/2=-0.2515③Mmax=Wk×Mjmax=3000×（-0.2515）=-754.5六、用静矩法求主受力构件最大弯矩由于静矩与弯矩呈线性比例关系，因此，主受力构件上的最大静矩点即是产生最大弯矩的点。以图9为例：计算左端点支座反面积Fa参照静力学力矩平衡原理，设Fb处为静矩平衡点，其静矩平衡方程为：Fa×1.6-F1×x1-F2×x2-F3×x3-(F4+F5)/2×x4=0其中：x1、x2、x3分别是F1、F2、F3形心距Fb点的距离，x4是产生集中应力(F4+F5)/2距Fb点的距离，即：Fa×1.6-(1.6×0.3-0.32)×0.8-0.32×1.3-0.52×0.5-(1×0.8-0.32-0.52)/2×1=0Fa=(0.312+0.117+0.125+0.23)/1.6=0.49②列出可能产生最大静矩范围的静矩方程由图9可见，由于集中荷载在构件中心左侧，最大静矩必定产生在构件中点至集中荷载点的范围内。以图9横梃左侧端为坐标原点，x在0.6～1.1范围内的面积分配图见图9中的蓝线部分，静矩方程为：Mj=Fa×x-(f1×x1+f2×x2+f3×x3+f4×x4+(F4+F5)×(x-0.6)/2)其中：x1、x2、x3、x4分别是F1、F2、F3、F4、形心距x点的距离,即：Mj=-0.49x+0.09×(x-0.2)+0.3×(x-0.3)×(x-0.3)/2+0.09/2×(x-0.4)+(x-0.6)(x-0.6)×(x-0.6)/6+0.23×(x-0.6)=x3/6-0.15x2-0.035x-0.1965③求导，确定极值点：Mj′=0.5x2-0.3x-0.035=0解得：x=0.7④求最大静矩：Mjmax=x3/6-0.15x2-0.035x-0.1965=-0.23733⑤求最大弯矩：Mmax=Mk×Mjmax=3000×(-0.23733)=711.99Pa七、求主受力构件最大挠度已知弯矩方程：Mmax=Mk×Mjmax=3000×(x3/6-0.15x2-0.035x-0.1965)=500x3-450x2-105x-589.5由弯矩方程可得挠度方程：EJy=(Mmax).dx.dx+Cx+D=（500x3-450x2-105x-589.5）dx.dx+Cx+D=(125x4-150x3-52.5x2-589.5x)dx+Cx+D=25x5-37.5x4-17.5x3-294.75x2+Cx+D由边界条件可得：当x=0时，y=0;即：25x5-37.5x4-17.5x3-294.75x2+Cx+D=0D=0当x=1.6时，y=0;即：25x5-37.5x4-17.5x3-294.75x2+Cx+D=0C=-25x4+37.5x3+17.5x2+294.75x-D=506.25将C与D值代入原式：EIy=25x5-37.5x4-17.5x3-294.75x2+506.25x由弯矩方程可得转角方程：EJθ=（500x3-450x2-105x-589.5）dx+C=125x4-150x3-52.5x2-589.5x+C将上面解得的C=506.25代入式中：EJθ=125x4-150x3-52.5x2-589.5x+506.25由于当转角θ=0时，挠度值最大，因此有：125x4-150x3-52.5x2-589.5x+506.25=0解得：x=0.765代入上面推导出的挠度方程；，EIy=25x5-37.5x4-17.5x3-294.75x2+506.25x=6.55-12.84-7.83-172.5+387.28