线性代数第五章

第五章二次型第一节二次型的概念第二节用正交变换化二次型为标准形

第三节用配方法化二次型为标准形

第四节正定二次型第一节二次型的概念含有

n个变量的二次齐次多项式定义称为一个n元二次型，简称二次型。如果取，则具有实系数的二次型称为实二次型，具有复系数的二次型称为复二次型。，上式可写为若记的矩阵，它是一个对称矩阵，也把二次型称为矩阵A的的二次型。矩阵

A的秩也称为二次型的秩。

且其中，则上式可写为称为二次型的矩阵形式，其中

A称为二次型

例1求二次型

的矩阵

A和二次型的秩。解二次型的矩阵A是一个对称矩阵，其主对角线上的元素应是二次型中完全平方项的系数；非主对角线上的元素恰为二次型中（，）系数的一半。因此二次型的矩阵为二次型的秩就是矩阵A的秩，对

A施以初等行变换求得，于是二次型的秩等于3。

例2设对称矩阵求矩阵A所对应的二次型。解设，则对于二次型，我们主要讨论其化简问题，即找到可逆的线性变换把它代入二次型使得二次型变换成只含有完全平方项这种只含有完全平方项的二次型称为二次型的标准形。若记前面线性变换可以写成X=CY，代入二次型

这表明一个变量为的二次型经过可逆变换可以变为一个变量为的二次型，且变换前后两个二次型的矩阵A与B有如下关系：在矩阵理论中把这种关系称为合同关系。要使二次型经过可逆线性变换X=CY

化成标准形，也就是要使

所以，把二次型化为标准形，实质上就是使得对称矩阵合同于对角矩阵，也就是求一个可逆矩阵C，使得为对角矩阵。

第二节用正交变换化二次型为标准形定义如果P是正交矩阵，则线性变换X=PY称为正交变换。

对于任何n阶实对称矩阵A

，总可以找到一个正交矩阵

P

，使得

定理

任给二次型，A是实对称矩阵，一定有正交变换X=PY

使其中是A

的n

个特征值其中是A

的n

个特征值，而

P的列向量就是对应于的两两正交的单位特征向量。例1用正交变换，把二次型化为标准形。

解二次型的矩阵是由特征方程则A的特征值为把代入，求得特征向量

它们不正交，利用施密特正交方法得再单位化得把代入，求得特征向量

单位化得于是得正交矩阵因此，可得正交变换代入二次型得整理得二次型的标准形为正交变换是可逆变换的特殊情况，具有保持几何形状不变的优点。第三节用配方法化二次型为标准形把二次型化为标准形的方法有多种，我们还可以用配方法化二次型为标准形例1用配方法化二次型为标准形，并写出对应的可逆变换。解先将含有的各项归并在一起，并配成完全平方项，得再将含有的各项归并在一起，继续配方，得令即就把二次型化为标准形所用可逆线性变换的矩阵为例2用配方法化二次型为标准形，并写出对应的可逆变换。

解因为二次型中没有平方项，而含有乘积，故可先做线性变换其中线性变换的矩阵即原二次型化为再对上式配方，得令即此线性变换可以记作，其中线性变换的矩阵

由此得二次型的标准形为从变量到变量的线性变换为其中

对应线性变换为一般的，任何一个二次型都可以通过配方法化为标准形。并且，当线性变换是可逆变换时，我们可以得到，这也是一个可逆变换，它可以把所有的标准形还原。这样我们就可以从标准形的性质推出原二次形的性质。第四节正定二次型二次型的标准形不是唯一的，但标准形中系数不为零的完全平方项的项数是唯一确定的，它等于二次型的秩r。并且当变换是实变换时，标准形中正系数的个数p与负系数的个数r－p

也是唯一确定的，它们依次称为实二次型的正惯性指数与负惯性指数，而正惯性指数与负惯性指数的差2p－r

称为实二次型的符号差。

定义设有实二次型，对于任何一组不全为零的实数，如果都有，则称二次型为正定二次型，并称实对称矩阵

A为正定矩阵；如果都有，则称二次型为负定二次型，并称实对称矩阵

A为负定矩阵；如果都有，则称二次型为半正定二次型，并称实对称矩阵

A为半正定矩阵；如果都有，则称二次型为半负定二次型，并称实对称矩阵

A为半负定矩阵。既不是半正定也不是半负定的二次型称为不定二次型。

我们可以从定义来判断一个二次型是否正定，但是很麻烦。下面给出几个判断二次型是正定的充要条件：另外给出，实二次型为负定的充要条件是A的奇数阶顺序主子式都为负，偶数阶顺序主子式都为正。

（1）实二次型为正定的充要条件是它的正惯性指数等于未知量的个数

n，即它的标准形的n个系数全为正。（2）实二次型为正定的充要条件是A的所有特征值都为正数。

（3）实二次型为正定的