2024年广东深圳高三一模高考数学试卷试题答案（精校打印版）

试卷类型：A2024年深圳市高三年级第一次调研考试数学2024.2本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟注意事项：1．答题前，考生请务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若角的终边过点，则（）A． B． C． D．2．已知为虚数单位，若，则（）A． B．2 C． D．3．已知函数是定义域为的偶函数，在区间上单调递增，且对任意，均有成立，则下列函数中符合条件的是（）A． B． C． D．4．已知是夹角为120°的两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则（）A． B．2 C． D．5．由0，2，4组成可重复数字的自然数，按从小到大的顺序排成的数列记为，即，若，则（）A．34 B．33 C．32 D．306．已知某圆台的上、下底面半径分别为，且，若半径为2的球与圆台的上、下底面及侧面均相切，则该圆台的体积为（）A． B． C． D．7．已知数列满足，若为数列的前项和，则（）A．624 B．625 C．626 D．6508．已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线与双曲线的右支交于两点，若，且双曲线的离心率为，则（）A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．“体育强则中国强，国运兴则体育兴”．为备战2024年巴黎奥运会，已知运动员甲特训的成绩分别为：9，12，8，16，16，18，20，16，12，13，则这组数据的（）A．众数为12 B．平均数为14 C．中位数为14.5 D．第85百分位数为1610．设，且，则下列关系式可能成立的是（）A． B． C． D．11．如图，八面体的每一个面都是边长为4的正三角形，且顶点在同一个平面内．若点在四边形内（包含边界）运动，为的中点，则（）A．当为的中点时，开面直线与所成角为B．当平面时，点的轨迹长度为C．当时，点到的距离可能为D．存在一个体积为的圆柱体可整体放入内三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．若函数的最小正周期为，其图像关于点中心对称，则______．13．设点，若动点满足，且，则的最大值为______．14．已知函数，设曲线在点处切线的斜率为，若均不相等，且，则的最小值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）设为数列的前项和，已知，且为等差数列．（1）求证：数列为等差数列；（2）若数列满足，且，设为数列的前项和，集合，求（用列举法表示）．16．（15分）如图，在四棱锥中，四边形是菱形，平面平面，点在上，且．（1）求证：平面；（2）若，求平面与平面夹角的余弦值．17．（15分）在某数字通信中，信号的传输包含发送与接收两个环节。每次信号只发送0和1中的某个数字，由于随机因素干扰，接收到的信号数字有可能出现错误，已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为，；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为．假设每次㑑黒的传输相互独立．（1）当连续三次发送信号均为0时，设其相应三次接收到的信号数字均相同的概率为，求的最小值；（2）当连续四次发送信号均为1时，设其相应四次接收到的信号数字依次为，记其中连续出现相同数字的次数的最大值为随机变量（中任意相邻的数字均不相同时，令），若，求的分布列和数学期望．18．（17分）已知函数．（1）当时，求函数在区间上的最小值；（2）讨论函数的极值点个数；（3）当函数无极值点时，求证：．19．（17分）已知动点与定点的距离和到定直线的距离的比为常数．其中，且，记点的轨迹为曲线．（1）求的方程，并说明轨迹的形状；（2）设点，若曲线上两动点均在轴上方，，且与相交于点．（ⅰ）当时，求证：的值及的周长均为定值；（ⅱ）当时，记的面积为，其内切圆半径为，试探究是否存在常数，使得恒成立？若存在，求（用表示）；若不存在，请说明理由．2024年深圳市高三年级第一次调研考试数学试题参考答案及评分标准一、选择题：每小题5分，共40分。题号12345678答案ABDABCCD二、选择题：每小题6分，共18分。题号91011答案BCACACD说明：第9、10题全部选对得6分，选对1个得3分，有选错得0分；第11题全部选对得6分，每选对1个得2分，有选错得0分．三、填空题：每小题5分，共15分。

12．13．14．18四、解答题：15．（13分）证明：（1）设等差数列的公差为，则，即，①因为，所以由，得．②由①、②解得，所以，即，当时，，当时，，上式也成立，所以，因为当时，，所以数列是等差数列．解：（2）由（1）可知，当时，，因为满足上式，所以．，因为当时，，所以．16．（15分）证明：（1）不妨设，，由余弦定理得，在中，，平面平面，平面平面平面，平面．平面，四边形是菱形，，又，且平面平面平面．解：（2）在平面内，过点作的垂线，垂足为，平面平面，平面平面，平面，又四边形是菱形，，均为等边三角形，以点为坐标原点，及过点平行于的直线分别为轴，建立空间直角坐标系（如图），则，由（1）平面，为平面的一个法向量，设平面的法向量为，则即．令，可得，，平面与平面的夹角的余弦值为．17．（15分）解：（1）由题可知，因为，所以当时，的最小值为．（2）由题设知，的可能取值为1，2，3，4．①当时，相应四次接收到的信号数字依次为0101或1010．因此，，②当时，相应四次接收到的信号数字依次为0010，或0100，或1101，或1011，或1001，或0110，或1100，或0011．因此，，③当时，相应四次接收到的信号数字依次为1110，或0111，或0001，或1000．因此，，④当时，相应四次接收到的信号数字依次为0000，或1111．因此，．所以的分布列为1234因此，的数学期望．18．（17分）解：（1）当时，，则，令，则，因为，所以．则在上单调递减，又因为，所以使得在上单调递增，在上单调递减．因此，在上的最小值是与两者中的最小者．因为，所以函数在上的最小值为．（2），由，解得，易知函数在上单调递增，且值域为，令，由，解得，设，则，因为当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减．根据时，，得的大致图像如图所示．因此有：（ⅰ）当时，方程无解，即无零点，没有极值点；（ⅱ）当时，，利用，得，此时没有极值点；（ⅲ）当时，方程有两个解，即有两个零点，有两个极值点；（ⅳ）当时，方程有一个解，即有一个零点，有一个极值点．综上，当时，有一个极值点；当时，有两个极值点；当时，没有极值点．（3）先证明当时，．设，则，记，则在上单调递减，当时，，则在上单调递减，，即当时，不等式成立．由（2）知，当函数无极值点时，，则，在不等式中，取，则有，即不等式成立．19．（17分）解：（1）设点，由题意可知，即，经化简，得的方程为，当时，曲线是焦点在轴上的椭圆；当时，曲线是焦点在轴上的双曲线．（2）设点，其中且，（ⅰ）由（1）可知的方程为，因为，所以，因此，三点共线，且，（法一）设直线的方程为，联立的方程，得，则，由（1）可知，所以（定值）．（法二）设，则有，解得，同理由，解得，所以（定值）．由椭圆定义，得，，解得，同理可得，所以．因为，所以