三角形与新定义综合问题-2023年中考数学压轴题复习（教师版含解析）

挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘(全国通用)

专题31三角形与新定义综合问题

典例剖析“

【例1】(2022•淮安区模拟)我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做底角的邻对(cm),

如图1,在AABC中，A8=AC,底角NB的邻对记作cm8,这时cm8=∙i⅛∙=里.容

腰AB

易知道一个角的大小与这个角的邻对值是一一对应的，根据上述角的邻对的定义，解下

列问题：

(I)Ca"30°=_-/3_,若cα"B=l,则NB=60°.

(2)如图2,在aABC中，A8=AC,canB=—,SABC=48,求AABC的周长.

5ZX

A

【分析】(1)根据定义，要求cαn30o的值，想利用等腰三角形的三线合一性质，想到过

点4作AC8C,垂足为。，根据/8=30°,可得：BD=^-AB,再利用等腰三角形

2

的三线合一性质，求出BC即可解答，

根据定义，Cm8=1,可得底边与腰相等，所以这个等腰三角形是等边三角形，从而得/

8=60°；

(2)根据定义，想利用等腰三角形的三线合一性质，想到过点A作AC3C,垂足为。，

canB=^~,所以设BC=Sx,AB=Sx,然后利用勾股定理表示出三角形的高，再利用SA

5

ABC=48,列出关于犬的方程即可解答.

【解答】解：(1)如图：过点4作4O_LBC,垂足为O,

:∙BC=2BD,

VZB=30o,

.,.BD=ABcos30o==AB,

2

,BC=2BD=MAB,

Λran30o=BC=V3AB

ABAB

若ca∕ιB=I,

.∖canB=^-=lf

AB

；・BC=AB,

∖uAB=AC,

：.AB=BC=AC,

・・・ZvlBC是等边三角形，

ΛZB=60o,

故答案为：√3,60；

(2)过点A作AOJ_8C,垂足为

.BC_8

••,，

AB5

二设8C=8x,AB=5x,

;AB=AC,ADLBC,

∙*∙BD=ɪBC=4x,

2

•'•AZ)=JAB2-BD2=3X,

•；SAABC=48,

.∖-BC∙AD=4S,

2

.□∙8x∙3x=48,

2

∙*∙x2-4,

.∙.x=±2(负值舍去),

•∙x=2,

ΛAB=AC=10,BC=16,

ZXABC的周长为36,

答：BC的周长为36.

【例2】(2022•柯城区校级三模)定义：若三角形的一条边上的高线与这条边相等，则称这个

三角形为''标准三角形”.如：⅛∆AfiC,SLAB于点。，AB=CD,则4ABC为标准

三角形.

【概念感知】

判断：对的打“√”，错的打“X

(1)等腰直角三角形是标准三角形.J

(2)顶角为30°的等腰三角形是标准三角形.X

【概念理解】

若一个等腰三角形为标准三角形，则此三角形的三边长之比为1：1：√⅛√ξ:√ξ:

2.

【概念应用】

(1)如图，若4ABC为标准三角形，C£)_LAB于点O,AB=CC=I,求C4+C8的最小值.

(2)若一个标准三角形的其中一边是另一边的遥倍，求最小角的正弦值.

【分析】【概念感知】(1)根据等腰直角三角形的两条直角边互相垂直且相等，即可判断；

(2)作出图形，分别对•底边上的高和腰匕的高进行讨论，即可求解；

【概念理解】当AABC是等腰直角三角形时，AC：AB：BC=I:1：√2;当aABC是等

腰三角形，AB=AC,AELBC,AE=BC,设BE=x,贝IJAE=2x,求出AB=遥X，则A8：

AC：BC—y/s∙ʧʒ：2；

【概念应用】(1)过C点作AB的平行线，作4点关于该平行线的对称点4,连接A'B,

当A∖B、C三点共线时，AC+BC=A'B,此时AC+8C的值最小，求出48即可；

(2)分两种情况讨论：①当AC=FAB时，AC=爬CD,过点B作BE,AC交于E,设

CD=AB^a,则AC=√5∏.由等积法求出BE=^-a,用勾股定理分别求出AD=Ia,

5

BD=a,BC=42a,则可求SinN②当BC=收48时，BC=爬Dc过点

8作8£J_AC交于E,设CO=A8=",贝IJBC=遥〃，由勾股定理分别求出8。=2“，AD

=3a,AC=∖∏∂a,再由等积法求出BE=逅>“，即可求sinN8CE=亚.

1010

【解答】解：【概念感知】

(I)如图1：等腰直角三角形A8C中，ABLAC,

"."AB=AC,

.∙.等腰直角三角形是标准三角形，

故答案为：J;

(2)如图2,在等腰三角形ABC中，ZBAC=30o,AB=AC,CDA.AB,

VZΛ=30o,

ΛCD=-i-AC,

2

'：CA=AB,

：.CD=-AB,

2

,△ABC不是标准三角形；

如图3,在等腰三角形A8C中，∕8AC=30",AB=AC,AElBC,

此时AE>βC,

,△ABC不是标准三角形；

故答案为：X；

【概念理解】

如图I,当448C是等腰直角三角形时，AC：AB,BC=I:1：√2;

如图4,当aABC是等腰三角形，AB=AC,AELBC,AE=BC,

：.BE=EC^—BC^—AE,

22

设BE=x,则AE=2r,

在RtZ∖A8E中，ΛB=√5x,

：.AB：AC：BC=√5:√5:2；

故答案为：1：1：√E或代：√5:2；

【概念应用】

(1)如图5,过C点作A8的平行线，作A点关于该平行线的对称点A,连接48,

当A、B、C三点共线时，AC+BC^A,B,此时4C+8C的值最小，

'JAB=CD=∖,

：.AA'=2,

在RtZ∖ABA'中，4'B=√5.

."C+BC的最小值为遥；

(2)在AABC中，AB=CD,ABLCD,

.'.AC>CD,BC>CD,

.'.AC>AB,BOAB,

...△ABC的最小角为/AC8,

①如图6,当AC=√^AB时，AC=√5CD,

过点8作LAC交于E,

设CO=AB="，则AC=√^”,

"."SΛABC=-×AB×CD=-×AC×BE,

22

.-√5

..BDEJ7-------a,

5

在RtAiACD中，AD=2a,

λBD=AD-AB—a,

在RtZXBCO中，BC=√2fl.

在RtZYBCE中，SinNBCE=Y^∙:

10

②如图7,当BC=√^AB时，BC=爬DC,

过点8作BELAC交于E,

设CD=AB=a,则BC=娓a,

在RtCf)中，BD=2a,

.∙.A0=3α,

在RtAACD中，AC=yJ-L0a,

∖"SΛABC~×AB×CD^-×AC×BE,

22

E=

10

在RtAJSCE中，sin/BCE=-；

10

综上所述：最小角的正弦值为啤或变■.

1010

E

图4

A

图3

图2

[例3](2020•五华区校级三模)爱好思考的小茜在探究两条直线的位置关系查阅资料时，发

现了“中垂三角形”，即两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形如图(1)、图(2)、

图(3)中，AM.BN是ABC的中线，AMLBN于点P,像ABC这样的三角形均为“中垂三

角形设BC=4,AC—b,AB—c.

【特例探究】

(1)如图1,当∕%B=45°,c=4∖历时，a=4√5,⅛≈4√5；如图2,当N∕¾8

=30°,c∙=2时，a2+b2=20；

【归纳证明】

(2)请你观察(1)中的计算结果，猜想“2、序、J三者之间的关系，用等式表示出来，并利

用图3证明你的结论.

【拓展证明】

(3)如图4,在IjIABC。中，E、尸分别是A。、BC的三等分点，且AO=3AE,BC=3BF,

连接AF、BE、CE,且BE_LCE于E,AF与BE相交点G,Ao=3遥，AB=3,求AF

的长.

C.

CC

【分析】(1)根据等腰直角三角形的性质分别求出PA.PB,根据三角形中位线定理得到

MN//AB,根据相似三角形的性质分别求出PM、PN,根据勾股定理计算即可；

(2)连接MN,设PN=x,PM=y,利用勾股定理分别用x、y表示出a、b、c,得到答案；

(3)取AB的中点H,连接F”并延长交DA的延长线于点P,证明AABF为'中垂三角形”，

根据(2)中结论计算即可.

【解答】解：(1)在RI中，Z∕¾B=45o,c=√2,

贝IJPA=PB=^-=-c~^,

2

•・・M、N分别为CB、CA的中点，

：.MNwAB=2五,MN//AB,

：.∕∖APB^∕∖MPN,

•PN=PM=,≡=1

"⅞^PAAB^2,

：.PM=PN=2,

BM=JPB2+pM=2Vδ>

Λa=2BM=4√5,

同理：b=2AN=4yfs,

如图2,连接MM

在RtZ∖4PB中，/∕¾B=30°,c=2,

：.PB=—c=\,

2

∙,∙PA=Vc2-PB2=√3，

：.PN=—,PM=近，

22

与'

BM=NPB2+PM=A∕V=√PA2+PN2=2∩1,

."=V7,⅛=V13,

，cΓ+b1=20,

故答案为：4√5:4√5;20；

(2)β2+⅛2=5c2,

理由如下：如图3,连接MM

设PN=x,PM=y,

则尸8=2PN=2x,PA=IPM=Iy,

222222

BM=√PB2+PH2=√4χ+y,^=√PA+PN=√x+4y,

22

Λα=2√4x+y-⅛=2√χ2+4y2,

；・d2+⅛2=20(X2+J2),

*/C2=∕¾2+Pθ2=4(x2+γ2),

Λa2÷fe2=5c2;

(3)取A3的中点”，连接/7;并延长交OA的延长线于点尸，

;四边形ABCD为平行四边形，

.∖AD/∕BCfAD=BCf

XAHPSXBHF,

・AP_AH一

-BF^BH^1,

：.AP=BF.

9

∖AD=3AEfBC=3BF,AD=3娓,

：・AE=BF=病,

：.PE=FC,

・・・四边形PFCE为平行四边形，

*：BE.LCE9

：.BG工FH,

•：AE〃BF,AE=BFf

：.AG=GF,

尸为“中垂三角形”，

ΛAθ2+AF2=5BF2,即32+4产=5*(。©2,

C

N2

AB

图2

【例4】(2020•岳麓区校级二模)定义：在AABC中，若有两条中线互相垂直，则称^A8C

为中垂三角形,并且把AB2+BC2+CA2叫做XABC的方周长,记作L,即L=AB2+BC2+CA2.

⑴如图1,已知AABC是中垂三角形，BZ),AE分别是AC,BC边上的中线，若AC=BC,

求证：aAOB是等腰直角三角形；

(2)如图2,在中垂三角形ABC中，AE,8。分别是边BC,4C上的中线，且BD于

点O,试探究AABC的方周长L与4解之间的数量关系，并加以证明；

⑶如图3,已知抛物线y=§ax2」ax-2a与X轴正半轴相交于点A，与〉轴相交于点

164

B,经过点8的直线与该抛物线相交于点C,与X轴负半轴相交于点D,且BO=CD,连

接AC交y轴于点E.

①求证：AABC是中垂三角形;

②若AABC为直角三角形，求AABC的方周长L的值.

图2

【分析】⑴先利用“SAS"证明ABAD丝Z∖48E,然后根据^A8C是中垂三角形即可证明；

⑵先判断出AC=2AQ,BC=2BE,再利用勾股定理，即可得出结论；

(3)①利用二次函数先求出点B、点、A和点C的坐标，然后根据点A和点C的坐标确定E

是AC的中点，最后根据中垂三角形的定义即可证明；

②先由点A(4,0),8(0,-2a),C(-4,2。)的坐标得到MB=工0,kAc=--a,kβc=-

24

”,然后分情况讨论即可求解；或结合射影定理分情况讨论进行求解即可.

【解答】(1)证明：AC=BC,BD,AE分别是AC,8C边上的中线，

.,.AD=BE,ZBAD=ZABE,

：.∆BAD^Δ,ABE(SAS),

.∙.NABD=NBAE,

JOA=OB.

：AABC是中垂三角形，且AC=BC,

ΛZΛC>B=90o,

.∙.AAOB是等腰直角三角形.

(2)Δ=6AB2.

证明：如图，连接

'：AE,84分别是边8C,4C上的中线，

：.AC^2AD,BC=2BE,DE=-AB,

2

ΛAC2=4AD2,8C2=48E2,DE^^-AB1.

4

在RtZ∖4OD中，AD2=OA2+θb2,

在RtZ∖8OE中，BE1=OB1+OE1,

：.AC2+BC2=4(AD2+BE2)

=4(OA2+OD2+OB2+OE2)

^4(AB2+DE2)

=4(AB2-^~AB2)

5AB2,

.∖L=AB2+AC2+BC2^AB2+5AB2=64B2.

(3)①证明：在y=-^~aχ2~^aχ-2a中,当X=O时，y=-2α,

164

点、8(0,-2a).

y=0时，-^-aχ2--γaχ-2a=0>

164

整理得3x2-4x-32=0,

解得xι=-g∙(舍)，X2=4,

3

点A(4,0).

,CBD=CD,

yc=-ye—2a,

将y=2α代人∙aχ2=aχ-2a)

164

解得Xl=号■(舍)，M=-4,

.∙.C(-4,2a).

由点4(4,0),C(-4,2α)可知，E是AC的中点.

又YBD=CD,

：.AD,BE都是AABC的中线.

又：NAOB=90°,

.,.AD±BE,

...△48C是中垂三角形.

②解法一：由点4(4,0),8(0,-2a),C(-4,2。)可得以B=2∙α,kAc=-ɪa-Oc=-

24

VZC<ZAOB,

：.ZC≠90o.

当NABC=90°时，kAB*kBC=-L

解得“=√5(负值舍去)，

点8(0,-2√2)-

ΛI=6AB2=6×24=I44.

当N8AC=90°时∙，kAB∙kcA=-1，

解得a=2√5(负值舍去)，

.∙.点B(0,-4√2).

.,.Δ=6Λβ2=6×48=288.

综上所述，的方周长L的值为144或288.

解法二：由点A(4,0),8(0,-2d),C(-4,2a),

；点。是8C的中点，点E是AC的中点，

.∙.点。(-2,O),E(O,a).

"：ZC<ZAOB,

ΛZC≠90o.

当NABC=90°时，在4A8A)中，由射影定理得。解=。4.。。，

.".4a1=8,解得α=J5(负值舍去)，

二点B(0,-2√2).

ΛZ,=6Λβ2=6×24=l44.

当N8AC=90°时,，在AABE中，由射影定理得。A2=。".。，

∖6=2cr,解得O=2Λ∕5(负值舍去)，

点8(0,-4√2).

ΛL=6AB2=6×48=288.

综上所述，XABC的方周长L的值为144或288.

【例5】(2020•安徽模拟)通过学习锐角三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大

小与两条边长的比值是一一对应的，因此，两条边长的比值与角的大小之间可以相互转

化.类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系.我们定义：等腰三角形中底边

与腰的比叫做底角的邻对(ca〃)，如图⑴在BC中，AB=AC,底角B的邻对记作CanB,

这时s"B=i⅛整，容易知道一个角的大小与这个角的邻对值也是一一对应的.根

腰AB

据上述角的邻对的定义，解下列问题：

⑴ca〃30°=_V3_;

(2)如图(2),已知在AABC中，AB=AC,canB^—,SAASC=24,求AABC的周长.

5

【分析】(1)过点A作BC于点。，根据/8=30°,可得出8。=号A8,结合等腰

三角形的性质可得出BC=MAB,继而得出canB；

(2)过点A作AELBC于点E,根据CanB=里,设BC=Sx,AB=5x,再由S.MBC=24,

5

可得出X的值，继而求出周长.

【解答】解:≡(2)

(1)过点4作40,BC于点Q,

VZB=30o,

BD=^-AB,

2

YZVlBC是等腰三角形，

,BC=2BD=MAB,

故CGT30°=—=√3;

AB

(2)过点A作AElBC于点E,

,

..ΛE=√AB2.BE2=3X,

,∙SΔΛ6C=24'

.∙.LcχAE=12)=24,

2

解得：X=近,

故AB=AC=5&,βC=8√2,

从而可得aABC的周长为18√2∙

满分训练.

一.解答题（共20题）

1.（2022秋•如皋市期中）定义:一个内角等于另一个内角两倍的三角形，叫做“倍角三角形”.

（1）下列三角形一定是“倍角三角形”的有②③（只填写序号）.

①顶角是30°的等腰三角形：

②等腰直角三角形；

③有一个角是30°的直角三角形.

(2)如图1,在AABC中,AB=AC,NBAC290°,将AABC沿边AB所在的直线翻折180°

得至IJAABO,延长D4到点E,连接BE.

①若BC=BE,求证：AABE是“倍角三角形”；

②点P在线段AE上，连接3P.若∕C=30°,BP分AABE所得的两三角形中，一个是

等腰三角形，一个是“倍角三角形”，请直接写出/E的度数.

【分析】(1)利用“倍角三角形”的定义依次判断可求解；

(2)①由折叠的性质和等腰三角形的性质可求∕8AE=2∕AD8,由等腰三角形的性质可得

NBDE=NE,可得结论；

②分两种情况讨论，由三角形内角和定理和“倍角三角形”的定义可求解.

【解答】(1)解：若顶角是30°的等腰三角形，

两个底角分别为75°,75°,

：•顶角是30°的等腰三角形不是“倍角三角形”，

若等腰直角三角形，

三个角分别为45°,45°,90°,

V90°=2X45°,

；•等腰直角三角形是“倍角三角形”，

若有一个是30°的直角三角形，

.∙.另两个角分别为60°,90°,

V60°=2X30°,

,有一个30°的直角三角形是“倍角三角形”，

故答案为：②③；

(2)①证明：；48=AC,

ZABC=NACB,

；将aABC沿边AB所在的直线翻折180°得到AABD,

：.NABC=NABD,ZACB=ZADB,BC=BD,

ZBAE=2ZADB,

;BE=BC,

J.BD=BE,

；.NE=NADB,

：.NBAE=2NE,

.,.∆ABE⅛“倍角三角形”；

②解：由①可得NBAE=2N8D4=2NC=60°,

如图，

若AABP是等腰三角形，则42PE是“倍角三角形”，

.'.△AB尸是等边三角形，

ΛZΛPB=60o,

NBPE=120°,

,：ABPE是“倍角三角形”，

.∙.NBEP=2/EBP或NPBE=2NBEP,

ΛZBEP=20o或40°；

若43PE是等腰三角形，则AABP是“倍角三角形”，

ΛZABP=-ZBAP=30o或NAPB=工Na4E=30°或/482=2/428或/4/>8=2/

22

ABP,

：.ZAPB=90a或30°或40°或80°,

.∙.N3PE=90°或150°或140°或100。，

•••△8PE是等腰三角形，

；.∕BEP=45°或15°或20°或40°,

综上所述：NBPE的度数为45°或15°或20°或40°.

2.（2022秋•义乌市校级月考）【概念认识】如图①所示，在NABC中，若NABD=NDBE

=NEBC,贝U80,BE叫做/A8C的“三分线”，其中，80是“邻AB三分线“，BE是

“邻BC三分线

【问题解决】（1）如图②所示.在AABC中.∕A=80°,NABC=45°.若/ABC的三

分线8。交AC于点λλ求NBDC的度数.

（2）如图③所示，在aABC中.BP,CP分别是NABC的邻BC三分线和/ACB的邻BC

三分线，且/BPC=140°.求/A的度数.

【延伸推广】（3）在中，/ACD是AABC的外角，NA8C的三分线所在的直线与

NAC。的三分线所在的直线交于点P,若NA=%°（机＞54）,ZABC=54°.求出NBPC

的度数.（用含〃?的式子表示）

【分析】（1）分BD是邻AB的三分线和BD是邻BC的三分线两种情况解答即可；

（2）由NBPC=I40°,得NPBC+NPCB=40°,故工NABC+ɪ/AeB=40°,可得NABC+

33

ZACB=120°,从而∕A=60°；

(3)分四种情况分别解答即可.

【解答】解：(1)当8。是“邻AB三分线”时，ZABD=-ZABC=15°,

3

则NBOC=NABO+NA=15°+80°=95°,

当BD'是“邻BC三分线”时，NABD'=2∕A8C=30°,

3

则∕BD'C=NABD'+NA=30°+80°=110°,

综上所述，NBDC的度数为95°或110°；

(2)VZfiPC=MOo,

：.NPBC+NPCB=40°,

,：BP,CP分别是NABC的邻BC三分线和/ACB的邻BC三分线，

：.ZPBC^-ZABC,NPCB=工NACB,

33

.".-ZABC+-ZACB=40a,

33

ΛZΛβC+ZACS=120°,

ΛZA=60o；

(3)如图：

VZA=m°,NABC=54°,

ΛZACD=(w+54)°,

①当BP是邻AB的三等分线，AP是邻AC的二等分线时，

ZPBC=ZZABC=36o,ZPCD=-ZACD=(^-m+36Y,

333

9

ZBPC=ZPCD-ZPBC=-mo；

3

②当8P是邻AB的三等分线，4P是邻CO的三等分线时，

911

ZPBC=-ZABC=36o，ZPCD=-ZACD=(^m+lS)°,

333

ZBPC=ZPCD-ZPBC=(‰-18)°；

③当8P是邻8C的三等分线，AP是邻AC的三等分线时，

19O

ZPBC=-ZABC=↑So,NPeD=三NACD=(旦m+36)°,

333

9

ΛZBPC=ZPCD-ZraC=(-≤-∕π+18)°；

3

④当8P是邻BC的三等分线，AP是邻CD的三等分线时，

/PBC=工NABC=18°，ZPCD=-ZACD=(-m+∖SY,

333

.,.NBPC=NPCD-NPBC=L/；

3

3.（2022春•石嘴山校级期末）［问题情境］

我们知道：在平面直角坐标系中有不重合的两点A(Xl,yι)和点8(x2，)2)，若Xl=X2，则

A8〃y轴，且线段AB的长度为惘-)'2∣;若?="，则A8〃X轴，且线段AB的长度为团

［拓展］

现在，若规定：平面直角坐标系中任意不重合的两点"5,yi)、N(X2,>2)之间的折线距

离为d(M,N)=E-X2∣+lyι-”∣∙例如：图中，点M-I，1)与点ML-2).

之间的折线距离d(M,N)=I-I-1∣+∣1-(-2)|=2+3=5,

［应用］

解决下列问题：

(1)已知点E(3,2),点F(l.-2),求d(E,用的值；

(2)已知点E(3,1),H(-l,"),若d(E,4)=6,求〃的值；

(3)已知点P(3,4),点。在)，轴上，。为坐标系原点，且AOPQ的面积是4.5,求d(P,

Q)的值.

y」卜

Γ■Γ-Γ■Γ一-Γ■Γ■Γ■I-一

IIIIIIII

Γ■Γ■Γ■I-----―Γ■Γ■π■I-一

IIIIIIII

Γ-Γ-Γ■Γ一π■Γ■Γ-I--

IIIIIIII

「■Γ-Γ■Γ一-F■Γ■Γ■I-----

IIIIIIII

Γ■Γ■π■Γ■-Γ■「一Γ■I--

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III二IIII

26-住1

【分析】(1)根据折线距离为d(M,M=E-MI+M-”1计算即可;

(2)根据折线距离为或M,/V)=kι-χ2∖+∖yι-y2∖,构建方程求解即可；

(3)设。(0,"?),利用三角形的面积公式求出加的值，再根据折线距离为4(M,M=g-

χ2l+M-y2l计算即可求解.

【解答】解：(I)Y点E(3,2),点尸(1,-2),

：.d(E,F)=∣3-l∣+∣2-(-2)∣=6i

(2)VE(3,1),H(-∖,n),d(E,”)=6,

：.d(E,H)=∣3-(-1)∣+∣1-n∣=6,

解得：n=-1或3；

(3)如图,设0(0,m).

由题意，-^-∙∣w∣∙2=4.5,

解得MJ=±3,

Λβ(0,3)或(0,-3),

当Q(0,3)时，d(P,(2)=∣3-0∣+∣4-3|=4,

当0(0,-3)时，d[P,β)=∣3-0∣+∣4-(-3)∣=10,

：.d[P,Q)=4或10.

4.(2022春•镇江期末)定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，我们称这

两个角互为“开心角”，这个三角形叫做“开心三角形”.例如：在AABC中，∕A=70°,

ZB=35o,则NA与NB互为“开心角”，Z∖ABC为“开心三角形”.

【理解】

⑴若aABC为开心三角形，ZA=144°,则这个三角形中最小的内角为12°；

(2)若AABC为开心三角形，NA=70°,则这个三角形中最小的内角为35或芈°；

(3)己知NA是开心AABC中最小的内角，并且是其中的一个开心角，试确定/A的取值

范围，并说明理由；

【应用】

如图，AQ平分AABC的内角NB4C,交Be于点E,CO平分AABC的外角/BCR延

长BA和OC交于点P,已知NP=30°,若NBAE是开心aABE中的一个开心角，设N

BAE=Za,求∕α的度数.

P

【分析】(1)设最小角为α,由题意可得a+2a==36°,求出a即为所求；

(2)当NA是“开心角”,则最小角为35°；当NA不是“开心角”,设最小角为a,a+2a

=IlOo,a=(J¾o；

3

(3)三角形另一个开心角是2NA,第三个内角是180°-3NA,再由NAW180°-3/4

可得乙4W45°；

【应用】由题意可得N∕¾C=180°-2Za,设NPcA=x,则x=2Na-30°,NAEB=

240°-3Za,NABE=2Na-60°,分两种情况讨论：①当/B4E与/ABE互为开心角

时，∕B4E=工NABE或∕BAE=2∕A3E,求得∕a=40°；②当NBAE与/4E8互为

2

开心角，∕BAE=L∕AE8或NBAE=2∕4E8(舍)，求得∕a=48°.

2

【解答】解：(1)设最小角为a,

:△ABC为开心三角形，/A=144°,

Λa+2a=180o-144°=36°,

.∙.a=12°,

故答案为：12；

(2)当NA是“开心角”，则最小角为35°；

当N4不是“开心角”，设最小角为a,

.∙.a+2a=180°-70t,=110°,

故答案为：35或3；

3

(3)NA是开心aABC中最小的内角，并且是其中的一个开心角,

另一个开心角是2/A,

.∙.第三个内角是180°-3ZA,

VZΛ是最小内角，

ΛZA≤180o-3ZA,

ΛZA≤45o；

【应用】

VAD平分AABC的内角/84C,

CAE=/BAE=∕α,

ΛZB4C=180o-2Zα,

设NPCA=X,

VCD平分4ABC的外角ZDCF,

"BCD=NCDF=X,

：.ZACB=180o-Zr,

VZP=30°,

Λ180o-2Na+x=150°,

Λx=2Za-30°,

ΛZAEB=Za+1800-2x=240°-3Za,

ΛZΛBE=180o-Za-(240o-3Za)=2Za-60°.

①当/54E与NABE互为开心角时，

ZBAE=—NABE或NBAE=2NABE,

2

ΛZa=⅛Za-60°)或∕a=2(2Na-60。),

2

解得Na=40°；

②当NBAE与/AE8互为开心角，

ZBAE=-ZAEB或NBAE=2NAEB,

2

,/NAEB=ZEAC+ZACE,NEAC=NBAE,

，NBAE=2NAEB舍去，

.∙.Na=∙∣∙(240°-3Za),

解得Na=48°,

综上所述：40°或48°.

5.(2022春•崇川区期末)定义：如果三角形的两个内角a与B满足a+2β=100°,那么我

们称这样的三角形为“奇妙三角形”.

(1)如图1,Z∖ABC中，NACB=80°,BD平分NABC.

求证：AABO为“奇妙三角形”

(2)若AABC为“奇妙三角形"，且∕C=80°.求证：ZVlBC是直角三角形；

(3)如图2,AABC中，BO平分NABC,若aABO为“奇妙三角形"，且NA=40°,直

接写出/C的度数.

AA

图1图2

【分析】(1)根据“奇妙三角形”的定义，在4A8∕)中，ZΛ+2ZΛBD=100o,即证明△

ABO为“奇妙三角形”.

(2)由三角形的内角和知，A+∕8=100°,由aABC为“奇妙三角形”得出∕C+2N8=

IOOo或NC+2NA=100°两种情况，计算得/8=90°或NA=90°,从而证明AABC是

直角三角形.

(3)由三角形的内角和知，ΛADB+ZABD=\40,由为"奇妙三角形得出/A+2N

ABD=IOOo或2∕A+∕A8O=IO0°两种情况，求得∕C=80°或100°.

【解答】⑴证明：平分NABC,

：.AABC=2AABD.

在C中，VZACB=80°,

ΛZA+ZABC=180o-ZACB=180°-80°=100°,

即∕A+2NA84=100°,

.•.△ABO为“奇妙三角形”.

(2)证明：在BC中，VZC=80o,ΛZA+ZB=IOOo,

'.,△ABC为“奇妙三角形”,ΛZC+2ZB=100o或∕C+2NA=100°,

ΛZB=10°或/4=10°,

当/B=10°时，NA=90°,ZvlBC是直角三角形.

当NA=I0°时，/8=90°,Z∖A8C是直角三角形.

由此证得，AABC是直角三角形.

(3)解：YB。平分NABC,

：.ZABC=2ZABD,

:△AB。为“奇妙三角形”，

ΛZA+2ZΛβD=100o2ZA+ZABD-IOOo,

①当NA+2NABO=100°时,，NA80=(100°-40o)÷2=30o,

：.AABC=IAABD=Wa,

ΛZC=80o；

②当2∕A+∕A80=100°时，ZΛBD=100°-2/4=20°,

.∙.∕A8C=2NA8O=40°,

ΛZC=100°；

综上得出：NC的度数为80°或100°.

6.(2022春•亭湖区校级月考)定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段

的积等于这个点到这边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“好点”.如图

1,Z∖A8C中，点。是BC边上一点，连接AO,若AZ)2=Bf)∙CZλ则称点。是AABC

中BC边上的“好点

(1)如图2,AABC的顶点是4X3网格图的格点，请仅用直尺画出(或在图中直接描出)A8

边上的所有“好点”点。；

(2QA8C中，BC=I,tanB=3,tanC=l,点。是BC边上的“好点”，求线段8。的

4

长；

(3)如图3,AABC是。。的内接三角形，点”在AB上，连结C”并延长交Oo于点D.若

点H是ABCD中CD边上的“好点

①求证：OHLAB；

②若OH〃BD,。。的半径为厂，且r=3OH,求里的值.

DH

可得答案；

(2)作4E_LBC,解斜AABC,设8C=”,根据Co列方程求得;

(3)①由4AC4SZ∖O8”得，CH∙HD=AH∙BH,结合B戌=CH∙HD,得证：

②先确定AO是直径，然后求出A，、BH、BD、BH.CH,从而求出比值.

【解答】解：(1)如图1.

B

图1

斜边AB的中点。与斜边AB上的高CC的垂足D均为A8边长的“好点”.

(2)如图2,

图2

作AEA.BC于E,

在RtZXA8E中，tan/?=—=Λ,

BE4

设AE=34,BE=4a,

：.CE=AE=3a,

：・3a+44=7,

・二〃=1,

：.AE=CE=3,BE=4,

.∙.∕W=5,

设BD=x,

.∖DE=∖4-x∖f

在Rt△4£>£中，由勾股定理得,

AD2=Df2+AE2=(4-X)2+32,

；点。是BC边上的“好点”，

ΛAD2=BD∙CD=Λ∙(7-x),

Λx∙(7-x)=(4-X)2+32,

•.∙X∖—5,X2-_--5--,

2

即BD=5或5.

2

（3）如图3,

图3

①证明：：点”是ABCO中Cf）边上的“好点”，

.∖βH2=CH∙HD,

'：ZCAB^ZCBD,ZACD^ZABD,

：.LACHSXDBH,

.CHBH

AHDH

.".CH∙HD=AH∙BH,

：.BH?=AH*BH,

.,.AH=BH,

：.OHLAB-.

②连接A。，

设OH=a,则04=3。，

由①知，OHLAB,

又10H"BD,

：.BDLAB,

ΛZABD=90o,

,A/）是。。的直径，

.,.0A=0D=3a,

在RtZ∑4OH中，由勾股定理得，

AH=2^2a，

；AH=BH=OA=OD,

.'.BD=2a,

在RtZYBOH中，由勾股定理得，

QH=YBH2+BD2=2V3a，

由B"2=C7∕∙D”得：（为历a）2=CH∙（2百a），

4

.CH=√⅞&J

•,丽=2√§aT

7.(2021秋•如皋市期末)【了解概念】

定义：如果一个三角形一边上的中线等于这个三角形其中一边的一半，则称这个三角形

为半线三角形，这条中线叫这条边的半线.

【理解运用】

(1)如图1,在BC中，AB=AC,NBAC=120°,试判断AABC是否为半线三角形，

并说明理由；

【拓展提升】

(2)如图2,在aABC中，AB=AC,。为BC的中点，M为448C外一点，连接MB,MC,

若AABC和AMBC均为半线三角形，且AO和MO分别为这两个三角形BC边的半线，

求/AMC的度数；

(3)在(2)的条件下，若MO=∙∣∙,AM=I,直接写出BM的长.

【分析】(1)根据半线三角形的定义进行判断即可；

(2)过点A作4V_LAM交MC于点N,可证明4M42丝ZlJVAC,则AM=AV,所以三角形

MAN是等腰直角三角形，由此可解答；

(3)在(2)的基础上可知，MB=NC,AM=AN=1,在Rt∆Λ∕BC中，由勾股定理可得，

MB2+MC2^BC2,由此可得MB的长.

【解答】解：(I)AABC是半线三角形，理由如下：

取Be得中点ZX连接AZ),

∙.∙A8=4C,点。为BC的中点,

.,.AD±BC,

"：AB=AC,ZBAC=UOo,

ΛZB=ZC≈30°,

在RtZ∖A8O中，ZB=30o,

.∖AD=-^AB,

2

.♦.△ABC是半线三角形.

(2)过点A作AN_LAM交MC于点N,如图,

MD=