2023年四川省达州市宣汉县中考数学一模试卷（含答案）

2023年四川省达州市宣汉县中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共12小题，共48.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.一2的倒数是（）

A.-2

2.2022年4月1611,神舟十三号飞船脱离天宫空间站后成功返回地面，总共飞行里程约

198000公里.数据198000用科学记数法表示为（）

A.198×IO3B.1.98×IO4C.1.98×IO5D.1.98×IO6

3.下列计算结果正确的是（）

A.5α-3α=2B.6a÷2a=3aC.a6÷a3=a2D.（2a2b3）3=8α6b9

4.下列立体图形中，俯视图是三角形的是（）

5.如图，直线4B、CD相交于点0,若Nl=30°,则42的度数是（

A.30°

B.40°

C.60°

D.150°

6.六位同学的年龄分别是13、14、15、14、14、15岁，关于这组数据，正确说法是（）

A.平均数是14B.中位数是14.5C.方差是3D.众数是14

7.我国古代数学名著仇章算术J）记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊三，

直金十二两.问牛、羊各直金几何？”题目大意是：5头牛、2只羊共19两银子；2头牛、3只

羊共12两银子，每头牛、每只羊各多少两银子？设1头牛支两银子，1只羊y两银子，则可列方

程组为（）

8.如图，菱形ABCn对角线交点与坐标原点O重合，点4(-2,5),则点C的坐标是()

A.(5,-2)B.(2,-5)C.(2,5)D.(-2,-5)

9.如图，在Rt△ABC中，Z.C=90o,NBAC的平分线交BC于

点D,DE//AB,交4C于点E,DF1AB于点F,DE=5,DF=3,

则下列结论错误的是()

A.BF=IB.DC=3C.AE=5D.AC=9

2

10.已知关于X的方程M-(2m-I)X+m=0的两实数根为X2＜若(Xl+I)(X2+1)=3,

则Tn的值为()

A.-3B.-1C.-3或1D.-1或3

11.P为。。外一点，Pr与O。相切于点7,OP=10,40PT=30。，则PT长为()

A.5θB.5C.8D.9

12.如图，在边长为3的正方形4BC0中，点E是边AB上的点，且BE=24E,过点E作。E的

垂线交正方形外角NCBG的平分线于点尸，交边BC于点M,连接OF交边BC于点N,则MN的长

为()

DE______________,C

2

3-

EBG

5

-

6

c∙l

D.1

二、填空题(本大题共6小题，共24.0分)

13.分解因式：ɑ/α=

14.计算：（-α3）2=

15.如图，在Rt△4BC中，NC=90。，ZB=20°,分别以点2,B为圆

心，大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点M,N,作直线MN,

交BC于点D,连接4D,则NCAD的度数为.

16.如图，△∆DEF是以点。为位似中心的位似图形.若。4：

AD=2：3,则AABC与ADEF的周长比是

17.如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点。，AC=24,

BD=10,则菱形4BC0的周长是

18.如图，已知点4(-2,3),F(2,1),直线y=kx+k经过

点P(-l,0).试探究：直线与线段4B有交点时k的变化情况，

猜想k的取值范围是.

三、计算题(本大题共2小题，共16.0分)

19.sin30o+√^9-2-1.

20.解方程：x2-2x-3=0.

四、解答题(本大题共6小题，共62.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

21.(本小题8.0分)

先化简，再求值：(m+2+J-)∙等3其中m为满足一l<m<4的整数.

'2-τny3-m

22.(本小题10.0分)

如图，B是线段AC的中点，AD∕∕BE,BD〃CE.求证：4ABD为BCE.

23.(本小题8.0分)

去年，我国南方菜地一处山坡上一座输电铁塔因受雪灾影响，被冰雪从C处压折，塔尖恰好

落在坡面上的点B处，造成局部地区供电中断，为尽快抢通供电线路，专业维修人员迅速奔

赴现场进行处理,在B处测得BC与水平线的夹角为45。,塔基4所在斜坡与水平线的夹角为30。,

力、B两点间的距离为16米，求压折前该输电铁塔的高度(结果保留根号).

24.(本小题12.0分)

如图，反比例函数的图象与过点4(0,—1),B(4,l)的直线交于点B和C.

(1)求直线AB和反比例函数的解析式；

(2)己知点。(-1,0),直线CD与反比例函数图象在第一象限的交点为E,直接写出点E的坐标,

并求aBCE的面积.

25.(本小题12.0分)

如图，AB为。。的直径，点C是。。上一点，点。是。。外一点，NBCD=NB4C,连接OD交

BC于点E.

(1)求证：CD是。。的切线.

(2)若CE=AC,SinNBAC=/,求tan"E0的值.

26.(本小题12.0分)

如图，在平面直角坐标系Xoy中，已知抛物线y=αχ2+χ+c经过4(-2,0),B(0,4)两点，直

线X=3与X轴交于点C.

(1)求α,C的值；

(2)经过点。的直线分别与线段A8,直线X=3交于点D,E,且ABDO与AOCE的面积相等，

求直线DE的解析式；

(3)P是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段OC和直线X=3上是否分别存在点F,G,

使B,F,G,P为顶点的四边形是以BF为一边的矩形？若存在，求出点尸的坐标；若不存在,

请说明理由.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：因为—2×(―ɪ)=1.

所以-2的倒数是-；，

故选：B.

根据倒数的定义，乘积是1的两个数互为倒数解答即可.

本题主要考查倒数的定义，解决本题的关键是熟记乘积是1的两个数互为倒数.

2.【答案】C

【解析】解:198000=1.98×IO5,

故选：C.

把较大的数表示成科学记数法形式：αxlθjl,其中l≤α<10,n为正整数即可得出答案.

本题考查了科学记数法-表示较大的数，掌握10的指数比原来的整数位数小1是解题的关键.

3.【答案】D

【解析】解：A选项，原式=2α,故该选项不符合题意；

B选项，原式=3,故该选项不符合题意；

C选项，原式=α3,故该选项不符合题意；

。选项，原式=8。689,故该选项符合题意；

故选：D.

根据合并同类项判断4选项:根据单项式除以单项式判断B选项;根据同底数幕的除法判断D选项；

根据积的乘方判断。选项.

本题考查了合并同类项，单项式除以单项式，同底数塞的除法，塞的乘方与积的乘方，掌握(ab)n=

α”7t是解题的关键.

4.【答案】B

【解析】解：4、圆锥体的俯视图是圆，故此选项不合题意；

反三棱柱的俯视图是三角形，故此选项符合题意；

C、球的俯视图是圆，故此选项不合题意：

。、圆柱体的俯视图是圆，故此选项不合题意；

故选：B.

俯视图是从物体上面看所得到的图形，据此判断得出物体的俯视图.

本题考查了几何体的三视图，掌握定义是关键.注意所有的看到的棱都应表现在三视图中.

5.【答案】A

【解析】解：∙∙∙Zl=30°,Nl与N2是对顶角，

.∙.Z2=Zl=30°.

故选：A.

根据对顶角相等可得/2=Zl=30°.

本题考查了对顶角，解题的关键是熟练掌握对顶角的性质：对顶角相等.

6.【答案】D

【解析】解：4选项，平均数=(13+14+15+14+14+15)+6=14X岁)，故该选项不符合

题意；

8选项，这组数据从小到大排序为：13,14,14,14,15,15,中位数=今上=14(岁)，故该

选项不符合题意；

C选项，方差="[(13-1432+(14一14》2乂3+(15-14》2*2]=另故该选项不符合题

-⅛∙-

后、；

。选项，14出现的次数最多，众数是14岁，故该选项符合题意；

故选：D.

分别计算这组数据的平均数，中位数，方差，众数即可得出答案.

本题考查了算术平均数，中位数，方差，众数，掌握一组数据中出现次数最多的数据叫做众数是

解题的关键.

7.【答案】A

【解析】解:∙∙∙5头牛，2只羊共19两银子,

.∙.Sx+2y—19；

・・・2头牛,3只羊共12两银子,

••・2x+3y=12.

•••可列方程组为图豫：）

故选：A.

根据“5头牛、2只羊共19两银子；2头牛、3只羊共12两银子”，即可得出关于％,y的二元一次方

程组，此题得解.

本题考查由实际问题抽象初二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的

关键.

8.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查的是菱形的性质，关于原点对称的点的坐标特征，掌握菱形对角线互相平分是解题关键.

由菱形的对角线相互平分可知点4与C关于原点对称，从而得结论.

【解答】

解：•••四边形48CD是菱形，

OA=OC,即点4与点C关于原点对称，

•••点4(-2,5),

•・•点(:的坐标是(2,-5).

故选：B.

9.【答案】A

【解析】解：∙.∙4。平分4B4C,NC=90°,DfIAB,

.∙.Zl=42,DC=DF=3,ZC=KDFB=90°,

VDE//AB,

∙∙z.2=z.3»

ʌzl=z3,

：■AE=DE=5,

故选项B、C正确；

.∙.CE-√DE2-CD2=√52-32=4-

：.AC=AE+CE=5+4=9,故选项O正确：

故选：A.

根据角平分线的性质和和勾股定理，可以求得CD和CE的长，再根据平行线的性质，即可得到的

长，从而可以判断B和C,然后即可得到AC的长，即可判断D；从而可得到答案.

本题考查勾股定理、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、角平分线的性质，解答本题

的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.

10.【答案】A

【解析】

【分析】

根据方程*2-(2m-l)x+τ∏2=0的两实数根为X1，x2,得出xl+Λ⅛与XlX2的值，再根据Gi+

I)(X2+1)=3,即可求出m的值.

【解答】

解：T方程/一(2??I-I)X+T∏2=0的两实数根为X1，X2,

2

∙∙∙x1+x2=2m—1,x1x2—m,

xx

(x1+I)(X2+1)=l2+Xi+刀2+1=3,

.∙.m2+2m-1+1=3,

2

整理得：m+2m-3=0,解得：m1=1,m2=-3,

•.,方程久2-(2m—l)x+m2=0有两个实数根，

：.Δ=(2m—I)2—4m2≥0,

整理得：4m-1≤0,解得：m≤∣,

ʌm=-3.

故选：A.

【点评】

本题考查了一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，难度适中，掌握%1，外是方程/+p%+

q=0的两根时，x1+X2=-py%ι%2=q是解题关键.

IL【答案】A

【解析】解：如图，与O。相切于点T,

乙

ΛOTP=90°,/∖)√n

又∙.∙OP=10,乙OPT=30°,

.∙.OT=^OP=^×10=5,

：.PT=√OP2-OT2=√102-52=5√^3∙

故选：A.

根据切线的性质得到NOrP=90。，根据含30度角的直角三角形的性质得到。7的值，根据勾股定

理即可求解.

本题考查了切线的性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握在直角三角形中，30。角所对的直角

边等于斜边的一半是解题的关键.

12.【答案】B

【解析】

【分析】

根据正方形的性质、相似三角形的判定和性质，可以求得CN和BM的长，然后根据BC=3,即可

求得MN的长.

【解答】

解：作FHIBG于点H,作FKlBC于点K,

•：BF平分“BG,NKBH=90。，

二四边形BHFK是正方形，

•••DE1.EF,NEHF=90。，

.∙.∆DEA+NFEH=90°,乙EFH+乙FEH=90°,

.∙.∆DEA=乙EFH,

V∆A=∆EHF=90o,

・•.△DAE^Δ,EHF,

tAD__AE_

ʌ'HE='HFf

•・•正方形4BCO的边长为3,BE=2AE,

ʌAE—1,BE=2,

设HF=Q,则BH=Q,HE=BE+BH=2+a,

∙∙∙W

2+Qa

解得α=1.

vFK1CB,DC工CB,

ʌDC∕∕FKfADCN*FKN,

.DC_CN

,•而一~KNf

vBC=3,BK=1,・•.CK=BC-BK=3—1=2,

设CN=ð,则KN=CK-CN=2-b,

3b

λT=2^b'

解得b=|,即CN=|.

VZ-A=乙EBM,Z.AED=乙EFH=乙BME,

•••△AOES△BEM,

AD_AE

Λ~BE=丽’

.3_1

ʌ2=BMf

解得BM=|,

325

：一；=

MN=BC-CN-BM=3-Zɔ16

故选:B.

【点评】

本题考查正方形的性质、相似三角形的判定和性质，解答本题的关键是构造辅助线，构造相似三

角形进行解答.

13.【答案】a(x+l)(x-1)

2

【解析】解:ax一CL9

=α(x2—1)

=α(x+I)(X-1).

应先提取公因式ɑ,再利用平方差公式进行二次分解.

本题考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，分解因式要彻底，直到不能再分解为

止.

14.【答案】a6

【解析】解：(-α3)2=cι6.

根据幕的乘方，底数不变指数相乘计算即可.

本题考查基的乘方的性质，熟练掌握运算性质是解题的关键，要注意符号.

15.【答案】50°

【解析】解：1.•∆C=90o,NB=20。，

.∙.∆CAB=90°一乙B=90°-20°=70°,

由作图可知，MN垂直平分线段AB,

∙∙∙DA=DB,

ʌ/-DAB—Z-B—20°,

.∙./.CAD=乙CAB-/.DAB=70°-20°=50°,

故答案为：50°.

WzCylD=∆CAB-Z.DAB,求出NC4B,乙。48即可.

本题考查作图-基本作图，三角形内角和定理，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是

理解题意，灵活运用所学知识解决问题.

16.【答案】2：5

【解析】解：•••△ABC和ADEF是以点。为位似中心的位似图形.

.••△力BC和ADEF的位彳以比为04：OD,

OA：AD=2：3>

.∙.OA：OD=2：5,

.∙.△力BC与△DEF的周长比是2：5.

故答案为：2：5.

先根据位似的性质得到和aDEF的位似比为。A：OD,再利用比例性质得到04：OD=2：

5,然后利用相似比等于位似比和相似三角形的性质求解.

本题考查了位似变换.位似变换的两个图形相似.相似比等于位似比.

17.【答案】52

【解析】解：四边形4BCD是菱形，AC=24,BD=10,

.∙.AB=BC=CD=AD,AC1BD,OA=^AC=12,OB=TBD=5,

•••LAOB=90°,

.∙.AB=√OTl2+0B2=√122+52=13.

菱形ABC。的周长=44B=4X13=52,

故答案为：52.

由菱形的性质得48BC=CD=AD,AC1BD,OA=^AC=12,OB=^BD=5,再由勾股定

理求出4B=13,即可解决问题.

此题考查了菱形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质，由勾股定理求出48的长是解

题的关键.

18.【答案】-3≤k≤^

【解析】解：当直线y=kx+k经过点P(-l,0),4(-2,3)时，

—2k+左=3,

∙*∙k=-3；

当直线y=kx+k经过点P(-LO),8(2,1),时，

2k+k=1,

：.k=ɪ.

直线与线段4B有交点时，猜想k的取值范围是：-3≤k≤g.

故答案为：-3≤k≤g.

利用临界法求得直线PA和PB的解析式即可得出结论.

本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标的特征，利用待定系数法

求出临界值是解题的关键.

19.【答案】解：原式=；+3-：

=3.

【解析】分别利用特殊角的三角函数值，算术平方根的定义及负整数指数的定义运算，然后合并

即可求解.

本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型.解决此类题目的关键是

熟练掌握负整数指数累、二次根式、特殊角的三角函数值等知识点的运算.

20.【答案】解：将原方程左边分解因式，得

(x-3)(x+1)=0,

.∙.X—3=。或X+1=0,

**,X]=3,%2~--ɪ•

【解析】

【分析】

先将原方程左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出两个一元一次方程的解即可.

【点评】

本题考查了解一元二次方程-因式分解法，把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关

键.

21.【答案】解：(τn+2+J-)∙筌a

`2-τn73-m

_m2—4—52(τn-2)

m—23-m

_m2-92(m—2)

m—23-m

(m+3)(τn-—-3-)-2-(-m-—--2-)--------

m—23—m

=-2(m÷3)

=—2m—6,

Tn为满足一1<M<4的整数

Vm≠2,m≠3,

・•・Tn可以取0和1

・•・当Tn=1时，原式=-2×1—6

=—2—6

=-8.

当?n=O时，原式=-2×O—6

=0—6

=-6.

【解析】先算括号里，再算括号外，然后把Zn的值代入化简后的式子进行计算即可解答.

本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键.

22.【答案】证明：・・•点B为线段4C的中点，

・•・AB=BC，

VADllBE,

ʌZ-A=Z-EBC,

•・・BD//CE,

：•Z-C=∆DBA9

在。与ABCE中，

Z.A=(EBC

AB=BC,

.∆DBA=ZC

2ABDaBCE(ASA).

【解析】根据/S4判定定理直接判定两个三角形全等.

本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键.

23.【答案】解：由已知可得，

BD//EF,AB=16米，NE=30o,∆BDA=2BDC=90°,

ʌ/.E—/.DBA-30°,

.-.AD=8米，

・•,BD=√AB2-AD2=√162-82=8√"^（米），

•・・乙CBD=45o,Z-CDB=90°,

・・・ZC=乙CBD=45°,

ΛCD=BD=米，

.∙.BC=√CD2+BD2=J(8θ)2+(8θ)2=8√7(米)，

：.AC+CB=AD+CD+CB=(S++8√^7)米，

答：压折前该输电铁塔的高度是(8+8，耳+8/石)米.

【解析】根据锐角三角函数和勾股定理，可以分别求得AD、C。和BC长，然后将它们相加，即可

得到压折前该输电铁塔的高度.

本题考查解直角三角形的应用一坡度坡角问题,解答本题的关键是明确题意,求出力。、CD和BC长.

24.【答案】解：(1)设反比例函数解析式为y=g直线AB解析

式为y=QX+b,

•・•反比例函数的图象过点B(4,1),

ʌ/c=4×1=4,

把点4(0,-I),B(4,l)代入y=αx+力得｛：J+不=/

解得卜

U=-I

••・直线AB为y=∣x-l,反比例函数的解析式为y=%

⑵解悔—喉瓶U，

ΛC(-2,-2),

设直线CD为y=mx+n,

把C(一2,-2),O(TO)代入得｛1*n%

解得｛：：；，

・・・直线CD为y=2x+2,

••・E(1,4),

11127

∙*∙S>BCE=6X6——×6×3——×3×3——×3×6=­•

【解析】(1)根据待定系数法求得即可；

(2)解析式联立，解方程组求得C的坐标，然后根据待定系数法求得直线CD的解析式，再与反比例

函数解析式联立，解方程组即可求得E的坐标，然后根据正方形的面积减去三个直角三角形的面

积即可求得△BCE的面积.

本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形的面积，

求得交点坐标是解题的关键.

25.【答案】（1）证明：连接OC,

•­4B是直径，

.∙.∆ACB=90°,

.∙.∆ACO+Z.BCO=90°,

•••OA=OC,

∙∙∙/-OAC=Z.ACO,

：.∆BAC+∆BCO=90°,

∆BCD=Z.BAC,

：.ABCD+乙BCO=90°,

BPz.DCO=90°,

.∙.OCLCD,

OC为O。的半径，

.∙.CC是。。的切线；

（2）解：过点。作OHlBC于点H.

,∙,sin∕-BAC=绘=?，

AB5

二可设8。=4匕AB=5k,则AC=CE=3k,

∙.∙OH1BC,

.∙.CH=BH=TBC=2k,

VOA=OB9

ʌOH=∖AC=∣k（三角形中位线定理），

・・・EH=CE-CH=3k-2k=k,

OH_3

・•・tanz.CEO'EH=~k=2

【解析】本题考查切线的判定，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属

于中考常考题型.

(1)连接。C,证明。CCD即可；

(2)过点。作。H1BC于点H,由SiMBAC=篇=，可以假设BC=4k,AB=5k,则AC=CE=3k,

用k表示出OH,EH,可得结论.

26.【答案】解：⑴把4(-2,0),8(0,4)分别代入、=。/+%+的得:

Aa—2+c=0

ic=4'

解得：产=_称

c=4

即α的值为-g,C的值为4；

(2)设直线4B的解析式为：y=kx+b,

则厂2k+b=0

Ib=4'

解得：#

b=4

・・・直线力B的解析式为：y=2x+4,

设直线DE的解析式为：y=mx(m<0),

当％=3时，y=3m,

：•E(3,3m).

令2%+4=mχ得X=-ɪr,

fm-2

点。的横坐标为

m-2

与△OCE的面积相等，CE1OC,

1

X4X×3×3

2-(-

・•・9m2—18m-16=0,

・•・(3m+2)(3m