2023年山东省济南市莱芜区中考数学二模试卷（附答案详解）

2023年山东省济南市莱芜区中考数学二模试卷

1.-7的绝对值是（）

A.-7B.7C.ɪD.±7

2.如图是由4个大小相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图是（）

正面

3.2022年12月30日，济莱高铁开通运营，济莱高铁由济南站至钢城站，线路全长约117500

米，数字117500用科学记数法表示为（）

A.1.175×IO6B.1.175×IO5C.11.75×IO4D.0.1175×IO6

4.如图，直线MN〃EF,RtAABC的直角顶点A在直线EF上，边

AB与MN相交于点。，若/4DM=I23°,则NFaC的度数为（）

A.33°B,43oC.57oD.67°

5.某校初中数学实践活动小组在假期开展了剪纸的实践活动，下列剪纸作品既是轴对称图

形又是中心对称图形的是（）

6.实数4、（在数轴上的位置如图所示，化简J（b-a）2的结果I，，“

bOa

是b（）

A.b-CLB.a+bC.—α—bD.u-b

7.在一个不透明的袋子中有三个形状完全相同的小球，小球的标号分别为2,-3,5,若随

机摸出一个小球，记下标号，不放回，再随机摸出一个小球，记下标号，把两次记下的标号

分别当做点P的横坐标、纵坐标，则点P在第四象限的概率是（）

1212

--C-D-

A.9933

8.若〃?，”是一元二次方程/+2尢­1=0的两个实数根，则=()

2m—17nn

A.—3B.—V-^2C.ʌ/2D.3

②四边形A8C。是菱形；

③S四边形ABCD=AC∙BD；

④

tanZ∙∕lDG=―->

A.1B.2C.3D.4

10.在平面直角坐标系中，若点M（XI,%）,N（X2/2）。1<&）是抛物线y=m∕-2x+

m（m>0）上的两点，且满足Xι+%2=4时，都有力>及，则根的取值范围是（）

1111

O<m<BO<m<Cm>D

A.2-4-2-4-

11.因式分解：abz—4a=.

12.小明把如图的平行四边形纸板挂在墙上，玩飞镖游戏（每次

飞镖均落在纸板上），则飞镖落在阴影区域的概率是.

13.一个多边形外角和是内角和的热则这个多边形的边数是.

14.若关于X的一元二次方程mχ2+χ-i=O有两个不相等的实数根，则〃7的取值范围是

15.己知边长为4的正方形ABCQ,分别以各边为直径作半圆，

则这个正方形与四个半圆所形成的阴影部分的面积是.（

结果保留

Tr）

B

16.如图，在矩形ABCD中，点F是CD边上的一点，把矩形E

AD

ABC。沿B/折叠，点C落在A。边上的点E处,4D=10,AB=8,

点M是线段CF上的动点，连接8M,过点E作8M的垂线交BC/\、''

于点N,垂足为H.以下结论:①NFED=NEB4；②EF=6；③需=

④连接C”，则C//的最小值为，石一5;其中正确的结论是=----------'C

(把所有正确结论的序号都填在横线上

).

17.计算：

1J_

(W)T+(2023-π)°-∣√^3-1∣+2sin60o.

18.先化简，再求值：(x-I)2+(x+2)(x-2)-(2x-3)(x-1),其中

1

X=ɜ.

19.如图，在DABC。中，点M、N分别是对角线8。上的两点，且BM=DN,连接AN,CM.

求证：

∆ANM=NCMM

20.根据国家教育部和体育总局颁发的《学生体质健康标准》精神，为提高学生的自我保健

能力和体质健康水平，近日，某校开展了学生体能测试活动中的一项：女生一分钟跳绳比赛，

并随机抽取了60名女生一分钟跳绳次数进行调查统计，根据调查统计结果绘制了如下表格和

统计图：

等级次数频数

不合格100≤X<120a

合格120≤X<140

良好140≤X<160

优秀160≤X<180h

请结合上述信息完成下列问题：

(l)ɑ=,b=；

(2)请补全频数分布直方图;

(3)在扇形统计图中，“良好”等级对应的圆心角的度数是；

(4)若该校有3000名学生，根据抽样调查结果，请估计该校学生一分钟跳绳次数达到合格及

以上的人数.

21.某景区在建筑物8E附近新建了--座200加高的建筑物4£>,小明在此建筑物底端的点。

处测得建筑物BE的顶端8的仰角是30。，当他到达建筑物Ao的顶端力时，测得B点的俯角

是45°.

(1)求乙48D的度数；

(2)请你帮小明计算建筑物BE的高(结果精确至I」IJn).(参考数据：

√^^≈1.732)

22.如图，已知AB是。。的直径，C是C)。上一点，N4CB的平分线交。。于点D,PC是。。

的切线，。为切点，交CA的延长线于点P.连接AO,BD.

(I)求证:PD//AB-,

(2)若。。的半径为1,AP=1，求BC的长.

P

D

23.生态优先，绿色发展，让美丽的地球添上更多“中国绿”.某小区为抓好“园区绿化”，

购买了甲、乙两种树苗，购买甲种树苗花了1200元，购买乙种树苗花了900元，甲种树苗的

单价是乙种树苗的1.5倍，购买甲种树苗的数量比购买乙种树苗的数量少10棵.

(1)求甲、乙两种树苗单价分别是多少元？

(2)为扩大园区绿化面积,该小区准备再次购进甲、乙两种树苗共100棵,若总金额不超过1314

元，问最少购进多少棵乙种树苗？

24.如图，一次函数y=—X+3的图象与反比例函数y=W(k≠0)在第一象限的图象交于

4(1,α)和8两点，与)，轴交于点C.

(1)求反比例函数的解析式；

(2)若点M在y轴上，且ABMC的面积为4,求点M的坐标；

(3)将线段AB在平面内平移，当AB一个端点的对应点P在X轴上，另一个端点的对应点Q

是平面内一点，是否存在以A、8、P、Q为顶点的四边形为矩形？若存在，求出所有符合条

件的P点坐标；若不存在，请说明理由.

25.如图，在同一平面内的AABC和AADE,连接CE、B。，点尸、。分别是线段CE、BD

的中点，△4DE绕点A自由旋转时，B、P、。三点会在同一条直线上.

(1)如图1,当△力BC和AADE都是等边三角形时，判断线段尸4、PB、PC的数量关系，并给

出证明；

(2)如图2,当△4BC和AAOE都是等腰直角三角形时，请直接写出线段PA、PB、PC的数量

关系;

(3)如图3,当NBAC=∆DAE=90。，乙ACB=∆AED=30o,AP=时，求点A到直线

PB的距离.

26.抛物线的顶点坐标为D(1,4),与X轴交于4(—1,0),B两点，与y轴交于点C.

(1)求这条抛物线的函数表达式；

(2)如图1,点M是直线BC上的一个动点，连接AM,OM,求4M+0M的最小值，并求出

此时M点的坐标；

(3)如图2,点P在第四象限的抛物线上，连接CD,与BC相交于点Q,与X轴交于点G,

是否存在点P,使NPQC=N4CD.若存在，请求出尸点的坐标；若不存在，请说明理由.

图1图2

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：-7的绝对值是I-7|=7.

故选：B.

负数的绝对值是它的相反数，由此即可得到答案.

本题考查绝对值，关键是掌握绝对值的意义.

2.【答案】A

【解析】解：从上面看，底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形.

故选：A.

根据简单组合体三视图的意义，得出从上面看所得到的图形即可.

本题考查简单组合体的三视图，掌握视图的意义，得到各种视图的形状是正确判断的前提.

3.【答案】B

【解析】解:117500=1.175×IO5.

故选：B.

科学记数法的表示形式为aX1(P的形式，其中1≤∣α∣<10,〃为整数.确定〃的值时，要看把原

数变成“时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值≥10时，

〃是正整数；当原数的绝对值<1时，〃是负整数.

此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为aXIOn的形式，其中1≤∣α∣<10,n

为整数，表示时关键要正确确定。的值以及〃的值.

4.【答案】A

【解析】解：∙∙∙MN//EF,

.∙.∆ADM=4FAD=123°,

∙.∙∆BAC=90°,

ʌ/.FAC=/.FAD-∆BAC=123°-90°=33°,

故选：A.

根据平行线的性质可得乙4。例=/-DAF,因为ZBAC=90°,所以N凡4C=Z.FAD-4BAC求得即可.

本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，两直线平行，内错角相等相等是解题的关键.

5.【答案】C

【解析】解：4、不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意；

8、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；

C、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；

。、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意.

故选：C.

根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.

此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部

分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合.

6.【答案】D

【解析】解：由α,h两点在数轴上的位置可知，b<0<a,

所以b-ɑ<0>

故原式=a-b.

故选：D.

先根据a,b两点在数轴上的位置判断出6的大小，进而判断出b-a的符号，据此得出结论.

本题考查的是二次根式的性质与化简，熟知二次根式的被开方数具有非负性是解题的关键.

7.【答案】C

【解析】解：从标有2,-3,5的三个小球中，先摸出一球，记下标号，不放回，再随机摸出一

个小球，把两次记下的标号分别当做点P的横坐标、纵坐标，所有能可能出现的结果如下：

纵、横坐标2-35

2\(-3,2)(5.2)

-3(2,-3)\(5,-3)

5(2,5)(-3,5)\

共有6种等可能出现的结果，其中横坐标是正数，纵坐标是负数，即这个点在第四象限的有2种，

所以点P在第四象限的概率是W=ɪ,

63

故选：C.

用列表法表示从标有2,-3,5的三个小球中，先摸出一球，记下标号，不放回，再随机摸出一

个小球，把两次记下的标号分别当做点P的横坐标、纵坐标，所有能可能出现的结果，再根据概

率的定义进行计算即可.

本题考查列表法或树状图法，列举出所有等可能出现的结果是正确解答的前提.

8.【答案】D

【解析】解：∙∙∙m,〃是一元二次方程/+2X-I=O的两个实数根,

ʌm2÷2m—1=0,m+n=—2,mn=—1,

・•・m2=-2m+1,

m3+mzn

「5-------------mn

2m-1

mz(m+n)

~'2^≡1__(T)

(-2m+l)×(-2)ι

2τn-l

=2+1

=3,

故选：D.

根据m,n是一元二次方程/+2x—1=。的两个实数根，得Tn+n=-2,mn=-1,m2=—2m+

1,把所求式子变形后整体代入计算即可.

本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系，用整

体思想解决问题.

9.【答案】C

【解析】解：∙∙∙BA=8C,∆ABC=60°,

••.△ABC是等边三角形，

∙∙.AC=AB=BC,

"AD=CD=AC,

•••AB=CB=CD=AD,

四边形ABCC是菱形，故②正确，

:∙S四边形ABCD=之AC∙BD,故③错误，

∙∙∙CB=CD,NBCG=乙DCG=60o,CG=CG,

XABGCdDGC(SAS),故①正确，

过点尸作用1BN于点J,FH1BM于点H.

设4B=BC=CD=AD=2a,

菱形ABCD的面积=2X?X(2d)2=AB-FH>

.∙.FH=Ca,

•••FJLCJ,

...C/=：CF=加FJ=甘∙a,

.∙.BJ=BC+CJ=∣α.

.∙∙BF=√FJ2+BJ2=J(ɪɑ)2+(Ia)2=√^7α-

ʌBH=√BF2-FH2=V7α2—3α2=2α,

,FHQ

：・尸nnzl√-3√^3，

taπziBA——BH=--2-a--=—2

,**△BGC=△DGCf

・•.∆CBG=Z.CDGi

V∆ABC=Z-ADC，

・•・∆ADG=∕∕ABG,

：.tan∆ADG=tan∆ABG=?.故④正确.

故选：C.

①正确.根据SAS证明即可；

②正确.证明A4BC,ZiAOC都是等边三角形，可得结论：

③错误.利用菱形的面积公式判断即可.

④正确.过点F作FJ1BN于点J,FH1BM于点H,设AB=BC=CD=AD=2α,求出FH,BH,

可得结论.

本题考查作图-复杂作图，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识,

解题时的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.

10.【答案】A

【解析】解：由yι>y2可得，

(m%ι—2x1+m)—(m%2—2x2+m)>0,

整理，得:(%ι-A⅛)[m(%ι+不)-2]>0,

•・,x1+X2=4,

・•・(x1-λ⅛)(4m—2)>0,

VX1<X2»

：・x1—X2<0^

・•・4m—2<0,

解得Tn<ɪ,

ʌ0<τn<ɪ;

故选：4

根据％1+x2=4且均<%2时，都有力>为，可以得到为一%>。，即可得到m的取值范围.

本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题

意，利用二次函数的性质解答.

11.【答案】α(b+2)(b-2)

【解析】

解：原式=a(b2-4)

=α(b+2)(b-2),

故答案为：α(6+2)(b-2)

【分析】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.

原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可.

12.【答案】ɪ

4

【解析】解：根据平行四边形的性质易证平行四边形的对角线把矩形∕∖FΓ一

分成的四个三角形均为同底等高的三角形，故其面积相等，//

根据平行线的性质易证a=S2,故阴影部分的面积占一份，∖s×∕

故飞镖落在阴影区域的概率为：

故答案为:ɪ

4

先根据平行四边形的性质求出平行四边形对角线所分的四个三角形面积相等，再求出Si=Sz即可.

此题主要考查了几何概率问题，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比.

13.【答案】12

【解析】解：设这个多边形为“边形，由题意得，(n-2)xl80°xg=360°,

解得n=12,

即这个多边形为12边形，

故答案为：12.

根据多边形的内角和、外角和的计算方法列方程求解即可.

本题考查多边形的内角与外角，掌握多边形的内角和的计算公式以及多边形的外角和是360。是正

确解答的前提.

14.【答案】m>-)且Tn≠0

4

【解析】解：根据题意得Zn≠0且4=I2÷4m>0,

解得Tn>—ɪ;

所以团的取值范围为：加>一［且粗。0.

故答案为：？n>-,且m≠0.

根据根的判别式的意义得到A=l2-4m>0,然后解不等式即可.

本题考查了根的判别式：一元二次方程αχ2+Z>x+c=θ(ɑ≠0)的根与A=b2-4αc有如下关系：

当4>0时，方程有两个不相等的实数根；当4=0时，方程有两个相等的实数根；当4<0时，方

程无实数根.

15.【答案】8π-16

【解析】解：•.・正方形ABCC的边长是4,

•••半圆的半径是2,

二圆的面积=n×22-4π.

•••正方形ABCD的面积=42=16,

.∙.阴影的面积=圆的面积X2-正方形ABCD的面积=8τr-16.

故答案为：8τr-16.

求出以正方形边长为直径的圆的面积，正方形的面积，由阴影的面积=圆的面积X2-正方形ABCQ

的面积，即可求出阴影的面积，

本题考查圆面积、正方形面积的计算，关键是明白阴影的面积=圆的面积X2-正方形ABCQ的面

积.

16.【答案】①③④

【解析】解：如图:

•••矩形ABCC沿BF折叠，点C落在A。边上的点E处,

•••乙BEF=ZC=900=乙4,BC=BE,EF=CF,

乙FED=90°-∆AEB=Z.EAB,故①正确；

∙.∙BE=BC=AD=10,AB=8,

.∙.AE=√BE2-AB2=√IO2-82=6,

.∙.DE=AD-AE=10-6=4,

设EF=χ=CF,贝!∣DF=8—X,

在RtAOEF中，DE2+DF2=EF2,

.∙.42+(8-%)2=X2,

解得：X=5,

ʌEF=5,故②错误;

过E作EG,BC于G,如图:

A

B

•・・BM1EN,

・・・乙BHN=90°,

・•・乙BNH=90°-乙NBH=Z.BMC,艮IlNENG=LBMC,

・・•乙EGN=90o=ZC,

.∙∙ΔEGNs^BCM,

.5M_££_10-5,故③正确.

"EN~EG~8一4‘蚊⑷止阴’

VEN1BM,BE=10,

.∙.点”的运动轨迹为以BE中点。为圆心，5为半径的弧，过。作KTIBC于T,交Ao于K,如

图：

••1KT//AB,O为BE中点，

.∙.AK=KE=^AE=3=BT,OK=^AB=4,OB=OE=^BE=5,

.∙.CT=BC-BT=10-3=7,OT=KT-OK=8-4=4,OH=5,

.∙.OC=√OT2+CT2=√42+72=√^65,

当。，H,C共线时，C”取最小值，最小值为OC-OH,

二CH的最小值为，^而-5，故④正确；

・•・正确的结论是①③④，

故答案为：①③④.

由矩形ABCQ沿BF折叠，点C落在AO边上的点E处，可得乙BEF=NC=90o=∆A,BC=BE,

EF=CF,故NFED=90。-NaEB=NE4B,判断①正确；求出AE=√BE2-AB2=6,DE=

AD-AE=4,设EF=X=CF,可得42+(8-X)2=/,即可解得EF=5,判断②错误；过E

作EG1BC于G,证明△EGNSABCM,知需=言=|，判断③正确；根据EN1BM,BE=10,

可得点H的运动轨迹为以BE中点。为圆心，5为半径的弧，过。作KrIBC于7,交Ao于K,

由K7√∕4B,。为BE中点，可求出CT=BC-B7=7,OT=KT-OK=4,OH=5,即得OC=

√OT2+CT2=√^65,当0,H,C共线时，C”取最小值，最小值为OC-OH,可得C”的最小

值为√^在一5，判断④正确.

本题考查矩形中的翻折变换，涉及三角形相似的判定与性质，勾股定理及应用，共圆等问题，解

题的关键是掌握翻折的性质.

17.【答案】解：φ-1+(2023-π)°-∣<3-1∣+2sin60o

-<3

=3+1-yJr3+1+2X—2~~

=3+1-C+1+C

=5.

【解析】本题涉及零指数塞、负整数指数累、绝对值、特殊角的三角函数值4个知识点.在计算

时，需要针对每个知识点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果.

本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型.解决此类题目的关键是

熟练掌握负整数指数幕、零指数幕、特殊角的三角函数值、绝对值等知识点的运算.

18.【答案】解：(x-I)2+(x+2)(x-2)-(2x-3)(x-1)

=X2—2x+1+X2—4—2x2+2x+3x—3

=3%—6,

当X号时，

原式=3×∣-6

=-5.

【解析】先根据完全平方公式，平方差公式，多项式乘多项式算乘法，再合并同类项，最后代入

求出答案即可.

本题考查了整式的混合运算与求值，掌握整式的运算法则进行化简是解此题的关键.

19.【答案】证明：•••四边形ABC。是平行四边形，

.∙.AB=CD,AB//CD,

•••乙ABN=/-CDM,

•：BM=DN,

.∙.BN=DM,

在AABN与ACoM中，

AB=CD

乙ABN=乙CDM,

BN=DM

.∙∙∆ΛβΛ∕^∆CDM(SAS),

：.4ANB=/-CMD,

：.4ANM=NCMN.

【解析】根据平行四边形的性质得出AB=CD,AB//CD,进而利用SAS证明△4BN与△CDM全

等解答即可.

此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的性质得出AB=CD,4B〃CD解答.

20.【答案】318162°

【解析】解：(1)根据频数分布直方图可知优秀的人数b=18,

合格人数为60X20%=12(人)，良好的人数为27人，

.∙.α=60-12-27-18=3;

故答案为：3,18；

(2)根据(1)的数据补全频数分布直方图如下：

(3)在扇形统计图中，“良好”等级对应的圆心角的度数是360。XI^=I62。；

故答案为：162。；

(4)30OOX鬻=2850(人)，

答：估计该校学生一分钟跳绳次数达到合格及以上的人数为2850人.

(1)根据合格所占的百分比求出合格的人数，再根据频数分布直方图求出良好和优秀的人数，用总

人数减去其他人数求出α即可；

(2)根据(1)的数据补全频数分布直方图即可；

(3)用360。乘以“良好”等级所占的百分比即可；

(4)用该校的总人数乘以一分钟跳绳次数达到合格及以上的人数所占的百分比即可.

本题考查的是频数(率)分布直方图、扇形统计图以及用样本估计总体，读懂统计图，从不同的统

计图中得到必要的信息是解决问题的关键.

21.【答案】解：(1)过点B作BHJ.AD于"，

VAFLADfDE1AD1

ʌAF//DE//BHf

.•・Z-ABH=乙BAF=45°,乙DBH=乙BDE=30°,

・・・乙ABD=Z.ABH+乙DBH=75°；

上

(2)VBELDEfDELAD,BHAD,

・・.四边形BEOH是矩形，

：・BH=DE,BE=DH,

在RtZkAB"巾IZ-BAH=∆ABH=45°,

・・・AH=BH=DE,

PP

在Rt中，NBDE=30°,tan/BDE=等，

DE

：.BE=DH=DE-tan30o=UAH，

.∙.AH+DH=AH+^γ-AH=AD=200-

200200

ʌAH=--------=≈------1r”≈127(m).

1+空1+等

答：建筑物8E的高约为127m.

【解析】⑴过点B作BHIHD于H,根据平行线的性质即可求出结论;

(2)在Rt△4BH中可证得AH=B”,在Rt△4BH中，根据三角函数的定义求得BE=?4小由

40=4H+DH=200求出AH,进而求得40.

本题考查了解直角三角形的应用，关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数求解.

22.【答案】(1)证明：连接。。，

∙∙∙AB是O。的直径，

乙ACB=90°,

•••NACB的平分线交。。于点D,

ʌZ.ACD=乙BCD=*CB=45°,

ʌ乙BOD=2∆BCD=90°,

∙∙∙PD是。。的切线，。为切点，

.∙.PDLOD,

：.乙ODP=90°,

：・

Z-ODP=∆BODf

・•・PD∕∕AB.

(2)解：作4FIP。于点R贝IJ乙=乙4FP=90°,

ΛZ.ODF=90o,Z-AOD=2ZTlCD=90°,

・•・四边形OAFO是矩形，

VOA=OD=If

・・・四边形OAFQ是正方形，

：■AF=OA=1,

•・'AB=20A=2,AP—ɔZ-BAC=乙P,

4

BC.C”.nAFl4

••・^777=Sinzfiylc=SinzP=—=τ-=7.

ABAP≥5,

448

.・・BC=-AB=-×2=

:∙BC的长是2

【解析】(1)连接OD,由AB是G)。的直径，得乙4CB=90°,则NACD=乙BCD=^ACB=45。，

所以NBoD=2∆BCD=90",由切线的性质得Noz)P=90。，则NoDP=乙BOD,所以PD〃4B；

(2)作4F1P。于点F,可证明四边形OAED是正方形,则ZF=OA=1,AB=20A=2,而AP=

/.BAC—NP,贝IJ绘=sin∆BAC=sin"=空=2，所以8C=^AB=

ABAP555

此题重点考查切线的性质、圆周角定理、平行线的判定、正方形的判定与性质、锐角三角函数与

解直角三角形等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键.

23.【答案】解：(1)设乙种树苗单价是X元，则甲种树苗单价是l∙5x元,

依题意得：罂=驷-10,

1.5xX

解得：X=I0,

经检验，X=IO是原方程的解，且符合题意，

1.5X=1.5X10=15,

答：甲种树苗单价是15元，乙种树苗单价是10元；

(2)设购进乙种树苗m棵，则购进甲种树苗(Ioo-m)棵，

依题意得：107∏+15(100-m)≤1314,

解得：m≥37.2,

又∙∙∙τn为整数，

∙∙∙m的最，小值为38,

答：最少购进38棵乙种树苗.

【解析】(1)设乙种树苗单价是X元，则甲种树苗单价是l∙5x元，由题意：购买甲种树苗的数量比

购买乙种树苗的数量少10棵.列出分式方程，解方程即可；

(2)设购进乙种树苗m棵，则购进甲种树苗(IOo-Tn)棵，由题意：总金额不超过1314元，列出一

元一次不等式，再取其中的最小整数值即可得出结论.

本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确

列出分式方程；(2)找出数量关系，正确列出一元一次不等式.

24.【答案】解：(I)当X=I时，y=-χ+3=2,即点A(L2),

将点A的坐标代入反比例函数表达式得：k=2,

即房比例函数表达式为：y=-；

(2)联立一次函数和反比例函数表达式得：I=-X+3,

解得：X=I或2,

即点B(2,1)；

设点M的坐标为：(0,y),

则4BMC的面积=4=i×CM∙xβ=i×∣3-y∣×2,

解得：、=7或一1,

即点M的坐标为：(0,7)或(0,-1)；

(3)存在，理由：

设点P(X,0),点Q(s,t),

当AP是对角线时，由中点坐标公式和AP=BQ得:

%+1=2+s(x=l

2=t+1,解得：t=-If

1(%-1)2+4=(s—2)2+1(S=O

即点P(L0)；

当AQ是对角线时，由中点坐标公式和AQ=BP得:

s+1=%+2X=—1

2+t=1解得：S=O

(s-I)2+(£—2)2=(%—2)2+1t=-1

即点尸的坐标为：(一1,0)；

综上，点P的坐标为：(LO)或(L0).

【解析】(1)由待定系数法即可求解；

(2)由4BMC的面积=4=∣×CM∙xβ=i×∣3-y∣×2,即可求解;

(3)当AP是对角线时，由中点坐标公式和AP=BQ列出方程组，即可求解；当A。是对角线时,

同理可解.

本题为反比例函数综合题，涉及到一次函数的基本性质、待定系数法求函数表达式、矩形的性质

等，有一定的综合性，难度适中.

25.【答案】PB=CP+y∕~2AP

【解析】解：（I）Pa+PC=PB,理由如下:

如图1,连接AQ,

图1

∙.∙ΔABC和44DE都是等边三角形，

.∙.AB=AC,AD=AE,∆BAC=∆DAE=60°,

:∙Z-BAD=Z-CAE，

・•・△8/DgACAE(SZS),

.∙.BD=CE,Z-ABD=Z-ACEf

・・・点尸、Q分别是线段3。的中点,

ʌBQ=DQ9CP=PE,

・・・BQ=CP,

4CP丝MBQ(SAS),

乙

ʌAQ=AP1BAQ=Z.CAP,

・・・乙BAC=乙PAQ=60°,

••.△P4Q是等边三角形，

.∙.PQ=AP,

ʌPB=BQ+PQAP+CP-,

q)PB=cp+CAP,理由如下：

如图2,连接AQ,

图2

∙∙∙∆4BC和AAOE都是等腰直角三角形，

.∙.AB=AC,AD=AE,NBaC=NDAE=90°,

・•・乙BAD=Z-CAE,

・・・△B/D丝ZkCAE(SAS),

,BD=CE,Z-BAD=Z.ACE,

•・,点尸、。分别是线段。£、8。的中点，

.∙.BQ=DQ,CP=PE,

・•・BQ=CP9

ZCPgzMBQ(SAS),

ʌAQ=APfZ-BAQ=Z-CAP,

ʌ乙BAC=4PAQ=90°,

••.△P4Q都是等腰直角三角形，

.∙.PQ=∖∏AP,

ʌPB=CP+y∕~2AP,

故答案为：PB=CP+CAP；

(3)如图3,过点A作AH_LBP于H,

图3

∙.∙∆BAC=Z.DAE=90",4ACB=LAED=30°,

•••点A,点8,点E三点共线，EA=y∏>AD^AC=Λ∏>AB>

ACAE~=

而=Cr

・•・△ABDSAACE,

.∙.∆ABD=Z.ACE，

又•・•∆BDA=乙CDP,

・・・∆BAC=乙BPC=90°,

又•・•CP=PE,

：・BC=BE,CD=DE,

VZ-DCP=Z.DEP,

•・・∆ADE=90°-Z-AED=60°,

・・・乙DCP=乙DEP=30°,

：•乙BCE=Z.BEC=60°,

：.△BCE是等边三角形，

・•・BE=CE,

VCP=PE,∆CAE=90°,

ʌAP=CP=PE=4y∕~3,

■■■乙BCA=Z.ECA=30",

.∙.AB=AE=4√-3,乙PBE=Z-ACE=30°,

.∙.AH=^AH=2√-3,

二点A到直线PB的距离2√^^.

(1)由“SAS”可证△BAD^ΔCAE,可得Bo=CE,∆BAD=∆ACE,由“SAS”可证△ACP^Δ

ABQ,可得4Q=4P,∆BAQ=∆CAP,即可求解；

(2)由aSAS"可证ABAD也ACAE,可得BD=CE,∆BAD=∆ACE,由uSAS,'可证CP丝4

ABQ,可得AQ=AP,∆BAQ=/.CAP,即可求解；

(3)通过证明4力