核反应堆物理分析课后习题答案

核以京唯麴理今新答案

第T

1』.某压水堆采用UCh作燃料，其富集度为2.43%(质量)，密度为IOOOokg/m3。试计算：当中子能量为0.0253eV

时，UCh的宏观吸收截面和宏观裂变截面。

解：由18页表1-3查得，0.0253eV时：％(U5)=680.9b,%(U5)=583.5/7,q(U8)=2.7b

由289页附录3查得，0.0253eV时：σπ(O)=0.00027b

以C5表示富集铀内U-235与U的核子数之比，£表示富集度，则有:

235C5

235c5+238(1-c5)

c5=(1+0.9874(ɪ-1))^'=0.0246

ε

M(UO2)=235C5+238(1-C5)+16×2=269.9

2.23×IO28(m^3)

26(n3)

所以，N(U5)=C5N(UO2)=5.49×IO

28

N(US)=(Iy)N(UO2)=2.18×10(/)

283

N(O)=IN(UO2)=4.46×IO(m)

Ecl(UoJ=N(U5)σtt(U5)+N(U8)σa(U8)+N(O)σ,,(O)

=0.0549X680.9+2.18×2.7+4.46×0.00027=43.2(m')

Σf(UO2)=N(U5)tΓf(U5)=0.0549x583.5=32.0(m^')

1-2.某反应堆堆芯由U-235,H2O和Al组成，各元素所占体积比分别为0.002,0.6和0.398,计算堆芯的总吸收截面

(E=0.0253eV),

解：由18页表1-3查得，0.0253eV时:σo((75)=680.96

γ

由289页附录3查得，0.0253eV时：∑fl(A/)=1.5m^',∑a(H2O)=22m,M(U)=238.03,

Q(U)=I9.05X1。3依//〃3

可得天然U核子数密度N(U)=IooOP(U)NA/M(U)=4.82x1028(加-3)

则纯U-235的宏观吸收截面：∑π([75)=N(U5)×σιl(t∕5)=4.82×680.9=3279.2(加T)

总的宏观吸收截面：∑t,=0W2Z„(t/5)+0.6Z„(//2O)+0.398Z„(A/)=8.4(加T)

1-3、求热中子(0.025电子伏)在轻水、重水、和镉中运动时，被吸收前平均遭受的散射碰撞次数

解：设碰撞次数为t

λa∑vnσsσs1031-^=I3600%=-ɪ-=2.86x10-3

—=—=-IHO=------=156LWcd

4Z"nσaσa：0.660.0012450

1-4、试比较：将2.0MeV的中子束强度减弱到1/10分别需要的Al,Na,和Pb的厚度。

解：查表得到E=0.0253eV中子截面数据：

∑a∑s

A1：0.0150.084

Na：0.0130.102

Pb：0.0060.363

Al和Na的宏观吸收截面满足1/v律。

Q：铅对2MeV中子的吸收截面在屏蔽中是否可以忽略？(在跨越了可分辨共振区后截面变得非常小)

∑a=∑a(0.0253)(0.0253∕2×106)Λ1∕2

∑a

Al0.0169X10-4

Na0.0146×10-4

窄束中子衰减规律:

I=IOe-∑x

1=(1/10)10

：•x=(lnlθ)∕∑

因此若只考虑吸收衰减：

XAl=I36.25X104m

xNa=157.71×104m

对于轻核和中等质量核，弹性散射截面在eV〜几MeV范围内基本不变。所以只考虑弹性散射截面时，结果如下:

(相比较之下能量为2MeV时，弹性散射截面要比吸收界面大很多)

但是不清楚对于重核铅弹性截面基本不变的假设是否成立？

xAl=27.41m

xNa=22.57m

xPb=6.34m

,PV=^VΣ×3.2×10^"

P2×107

l.25×10l7m2

Σ×3.2×10^π~5×3.2×10^11

1-7.有一座小型核电站，电功率为15万千瓦，设电站的效率为27%,试估算该电站反应堆额定功率运行一小时所

消耗的铀∙235数量。

解：热能：&=—二J

裂变U235核数：ηη

200×106×1.6×10^'9

PeXt

77×2OO×1O6×1.6×1O^I9

15×104×103×3600

0.27×200×106×1.6X10^9

=6.25x1()22

%="宗=6∙25χl022χ黑

俘获加裂变U235核数:

≈7.30XIO22

2

消耗U235总质量量:

%“7.30×1022c”

m=—―M=----------×235

5sNAs6.02×IO23

≈28.5g

8、某反应堆在额定功率500兆瓦下运行了31天后停堆,设每次裂变产生的裂变产物的放射性活度为1.08X10-16t-1.2

居里。此处t为裂变后的时间，单位为天，试估算停堆24小时堆内裂变产物的居里数

解:

4,=500x106X24×3600J

_________Eday________

TLDAY~200×106×1.6X10^19

500×lO6×24x3600

^200×106×1.6×10^l9

=1.35×1024

31

161

A=JI.35X1()24*]08X10^Γ⅛

=3.62x108Q

1-9.设核燃料中铀-235的浓缩度为3.2%(重量)，试求铀-235与铀-238的核子数之比。

C5=[1+0.9874(，-1)]T

ε

=[1+0.9874(—1——1)Γ'

0.032

=0.0324

%==00324=0.0335

ngl-c51-0.0324

Lio.为使铀的∏=1.7,试求铀中U-235富集度应为多少(E=0.0253eV).

解：由18页表1-3查得，0.0253eV时：σa(U5)=680.9Z?,σf((75)=583.5/?,cr„((78)ɪ2.1b

,v(t∕5)=2.416

v(δ∕5)×∑V(U5)N(U5)b(U5)

由定义易得:η=-----------f

Σ,N(U5)α(U5)+N(U8)σ√U8)

N(U5)v(t∕5)σ,(t∕5)

nN(U8)=(八-σjt∕5))

σ∙∕U8)η

24165835

为使铀的n=1.7,^V(t∕8)=(∙×∙,6809)=54.9Λ^((∕5)

2.71.7

富集

H.、为了得到1千瓦时的能量，需要使多少铀-235裂变

解：设单次裂变产生能量200MeV

E=IOOoX3600=3.6x1()6/

U235裂变数：n=_________E

%-200x106χi6χl()T9

3.6×106

^200X106×1.6×10^19

U235质量：=1.125×10,7

%“3.6×IO6CCU

5=-^~M5=----------------------jτ--------------×235

5NA200×106×1.6×10^'9×6.p2×1023

=0.43x10%

1-12.反应堆的电功率为IOOO兆瓦，设电站的效率为32%。问每秒有多少个铀-235发生裂变？问运行一年共需消

耗多少公斤易裂变物质？一座相同功率煤电厂在同样时间需要多少燃料？已知标准煤的燃烧热为Q=29兆焦/公斤。

PT1∩n∩X1o6

每秒钟发出的热量：E=——=—^——=3.125×109J

η0.32

每秒钟裂变的U235：N=3.125xl0H)X3.125x1()9=9.7656xl0∣9(个)

运行一年的裂变的U235：TV1=NxT=9.7656×1019×365×24×3600=3.0797X1(^(个)

消耗的u235质量：

m=琛”×A=X叫=1422.8kg

需消耗的煤：m=£=%"二365><24><于00=33983xlθ9κ3.3983x1()6吨

Q0.32×2.9×IO7

.一核电站以富集度20%的U-235为燃料，热功率900MW,年负荷因子(实际年发电量/额定年发电量)为0.85,U-235

的俘获一裂变比取0.169,试计算其一年消耗的核燃料质量。

解：该电站一年释放出的总能量=900X1()6*085X3600X60X24X365=2.4125X10∣$j

ɔ419S×1016

对应总的裂变反应数=——---------=7.54XIO26

200×106×1.6X10^'9

因为对核燃料而言：σ,-σf+σr

核燃料总的核反应次数=7.54×1026×(1+0.169)=8.81X1026

8.81×IO26×235

消耗的U-235质量==344

6.02x1()23X1000

消耗的核燃料质量=344/20%=1720(Icg)

第二本

.某裂变堆，快中子增殖因数1.05,逃脱共振俘获概率0.9,慢化不泄漏概率0.952,扩散不泄漏概率0.94,有效裂

变中子数1.335,热中子利用系数0.882,试计算其有效增殖因数和无限介质增殖因数。

解：无限介质增殖因数：ZO==1.1127不泄漏概率：A=A,A"=0.952x0.94=0.89488

有效增殖因数：keff=kxA=0.9957

2-1.H和O在IoOOeV到IeV能量范围内的散射截面近似为常数，分别为20b和38b»计算H2O的ξ以及在H2O

中中子从IOOOeV慢化到IeV所需的平均碰撞次数。

解：不难得出，H2O的散射截面与平均对数能降应有下述关系：

σH20∙ξ∏20=2σH-ξπ+σo,ξo

4

即：

(2OH+σo)∙ξ∏2o=2σH∙ξH+σo∙ξo

ξH2θ=(2σH∙ξκ+σo∙ξo)/(2GH+σo)

查附录3,可知平均对数能降：3=1.000,ξo=0.120,代入计算得：

ξH2θ=(2×20×1.000+38×0.120)∕(2×20+38)=0.571

可得平均碰撞次数：

Nc=ln(E2∕E∣)/ξ∏2θ=ɪn(1000/1)/0.571=12.09≈12.1

2-6.在讨论中子热化时，认为热中子源项Q(E)是从某给定分界能Ec以上能区的中子，经过弹性散射慢化而来的。

设慢化能谱服从e(E)=Φ∕E分布，试求在氢介质内每秒每单位体积内由EC以上能区，(1)散射到能量E(E<Ec)

的单位能量间隔内之中子数Q(E);(2)散射到能量区间AEg=EgT-Eg内的中子数Qg。

解：(1)由题意可知：

Q(E)=广Σ,(E%(E')∕(E'→E)dE'

对于氢介质而言，一次碰撞就足以使中子越过中能区，可以认为宏观截面为常数：

Q(E)=J：Σ∕(E')∕(E'→E)dE'

_dE'(b

在质心系下，利用各向同性散射函数：f(E'→E)dE'=-------------o已知¢(E)=有：

(l-a)E,E'

(这里隐含一个前提：E∕α>E,)

(2)利用上一问的结论：

C「与TC∕oz71/EΣ/r⅛-∣1”工、Φ-EgE1

<2,=IFe(^ɪ-ɪ-_=Γ-ɑɪnɪ)

*(l-a)E(l-a)JEJJE(l-a)EE

33

2-8.计算温度为535.5K,密度为0.802×10kg∕m的H2O的热中子平均宏观吸收截面。

解：已知HzO的相关参数，M=18.015g∕mol,p=0.802×103kg∕m3,可得：

3623

1O.P.7√Λ0.802×IO.6.023×IO

N=2.68×IO28m^3

M18.015

已知玻尔兹曼常数J=l.38×10-23J∙K1,则：

kTM=1.38×10-23×535.5=739.0(J)=0.4619(eV)

查附录3,得热中子对应能量下，Ca=0.664b,ξ=0.948,σs=103b,σa≈0.664b,由“1/v”律:

σa(kTM)=4(0.0253)J0.0253/A&=0.4914(b)

由56页(2-81)式，中子温度:

„τr,_..2AΣ(⅛T)..2×18×7I√×0.4914

L+0.46ɪM]535∙5[1+ΛM6-NXIOr」1=577.8(K)

0.664/293

σa(0.0253)

对于这种“1/v”介质，有:nσa==0.4192(b)

1.1281.128V577.8

所以：∑f,=Nσa=2.68x0.4108=1.123(m'')

5

3.1有两束方向相反的平行热中子束射到235U薄片上，设其上某点自左面入射的中子束强度为10∣2Cm-2∙sL自右

面入射的中子束强度2XIO。Cm-2∙SL计算：

(1)该点的中子通量密度；

(2)该点的中子流密度；

(3)设&=19.2X1伊nr1,求该点的吸收率。

解：(1)由定义可知：φ=Γ+Γ=3×10l2(cm-2∙s^')

(2)若以向右为正方向：J=1'—I=-l×10l2(cm^2∙s'ɪ)

可见其方向垂直于薄片表面向左。

233

(3)Ra=∑aφ=19.2∙3×10'=5.76×10'(cm∙S-I)

3.2设在X处中子密度的分布函数是

心,E,Q)=4Le-χlλeaε(∖+cos∕z)

2π

其中：九”为常数，〃是Ω与X轴的夹角。求：

(1)中子总密度”(x)；

(2)与能量相关的中子通量密度收X,E)；

(3)中子流密度J(X,E)。

解：由于此处中子密度只与Ω与X轴的夹角有关，不妨视"为极角，定义Q在Y-Z平面的投影上与Z轴的夹角0

为方向角，则有：

(1)根据定义：

n(ɪ)=『花。yte-*"e"E(l+cosμ)dΩ

-ʃʃ^2~"“"/(I+cosμ>sinμdμ

-J/zal

=noe£edE^(1+cosμ)sinμdμ

可见，上式可积的前提应保证α<0,则有：

-hj0

CaEππ

n(x)=n^e~xlλ(——)(ʃsinμdμ+^cosχ∕sinμdμ)

ao.

5__X/λf∖—Λ,/λ

=-^—(-COS成+0)=-⅛—

a°a

(2)令，%为中子质量，则E=网炉/2=V(E)=西丽

faε

φ(x,E)=n[x,E)∙v(E)-J2£7加“n(x,E,Ω)dΩ=2n0e~'^ey∣2E∕mn

(等价性证明：如果不作坐标变换，则依据投影关系可得：

COS〃=sinOcos0

则涉及角通量的、关于空间角的积分：

6

£(l+cosχ∕)JΩ=∫θdo](1+SineCoS°)Sinede

r2πrπ^2πrπɔ

=JO"θJoSin""0+Jocos。"。JOShr"如

=24(一CoS)+(sin同;・j：Sin?6d6)=4%+0=4万

对比:

,《2兀,江

L(1+cosμ)dζl=])d/Jo。+CoS4)sinμdμ

=ʃrSinRdμ+J(J^ʃʃsinμcosμdμ

=2ττ(-cosχ∕∣θ)+(2^∙£sin〃cos〃d/z)=4√r+0=4%

可知两种方法的等价性。）

（3）根据定义式：

J(x,E)=£Ω^(x,E,Ω)t∕Ω=£Ω∕z(x,E,Ω)v(E)JΩ

cosχz(l+cosμ)sinμdμ

xfλah2

=n0e~ey∣2E∕mn(^cossinμdμ+ʃθcosχ∕sinμdμ)

CθςX

利用不定积分:COSn%sinXdx=-----------+C(其中n为正整数)，贝心

π+l

1---------cos3u2nevλeaEJ2E∕m

J(x,E)=HOefl'λ%"fE{2E∕m,,(0--------*)=-(}---------Y---------

303

3.7设一立方体反应堆，边长a=9m0中子通量密度分布为

<z)(%,ʃ,z)=3×1013cos(-)eos(ɪ2-)cos(-)(cm2∙5^l)

aaa

已知。=0.84X10-2m,L=0.175m.试求：

(1)∙∕(r)表达式;

(2)从两端及侧面每秒泄漏的中子数；

(3)每秒被吸收的中子数(设外推距离很小可略去)。

解:有必要将坐标原点取在立方体的几何中心，以保证中子通量始终为正。为简化表达式起见,不妨设例=3xlO∣3Cnr2

∙S',o

(1)利用Fick,sLaw：

J(r)=J(x,y,z)=-Dgradφ(x,y,Z)=-。彦i+gj+”Q

∂x∂y∂z

JtTlXTrVTlZTlVTrXTizTtZTCXTty

=D(I)O-[sin(-)eos(ɪ)cos(-)/+sin(ɪ)cos(-)cos(-)j+sin(-)cos(-)cos(")眉

aaaaaaaaaa

J(r)=∣J(r)∣

I(2)先

=D(I)O—JSin2(—)cos2(—)cos2(-)+sin2(-)cos2(-)cos2(—)+sin2(-)cos2(—)cos2(-)

a∖aaaaaaaaa

7

计算上端面的泄漏率:

∣冗乃

ICTC∙α∕2ra/2TlXcosV

Ui=L口⑵J(r)∙kdS=WO-L2可“2Sin(E)人工)⅛^

Λ∕2a/2

πa..πxa.πy

Dφ0—[―sm(—)].[—sɪn(——)]=4ZMq

a兀a_al2πa,a,2π

同理可得，六个面上总的泄漏率为：

aO

L=6×4D^-=24×0.84×10^2×3×10,3×104×^-=1.7×1017(S1)

0π3.14

其中，两端面的泄漏率为L∕3=5.8xl0∣6(s-i);侧面的泄漏率为L-Z√3=1.2×1017(s^1)

(如果有同学把问题理解成‘六个面’上总的泄漏，也不算错)

(3)由Z?=。/£“可得％=。/尸

由于外推距离可忽略，只考虑堆体积内的吸收反应率:

,F"l∙0∕2πχπy,πz

∖vRadv=∖v∖lφdvcθscss

⅛2⅛az2<→°<→∞<→=

0.84×10-22×18

×3×10'73=1.24×102°(ST)

O.i7523.14

3.8圆柱体裸堆内中子通量密度分布为

12245r2

(Kr,z)=IOcos(^∣)J0(^θ)(cm~∙s~')

HR

其中，H,R为反应堆的高度和半径(假定外推距离可略去不计)。试求：

(1)径向和轴向的平均中子通量密度与最大中子通量密度之比；

(2)每秒从堆侧表面和两个端面泄漏的中子数；

(3)设H=7m,R=3m,反应堆功率为IOMW,σf,5=410b,求反应堆内235u的装载量。

解：有必要将坐标原点取在圆柱体的几何中心，以保证中子通量始终为正。为简化表达式起见，不妨设例=10∣2Cm

∙s-'„且借用上一题的D值。

(1)先考虑轴向：

一I1∕2冗〃

cH∕2φdzcH∕2CZ2.405

0=L12/L,2dz=L,20。cos(-)J0(-^-)Jr/H

H/2

Φj,2.405rW.πz2,,2.405r

a=W1

H0RπH-H/2

且箸一/Sin噌)J0(然")在整个堆内只在Z=O时为0,故有:

2405r

么maχ=0(r,0)=44(-^~)

K

—..2,,.2.405rλ..τz2.405rx2

4/max=一。(Jo(——)/Aj0(——)=一

πRRπ

径向：

《=1：忡/[：dr=JO)COS售)J°(卷~r∕R

r3φ,4Z,/,2405-、2.405,,τrzκrz2.405rx.ʌ...t,1..slɪ,_

且刁一=这COS(万)J0(———)=----——^)COS(-)J1(———)在整个堆内只在r=0时为0,故有:

8

4gx=0(0,z)=<⅛cosQ)

rir

电"a=4CoS售)go(^¾d"R<⅛cos宕)=f

f2.405

已知JOJo(X)公=147,所以：

—,,ι.q∙∕XΛ,

φ/φ=---------/RN=O.611

rr-max2.405

（2）先计算上端面的泄漏率：

儿也2Ji」⑺匕虑=，』〃2）心.。（小）・生态

="C"列管叱厂-Drr呵:亭皿詈W。（然当办

R

2πDφR2

-Dφ.2π—[-ɪM(空叫0.7,(2.405)

1

°H2.405R02.405”

易知，两端面总泄漏率为2χ2≡2%01j（2.405）=2.93χl0∣4（L）

2.405771

侧面泄漏率：

4=R=JSg"⑺∙"S=JsgR)一°gmd0(r,z)∙e,4S

以RdZ

JoJ-H/2Qfr=R

利用BeSSel函数微分关系式：J（；=-J1,且已知J∣（2.405）=0.5191,可得:

M(2.405r∕R)2.405

drR“手)

所以：

wz22x2.405“。。°,小，“、,,,

4i=-附、2兀匚鲁电(2.405)[^-sin(^)]=----------------(2.405)=4.68xl0∣4(S-I)

-H/2π

(3)已知每次裂变释能与=2∞Λ⅛V=2∞×106×1.6×l0^l9=3.2×10^"(J)

P=Ez.∫j∫ΣfφdV=Ef.∫∫∫N5σf5φdV

VV

P

所以：N=—布=--------

sE∕∙JJ"∕WV

V

其中：

眄V=E›j>j>c吃)4(半)也

Hl2/,/2.405〃、»]

=2π∙⅛[-sin(⅛]

πH

9

n

利用BeSSel函数的积分关系式：∫xJl^(x)dx=x"Jn,可得

2.405rR2.405r

rj)dr-

Io(R2.405R

已知:Ji(O)=O,J∣(2.405)=0.5191,所以:

2HR4

1π

∫∫∫帕丫=2礴电(2.405)φ0HRJi(2.405)=5.44×10(m∙s')

Vπ2.4052.405

所以：

P

N、=------------=106∕(3.2×10"×410×10-28×5.44×10l7)=1.40×1024(m-3)

Efσfy∖∖∖φdV

V

所需235U装载量：

3324223

m5=IO~N5VM5/NA=10-×1.40×10×3.14×3×7×235∕(6.02×10)=108(kg)

3.9试计算E=0.025eV时的被和石墨的扩散系数。

解：查附录3可得，对于E=0.025eV的中子:___________________________________

∑∕m^l

s1-氏

Be8.650.9259

C3.850.9444

对于Be：O=九二21

二——=-----------=-=0.0416(m)

。)

33(1—43ΣΛ.(1-A0)

同理可得，对于C：D=0.0917(m)

3-12试计算丁=535长，〃=8021<8/1113时水的热中子扩散系数和扩散长度。

解：查79页表3-2可得，294K时：0=0.0016m,由定义可知:

O(T)_%⑺/3_1∕Σ,(T)_N(293K)q(293K)p(293K)

0(293K)-44293K)∕3-1∕Σ,(293K)-N(T)σs(T)ZXT)

所以：

D=p(293K)O(293K)/p=0.00195(m)

(另一种方法：如果近似认为水的微观散射截面在热能区为常数，且不受温度影响，查附表3可得:

282

4=103x10-28〉，i-^^=0.676,σa=0.664×10^τπ

在T=535K,p=802kg∕m3时，水的分子数密度：

N==103×802×6.02×1023/18=2.68×IO28(mʒ)

M

1

所以：∑v=Nσs=276(m^)

丸λ]

D=-=------=^=——=^=1/(3×2.68×103×0.676)=0.00179(m)

33(1-)3∑,v(l-∕∕0)

这一结果只能作为近似值)

IO

中子温度利用56页(2-81)式计算：

Tn=2[1+0.462公，优.)]=Γw[l+0.46

∑sσs

其中，介质吸收截面在中子能量等于5ι=7.28X102∣J=0.0461eV

再利用“1/v”律：

4(均)=4(0.0253eV)√0.0253/0.046)=0.4920(b)

Tn=535×(1+0.46×36×0.4920/103)=577(K)

(若认为其值与在0.0253eV时的值相差不大，直接用0.0253eV热中子数据计算：

A=535X(1+0.46×36×0.664/103)=592(K)

这是一种近似结果)

(另一种方法：查79页表3-2,利用293K时的平均宏观吸收截面与平均散射截面：惑(293K)=L97(πr∣)

—1

Σ[293K)==--------------=1/(3×0.0016×0.676)=308(nr∣)

30(293K)(l-〃o)

进而可得到Tn=592K)

利用57页(2-88)式

小岑詈Ji-'

Za=Ncra=I.11(mT)

∑s_______Nq______N_P

Σ4293K)-N(293K)q(293K)N(293K)-p(293K)

r

：.—Σ=pΣs(-2-9-3-Λ--)-=----------Jp----------=-=8O2∕(3×1(X)O×O.OO16×0.676)=247(m'.)

0(293K)3p(293K)0(293K)(l-〃0)

L=-=~=^=0.0424(m)

√3ΣnΣv(l-Ao)V3×l.ll×247×0.676

(此题如果利用79页(3-77)式来计算：

由于水是“IZ''介质，非1/v修正因子为1：

j序

代入中子温度可得：

L=λ∕4√592∕293=0.0285x4592/293=0.0340(m)

这是错误的！因为(3-74)式是在(3-76)式基础上导出的，而(3-76)式是栅格的计算公式，其前提是核子数密

度不随温度变化)

3.13如图3-15所示，在无限介质内有两个源强为SS-I的点源，试求Pl和P2点的中子通量密度和中子流密度。

解：按图示定义平面坐标。

Il

假设该介质无吸收、无散射，则在P2点，来自左右两个点源的中子束流强度均为ι+=r=s47ra2,可知:

。(6)=/+(£)+/-(E)=S/2万/

+

J(P2)=I(P2)-P(P2)=O

在Pl点，来自左右两个点源的中子束流强度均为S/4万(J5α)2,且其水平方向的投影分量恰好大小相等、方向相

反，可得：

。(用=〃([)+/-(用=S/4万&2

/+([)+/-(1)=2S您

JG)=/+(用一厂(用=

∖∣2^)πa1Sπa2

其方向沿Y轴正向。

若考虑介质对中子的吸收及散射，设总反应截面为∑,,则上述结果变为:

τa2(I)(PJ=Se-^'a∕4πa2

φ(P2)=Se~'/2πaJ(P2)=O

√⅛一伍。

J(K)=

^)πa2

(注意：如果有同学用解扩散方程的方法，在有限远处的通量密度同时与X、y、Z有关。)

3-16设有一强度为I(m-2∙5)的平行中子束入射到厚度为a的无限平板层上。试求：

(1)中子不遭受碰撞而穿过平板的概率；

(2)平板内中子通量密度的分布；

(3)中子最终扩散穿过平板的概率。

解：(1)/(a)//。=exp(-∑,q)

(2)此情况相当于一侧有强度为/的源，建立以该侧所在横坐标为X原点的一维坐标系，则扩散方程为:

3一冬=O

X〉0

cbc2I)

边界条件：i.IimJ(X)=Z

ii.IimJr：(Q)=O

x→a

方程普遍解为：φ(x)=Ae-X,L÷Cexlk

12

由边界条件i可得:

-x/i

IimJ(x)=lim(-D¾=lim{-Z>r^-e+C→fzi]}=y(Λ-C)=/

λ0

-'∙→θ工→°dx→LLLJ

=A吟+C

由边界条件ii可得:

φ(a)1dφ[x)Ae~a/L+Cea,L^Ae'a,L+Cea,L

IimJ^(α)-----------1-----------------------------------------------------1-------------------=---0-----------

46∑rz.dx46J

2+3AΣ,L+2D

=>A=rCeW

L-ID

2-3A∑,r

所以：

C*\KcnC=庄——

L-IDDD20+L

--------e2a/L—1

2D-L

2D+L2aiL

AILM1、IL2D^L

D'2。+L2*/D2D^L

--------e-1--------e2a/L-1

2D-L2D-L

2D+L

--------e

。（幻吟（2D—LC^X,L

2D+L2a2D+L,2“/】

2D-L2D-L

IL(L+2D)eg"+(2D-3"加

—I-----------------------------------------1

D(L+2O)k”-(2Q-L)e"Z

（也可使用双曲函数形式:

方程普遍解为：O(X)=ACOSh(X/L)+CSinh(X/L)

由边界条件i可得:

IimJ(X)=lim(-Z)-)=lim{-D[-sinh(ɪ)+—eosh(ɪ)]}=--C=I

∙t→0v→ndx'→0LLLLL

IL

=>C=

~D

由边界条件ii可得:

Acosh(-)+Csinh(-)Asinh(-)+Ccosh(-)

4(。)=幽+-L逊

I■=0

“46Σ"dxx=a46J

2Dcosh(-^)+LSinh(%

cosh(-)/6LΣtr+sinh(-)/4〃

=>A=-C——L------------------L—二—

eosh(ɪ)/4+sinh(ɪ)/6LΣtrDLɑosh(ɪ)+2Dsinh(^)

所以:

13

jj2Dcosh(-)+Lsinh(-).

φ(x)=一[(--------------------—)cosh(-)-sinh(ʌ)]

DLcosh(-)+2Dsinh(-)LL

LL

可以证明这两种解的形式是等价的)

(3)此间相当于求X=a处单位面积的泄漏率与源强之比：

J`L=，⑷-4⑷=J(a)=-Ddφ(Q=_L)LL

I―1一~~Γ一~1^~~dx~E―(L+2D)ea,L+(L-2D)e-a/L

___________4D__________

~(L+2D)ea'k+(L-2D)e-a/L

(或用双曲函数形式：

JL_2D)

ILcosh(iz/L)+2Dsinh(α/L)

3-17设有如图3-16所示的单位平板状“燃料栅元”，燃料厚度为2a,栅元厚度为2b,假定热中子在慢化剂内以均

匀分布源(源强为S)出现。在栅元边界上的中子流为零(即假定栅元之间没有中子的净转移)。试求：

(1)屏蔽因子Q,其定义为燃料表面上的中子通量密度与燃料内平均中子通量密度之比；

(2)中子被燃料吸收的份额。

解：(1)以栅元几何中线对应的横坐标点为原点，建立一维横坐标系。在这样对称的几何条件下，对于所要解决的

问题，我们只需对x>0的区域进行讨论。

燃料内的单能中子扩散方程：粤。_绰=0,o<jc<α

dx~L

边界条件：i.limJ(x)=0ii.Iim¢(X)=S

x→0x→a

通解形式为：O(X)=Acosh(x/L)÷Csinh(x/L)

,

利用FicksLaw：J(x)==_£)[—sjnh(ɪ)+—cosh(-)]

dxLLLL

AYCxDC

代入边界条件i：-D[-sinh(-)+-cosh(-)J=-------=OnC=O

LLLLx=0L

代入边界条件ii：Acosh(-)+Csinh(-)=Acosh(-)=S^A=——-——

LLLCoSh(ɑ/L)

cx

_fφdVJ0Φ^1S,.X..15∙Lsιnh(a∕Λ)

所以——------=----------------cosh(-)dr=-----------------------*tanh(S

Ldv[adQCOSh(α∕L)J。Lacosh(a∕L)aL

Jox

SCOSh(α∕L)

八φ{d}COSh(Q/L)a.a

Q=乎=^SL^^=7的1叩x

"—tanh(α∕L)LL

a

(2)把该问题理解为“燃料内中子吸收率/燃料和慢化剂内总的中子吸收率”，设燃料和慢化剂的宏观吸收截面分

别为二和琛，则有:

14

—JAMV—=—匡竺—=J述—=E"tanh(a∕L)_回顾扩散

pΣ

£Σ>√V+∫w∑^√V∖"∑aφdx+^^φdx∑，%+：S-