2023-2024届新高考一轮复习人教A版 第二章 第一讲　函数的概念及其表示 学案

第二章函数概念与基本初等函数I

第一讲函数的概念及其表示

知识梳理

知识点一函数的概念及其表示

1.函数的概念

函数

两个集合A,B设A,B是两个一非空数集.

如果按照某种确定的对应关系力使对于集合A中的上工

对应关系/：A→B

一个数X,在集合B中都有.唯一确定一的数/U)和它对应

称/：AfB为从集合A到集合B的一个函数

记法函数y=∕U),XeA

2.函数的定义域、值域

(1)在函数y=y(x),XGA中，X叫做自变量，X的取值范围A叫做函数的晏

义域；与X的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合伏X)IX∈A｝叫做函数

的值域..

(2)如果两个函数的定义域相同，并且一对应关系一完全一致,则这两个函数

为相等函数.

3.函数的表示法

表示函数的常用方法有一解析法一、图象法和列表法.

知识点二分段函数

1.若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的

式子来表示，这种函数称为分段函数.分段函数表示的是一个函数.

2.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数

的值域的并集一.

知识点三函数的定义域

函数y=∕U)的定义域

「叩表格给出|一|表格中实纵的集合I

—I用图象给出I」图象布轴上的投影所I

W家给叫I覆盖的实¾x的集合

Iy=Λχ)1~

-而解析式妗出I」使解析式有意义I

叩解析式给必I的实如的集合

一1由实际问题给回一I由实际问题的意义确定I

1.求定义域的步骤

(1)写出使函数式有意义的不等式(组)；

(2)解不等式(组)；

(3)写出函数定义域.(注意用区间或集合的形式写出)

2.求函数定义域的主要依据

(1)整式函数的定义域为R.

(2)分式函数中分母不等于O.

(3)偶次根式函数被开方式一大于或等于0..

(4)一次函数、二次函数的定义域均为B_.

(5)函数/U)=x°的定义域为｛x∣x≠01.

(6)指数函数的定义域为K_.

⑺对数函数的定义域为(0,十8).

知识点四函数的值域

基本初等函数的值域：

1.v=fcr+btWO)的值域是R.

4cιc—υ

2.y=0r2+∕λx+c(α≠0)的值域是：当a>0时，值域为Hy2加一

当“<0时，值域为W丝萨

k

3.V=.ZWO)的值域是(y∣y≠O)..

4.y=ax∖a>0且α≠l)的值域是>0,+8),.

5.y=logd(α>0且α≠l)的值域是旦_.

［延伸］

6.y=x+f(α>O)的值域为(一8,-2y∣cι)U(2y［a,+o°).

7.y=x-］α>0)的值域为(-8,+∞).

8.ad—bc≠O)的值域为18'力Ug+8).

归纳拓展

1.判断两个函数相等的依据是两个函数的定义域和对应关系完全一致.

2.分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.

3.与X轴垂直的直线和一个函数的图象至多有1个交点.

4.定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能用“或”

连接，而应该用并集符号“U”连接.

5.函数火X)与√U+a)(a为常数a≠0)的值域相同.

双基自测

题组一走出误区

1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“J”或“义”)

(l)y=lnx2与y=21nx表示同一函数.(X)

(2)y=lnx3与y=31nx表示同一函数.(√)

(3)函数的图象与直线尤=1的交点只有1个.(X)

Jt2+1,—1≤x≤1,

(4)Λχ)=,ʌ/I

x-τ3,x>1Sfcx<—1,

［x2+1,—1≤x≤1,

则1―X)=4、EI(J)

1—x+3,Ql或x<—1.

Y

(5)函数y=I——7定义域为X>L(X)

巾—1

⑹求函数尸言

的值域时有以下四种解法.判断哪种解法是正确的.

y2_|_a______1

［解法一］(不等式法)：>==N式+2+正装22,值域为［2,+

8).(X)

［解法二］(判别式法)：设52+2=*√^),则y=t+:,BPr2-(y+l=0,V

f∈R,ΛJ=∕-4≥0,.∙.y22或yW-2(舍去).(×)

［解法三］(配方法)：令W2+2=*的,则y=f+*(w—/2+222.(X)

［解法四］(单调性法)：易证y=t+:在/2表时是增函数，所以f=立时，>i∏

=平,故同邛,+∞j(√)

题组二走进教材

2.(必修1P67T2改编)已知於5)=lgx,则贝2)等于(D)

A.Ig2B.Ig32

C.Ig32D.∣lg2

ɪ

［解析］解法一：由题意知χ>0,令t=x5,则，〉0,x-r),

.∖Az)=Igr5=∣lgt,即∕x)=∣lgX(X>0),

.∙∙Λ2)=∣lg2,故选D.

解法二:令x5=2,则x=2$,.•.火2)=电25=/电2.故选口.

3.(必修1P73T11改编)函数y=∕(x)的图象如图所示，那么次用的定义域是上

3,0］U23］;值域是［1,5］；其中只与X的一个值对应的y值的范围是—2)

U(4,51.

3%,xW0,

4.（必修1P72习题Tl改编）（2023•长沙质检）已知函数/）=（'、'C则

JOg3X,A1>0,

槌］等于(D)

A.-1B.2

ɪ

C.√3

D.2

[解析]:娘=log3g<0,

二糙]=3*y

题组三走向高考

5.(2022・北京卷)函数")=；+、/1三的定义域是(-8,O)IJ((Ml.

ʌ

[解析]因为yζx)=1+∙∖/1—X,所以x≠0,l—x20,解得X∈(-8,0)U(0,1].

6.(2022.北京卷)已知函数7U)=j%,则对任意实数X,有(C)

A./-χ)+Λx)=O

B.β-χ)~βx)=O

c.Λ-x)+Λ%)=ι

D.β~x)~f(x)=j

19x

［解析］函数/U)的定义域为R，人一X)=而三=］7诬，所以八一X)+/U)

τ⅛÷⅛故选c.

•互动探究

考点一求函数的定义域—多维探究

角度1求具体函数的定义域

例1(2022.武汉模拟)函数HX)=舟下+尸？的定义域为(B)

A.[-2,0)U(0,2]B.(-1,0)U(0,2]

C.[-2,2]D.(-1,2]

[解析]要使函数有意义，

jx+1>0,

则需｛x+g,

14一/NO,

解得一l<x≤2且xz≠0.

所以x∈(-1,0)U(0,2].

所以函数的定义域为（-1,0）U（0,2］.

角度2求抽象函数的定义域

例2（1）已知函数/U）的定义域为（一1,0）,则函数42九+1）的定义域为（B）

A.（-1,1）B.（一1,-∣J

C.（-1,0）D.&1）

（2）（2022.陕西西安铁一中滨河高级中学高三阶段练习）若函数y=Ax）的定义

域是［0,6］,则函数g（x）=鬻的定义域是（C）

A.［0,2］B.（0,2）

C.fθ,2）D.（0,3）

［分析］求抽象函数定义域的关键，/后面括号内部分取值范围相同.

［解析］（1）由函数yu）的定义域为（一1,0）,则使函数人2%+1）有意义，需满足

-l<2x+K0,解得一la<—看即所求函数的定义域为（一1,一§.

fθ≤3x≤6,

（2）由条件可知：。一八所以0≤九<2,所以定义域为［0,2）,故选C.

［引申1］若将本例⑴中段）与.*2x+l）互换，结果如何？

［解析］<2%+1）的定义域为（一1,0）,即一14<0,

Λ-l<2x+l<l,.,./U）的定义域为（一1,1）.

［引申2］若将本例（D中负力改为以为一1），定义域改为［0』］，求y=A2x+l）

的定义域，又该怎么求？

［解析］∙.B=∕（2L1）定义域为［0,1］,

—l≤2χ-1≤1,要使y=∕（2x+l）有意义应满足-1W2X+1W1,解得一

l≤x≤0,

因此y=A2x+l）定义域为［-1,0］.

名婶A披MINGSHIDIANBO

函数定义域的求解策略

（1）已知函数解析式：构造使解析式有意义的不等式（组）求解.

（2）实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式（组）求解.

(3)抽象函数：

①若已知函数/U)的定义域为[α,b],其复合函数∕uα)]的定义域由不等式

0Wg(X)W求出；

②若已知函数./[g(x)]的定义域为[α,b],则凡r)的定义域为g(x)在x∈[α,h]

时的值域.

〔变式训练1〕

ln(l-χ)的定义域是

(1)(角度1)(2023.长春质检)函数y=J(D)

出+1

A.[-l,0)U(0,l)B.[-l,0)U(0,l]

C.(-l,0)U(0,l]D.(-1,0)U(0,1)

(2)(角度2)已知函数y=∕U2-l)的定义域为[一√5,√3],则函数y=∕U)的定

义域为(B)

A.[0,2]B.[-1,2]

C.[-√3,√3]D.[-√3,2]

(3)(2022.深圳市高三统一测试)若函数7U)的定义域为[0,8],则函数g(x)=

器/的定义域为03).

Γ1—x>0,

[解析](1)由题意得{x+l>0,解得一l<x<0或0<x<l.所以原函数的定义

lx≠0,

域为(一1,0)U(0,1).

(2)因为y="r2-1)的定义域为[一/，√3],所以x∈[-Λ∕5,y∣3],x2-1∈[-

1,2],所以y=∕(x)的定义域为[-1,2].故选B.

fθ≤2x≤8,

(3)依题意有。解得OWX<3,

Io2，>0,

.∙.g(x)的定义域为[0,3).

考点二求函数的解析式——师生共研

例3求下列函数的解析式：

(1)已知二次函数7(2X+1)=4Λ2-6X+5,则/W=f—5x+9Cr∈R)

(2)已知/(x)满足"》+《)=3x—1,贝IJf(x}=2χ-°-⅛x≠0).

t—1

［解析］(1)解法一(换元法)：令2x+l=D∈R),则X=-T-

(f—1ʌt—1

所以负。=4［亍『-6-+5=∕2-5∕+9(r∈R),

所以yU)=1—5x+9(x∈R).

解法二(配凑法)：因为/(2X+1)=4Λ2-6X+5=(2%+1)2-10Λ+4=(2X+1)2

-5(2x+l)+9,

所以«r)=X2—5x+9(XeR).

解法三(待定系数法)：因为/(x)是二次函数，所以设/(x)=0√+匕x+c(αWO),

则fi2χ-∖^l)=α(2x+l)2+⅛(2x+l)+c=44x2+(4α+2b)x+α+b+c.

4α=4,Ia=1,

4a+2b=~6,解得{b=-5,

{a+b+c~5,lc=9,

所以fix)=Jt2—5x+9(x∈R).

以:代替①中的X(X≠O),

得〃©+«V)=I—1，②

3

①义2一②，得就X)=6x—1,

故j(x)=2r-ɪ-∣(x≠O).

名用点彼MINGSHIDIANBO

求函数解析式的四种方法

涉已知条件yig(G]=f(χ),可将

∙'f(χ)改写成关于g(%)的表达式，然后

7以X替代g(%),便得/(4)的解析式，

j如本例(1)解法二.

讨手形而y=∕ig(x)j的窗薮辩桥

氏令，=g(#),从中求出#=φ(l),

T然后代入表达式求出/U),再将，换成

%,得到/(4)的解析式，要注意新元的

;取值范围，如本例(1)解法一.

沫核由杏音存荒系薮的廨济笑:苒莉

_|用恒等式的性质,或将已知条件代入,

:建立方程(组)，通过解方程(组)求出

;相应的待定系数，如本例(1)解法三.

:已知关于/(%)与/(})或/(一%)的表

_|达式，可根据已知条件再构造出另外

一个等式组成方程组，通过解方程组

求出/(“)，如本例(2).

变式训练2〕

(1)(2022.哈尔滨三中月考)已知行+l)=lgx,则的解析式为血)=lg^

(Ql).

(2)已知y=∕O)是二次函数，若方程"r)=0有两个相等实根，且/'(x)=2X

+2,则«r)=f+2x+L,

2

(3)已知函数对任意的X都有兀!)一贫一幻=2%,则«r)=誓.

(4)定义在R上的函数/U)满足/('+I)=纨%).若当OWXWI时，“x)=x(l—

χ(χ~∖~1)

元)，则当一1≤x≤0时,7U)=一=^—

2.2

［解析］(1)令;r+l=√(ρ>l),则X=-r,

ʌI1

2

所以/。=但二γ(r>l),

2

所以汽幻=Ig■—Γ(χ>i).

ʌ1

(2)设“r)=0r2+∕7χ+c3≠0),

则，(x)=2ax+h,2ax+h=2x+2,

则4=l,h=2..∖J(x)=x2+2x+c,

又於)=0,

即/+2x+c=0有两个相等实根.

.∙.∕=4-4c=0,则C=L

故«r)=x2+2x+1.

(3)∙.∙χx)-2Λ-χ)=2x,①

Λ∕-X)-2∕(X)=-2X,②

2

由①②得/(x)=1x.

(4)(转换法)当一IWXW0,则OWX+1W1,

故/(x+l)=(x+1)(1-%-l)=-χ(x+1),

又於+1)=贽X),

所以当一1WXWo时，危)=」&”.

考点三分段函数及应用—多维探究

角度1分段函数求值问题

-χ1+2,x≤L

例4(1)(2022・浙江卷)已知函数加)=ι1贝叮居=经；

[七-1,x>l,M28-

若当x∈[α,句时，lWyU)W3,则b—a的最大值是3+S.

TtX

CoSk，x≤0,

(2)Q022∙长沙市统一模拟考试)已知#x)=，2则负2)=

j[x—1)+1,x>0,

3.

2

[解析]⑴由题意知娟=—(，+2=/则/苣I=吁∣=(+}τ=(+A

4

1=3n7.作出函数於)的图象，如图所示，结合图象，令一/+2=1,解得x=±l;

令x+千一1=3,解得X=2±√5,又X>1,所以X=2+[5,所以出一α)max=2+小

-(-l)=3+√3.

(2)x=2时，Λ2)=χi)+1=∕0)+2=cos0+2=1+2=3.

角度2分段函数与方程的交汇问题

2Λ,0<X<2,

例5(2023・合肥模拟)若函数∕U)=<'.满足/(α)=A2"),则«2a)的

4—%,X孑2

值等于(A)

A.2B.0

C.-2D.-4

[解析]由题意知，T(X)在(0,2)上单调递增，在(2,+8)上单调递减，其图

象如图所示.若火α)=A2"),则α,2。不在同一单调区间内，又2">α,所以一定有

α∈(0,2),2"∈[2,+∞),所以2&=4-2",即2。=2,解得α=l,所以犬2。)=穴2)

=4—2=2.故选A.

角度3分段函数与不等式的交汇问题

2%+1χ≤ɪ

例6设函数於)=(若然1)]>4,则实数。的取值范围为」岂

,lθg3X十3",x>ι,

2x-1-1χ<ɪ

[解析]因为函数./(X)=I;所以7O)=2∣+1=3,所以咒/0)]

HOg3X+3",X>1,

=∕(3)=log33+3o=l+3a,因为胆1)]>4,所以l+3">4,即3。>3,解得α>l,即

实数。的取值范围为(1,+∞).

名帏点被MINGSHIDIANBO

分段函数问题的求解策略

⑴分段函数的求值问题，应首先确定自变量的值属于哪个区间，然后选定

相应的解析式代入求解.

（2）分段函数与方程、不等式的交汇问题，一般要根据分段函数的不同分段

区间进行分类讨论，最后应注意检验所求参数值（范围）是否适合相应的分段区间.

〔变式训I练3〕

ex+*n2,x≤0,

（1）（角度1）（2022.枣庄二模）已知函数段）=<则024)=(A)

人犬一3),x>0,

A2

eB.2e

c∙lD.2e2

2,x>0,

⑵（角度2）（2022.长春模拟）已知函数式x）=<若式α)+,/U)=0,

K+1,x≤0.

则实数。的值等于（A）

A.13B.-1

C.1D.3

1—yjx,x20,

（3）（角度3）（2023•江西名校联考）设Ar）=贝4/［火一2）］=展_；

2x,x<Q,

2

[解析](1)由次X)=3)得yu+3)="r),因而γ(2024)=A3X674+2)=∕(2)

2

=∕(2-3)=χ-l)=e"ln2=-.

⑵∙]l)=2i=2,.∙√⑷+2=0,.,.a)=-2,

当αW0时，y(α)=α+l=-2,'.a=-3,

当α>0时，J(a)=2a=~2,方程无解，

综上有α=-3.

(3)Vχ-2)=2-2=∣,

∙∖∕W-2)]=4=2'

当Xeo时，1—5》义，γβcwg,Λ0≤x≤^;

当Λ<0时，2∙v≥∣,-1≤x<O.

故的解集为-1,1

函教值域的求法

求函数值域的一般方法

（1）分离常数法；（2）反解法；（3）配方法；（4）不等式法；（5）单调性法；（6）换元

法；（7）数形结合法；（8）导数法.

例7求下列函数的值域.

⑴尸

i+∣χ∣'

(2)y=^^-2X2+Λ+3；

Λ2+X+1

⑶y=X

(4)y=x-∖∕L2x;

(5)y=x+√l-Λ2;

(6)y=∣jc+l∣+∣Λ-2|,

［解析］(1)解法一：分离常数法

∣-kl2

y=ττ市1+^l+M,

∙.∙∣x∣20,.∙.∣x∣+12,Λ0<^η-≤2.

2

.∙.—1<—1+II∣≤1.

1+W

即函数值域为(—

解法二：反解法

l~∣x∣I-J

由y—1+W何况1+y∙

1——y

∙.∙∣x∣20,二点20,.—l<yWl,即函数值域为(-1,1］.

（2）解法一：配方法

.∙.0WyWmp,.∙.值域为0,邛ɪ]

解法二：复合函数法

y=y[t'，=—2X2+X+3,

25

由，=—2解得

2Λ+X+3,O

又'∙y=3有意义，,owwg,

.∙.OWy<mg,...值域为[0,

Λ2+X+1

⑶产=⅛H∙

解法一：基本不等式法

由y=χ+-+l(x≠0),得y—1=%+；.

,1,1、/Γ^

2

'∙x+~=M+~^λ∕M∙r=2,

✓V∙Λ>∖l√v

ʌ|y-1∣≥2,即yW—1或y23.即函数值域为(一8,-1]U[3,+o°).

解法二：判别式法

由尸—丁+1'得/+(1—y)x+1=0.

：方程有实根，.∙.∕=(l-y)2—420.

即0—1)224,.∙.y-1W—2或y—122.

得yW^~1或y23.即函数的值域为(一8,-1]U[3,+∞).

解法三：导数法(单调性法)

ʌ,1(χ+l)(χ-l)

令y=11一9=------√-------<0，

得一l<%<0或0<x<1.

...函数在(0,1)上递减，在(1,+8)上递增，此时y23;

函数在(-1,0)上递减，在(一8,—1)上递增，此时y<一1.

Λγ≤—1或y》3.

即函数值域为(一8,-1]U[3,+∞).

(4)解法一：换元法

____J-z2

设^∖∣1—2∙X=∕(∕2O),得X=-2-，

1—∕21I

.∖y=~2~'-1=-2(?+1)2+1WWeO),

.∙.y∈(-8,即函数的值域为(-8,ɪ

解法二：单调性法

1-

V1—2x≥0,Λx≤^,定义域为（一8,2-

_

又：函数y=x,y=在(一8,，上均单调递增，Λ

1-2×∣=∣,Λγ∈(-∞,ɪ,

(5)三角换元法

、HTCTC

设x=sinθ,O∈-2,2，

y=sin8+cos8=&sin[。+/,

„ππ^∣-,π「兀3兀

•-