2023-2024届新高考一轮复习人教A版 第十章 第2节　二项式定理 作业

第2节二项式定理

课时作业灵活分层，高效提能________________________

[选题明细表]

知识点、方法题号

二项展开式的特定项

1,2,3,4,7,11,13

或项的系数

二项式系数的性质、系数和5,6,9,14

二项式定理的简单应用8,10,12,15

rA级基础巩固练

n2n

1.⅛（l+3x）=a0+a1x+a2x+∙∙∙+anx,若a5=a6,则n等于（B）

A.6B.7C.10D.11

556

解析：因为a5,a。分别为X,X。项的系数,则a5=C≡∙3,a6=C⅛∙3,所以

C≡-35=C⅞∙36,解得n=7.

2.（2022•湖南怀化一模）二项式（x+*）∣2的展开式中的常数项是

（C）

A.第7项B.第8项

C.第9项D.第10项

2rI

解析：二项式（x+专）*的展开式的通项为Tr+1=C[2∙x*^∙（ɪ）=

r12r

C[2∙2∙x^∣,

令12-∣r=0,解得r=8.因此,二项式（x+二重的展开式中的常数项是第

2√x

9项.

3

3.已知（√÷4：）5的展开式中含为受的项的系数为30,则a等于（D）

√x

A.√3B.-√3C.6D.-6

解析:二项式（石-春）5展开式的通项是TH=CKa产（_含r=

Cg（-a）'%h,由题意得等=|,所以r=l.所以禺（-a）1=30,

所以a=-6.

4.（2022・广西柳州二模）（l+x）（1-2x）5展开式中x?的系数为（B）

A.5B.30C.35D.40

解析:二项式（Mx”的通项为TXC•产∙.（-2x）t=Cg∙（-2）父，

所以（l+x）（12x）5展开式中χ2的系数为髭-（-2）2+C⅛・（-2）=30.

5.（2022・山西临汾二模）（«+?5的展开式中X的系数等于其二项

X

式系数的最大值,则a的值为（A）

A.2B.3C.4D.-2

513r

解析：因为（y+25的展开式的通项为TT=Cg（F）5r0）=C翱%h,

令号=1,即r=l时,X的系数为5a,而二项式系数最大值为髭=10,所以

2ɔ

5a=10,即a=2.

zl

6.（2022•北京卷）若（2xT）4=a4χ+a3χ3+a2χ2+aιx+ao,则a0+a2+a4等于

（B）

A.40B.41

C.-40D.-41

解析:法一（赋值法）依题意，令x=l,可得l=a4+a3+a2+aι+afl,令X=-I,

可得8l=a4~a3+a2~aι+ao,以上两式相加可得82=2（a1+a2+a0）,所以

ao+a2+a4=41.

法二(通项公式法)二项式(2χ-l)4的通项为TE=最(2x)w(-l)r,令

r=4,2,0,可分另IJ得a0=l,a2=24,a4=16,所以a0+a2+a4=41.

7.在(X-右)π的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中

√χ

系数最小的项的系数为(C)

A.-126B.-70C.-56D.-28

解析：因为只有第5项的二项式系数最大,所以n=8,(x-专)-的展开式

k8

的通项为Tktl=(-l)Cgx⅛(k=0,1,2,8).

所以展开式中奇数项的二项式系数与相应项的系数相等,偶数项的二

项式系数与相应的项的系数互为相反数.而展开式中第5项二项式系

数最大，因此展开式中第4项和第6项的系数相等且最小，为

(-l)3C∣=-56.

8.(2022・湖南长沙模拟)已知(Br)”展开式的二项式系数之和为64,

则展开式中系数为有理数的项的个数是.

解析:依题意，知2"=64=2t,,n=6,

则展开式的第k+1项为

6k

Tk+ι=C[(√3)6^k(-χ)k=(-DkC^3-xk(k=0,1,6),

当k=0,2,4,6时一,项的系数为有理数,所以展开式中系数为有理数的

项的个数为4.

答案：4

9.已知(x+l)tl的展开式二项式系数的和为128,贝∣JC9(⅛2+(⅛4+…+

席(-2)n=.

解析：由已知可得2=128,解得n=7,

所以二项式(x+l)7=(l+x)7的展开式的通项为TE=αχ1

令x=-2,则二项式的展开式为Gx(-2)°+GX(-2)"第X(-2)2+…+

C^×(-2)7=C5-C5×2+C^×4+∙∙∙+C?×(-2)7=(l-2)7=-l.

答案:T

10.（2022・湖北十堰高三期末）如图,杨辉三角最早出现于我国南宋

数学家杨辉所著的《详解九章算法》.它揭示了（a+b）”（n为非负整数）

展开式的项数及各项系数的有关规律.由此可得图中第9行从左到右

数第5个数是_____,第9行排在奇数位置的所有数字之和为.

第O行

第1行

第2行

第3行

第4行

解析：由题意得第0行有1个数,为1.

第1行有2个数,依次是C?,玛，

第2行有3个数,依次是喘,Cl

则第9行有10个数,其中第5个数为（⅛=簪汽=126.

,4×3×2×1

第9行排在奇数位置的所有数字之和为Cg+鬣+（⅛+∙∙∙+Cg=29τ=256.

答案：126256

ΓB级综合运用练

IL（2023・山西模拟）（xW+3•（层）5展开式中的常数项为

B)

A.-15B.OC.15D.80

ɔ11

解析：(1二∣)5展开式的通项为TXCK-2%寸=(-2)程/巴

当2-∣r=0时,r=4;当l-∣r=0时,r=2.

则6-2Xq)(I垸)5展开式中的常数项为χ2•(-2)田一2x(-2)2髭XT=0.

12.(多选题)已知(3χ2+与'的展开式中各项系数之和为A,第2项的二

X

项式系数为B,则下列说法正确的是(ABD)

A.A=256

B.A+B=260

C.展开式中存在常数项

D.展开式中含χ2项的系数为54

解析:令x=l,得(3χ2+U4的展开式中各项系数之和为A=4"=256,A正

X

确；

(3x2+⅛4的展开式中第2项的二项式系数为B=禺=4,A+B=260,B正确;

XV

(3χ2号)4的展开式的通项为TE=CZ(3x>r(B常一'加号令8-3-

0,则r=*所以展开式中不存在常数项,C错误;令8-3厂2,则r=2,所以

展开式中含χ2项的系数为3'MXC汇54,D正确.

13.(2022-江苏徐州模拟)已知(3xT)(x+l)”的展开式中所有项的系

数之和为64,则展开式中含x'的项的系数为(B)

A.20B.25C.30D.35

解析：因为所有项的系数之和为64,

所以(3-1)(l+l)n=64,所以n=5.

(3XT)(X+l)n=(3χ-1)(x+l)5,(x+l)5展开式的第r+1项TE=CWX二

3334

当r=2时一，T3=C^x=IOx,3x∙10x=30x,

,44l1

当r=l0⅛>T2=Clx=Sx,(-1)×5x--5x',30x-5x=25x'.

14.已知(χ2+^)n的展开式中，第4项的系数与倒数第4项的系数之比

√χz

为条则展开式中最大的二项式系数值为.

解析:由题意(X2+专)”的展开式的通项为TWai(X2)”(专)F・2r∙

∕x¾z,所以展开式中第4项的系数为W-2\倒数第4项的系数为

CΓ3・2nΛ所以袅嘉《，即烹Wnn-6=1,得∏=7,所以展开式中最

大的二项式系数值为G=35或¢=35.

答案：35

JQ<应用创新练

15.(多选题)(2022•湖北黄冈模拟)设(2x+l)6=ao+a∣(x+l)+

a2(x+l)2+…+a6(x+l)∖下列结论正确的是(ACD)

A.aɑ-aɪ+a2-a3+a4-a5+a⅛=36

B.a2+a3=100

C