2023-2024学年湘教版选择性必修第一册 3-2双曲线3-2-2双曲线的简单几何性质 学案

3．2.2双曲线的简单几何性质最新课程标准(1)掌握双曲线的简单几何性质．(2)掌握双曲线的渐近线及离心率的意义．新知初探·课前预习——突出基础性教材要点要点双曲线的几何性质标准方程x2a2-yy2a2-x图形焦点F1(－c，0)，F2(c，0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距|F1F2|＝2c性质范围❶x≤－a或x≥a，y∈Ry≤－a或y≥a，x∈R对称性对称轴：________；对称中心：________顶点A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)轴实轴：线段A1A2，长：________；虚轴：线段B1B2，长：________；半实轴长：________，半虚轴长：________离心率❷e＝ca渐近线❸y＝±bay＝±ab批注❶双曲线的范围说明双曲线是非封闭曲线，而椭圆则是封闭曲线．批注❷由于ba＝c2-a2批注❸双曲线的渐近线决定了双曲线的形状．由双曲线的对称性可知，当双曲线的两支向外无限延伸时，双曲线与两条渐近线无限接近，但永远不会相交．基础自测1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)双曲线的离心率越大，双曲线的开口越开阔．()(2)以y＝±2x为渐近线的双曲线有2条．()(3)方程y2a2-x2b2＝1(a(4)离心率e越大，双曲线x22．双曲线y24－xA．2B．4C．62D．3．实轴长为2，虚轴长为4的双曲线的标准方程是()A．x2－y2B．y2－x2C．x24-D．x2－y24＝1或y2－4．双曲线x22－yA．y＝±12xB．y＝±2C．y＝±2xD．y＝±2x5．双曲线9y2－16x2＝144的离心率e＝________．题型探究·课堂解透——强化创新性题型1由双曲线的方程研究双曲线的性质例1求双曲线4x2－9y2＝－4的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程．方法归纳已知双曲线的方程讨论其几何性质时，需先看所给方程是否为标准方程，若不是，需先把方程化为标准方程，然后由标准方程确定焦点所在的坐标轴，找准a和b，才能正确地写出焦点坐标、顶点坐标等．巩固训练1[2022·河北石家庄测试](多选)已知双曲线方程为x2－y2A．焦点F(±1，0)B．渐近线方程：y＝±2xC．离心率为2D．实轴长为2题型2由双曲线的几何性质求其标准方程例2(1)已知双曲线的焦点在y轴上，实轴长与虚轴长之比为2∶3，且经过点P(6，2)，求双曲线的标准方程；(2)求与双曲线x216-(3)已知双曲线的渐近线方程为y＝±12x方法归纳用待定系数法求双曲线标准方程的4种方法巩固训练2(1)已知双曲线x2a2-y2b2＝1(a>0，b>0)的右焦点为A．x24-C．x23－y2＝1D．x2－(2)焦点为(0，6)，且与双曲线x22－y题型3求双曲线的离心率例3(1)[2022·湖南雅礼中学测试]已知双曲线x2a2-y22A．233B．2C．2(2)[2022·湖南长沙一中测试]已知F1，F2是双曲线C：x2a2-y2b2＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2A.4＋23B．3－1C．3+12D．方法归纳求双曲线离心率的2种常用方法巩固训练3(1)[2022·湖南岳阳一中测试]已知双曲线C：y2a2-x2bA.52B．5C．102(2)设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为________．题型4直线与双曲线的位置关系例4已知双曲线x2－y2＝4，直线l：y＝kx－1，试讨论满足下列条件的实数k的取值范围．(1)直线l与双曲线有两个公共点；(2)直线l与双曲线有且只有一个公共点；(3)直线l与双曲线没有公共点．方法归纳直线与双曲线位置关系的判断方法巩固训练4直线l：y＝kx＋1与双曲线C：2x2－y2＝1的右支交于不同的两点A，B，则实数k的取值范围为________．易错辨析忽略对焦点所在轴的讨论致误例5已知双曲线的渐近线方程是y＝±23x，焦距为226解析：当双曲线的焦点在x轴上时，由ba=23，当双曲线的焦点在y轴上时，由a解得b2=18，故所求双曲线的标准方程为x218-【易错警示】出错原因纠错心得误认为焦点一定在x轴上，得到答案：x218-当题目条件没有明确双曲线的焦点所在轴时，应分两种情况进行讨论．同时注意两种情况下，渐近线方程是有区别的：焦点在x轴上时，渐近线方程为y＝±bax；焦点在y轴上时，渐近线方程为y＝±ab3．2.2双曲线的简单几何性质新知初探·课前预习[教材要点]要点坐标轴原点2a2bab[基础自测]1．(1)√(2)×(3)×(4)√2．解析：由题知a2＝4，∴双曲线的实轴长为2a＝4.答案：B3．解析：由题意知2a＝2，2b＝4，∴a＝1，b＝2，∴a2＝1，b2＝4，又双曲线的焦点位置不确定，故选D.答案：D4．解析：由双曲线方程得a＝2，b＝1，∴渐近线方程为y＝±bax＝±22答案：B5．解析：双曲线9y2－16x2＝144可化为y2∴a2＝16，b2＝9，∴离心率为：e＝a2+b2a答案：5题型探究·课堂解透例1解析：双曲线方程可化为y249－则双曲线焦点在y轴上，a2＝49，b2＝1，∴c2＝49＋1＝∴a＝23，b＝1，c＝13∴顶点坐标为(0，±23)；焦点坐标为(0，±133)；实轴长为2a＝43；虚轴长为2b＝2；离心率e＝ca＝132；渐近线方程为y＝±a巩固训练1解析：由题意，双曲线x2－y22＝1，可得a＝1，b＝2，则c＝a2所以双曲线的焦点坐标为F(±3，0)，所以A不正确；渐近线方程为y＝±bax＝±2x离心率为e＝ca＝3实轴长为2a＝2，所以D正确．答案：BD例2解析：(1)设双曲线方程为y2a2-x2b2＝1(又∵双曲线过点P(6，2)，∴4a依题意可得ab=故所求双曲线方程为34y2－13x(2)双曲线x216-可设所求双曲线的方程为x2a2-y由题意可得c＝25，即a2＋b2＝20，将点(32，2)代入双曲线方程可得，18a2解得a2＝12，b2＝8，即有所求双曲线的方程为x2解析：(3)方法一当焦点在x轴上时，设所求双曲线方程为x2a2-y2b2＝1，由渐近线方程为y＝±1由c2＝a2＋b2得a2＝20，b2＝5.∴双曲线方程为x2同理，当焦点在y轴上时，可得双曲线方程为y2即所求双曲线方程为x220-方法二由渐近线方程为y＝±12x可设双曲线方程为x24－y2＝λ(λ由a2＋b2＝c2得|4λ|＋|λ|＝25，即λ＝±5.∴所求双曲线方程为x220-巩固训练2解析：(1)不妨设点A在第一象限，由题意可知c＝2，点A的坐标为(1，3)，所以ba＝3，又c2＝a2＋b2，所以a2＝1，b2＝3，故所求双曲线的方程为x2－y(2)由x22－y2＝1，得双曲线的渐近线为y＝±22x.设双曲线方程为x22－y2∴x22λ-y2λ故双曲线方程为y2答案：(1)D(2)y2例3解析：(1)依题意，双曲线的渐近线方程为y＝±2ax，因两条渐近线的夹角为π于是得直线y＝2ax的倾斜角是π6或π3，即2a＝tanπ6或2a＝tanπ3，解得a＝6或63，而又b＝2，则有c＝22，所以双曲线的离心率e＝ca＝2(2)依题意知，若双曲线焦点为F1(－c，0)，F2(c，0)，∴|F1F2|＝2c，则△MF1F2的高为3c，即M(0，3c)，∴N(－c2，32c)，代入双曲线方程：c24a2-3c24b2＝1，整理得∵b2＝c2－a2，∴c4－a2c2－3a2c2＝4a2c2－4a4，两边同除以a4，整理得e4－8e2＋4＝0，得e2＝4±23，∵e＞1，∴e＝3＋1.答案：(1)A(2)D巩固训练3解析：(1)因为双曲线C的渐近线方程为y＝±abx所以(－ab)×ab＝－4，即a＝2所以c＝5b，所以e＝ca＝5(2)不妨设焦点F(c，0)，虚轴的端点B(0，b)，则kFB＝－bc.又渐近线的斜率为±ba，所以由直线垂直得－bc·ba＝－1(斜率为－ba的直线显然不符合)，即又c2－a2＝b2，故c2－a2＝ac，两边同除以a2，得方程e2－e－1＝0，解得e＝5+1答案：(1)A(2)5例4解析：由y=kx-1x2-y2=4，得(1－(1)直线与双曲线有两个公共点，则①式方程有两个不相等的根．∴1-k2≠0，Δ=4k2+