2022-2023学年河南省南阳市桐柏县第一高一年级下册学期期中数学试题【含答案】

2022-2023学年河南省南阳市桐柏县高一下学期期中数学试题

一、单选题

1.在平面直角坐标系Xoy中，角α=120o,其顶点为坐标原点。，始边与X轴的非负半轴重合，终

边过点P(-4,加，则实数机的值是()

A.2√3B.-2√3C.4√3D.-4√3

【答案】C

【分析】根据三角函数的定义，结合特殊角的三角函数值进行求解即可.

【详解】由三角函数定义，可得tanl20。=^,解得m=-4tanl2(r=4√L

故选：C

2.下列说法正确的是

A.小于90°的角是锐角B.钝角是第二象限的角

C.第二象限的角大于第一象限的角D.若角α与角夕的终边相同，则

【答案】B

【详解】小于90。的角可以是负角，负角不是锐角，A不正确.

钝角是第二象限的角，正确；

第二象限的角大于第一象限的角，例如：150。是第二象限角，390。是第一象限角，显然

判断是不正确的.C是不正确的.

若角α与角β的终边相同，那么a=β+2kmk∈Z,所以D不正确.

故选B.

TT4TT

3.已知sin(ɪ•-X)==，贝IJCOSa+彳)=()

653

4343

A.—B.--C.-D.—

5555

【答案】C

【分析】根据E-X+X+W=W可得CoS(X+9)=COSg-G-M=SinG-X),进而求解.

6323266

π

【详解】因为SinG—X)=4=,且7FΓ—x+x+Jgr=jr],

65632

所以COS(X+W)=COSw-G一切=SinG-X)=:，

32665

故选：C.

4.已知非零向量“、人满足Ia-N=Ia+4=2,W=1,贝!]£+〃与的夹角为()

ππ

A.—B.

63

C2d

•3∙⅞

【答案】C

【分析】利用等式卜-4=卜+4=2结合W=I可求得〃m=0,且有W=退，利用平面向量的数量积

求出cos<α+b,α-b>,结合向量夹角的取值范围可得出结果.

【详解】由,―4=,+@=2,可得〃~—2α∙b+//=J+2〃.〃+片=4,所以，a∙b=0»

因为卜|=1,则1+片=4，故W=J，

a+b^∙^a-h

a-b1

所以，cos<a+b,a-b>=

∣fl+⅛∣∙p∕-⅛∣2×2^-2,

因为0≤<Q+b,4—/?>≤乃，因此，<a+b,a-b>=^-.

故选：C.

5.在JlBC中，内角A,B,C的对边分别为“，b,c,sinA—sin8+生二生=。，则JiBe的形

C

状一定为()

A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.钝角三角形

【答案】B

【分析】利用正弦定理边化角计算即可.

【详解】在一ABC中，sinA-sin8+23=0,

C

则由正弦定理得：则(SinA-SinB)+2(*果B)=|1+三I(SinA-SinB)=0,

SinC\SinC)

因为三角形中，A、B、Cl(0,π),故SinC>0=^+l≠0,

所以SinA=Sin5=α="贝∣J./BC的形状一定为等腰三角形.

故选：B

6.如图，在一ABe中，设A3=α,AC=hfBD=2DC,AE=4ED^则BE=（）

BDC

118,C28,

A.——a----bB.—a----b

1515315

C1187r28,

C.-----aH-----bD.——。+—b

1515315

【答案】C

【分析】利用向量加减法的运算和数乘运算得出所求解的向量与已知向量之间的关系，注意运算的

准确性和向量倍数关系的正确转化.

【详解】由于BC=Ae-A3=b-n，BD=2DC,

22

故BD=_BC=_(b—a),

33

221

AD=AB+BD=d+-(b-d)=-b+-d,

333

又因为AE=4£»，

II212I

^DE=-DA=--(-h+-a)=--h--a,

_291ɪ12

所以BE=80+£)8=g(b-Q)一百》一百〃=--<7+-Z?.

故选：C.

7.已知AABC中，ACAB=0,2AO^AC+AB,卜0卜卜石,则以在BC上的投影向量为（）

BTBCDTBC

A.-BCC.—BC

44

【答案】A

【分析】由题意可知Λfi1AC,且。是边BC的中点，结合∣AO∣=∣A8∣可得OAB是等边三角形,从

而推出IBAl=；IBCI,利用投影向量的定义即可求得答案.

【详解】由AC∙A3=0,24O=AC+AB知ΛS工AC,且。是边BC的中点,

则OA=O8,而卜0卜网,所以IOAI=IA81=|O8∣,

所以,04B是等边三角形，所以ZABC=60。,BBAI=g∣BC∣,

因此向量明在向量Be上的投影向量为IBAlCOSN4BC∙匹=LlBCl•旦=LBC,

IBCl4∣BC∣4

故选：A

TT

8.如图，平面四边形ABC。中，ABlBC,AB=BC,ADAC,ZADC=-,AC=xAB+yAD,

则上=()

A.也B.更C.ɪD.2

322

【答案】B

【分析】法一：构建以A为坐标原点，A8所在直线为X轴，垂直于A8的直线为y轴的直角坐标系,

应用坐标表示AC,AB,A。，结合平面向量基本定理求小y即可求值；

法二：过C作CE//4)交A8的延长线于E,作CF〃AB交A。的延长线于F,利用向量加法的平行

四边形法则可得AC=2AB+√JA。求X、进而求值；

法三：应用转化法，结合平面向量数量积的运算律AC∙A8=(xA8+yA0∙AB∖

ACAD=(xA8+yAD)-AD及已知条件构建方程求x、y即可.

【详解】法一：以A为坐标原点，AB所在直线为X轴，垂直于A8的直线为y轴建立如图所示的平

面直角坐标系，

设IABI=1,则AB=(1,0),由ABlBC,∣AB∣=∣BC\,则IACI=JΣ且AC=(1,1),

又ADLAC,ZADC=-,即IAOI=@，

33

.∙.皿d涎居g=Y闺,

〔3232)[33)

[1√3

I=X--(X-2

故分•

由AC=XAB+yAD,有<L,解得“「，

√3y=J3

1=­y

3

法二：如图，过C作CE//AD交AB的延长线于E,作C/〃A8交A。的延长线于F,

二AC=AE+AF.

由ABIBC,AB=BC及CE//AD，易知：B是线段4E的中点，于是AE=243∙

由AOLAC,ZADC=-,得AD=且AC,易知AC=CE,CE=AF,

33

ΛAF=AC,则AF=√i4O,故AF=GAO,于是AC=2AB+√JAD,又AC=xAB+)，A。,

法三：设AB=I,由C,AB=BC,得AC=&，ΛC∙ΛB=√2×^=1,

由Ao_LAC,得ACMO=O,又NAoC=g,则AE)=理.

33

^AC-AB=(xAB+yAD)AB=x+^-×-ɪy=X-立力

2

AC-AD=(xAβ+yAD)-AD=尸'

L^y=I

3X=2/T

'・L，于是y3故最=E.

------x+-y=O

3---3

故选：B.

二、多选题

9.已知函数/(x)=COSsX+∣JW>O)在-πg］上单调，且y=∕(x)的图象关于点(一全03寸称，

则()

A.“X)的周期为2兀

B.若|/(办)-〃/)|=2,则打一々∣mhι=2π

C.将f(x)的图象向右平移5个单位长度后对应的函数为奇函数

D.函数y="χ)+K在［0,π］上有1个零点

【答案】BCD

【分析】对于A,根据题意确定周期范围，再根据图象关于点(-半。卜寸称，结合正弦函数的对称中

心求解即可；对于B,由A"x)=cos(gx+D结合余弦函数的最值与周期性质判断即可；对于

C,根据三角函数平移性质判断即可；对于D,根据余弦函数值直接求解即可.

【详解】对于A,因为函数/(x)=cos(ox+与｝ty>0)在-π,］上单调，所以/5)的最小正周期T

满足g≥J∙,即巴≥一,所以0<3≤∙∣∙,

22ω23

因为/(x)的图象关于点0)对称，所以-mO+?=g+E,keZ,得④=；-3k,kwZ,

∖ɔJɔJ乙

r

IΓ_2._Λπ

所以当Z=O时，/=所以‘一丁一例，故A错误；

23

对于B,"x)=cos(gx+g),|/(芭)一/(々)|=2,

则/(西)，/(々)分别为1,T,则k—wL,为半周期，即2兀，故B正确；

对于C,将/(χ)的图象向右平移g个单位长度后得g(x)=cosj，x-Q+笄=-sin<x的图象，g(x)

为奇函数，故C正确；

8工C(12人应八日n(12π∖√2

对于D,cos—x÷—÷——=0,BPcos—X+—=------,

U3J2U3J2

令f=:x+”,当xe［0,π］时，故仅有/=手，故D正确.

23L36」4

故选：BCD.

10.已知函数F(X)=SiniOX(2≤iυ<4),若存在X∣,Λ2e[π,2π],(xlHx2),使/(%)+/(&)=2,则0的

值可以是()

57

A.2B.-C.3D.-

22

【答案】BD

1+4”

【分析】由题设/(为)=/&2)=1，令/3=1得X=K匕兀且ZeZ,结合给定定义域区间有

2ω

g-!≤∕≤/-!且AeN*,在满足2≤0<4存在两个整数3进而确定。范围，即可得结果.

244

【详解】存在石,范«兀,2π],(%「%),使f(xj+fθ⅛)=2,即/(%)=/(3)=1,

TC]+4k

令/(x)=SinOX=1,则yχ=-+2E且&eZ,故X=------兀且ZeZ,

f224υ

所以，结合。范围知：兀≤上竺τr≤2π且上eN",即在g-1≤k≤。-1内至少存在两个k值，

2ω244

⅛-l≤l

⅛½∈{1,2)⊂[^-1«-1],则24,可得O=性302,4)满足;

2441-42

4

-G-----ɪ≤2

若&e{2,3}q[ζζ—~,<w—,Pl1J,:，可得^γ≤0≤[,又2≤<w<4,故-j~≤0<4;

2441、C424

<y——≥3

4

9513

综上，<w∈[―.—1(―,4).

424

故选：BD

11.在―ABC中，内角A5C所对的边分别为。泊,。，则下列说法正确的是()

A.若/>8,则SinA>sinB

B.若b=2,A=30的三角形有两解，则。的取值范围为(1,E)

=

C.若点。为一ABC内一点，且OA+OB+OC-O>则^ΛBOC∙SMBeɪ∙ð

D.若/BC是锐角三角形，a=2,b=3,则边长C的取值范围是(乔,如)

【答案】AD

【分析】根据正弦定理可判断A；利用正弦定理解三角形可判断B；根据向量的线性运算结合三角

形面积公式可判断C；根据三角形为锐角三角形，利用余弦定理列出不等式，可判断D.

【详解】由1>6,可得a>b,根据正弦定理得SinA>sin8,即选项A正确；

Aoir⅛Λ1

在-ABC中，6=2,4=30,・・・由正弦定理得sin8=-------=一，

aa

VA=30,Λ0<B<150o,

要使三角形有两解，得到30。<3<150。，且8≠90,ɪ<sinB<1,

即93'解得i<2，故B错误;

则OA+OB+OC=0=2OD+OC,∙∙∙2OO=-OC,'O,O,C三点共线,

2

所以OC=§。。，

2211

则S5oc=§Sbcd=-∙-5abc=-Sabc,

∙∙SBOC:SABC=1：3,故C错误；

对选项D,因为/5C是锐角三角形,

⅛2÷C2-672

cosA=>0

Ibcf9+c2-4>0

所以<cos8=>0,整理可得4+C2-9>0,

Iac∣4+9-C2>0

a1^b2-C2

cosC=>0

Iab

解得√^^<c<而，故D正确,

故选：AD

12.下列说法错误的是（）

A.若AB与C。是共线向量，则点4,B,C,£）必在同一条直线上

B.若“〃b，则一定有4wR使得“="?

C.若a∙b=a∙G，且（7≠0,则b和C在”上的投影向量相等

D.^∖a+b∖=∖a-b∖=2∖a∖≠0,则α+b与α的夹角为60°

【答案】ABD

【分析】根据向量共线，数量积的几何意义，以及向量夹角和模的公式，即可判断选项.

【详解】A.若Ag与Co是共线向量，则AB与CO方向相同或相反，点A,B,C,O不一定在同一

条直线上，故A错误；

B.若〃〃入b=0,"0时，不存在4eR使得“=劝，故B错误；

C.根据投影向量的定义和公式，可知C正确;

D.由Iα+bI=IQ-Z21,两边平方后得o∙b=O»且∣α-8∣=2IaIW0,两边平方后得,

*2

,，IL,∖(a+b∖[a-b]aɪ_b^_2a∣

Z?2=3Λ2>cos(a+b,a-b)^~,一-∣--7-=-7-=-7=-7*

'/∣Λ+⅛∣∣jα-/?!4∣α∣4|«|2

所以α+b与α-b的夹角为120,故D错误.

故选：ABD

三、填空题

13.若α=(2,3)与b=(-6,y)共线，则V=_.

【答案】-9

【分析】根据向量共线的坐标表示，列式即可求得答案.

【详解】因为α=(2,3)与6=(-6,y)共线，

故2y-3x(-6)=0,.∙.y=-9,

故答案为：-9

14.在45C中，角A,8,C所对的边分别为0,6,c,4=60。，且ABC面积为也，若Hc=3√J,

2

贝IJa=.

【答案】3

【分析】根据三角形面积解得历=6,代入b+c=3√J解得b=2√J,c=6或〃=6,C=26;然后根

据余弦定理求得。=3.

【详解】SAZjC=L匕CSinA=^^解得：bc=6；

abc22

又b+c=36,zf弋入be=6得：b-2y∣3,c=∖f3b=∖∣3,c=2Λ∕3；

b+clal12+3fl2

根据余弦定理得：cosA=^-=~,

2bc2x6

解得：〃=3；

故答案为：3

15.在平面直角坐标系XOy中，角。的顶点为。，始边为X轴的非负半轴，终边经过点P(-3,4),则

sin(2π-α)+cos(π+a)_

./Ti、,3τC、

sin(―+cz)+cos(------a)

22

【答案】ɪ

【分析】根据题意，列出Sina与cosα,根据诱导公式，化简求解即可.

,43

【详解】由已知得，sina=-,cosa=--,

43

-----1—

sin(24一α)+cos(∕τ+0)_-sιnα-COSa_55_ɪ

sing+。)+CoS仔-⑶-COSa-Sina一一|_:

故答案为：ɪ

四、双空题

16.如图，在...ABC中，点。，E是线段BC上两个动点，且AQ+AE=xAB+yAC,则

14

χ+y=____________,_+_的最小值为_____________.

Xy

【分析】设AO=WAB+"AC,AE=λAB+μAC,由B,D,E,C共线及已知可得x+V=2,从

14114

而有X-+-y=jz(.χ+Xy)y∙(-+一),然后利用基本不等式即可求解；

【详解】解：^AD=mAB+nAC,AE=λAB+μAC,

B,D,E,C共线，

.,.m+π=l,λ-∖-μ-∖,

AD+AE=xAB+yAC,

XAD+ΛE=(in+λ)AB+(n+μ)AC

.∖x=m+λfy=n+μ,

.∙.χ+y="Z+"+%+"=2,显然χ>0,7>0,

所以*I。+“鸿)=3”*)#+2后

V4%24

当且仅当上=一且尢+y=2即九=；,>=彳时取等号

Xy33

9

故答案为：2；;

五、解答题

17.设°,。是两个不共线的向量.

(1)若a=(-l,3),⅛=(2,-l),求〈〃,力；

(2)若(24+。)〃(34+20),求/1的值.

【答案】(I)S,力=手

4

(2)2=±√3

【分析】(1)根据向量数量积的坐标公式求夹角即可;

(2)根据向量平行的充要条件计算参数即可.

【详解】(1)因为CoSm,力=3*=7最后=-亭，又向量夹角范围为。树，

3K

所以”〉F

(2)因为(“+份〃(3。+劝),设)α+3=M(3α+如),〃为实数,

λ加=3二〃即储=3,

BPλa-∖-b=2>μa+λμb，则

解得4=±V3.

A>0M>0,∣9∣<^J的部分图像如图所示.

⑵先将/(X)的图像向左平移已个单位长度，再将所得图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得

TTTT

到函数g(x)的图像.当XG时，求g(x)的值域.

OO

【答案】(1)/(》)=4311(6》-看

(2)[-2,4]

【分析】(1)根据最值求出A=4,再由周期求出①=6,最后根据对称中心求出夕=，可得解析

O

式；

πTT

(2)先根据平移伸缩求出g(x),再根据Xe-,-求出值域即可.

ςOO

【详解】(I)根据图像可得A=4,

T_7πππ12ππ

则5两=£因为"5所以∕=6∙

2^^36^366

将已，o]代入/(X)的解析式，得4sin[6χ4+e)=0,

兀

则6×----∖-φ=kτt,ZeZ,

36

TT

得夕=一一+kπ,ZeZ.

6

TTTT

因为10＜三，所以9=一2，

26

所以ʃ(ɪ)=4sin(6x-聿).

(2)由(1)知/(x)=4sin(6x-e),

将/(X)的图像向左平移1个单位长度得y=4sinfδx+∣-^=4sin[冶)，

再将所得图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，

得gO)=4sin(3x+的图像，

、，7ΓTt._Tr715兀

因为x∈,所以3x+7∈,

66」3L66

则-g≤sin13x+5)4l,

所以-2≤4sin(3x+g)≤4,

故g(x)在一汽上的值域为k2,4]

19.在JlBC中，角A,B,C所对的边分别为。，b,c,且bsinB-αsinA+(b+c)sinC=O.

(1)求角A的大小；

(2)若角A的角平分线A。与BC交于点O,AD=4,AC=6,求..AfiC的面积.

【答案】(I)A号

⑵186

【分析】(1)利用正弦定理化角为边，再根据余弦定理即可得解；

(2)根据三角形的面积公式结合等面积法求出c,即可得解.

【详解】(1)因为人sin3—αsinA+S+c)SinC=。，

所以根据正弦定理可得〃一"+bc+c'2=0,即⅛2+c2-a2=-be，

由余弦定理可得COSA=空J=M,

2bc2

因为A∈(0,π),所以A=g；

(2)由S2ABD+SgCD=SAABC，

ITrlπ12Tt

×4×c×siny+-^×4×6×sin-=-×6c×sin-,解得C=I2,

所以JIBC的面积为Jχ6χl2χsin@=18名.

23

20.某同学用“五点作图法”画函数"x)=ASin在某一个周期内的图象时，列

表并填入了部分数据，如表：

π3π

ωx+φOπ21

~2T

π

X5π

T

ASinWX+0)OO-√ΣO

(1)请将上表数据补充完整，并求出函数F(X)的解析式;

rr

⑵若/(X)=制加GR)在0,-上有两根，求〃?的取值范围.

【答案】(I)表格见解析，/(x)=√∑sin(2x+?)

⑵口,⑶

【分析】(1)根据表格数据可得A和周期，然后可得。，带点可得9；

⑵令,二2呜’将问题转化为Sin=贲在'呜争上有两个根,然后根据正弦函数的性质求

解可得.

【详解】(1)补充表格:

π3π

ωx+φOπ2π

2T

ππ3π5π7π

X

^8^8~8~8T

Asin（&X+夕）O√2O-母O

由最大值为V∑,最小值为-V∑,可知Λ=Λ∕2.X==*^，故G=2

22ω882

再根据五点作图法，可得2∙5+e=g,得φ=j

o24

故/(X)=缶in,+?)

⑵令一呜，则呜苧

所以〃X)=机有两个根，转化为√2sinr=加在fe。,苧上有两个根.

即Sinf=正↑↑↑在f呜T,r学ST上r有两个根.

/m1

故实数机的取值范围为U,√∑)

π

21.函数函X）=QSinCOXH----3->0)在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B,C为

3

/O)的图象与X轴的交点，且JWC为等边三角形.将函数八的的图象上各点的横坐标变为原来的"

倍后，再向右平移g24个单位，得到函数y=g(χ)的图象.

y

(1)求函数函X)的解析式;

(2)若不等式加siι√x-亭mg(乃-2X)≤∕∕2+3对任意XGR恒成立，求实数机的取值范围.

【答案】(I)g(x)=6sin；X(2)-∣,12

Z2.乙

【分析】(1)由题意结合