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文档简介
4.3一元二次不等式的应用一、选择题(每小题5分,共25分)1.商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售.每天可销售100件,现准备采用提高售价来增加利润.已知这种商品每件销售价提高1元,销售量就要减少10件.那么要保证每天所赚的利润在320元以上,销售价每件可定为()A.11元 B.16元C.12元到16元之间 D.11元到15元之间【解析】选C.设销售价定为每件x元,利润为y元,则y=(x-8)[100-10(x-10)],由题意可得:(x-8)[100-10(x-10)]>320,即x2-28x+192<0,所以(x-12)(x-16)<0,解得:12<x<16,所以每件销售价应定为12元到16元之间.2.某小型服装厂生产一种风衣,日销售量x(件)与单价P(元)之间的关系为P=160-2x,生产x件所需成本为C(元),其中C=500+30x元,若要求每天获利不少于1300元,则日销售量x的取值范围是()A.20≤x≤30(x∈N) B.20≤x≤45(x∈N)C.15≤x≤30(x∈N) D.15≤x≤45(x∈N)【解析】选B.设该厂每天获得的利润为y元,则y=(160-2x)·x-(500+30x)=-2x2+130x-500,(0<x<80),根据题意知,-2x2+130x-500≥1300,解得20≤x≤45,所以当20≤x≤45(x∈N)时,每天获得的利润不少于1300元.3.某种型号的汽车在水泥路面上的刹车距离(刹车距离是指汽车刹车后由于惯性往前滑行的距离)s(m)和汽车车速x(km/h)有如下关系:s=-2x+eq\f(1,18)x2.在一次交通事故中,测得这种车的刹车距离不小于22.5m,则这辆汽车刹车前的车速至少为________km/h.()A.45B.46C.47D.48【解析】选A.由题意可得s=-2x+eq\f(1,18)x2≥22.5,化简得x2-36x-405≥0,解得x≥45或x≤-9,又因为x≥0,所以x≥45.所以车速至少为45km/h.【加练备选】行驶中的汽车,在刹车时由于惯性作用,要继续往前滑行一段距离才能停止,这段距离叫做刹车距离.在某种路面上,某种型号的汽车的刹车距离y(米)与汽车车速x(千米/小时)满足下列关系式:y=eq\f(nx,100)+eq\f(x2,400)(n为常数,且n∈N).在两次试验刹车中,所取得的有关数据如图所示,其中5<y1<7,13<y2<15.要使刹车距离不超过18.4米,则行驶的最大速度应为________千米/小时.()A.60B.70C.80D.90【解析】选C.因为函数关系y=eq\f(nx,100)+eq\f(x2,400),且5<y1<7,13<y2<15.所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5<\f(40n,100)+\f(402,400)<7,,13<\f(70n,100)+\f(702,400)<15))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)<n<\f(15,2),,\f(15,14)<n<\f(55,14),))则eq\f(5,2)<n<eq\f(55,14).因为n∈N,所以n=3,所以y=eq\f(3x,100)+eq\f(x2,400).因为要使刹车距离不超过18.4米,则eq\f(3x,100)+eq\f(x2,400)≤18.4,解得-92≤x≤80,所以要使刹车距离不超过18.4米,则行驶的最大速度应为80千米/小时.4.(多选)某城市对一种每件售价为160元的商品征收附加税,税率为R%(即每销售100元征税R元),若年销售量为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(30-\f(5,2)R))万件,要使附加税不少于128万元,则R的值可以是()A.3B.4C.7D.8【解析】选BCD.根据题意,要使附加税不少于128万元,需eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(30-\f(5,2)R))×160×R%≥128,整理得R2-12R+32≤0,解得4≤R≤8,即R∈[4,8].所以R的值可以是4,5,6,7,8.5.(金榜原创题)把一个长为80cm、宽为60cm的矩形硬纸板分别在四个角各剪去一个相同的小正方形,做成一个无盖的长方体容器,要使长方体的底面面积不小于2400cm2,体积不小于24000cm3,则小正方形的边长可以为()A.8cmB.9cmC.10cmD.11cm【解析】选C.设小正方形的边长为xcm,则所得的长方体的底面面积为S=(80-2x)(60-2x)cm2,体积为V=(80-2x)(60-2x)xcm3,当x=8时,S=2816>2400,V=22528<24000,所以A不满足题意.当x=9时,S=2604>2400,V=23436<24000,所以B不满足题意.当x=10时,S=2400,V=24000,所以C满足题意.当x=11时,S=2204<2400,V=24244>24000,所以D不满足题意.二、填空题(每小题5分,共15分)6.某公司每个月的利润(单位:万元)关于月份的关系式为y=n2-9n+114,则该公司12个月中,利润大于100万元的月份共有________个.【解析】由题意得:n2-9n+114>100,解得n<2或n>7,故n=1,8,9,10,11,12,共6个月.答案:67.某单位在对一个长为800m、宽为600m的草坪进行绿化时,设计方案:中间为矩形绿草坪,四周为等宽的花坛,如图所示,若要保证绿草坪的面积不小于总面积的二分之一,则花坛宽度x的范围为__________(单位:m).【解析】草坪的长为(800-2x)m,宽为(600-2x)m,(0<x<300).根据题意得(800-2x)(600-2x)≥eq\f(1,2)×800×600,整理得x2-700x+60000≥0,解不等式得x≥600(舍去)或x≤100,因此0<x≤100.故当花坛的宽度在0<x≤100之间取值时,绿草坪的面积不小于总面积的二分之一.答案:0<x≤1008.在一个限速40km/h的弯道上,甲、乙两辆汽车相向而行,发现情况不对,同时刹车,但还是相撞了.事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12m,乙车的刹车距离略超过10m.又知甲、乙两种车型的刹车距离sm与车速xkm/h之间分别有如下关系:s甲=0.1x甲+0.01xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(甲)),s乙=0.05x乙+0.005xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(乙)),则下列判断错误的是________(填序号).①甲车超速 ②乙车超速③两车均不超速④两车均超速【解析】由题意列出不等式s甲=0.1x甲+0.01xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(甲))>12,s乙=0.05x乙+0.005xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(乙))>10.分别求解,得x甲<-40或x甲>30,x乙<-50或x乙>40.由于x>0,从而得x甲>30km/h,x乙>40km/h.经比较知乙车超过限速.答案:①③④三、解答题9.(10分)为鼓励大学毕业生自主创业,某市出台了相关政策:由政府协调,企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售,成本价与出厂价之间的差价由政府承担.某大学毕业生按照相关政策投资销售一种新型节能灯.已知这种节能灯的成本价为每件10元,出厂价为每件12元,每月的销售量y(单位:件)与销售单价x(单位:元)之间的关系近似满足一次函数:y=-10x+500.(1)设他每月获得的利润为w(单位:元),写出他每月获得的利润w与销售单价x的函数关系;(2)相关部门规定,这种节能灯的销售单价不得高于25元.如果他想要每月获得的利润不少于3000元,那么政府每个月为他承担的总差价的取值范围是多少?【解题提示】(1)利用每件的销售利润乘以每月的销售量,求得每月获得的利润w与销售单价x的函数关系.(2)依题意令(x-10)(-10x+500)≥3000且x≤25,解一元二次不等式求得x的取值范围.先求得政府每个月为他承担的总差价的表达式,根据x的取值范围,求得总差价的取值范围.【解析】(1)依题意可知,每件的销售利润为(x-10)元,每月的销售量为(-10x+500)件,所以每月获得的利润w与销售单价x的函数关系为w=(x-10)(-10x+500).(2)由每月获得的利润不小于3000元,得(x-10)·(-10x+500)≥3000,化简,得x2-60x+800≤0,解得20≤x≤40.又因为这种节能灯的销售单价不得高于25元,所以20≤x≤25.设政府每个月为他承担的总差价为p元,则p=(12-10)(-10x+500)=-20x+1000.由20≤x≤25,得500≤-20x+1000≤600,故政府每个月为他承担的总差价的取值范围为[500,600]元.【加练备选】某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆,出厂价为12万元/辆,年销售量为10000辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品质量,适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x(0<x<1),则出厂价相应地提高比例为0.75x,同时预计年销售量增加的比例为0.60x,已知年利润=(出厂价-投入成本)×年销售量.(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式;(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加,则投入成本增加的比例x应在什么范围内?【解题提示】(1)利用年利润=(出厂价-投入成本)×年销售量列出表达式即可,要注意根据实际意义注明函数的定义域.(2)通过解一元二次不等式得到所求增加比例的范围.【解析】(1)由题意得,y=[12(1+0.75x)-10(1+x)]×10000×(1+0.60x)(0<x<1),整理得,y=-6000x2+2000x+20000(0<x<1).(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加,必须y-(12-10)×10000>0(0<x<1),即-6000x2+2000x>0(0<x<1),解得0<x<eq\f(1,3),所以投入成本增加的比例应在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(1,3)))范围内.一、选择题(每小题5分,共30分,每小题只有一个选项符合题意)1.已知函数y=ax2+bx+c,如果a>b>c且a+b+c=0,则它的图象可能是()【解析】选D.因为a>b>c且a+b+c=0,则a>0,c<0,所以对应的二次函数图象开口向上,与y轴交点在原点下方,对比函数图象,D选项符合要求.2.下列不等式中,解集为R的不等式是()A.4x2-12x+9>0B.4x2-12x+9<0C.2x2+x+1<0D.3x2-2x+4>0【解析】选D.A项:Δ=0,故4x2-12x+9≥0,则4x2-12x+9>0的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≠\f(3,2))),A错.B项:Δ=0,4x2-12x+9≥0,则4x2-12x+9<0的解集为,B错.C项:Δ<0,2x2+x+1>0,则2x2+x+1<0的解集为,C错.D项:Δ<0,3x2-2x+4>0,则3x2-2x+4>0的解集为R.3.不等式x2+x-20<0的解集是()A.{x|-5<x<4} B.{x|-4<x<5}C.{x|x<-5或x>4} D.{x|x<-4或x>5}【解析】选A.由x2+x-20=0,得(x+5)(x-4)=0,解得x1=-5,x2=4,所以不等式x2+x-20<0的解集是{x|-5<x<4}.4.函数f(x)=x2-4x+3,x∈[1,4],则f(x)的最小值为()A.-1B.0C.3D.-2【解析】选A.由二次函数的性质可得函数f(x)=x2-4x+3的图象开口朝上,对称轴为x=2,所以函数f(x)在[1,2]上单调递减,在[2,4]上单调递增,所以当x∈[1,4]时,f(x)min=f(2)=4-8+3=-1.5.已知不等式:①x2-4x+3<0;②x2+x-6<0;③2x2-5x+m<0,若要同时满足不等式①②的x也满足不等式③,则有()A.m>2B.m=2C.m≤2D.0<m<2【解析】选C.不等式①x2-4x+3<0等价于(x-1)(x-3)<0,解得1<x<3,则不等式①的解集为(1,3),不等式②x2+x-6<0等价于(x+3)(x-2)<0,解得-3<x<2,则不等式②的解集为(-3,2),记不等式①和不等式②的解集的交集为A,则A=(1,2).因为满足不等式①②的x也满足不等式③,所以当x∈A时,2x2-5x+m<0恒成立,即m<-2x2+5x恒成立,又因为当x∈(1,2)时,-2x2+5x=-2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x-\f(5,4)))eq\s\up12(2)+eq\f(25,8)∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(2,\f(25,8))),所以m≤2.6.若关于x的方程|4x-x2|+a=0有4个不相等的实数根,则实数a的取值范围是()A.[-4,0]B.(-4,0)C.[0,4]D.(0,4)【解析】选B.因为方程|4x-x2|=-a有4个不相等的实数根.所以可令y=|4x-x2|,y=-a,由图象可知要使方程|4x-x2|=-a有4个根,则两个函数的图象应有4个交点,所以0<-a<4,即-4<a<0,所以a的取值范围是(-4,0).【加练备选】方程x2+(m-2)x+5-m=0的一个根在区间(2,3)内,另一个根在区间(3,4)内,则m的取值范围是()A.(-5,-4) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(13,3),-2))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(13,3),-4)) D.(-5,-2)【解析】选C.令f(x)=x2+(m-2)x+5-m,由二次函数根的分布性质,若一个根在区间(2,3)内,另一个根在区间(3,4)内,只需eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f(2)>0,,f(3)<0,,f(4)>0,))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4+2(m-2)+5-m>0,,9+3(m-2)+5-m<0,,16+4(m-2)+5-m>0,))解不等式组可得-eq\f(13,3)<m<-4,即m的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(13,3),-4)).二、选择题(每小题5分,共10分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求的,全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分)7.已知关于x的方程x2+(m-3)x+m=0,则下列结论中正确的是()A.方程有一个正根一个负根的充要条件是m∈{m|m<0}B.方程有两个正根的充要条件是m∈{m|0<m≤1}C.方程无实数根的必要条件是m∈{m|m>1}D.当m=3时,方程的两个实数根之和为0【解析】选ABC.A选项中,方程有一个正根一个负根则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ=(m-3)2-4m>0,,f(0)<0,))即m<0;同时m<0时,方程有一个正根一个负根,故m<0是方程有一个正根一个负根的充要条件.B选项中,方程有两个正根,则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ=(m-3)2-4m≥0,,-\f(b,2a)=\f(3-m,2)>0,,f(0)>0,))即0<m≤1;同时0<m≤1时方程有两个正根;0<m≤1是方程有两个正根的充要条件.C选项中,方程无实数根,则Δ=(m-3)2-4m<0,即1<m<9;而m>1时,方程可能无实根也可能有实根,故m>1是方程无实数根的必要条件.D选项中,m=3时x2+3=0知方程无实根.【加练备选】已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,有下列四个结论,其中正确结论的有()A.b<0 B.b2-4ac>0C.4a-2b+c>0 D.a-b+c<0【解析】选ABC.从图象知,抛物线开口向下,所以a<0.又对称轴方程为x=-eq\f(b,2a)<0,所以b<0,故A正确;由于抛物线与x轴交于两点,故Δ=b2-4ac>0,故B正确;又f(-2)=4a-2b+c>0,f(-1)=a-b+c>0,故C正确,D错误.K8.若不等式x2-2x-3<0的解集为A,不等式x2+x-6<0的解集为B,不等式x2+x+a2-a<0的解集为C.命题p:“x∈A且x∈B”,命题q:“x∈C”,若q是p的充分不必要条件,则实数a的可能值为()A.-1B.0C.eq\f(1,2)D.eq\f(3,2)【解析】选ABD.由已知A={x|x2-2x-3<0}={x|-1<x<3},B={x|x2+x-6<0}={x|-3<x<2},C={x|x2+x+a2-a<0},则命题p:“x∈A且x∈B”,即命题p:x∈A∩B=(-1,2),又q是p的充分不必要条件,则C是(-1,2)的真子集,当a=-1时,C={x|x2+x+2<0}=,满足C是(-1,2)的真子集;当a=0时,C={x|x2+x<0}={x|-1<x<0},满足C是(-1,2)的真子集;当a=eq\f(1,2)时,C=eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x2+x-\f(1,4)<0))={x|-eq\f(1,2)-eq\f(\r(2),2)<x<-eq\f(1,2)+eq\f(\r(2),2)},不满足C是(-1,2)的真子集;当a=eq\f(3,2)时,C=eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x2+x+\f(3,4)<0))=,满足C是(-1,2)的真子集.三、填空题(每小题5分,共20分)9.已知不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2+\r(2)ax+5≥\f(1,3),,x2+\r(2)ax+5≤\f(7,2)))有唯一解,则实数a=________.【解析】由题意x2+eq\r(2)ax+5=eq\f(7,2)有唯一解,所以x2+eq\r(2)ax+eq\f(3,2)=0有唯一解,所以Δ=2a2-6=0,求得a=±eq\r(3),此时不等式组也是有唯一解.答案:±eq\r(3)10.已知y=m(x-2m)(x+m+3),y=2x-2,若同时满足条件:①∀x∈R,两个函数的值至少有一个是负数;②∃x∈(-∞,-4),两个函数的值的乘积是负数.则实数m的取值范围是________.【解析】因为一次函数y=2x-2<0,可解得x<1,由于题目中①的限制,当x≥1时必须是y=m(x-2m)(x+m+3)<0,当m=0时,y=0,不合题意,所以舍掉,所以二次函数的开口只能向下,即m<0,且此时2个根分别为x1=2m,x2=-m-3,为保证条件成立,只需eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1=2m<1,,x2=-m-3<1))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m<\f(1,2),,m>-4,))所以-4<m<0;又由于条件②的限制,因为一次函数y=2x-2在(-∞,-4)上都是负数,所以∃x∈(-∞,-4),使y=m(x-2m)(x+m+3)>0,所以-4在两个实数根x1,x2之间,所以-m-3<-4<2m,或者2m<-4<-m-3,所以m<-2,综上所述,m∈(-4,-2).答案:-4<m<-211.已知二次函数y=-eq\f(1,2)x2+x,如果存在实数m,n(m<n),使得当x∈[m,n]时,y的最大值为3n,最小值为3m,那么m=________,n=________.【解析】根据题意,得二次函数y=-eq\f(1,2)x2+x的图象的对称轴为直线x=1,函数的最大值为eq\f(1,2).①当m<n≤1时,二次函数y=-eq\f(1,2)x2+x的图象在[m,n]上是上升的,则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(-\f(1,2)m2+m=3m,,-\f(1,2)n2+n=3n,,3n≤\f(1,2),))解得m=-4,n=0;②当m<1<n时,最大值为eq\f(1,2)=3n,解得n=eq\f(1,6),与m<1<n矛盾,不符合题意;③当1≤m<n时,二次函数y=-eq\f(1,2)x2+x的图象在[m,n]上是下降的,由题意必有3n≤eq\f(1,2),解得n≤eq\f(1,6),不符合题意.故m=-4,n=0.答案:-4012.已知函数y=ax2-ax+2,(1)若y>0在R上恒成立,则实数a的取值范围是________.(2)若y>0在[1,9]上恒成立,则实数a的取值范围是________.【解析】(1)由题意知,ax2-ax+2>0在R上恒成立,当a=0时,2>0恒成立,满足题意;当a≠0时,则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>0,,Δ=a2-8a<0,))解得0<a<8,综上,0≤a<8;(2)当a=0时,y=2>0恒成立,满足题意;当a>0时,y在[1,9]上随x的增大而增大,最小值为2,满足题意;当a<0时,y在[1,9]上随x的增大而减小,最小值为81a-9a+2>0,解得-eq\f(1,36)<a<0,综上所述,a>-eq\f(1,36).答案:(1)[0,8)(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,36),+∞))四、解答题(每小题10分,共40分)13.设关于x的不等式x2-(2a+1)x+(a+2)(a-1)>0和(x-a2)(x-a)<0的解集分别为A和B.(1)求集合A;(2)是否存在实数a,使得A∪B=R?如果存在,求出a的值,如果不存在,请说明理由.【解析】(1)不等式x2-(2a+1)x+(a+2)(a-1)>0可化为[x-(a+2)][x-(a-1)]>0,解得x<a-1或x>a+2,所以不等式的解集为A={x|x<a-1或x>a+2};(2)不存在.当a=0时,不等式(x-a2)(x-a)<0化为x2<0,此时不等式无解,当a<0时,a2>a,不等式(x-a2)(x-a)<0的解集为{x|a<x<a2};当0<a<1时,a2<a,不等式(x-a2)(x-a)<0的解集为{x|a2<x<a};当a=1时,a2=a,不等式(x-a2)(x-a)<0化为(x-1)2<0,此时不等式无解;当a>1时,a2>a,不等式(x-a2)(x-a)<0的解集为{x|a<x<a2}.综上所述:当a=0或a=1时,B=;当a<0或a>1时,B={x|a<x<a2};当0<a<1时,B={x|a2<x<a}.要使A∪B=R,当B={a|a<x<a2}时,a2>a,a<x<a2,a-1>a或a+2<a2,无解;当B={a|a2<x<a}时,a2<a,a2<x<a,a+2<a,a2<a-1,无解,故不存在实数a,使得A∪B=R.14.设二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在区间[-2,2]上的最大值、最小值分别是M,m,集合A={x|f(x)=x}.(1)若A={1,2},且当x=0时,y=2,求M和m的值;(2)若A={1},且a≥1,记t=M+m,求t的最小值.【解析】(1)由当x=0时,y=2,得c=2.又A={1,2},故1,2是方程ax2+(b-1)x+c=0的两实数根.所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1+2=\f(1-b,a),,2=\f(c,a),))解得a=1,b=-2,所以y=x2-2x+2=(x-1)2+1,x∈[-2,2],所以当x=1时,ymin=1,当x=-2时,ymax=10,即M=10,m=1.(2)由题意知,方程ax2+(b-1)x+c=0有两相等实数根1,所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1+1=\f(1-b,a),,1=\f(c,a),))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b=1-2a,,c=a,))所以y=ax2+(1-2a)x+a,x∈[-2,2],其对称轴方程为x=-eq\f(1-2a,2a).又a≥1,故-eq\f(1-2a,2a)∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2),1)),所以当x=-2时,函数取得最大值,所以M=9a-2,当x=-eq\f(1-2a,2a)时,函数取得最小值,所以m=aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1-2a,2a)))eq\s\up12(2)+(1-2a)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1-2a,2a)))+a=1-eq\f(1,4a),所以t=M+m=9a-1-eq\f(1,4a).因为当a≥1时,t随a的增大而增大,所以当a=1时,t取最小值为9-1-eq\f(1,4)=eq\f(31,4).15.已知关于x的不等式ax2-x+1-a≤0.(1)当a∈R时,解关于x的不等式;(2)当x∈[2,3]时,不等式ax2-x+1-a≤0恒成立,求a的取值范围.【解析】(1)不等式ax2-x+1-a≤0可化为[ax-(1-a
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