2023高考数学：导数中的构造练习100题

2023高考数学：导数中的构造必刷100题

目录

1.导数构造函数的八种方式.....................................................1

2.利用导数公式及其运算法则构造函数：.........................................1

3.导数常见的构造函数？.......................................................2

4.导数小题中构造函数的技巧？.................................................3

5.构造函数处理导数问题技巧？.................................................4

6.构造函数有哪几种方式？.....................................................4

7.构造函数就是一类特殊的方式。...............................................5

8.导数六种同构？.............................................................6

9.类型一：单选题1-50题......................................................6

10.类型二:填空题51-80题...................................................42

11.类型三：解答题81-100题..................................................64

1.导数构造函数的八种方式

导数中构造函数的八种方式或思路：

(1)移项法构造函数

(2)作差法构造函数证明

(3)换元法构造函数证明

(4)从条件特点入手构造函数证明

(5)主元法构造函数

(6)构造二阶导数函数证明导数的枯燥乏味性

(7)对数法构造函数(已知事、指数函数经常容易考到虑这样的方式)

(8)构造形似函数

2.利用导数公式及其运算法则构造函数：

(1)题型与思路解读

有这样一类函数与不等式综合问题(也可是等式，不过不等式更为常见)，

已知条件中会给出一个含有f(x)与f(x)或f(x)与g(χ)的表达式,但并没有给出f(χ)

的详细剖析解读式。按常见思维看似不知道怎么开始，其实这样的结构的表达

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式已经是在向解题者“无声地呐喊”，指明一个方向：这个时候应优先考虑利

用导数公式及其运算法则构造一个新的抽象函数，再结合函数枯燥乏味性、奇

偶性等性质巧妙地处理问题。

步骤(I)-按照已知表达式的形式(结合所求表达式)构造新函数F(x)。

步骤(2)-分析讨论新函数的枯燥乏味性、奇偶性等形式，还有特殊点赋

值。

步骤(3)-利用新函数F(X)与原函数f(x)的关系式及有关性质，反推还原与

f(x)有关的所求结论。

(2)利用导数公式及其运算法则构造函数的大多数情况下招数和陷阱及典

型例。

1.利用f(x)进行抽象函数构造。利用f(x)与X构造、利用f(x)与e的X次方

构造、利用f(x)与sinx,COSx构造.

2.构造详细函数关系式构造。构造详细函数处理不等式及求值问题、构造详

细函数处理导数几何意义问题。

3.利用f(x)与X构造;经常会用到构造形式有Xf(X),f(X)除以Xo

OOO

整体替代法，还未确定系数法，三角函数法。

3.导数常见的构造函数？

下面这些内容就是一部分常见的构造函数及其导数：

多项式函数：f(x)=a,nx^n+a,{n-l}x^{n-l}+...+a_lx+a_0

导数:f(x)=na.nx^{n-l}+(n-l)a,{n-l}x^{n-2}+...+a_l

基函数：f(x)=x^r

导数：f(x)=rx^{r-l}

指数函数：f(x)=a八x(这当中a是正实数)

导数：f(x)=a八XIna

对数函数：f(x)=log_a(x)(这当中a是正实数)

导数:f(x)=1/(XIna)

三角函数：

正弦函数f(x)=Sin(X)

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导数：f(x)=cos(x)

余弦函数f(x)=COS(X)

导数：f(x)=-sin(x)

正切函数f(x)=tan(x)

导数：f(x)=sec^2(x)

反三角函数：

反正弦函数f(x)=arcsin(x)

导数:f(x)=l∕sqrt(l-x^2)

反余弦函数f(x)=arccos(x)

导数:f(x)=-1/Sqrt(I-XΛ2)

反正切函数f(x)=arctan(x)

导数:f(x)=1∕(1+XΛ2)

这都是常见的构造函数及其导数，但导数的构造方式远不止这些。按照需,

我们可以构造出不少其他函数及其导数。

1.针对f'(x)>a,可构造函数h(x)=f(x)-ax

2.针对f'(x)>g'(x),可构造函数h(x)=f(x>g(x)

3.针对E(X)+g'(x)>0,可构造函数h(x)=f(x)+g(x)

4.针对X∙f'(x)+f(x)>O,可构造函数h(x)=x∙f(x)

4.导数小题中构造函数的技巧？

利用导数公式及其运算法则构造函数：

(1)题型与思路解读

有这样一类函数与不等式综合问题(也可是等式，不过不等式更为常见)，

已知条件中会给出一个含有f(x)与F(X)或F(X)与g'(x)的表达式，但并没有给出

f(x)的详细剖析解读式。按常见思维看似不知道怎么开始，其实这样的结构的表

达式已经是在向解题者“无声地呐喊”，指明一个方向：这个时候应优先考虑

利用导数公式及其运算法则构造一个新的抽象函数，再结合函数枯燥乏味性、

奇偶性等性质巧妙地处理问题。

步骤(1)-按照已知表达式的形式(结合所求表达式)构造新函数F(x)。

步骤(2)-分析讨论新函数的枯燥乏味性、奇偶性等形式，还有特殊点赋

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值。

步骤(3)-利用新函数F(X)与原函数f(x)的关系式及有关性质，反推还原与

f(x)有关的所求结论。

(2)利用导数公式及其运算法则构造函数的大多数情况下招数和陷阱及经

典例题，请见图片。

更多有关高中数学的基本重要内容及核心考点、经常会用到结论及解题思

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5.构造函数处理导数问题技巧？

1.利用f(x)进行抽象函数构造。利用f(x)与X构造、利用f(x)与e的X次方

构造、利用f(x)与sinx,COSX构造.

2.构造详细函数关系式构造。构造详细函数处理不等式及求值问题、构造详

细函数处理导数几何意义问题。

3.利用f(χ)与X构造;经常会用到构造形式有Xf(X),f(X)除以Xo

6.构造函数有哪几种方式？

1)利用和、差函数求导法则构造函数

(1)针对不等式f'(x)+g'(x)0(或0),构造函数F(x)=f(x)+g(x);

(2)针对不等式f'(x)-g'(x)0(或0),构造函数F(X)=f(x)-g(x);

非常地，针对不等式f'(x)k(或

0(或0)，构造函数F(x)=f(x)g(x);

(2)针对不等式？(x)g(xj-f(xjg∙(X)O(或0),构造函数F(x)=(g(x)≠O).

(3)利用积、商函数求导法则的情况特殊构造函数

(1)针对不等式XF(X)+f(x)O(或0),构造函数F(X)=Xf(x)；

(2)针对不等式xf'(x)—f(x)O(或0),构造函数F(x)=f(x)∕x(x≠O);

(3)针对不等式xf'(x)+nf(x)O(或0),构造函数F(X)=XAnf(x)；

(4)针对不等式xf'(x)—nf(x)O(或0),构造函数F(x)=f(x)/XAn(X≠0);

(5)针对不等式f'(x)+f(x)O(或0),构造函数F(x)=e^xf(x);

(6)针对不等式f'(x)—f(X)O(或0),构造函数F(x)=f(x)∕e^x;

(7)针对不等式f(x)+f'(x)tanxθ(或0),构造函数F(X)=SinXf(x)；

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(8)针对不等式f(x)—f'(x)tanxθ(或0),构造函数F(x)=f(x)/SinX(SinX

≠O];

(9)针对不等式f'(x)—f(x)tanxθ(或0),构造函数F(X)=COSXf(x)；

(IO)针对不等式f'(x)+f(x)tanxθ(或0),构造函数F(x)=f(x)/CoSX(CoS

x≠0).

三种构造函数的方式：1.对象方式2.类方式3.原型方式(PrototyPe)〃对象

构造函数functionAteSt(name){〃私有属性,只可以在对象构造函数。

7.构造函数就是一类特殊的方式。

他不一样于其他方式的地方

一、创建对象时构造函数自动运行，而大多数情况下方式一定要有调用语

句调用才可以执行

二、构造函数与类名一定要一样(含大小写)

三、构造函数不可以有返回值类型

构造函数处理导数问题的经常会用到模型？

经常会用到模型有各种，这当中涵盖：

1.最小二乘法：最小二乘法是建立在普通最小二乘法理论基础上的一种结

构模型，它可以有效地处理多元变量间间接的关系是线性或非线性非确定性模

型的一种有效解答方案。

2.支持向量机：支持向量机是一种分类学习和回归分析的非线性统计学模

型，它可以有效地处理导数中间变量和解释变量当中的关系，提升了对该模型

的解释能力。

3.神经互联网：神经互联网是一种用于处理监督学习和无监督学习问题的

机器学习模型，它可以有效地处理多元自变量中间变量当中的关系，以此提升

模型的解释能力。

4.随机森林算法：随机森林算法是一种根据决策树的机器学习模型，它可

以通过随机选择样本来识别最优的解释变量，并出现精确的预测

高中数学导数有关参变分离和构造函数问题？

不需要讨论X取值范围的可以参变分离用一边求最值；假设反解时需讨论X

的范围大多数情况下不参变分离，而是构造函数

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8.导数六种同构?

1六种同构2因为导数是一个线性变换，它满足同构的定义，即存在一个

双射线性变换将一个向量空间映射到另一个向量空间，并且保持向量空间的结

构和线性变换的性质不变。在这里，导数同构有六种，分别是：单位导数、零

导数、相反数导数、加法导数、标量倍数导数和复合导数。3针对数学学习者

来说，理解导数同构的概念和应用是很重要的，能有效的帮我们更好地掌握并

熟悉微积分和线性代数等领域的知识，同时也可为我们今后的工作和研究提供

更多的思路和方式。

同构思想左右形式相当，一边一个变量。取左或者取右，构造函数妥当。

是为同构函数。

1.一个式子中产生两个变量，一定程度上变形后，两边结构一样。

2.两个式子也可以一定程度上变形，使其结构一样，然后构造函数，利用函

数的枯燥乏味性解题，或运用同一方程代入解答。

9.类型一：单选题1-50题

1.已知定义在(0,+8)上的函数/(X)的导函数为八X),/(x)>0且/(e)=I,若对任

意xe(0,+α)),切'(x)∣nx+∕(x)>0恒成立，则不等式京<Inx的解集为()

A.{x∣0<x<l}B.{x∣x>l}C.{x∣x>e}D.{x∣0<x<e}

【答案】C

【分析】

依据题意，构造函数尸(x)=∕(x)lnx-l,然后计算产'(x),可知函数尸(x)的单调性，

简单判断可得结果.

【详解】

由题可知：xe(0,+∞),f[x}>0,

所以4T<lnx,即/(x)InX-I>0

/(x)

令尸⑺=/(x)InX-1,则F'(x)=如电2ΞiβΞl

X

又对任意ɪW(0,+8),矿(X)InX+/(x)>0恒成立

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所以F(x)>0,可知函数尸(x)在(0,+∞)单调递增

又/(e)=l,所以F(e)=∕(e)lne-l=O

所以/(x)InX-1>O即尸(x)>尸(e)的解集为{x∣x>e}

即不等式夫<InX的解集为卜|》>e}

Jvʃ)

故选：C

2.设/(x),g(x)是定义在R上的恒大于0的可导函数,且/'(x)g(x)-∕(x)g'(x)<O,

则当α<x<6时有()

A./(x)g(x)>∕(6)g(6)B./(x)g(α)>∕(b)g(x)

C./(x)g(6)>∕(b)g(x)D./(x)g(x)>∕(α)g(α)

【答案】C

【分析】

令MX)=瑞，根据题意求得“(x)<0,得到MX)在及为单调递减函数，由“<x<6,

得到笔>笔>里，根据/(χ)>o,g(χ)>o,即可求解.

g(α)g(x)g。)

【详解】

令MX)=需，可得I(X)J(X)g(,j(χ)g'"

因为/'(x)g(x)-∕(x)g'(x)<O,所以"(x)<0,所以MX)在R为单调递减函数，

GX

/)/0

即>/>

a\

又因为α<x<b,所以Ma)>Mx)>∕7(6),g!R

/g

又由ʃ(ɪ)>O,g(χ)>O,所以/(x)g(6)>/(6)g(x).

故选：C.

3.设定义域为R的函数/(x)满足/'(x)>∕(x),则不等式ei∕(x)<∕(2x-l)的解

集为()

A.(-8,e)B.(-8,1)C.(e,+8)D.(l,÷x)

【答案】D

【分析】

令g(x)=华，求出函数的导数，根据函数的单调性得到关于X的不等式，解出

e

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即可.

【详解】

解：令g(x)=华，则g-(x)=>o,

eez⅜m

故g(X)在R递增，

不等式e*T〃x)</(2x-l),

即号<"

故g(x)<g(2x-D,

故x<2x-l,解得：x>l,

故选：D.

4.已知“X)是定义在K上的函数，尸(X)是“X)的导函数,满足:

I________e+1

e"(x)+C+l)AX)>0,且/⑴=；,则不等式/(外>王F的解集为()

乙乙十1∙J

A.(-U)B.(-∞-1)U(l,-κo)C.(-∞,-l)D.(1，田)

【答案】D

【分析】

构造函数g(x)=(e'+l)∕(x),利用导数求得g(x)的单调性，由此求得不等式

“')>号的解集•

【详解】

令g(x)=(/+l)∕(x),则g'(x)=e*∕(x)+(e*+1)∕(x)>0,

所以g(χ)在火上单调递增，不等式/a)>ɪprɪŋ可化为(ex+l)∕(x)>ɪ,

而/⑴=g，则g(l)=(e+l)"l)=即g(x)>g(l),

所以x>l,即不等式解集为(1,+8).

故选：D

5.设定义在R上的函数八X)的导函数为/F),且满足r(x)T(x)ln2>0,/⑴=4,

则不等式零≥2的解集为()

2

A.[1,2]B.[l,+∞)C.(-∞a]D.(0,1]

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【答案】B

【分析】

首先设g(x)=竽，从而得到g(x)在R上为增函数，将祟≥2等价于g(x)≥g(l),

再利用单调性解不等式即可.

【详解】

设g(力喈，g，(X)J⑶一了(X)>0,

所以g(x)在R上为增函数.

又因为/⑴=4,所以g⑴吗=2,

所以呈22ng(x)≥g(l)nx≥l.

故选：B

6.设八X)是奇函数/U)的导函数,/(-1)=0,当X>O时，W)>2∕(χ),则使得

"x)<0成立的X的取值范围是()

A.(-ɪ,0)50,DB.(-∞,+∞)

C.(-1,0)51,+∞)D.(-∞,-l)U(0,1)

【答案】D

【分析】

令g(M§,可得g，叱见铲2,、>0时，有矿⑴>2小),可得g，(>。,

即函数g(x)在(0,+8)上单调递增.又/(X)是R上的奇函数，可得函数g(x)为奇函

数，乂/⑴=0,可得g(ι)=o,g(-i)=o,再分类讨论即可解出不等式.

【详解】

令g(χ)=g,则g'(x)=应3平2,

XX

•••当x>0时,有矿(x)>2∕(x),g∣J√'(x)-2∕(x)>0,∙.g(x)>0,

即函数g(x)在(0,+∞)上单调递增.

又/(X)是及上的奇函数，・•/-x)=-∕(x),

g(-x)="J)=_g(x),

X

故函数g(x)为奇函数,

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由奇函数的对称性可得g(x)在(-8,0)上单调递增.

又/⑴=0,.∙.∕(T)=O,g(l)=≡=0,.∙.g(-l)=-g(l)=O.

所以当X>l时g(x)>0,当0<x<l时g(x)<0,当-l<x<0时g(x)>0,当X<-1时

g(χ)<o,

由/(x)<0可得,g(x)=冬，

X

即要使/(X)<0成立，只需g(x)<0成立;

所以/(x)<0的解集为(-00,7)3。，1)

故选：D.

7.设函数/⑴在R上的导函数为/'(X),若/设函/3+1,/(x)+∕(6-x)=2,

/(6)=5,则不等式“X)+2ex+1<O的解集为()

A.(-∞,0)B.(0,+∞)C.(0,3)D.(3,6)

【答案】A

【分析】

令g(x)=g±i,根据因为/(x)>f(x)+l,得到g'(x)>O,得出函数g(x)为R上

e

的单调递增函数，由题设条件，令X=O,求得g(0)=-2,把不等式转化为

g(x)<g(0),结合单调性，即可求解.

【详解】

令g(x)=/I4聚，可得g,(χ)=[2⅛Γ∣=//)-/(X)一,

因为f(χ)>∕ω+ι,可得/,a)-∕ω-ι>θ,

所以g'(x)>O,所以函数g(x)为灭上的单调递增函数，

由不等式〃x)+2小+1VO,可得/(x)+1<-2d,

所以坐里<-2,即g(x)<-2

e

因为/(x)+∕(6r)=2,令x=0,可得/(O)+/(6)=2,

又因为“6)=5,可得"0)=-3,所以g(o)=零。=-2

所以不等式等价于g(x)<g(0),

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由函数g(x)为R上的单调递增函数，所以x<0,即不等式的解集为(-8,0).

故选：A.

8.已知奇函数/(x)是定义在R上的可导函数，其导函数为八X),当x≥0时，

有2∕(x)+M"(x)>f,贝Il不等式(x+2018)2∕(x+2018)+4∕(-2)<0的解集为()

A.(-∞,-2016)B.(-2016,-2012)C.(一°o,-2018)D.(-2016,0)

【答案】A

【分析】

利用2∕(x)+V(x)>χ2≥o,构造出g(x)=χ2∕(χ),会得到g(x)在及上单调递增,再

将待解不等式的形式变成和g(x)相关的形式即可.

【详解】

设g(x)=χ2∕(x),因为/(X)为R上奇函数，所以g(-χ)=(-χ)[f(-χ)=-χ2∕(χ),

即g(x)为R上奇函数对g(x)求导，得g'(x)=x[2f(x)+xf'(x)],

而当x>0时，有2∕(x)+矿(x)>χ2zθ,

故x>0时，g,(x)>O,即g(x)单调递增，所以g(x)在R上单调递增

不等式(X+2018)2∕(X+2018)+4∕(-2)<0

(X+2018)2∕(^+2018)<-4∕∙(-2),又/(力是奇函数，贝|(工+2018)2/卜+2018)<4八2),

即g(x+2018)<g(2)

所以x+2018<2,解得x<-2016,即x∈(-8,-2016).

故选：A.

9.已知定义在R上的奇函数y=∕(x)满足/⑵=0,当x>0时,xf'(x)+2f(x)>0,

则不等式/(X)20的解集为()

A.[-2,0)∪[2,+∞)B.[-2,0]U[2,÷χ)

C.[2,+∞)D.(^0-2]U[2,+00)

【答案】B

【分析】

构造函数g(χ)=∕∕(χ),利用导数分析函数y=g(χ)的单调性，利用定义分析出

函数y=g(χ)为奇函数，由/(χ)≥o得g(χ)≥o,分别x=o、x>o,χ<o三段解不

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等式g(x)≥O,综合可得出该不等式的解集∙

【详解】

当x>0时,x2∕,(x)+2V(x)>0,令g(χ)=χ2∕(χ),则函数y=g(x)在(0,+8)上单调

递增，

函数∙X=∕(x)为R上的奇函数，则函数g(x)=χ2∕(x)的定义域为R,

g(-x)=(-X)2/(-x)=-√∕(x)=-g(x),所以，函数g(x)=χ2∕(x)为奇函数.

则函数g(x)=χ2∕(x)在区间(-00，。)上为增函数.

①当X=O时，/(0)=0,合乎题意；

②当x>0时,∙∙∙∕(2)=0,由/(x)≥0得g(x)≥0=g(2),可得x≥2;

③当x<0时，/(-2)=-/(2)=0,由/(x)≥0得g(x)≥0=g(-2),可得x≥-2,此时

-2≤X<O.

综上所述，不等式/(x)20的解集为卜2,0]“2,”).

故选：B.

10.设奇函数/(x),(XeR)的导函数为/'(X),且/(T)=O,当χ>o时，]'(χ)+∕(χ)>o,

则使得/O)>O成立的X的取值范围是()

A.(-=o,-i)∪(-ɪ,θ)B.(O,l)u(l,+8)

C.(→>,-∣)U(0,1)D.(-l,O)E(l,+¥)

【答案】D

【分析】

根据所给不等式，构造函数g(x)=x∙∕(x),由导数与单调性关系可知g(x)在x>0

时单调递增，由函数奇偶性的性质可知g(χ)为偶函数，画出函数示意图，即可

求得/(X)>O成立的X的取值范围.

【详解】

令g(x)=x∙∕(x),

则g'(x)=x∙∕'(x)+∕(x),

当x>0时,xf'(x)+f(x)>O,

则当x>0时，g(χ)=χ∙∕(χ)为单调递增函数，

/(X)为奇函数，则g(x)=x∙∕(x)为偶函数，

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且由"-i)=o,可知"I)=-/(-1)=0,

当x>0时，若/(x)>0,则g(x)>O,止匕时xe(l,+0θ);

综上可知，/(x)>0的解集为(T,O)E(l,+¥),

故选：D.

11.函数/⑶的定义域为(-8,2),/(X)为其导函数，若(x-2)∕(x)+∕(X)=二且

e

/(0)=0,则/(X)<0的解集为()

A.(",O)B.(0,1)C.(1,2)D.(0,2)

【答案】D

【分析】

设g(x)=(x-2)"x),由已知可得g(x)在(1,2)上单调递减，在(YM)单调递增，且

g(0)=0,g⑵=。/(x)<0og(x)>0,结合图象即可得到答案.

【详解】

设g(x)=(x-2)/(X),由已知,得g'(x)=L^∙,显然当l<x<2时，g'(x)<0,

e

当x<l时，g'(x)>0,故g(x)在(1,2)上单调递减，在(-8,1)单调递增，且

g(0)=(0-2)/(0)=0,g(2)=(2-2)/(2)=0,作出示意图如图

/(x)<0=吟<0,所以只需g(x)>0即可，解得0<x<2.

X-2

故选：D

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12.已知定义在R上的偶函数/(x),其导函数尸(x),当Qo时，恒有>十)+/

(-x)<0,若g(x)=χ2f(x),则不等式g(x)Vg(l-2x)的解集为()

A.(ɪ,1)B.(-8,ɪ)U(1,+oo)

C.(ɪ,+∞)D.(-co,ɪ)

【答案】A

【分析】

根据函数/(x)为偶函数，则函数g(X)也是偶函数，利用导数判断函数g(χ)在

[0,+8)上的单调性，则不等式g(X)<g(l-2x)等价于g(IXl)<g(|1

-2x∣),解不等式即可.

【详解】

因为g(x)-x1f(x),当x“时，g'(x)=2x[∙∣∕'(X)+/(-x)]≤0,

・•・函数g(x)在[O,+∞)上单调递减.

・•・函数/(x)是定义在R上的偶函数，

・•・函数g(x)是定义在R上的偶函数，

则不等式g(x)<g(1-2x)即g(∣x∣)<g(|1-2x∣),

.∙.∣x∣>∣l-2x∣,解得：∣<x<l.

・•.不等式g(x)<g(l-2x)的解集为(ɪ,1).

故选：A

13.已知/(X)为定义在(-8,+8)上的可导函数，且/(x)>∕(x)对于XeR恒成立(e

为自然对数的底)，则()

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A.e2019∙∕(2020)>e2020√(2019)B.e2019∙∕(2020)=e202°√,(2019)

C.e20'9∙/(2020)<e202°∙/(2019)D.e?。"./(2020)与e?02。∙∕(2019)大小不确定

【答案】C

【分析】

由题设条件可知，需构造函数以刈=华，求导，得出g(χ)在R上单调递减，经

e

过运算变形，从而推得结果.

【详解】

由题意可知，/(X)-F(X)>0对于XeR恒成立，且/(X)为定义在(-8,+8)上的可导

函数，

，可构造函数g(x)=q^,在(-8,+∞)上可导

e

：.g'(χ)=M<0对于X∈R恒成立

g(x)在R上单调递减

/.g(2019)>g(2020)

.∙.经过运算化简可知选C

故选：C

14.若对任意Xe(O,+∞),xe*-21nx>2x+”恒成立，则α的取值范围是()

A.(-∞,-21n2)B.(-∞,ln2)C.(-∞,2-21n2)D.(-∞,2+21n2)

【答案】C

【分析】

设/(x)=Xe*-2InX-2x,转化条件为/(x)>α对任意xe(0,+∞)恒成立，设f=lnx+x,

g(∕)=d-2∕,求导后求得g(f)的最小值即可得解.

【详解】

设/(x)=xe*-2lnx-2x,则/(x)>α对任意Xe(O,+∞)恒成立，

设f=lnx+x,贝IJfeR,且/(x)=e'-2f,

设g(∕)=d-2f,^g,(t)=e'-2,

所以g(f)在(~∞,ln2)上是减函数，在(ln2,+∞)上是增函数，

所以g")Zg(ln2)=2-21n2,

第15页共95页

所以g。)的最小值为2-21n2,即/(x)的最小值为2-2ln2,

所以α<2-21n2.

故选：C.

15.函数/(χ)是定义在区间(0,+8)上的可导函数，其导函数为/'(X),且满足

Γ(X)+^∕(X)<O,则不等式(X+2°20)((x+2020)<苦’的解集为()

A.{x∣-2020<x<-2015}B.{x∣x<-2015}

C.{x∣-2020<x<0}D.{x∣x>-2015}

【答案】D

【分析】

根据条件，构造函数g(χ)=χν(χ),利用函数的单调性和导数之间的关系，将不

等式进行转化求解即可得到结论.

【详解】

构造函数g(x)=χ2/(X),g'(x)=2xf(x)+X1f'{x}=Λ[2∕(X)+√,(x)],

当x>0时，∙.∙∕(x)+2∕*)<0,即矿(X)+2∕(x)<o,

XX

.∙.xf∖x)+2∕(x)<0,所以g,(χ)<0,

∙∙∙g(χ)在(0,+°0)上单调递减，

..(x+2020)∕(x+2020)<5〃5)

乂,5%+20201

因为定义域为正实数，

.∙.x+2020>0,即x>-2020,

.∙.(x+2020)2f(x+2020)<52/(5),

.∙.g(x+2020)>g(5),

.∙.x+2020>5,解之得:X>-2015,

...不等式(x+202°){α+202°)<W的解集为{x∖x>-2015}.

故选：D.

16.设函数/'(X)是奇函数/(x)(XeR)的导函数，/(2)=0,当x<0时,

矿(x)-∕(x)>0则使得/(x)<0成立的X的取值范围是()

A.(-∞,-2)∪(0,2)B.(-2,0)∪(0,2)

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C.(→o,-2)U(2,+∞)D.(-2,0)∪(2,-H∞)

【答案】D

【分析】

构造函数g(χ)="H,利用导数得到，g(χ)在(y,o)是增函数，再根据/a)为奇

X

函数，根据〃-2)=0,解得/(x)<0的解集.

【详解】

令g(χ)=/，

X

X

∙∙∙x<0时，ν(X)-/(x)>0,.∙∙g(x)在(→o,0)上是增函数,

・•・奇函数/(X),

g(x)为偶函数,在(-∞,0)上单调递增，在(0,+∞)上单调递减，

•••/(2)=0

Λg(2)=g(-2)=0,

因止匕X>Oj(X)<0=>g(x)<0=g(2)nX>2,

X<0,∕(x)<0=>g(x)>0=g(-2)=>-2<X<0?

因此使得〃x)<O成立的X的取值范围是(-2,0)U(2,+∞),

故选：D.

17.已知f(x)的定义城为(0,+8),/'(力为/W的导函数，且满足/(x)<-才(x),

则不等式/(X+2)>(X-2)∕(Λ2-4)的解集是()

A.(0,3)B.(2,3)C.(3,+∞)D.(2,+∞)

【答案】C

【分析】

先由/(X)+矿(x)<0坐标结构特点想到构造函数N=切(X)并得到其单调性，再对

/(x+2)>(x-2)∕(f-4)两边同乘χ+2,得至U(x+2)∕(x+2)>(∕-4)∕(χ2-4),结

合尸犷⑺单调性可得不等式x+2<χ2γ,解出答案.

【详解】

解：构造函数y=H'(χ)

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贝”=∕(χ)+M"(χ)<o

所以y=以'(χ)在(。，+8)上单调递减

又因为/(x+2)>(x-2)∕(f-4)

所以(x+2)∕(x+2)>(χ2-4)∕(∕-4)

所以x+2<f-4

解得x>3或x<-2(舍)

所以不等式/(》+1)>(尸1)/(玄-1)的解集是(3,+8)

故选：C

18.已知定义在[e,+∞)上的函数f(x)满足/(x)+矿(X)InX<0且/(4)=0,其中

/¢())是函数〃力的导函数，。是自然对数的底数，则不等式/(χ)>o的解集为

()

A.[e,4)B.[4,+∞)

C.(e,+∞)D.[e,+co)

【答案】A

【分析】

根据条件构造函数g(χ)=∕(χ)∕"χ,求函数的导数，研究函数的单调性，将不等式

/(乃>0等价为8(耳>以4),进行求解即可.

【详解】

解：vχ..e,.∖lnx,.∖,

则不等式/(x)+xf'Mlnx<0等价为ɪɪʌɪ+f'(x)lnx<0,

X

设g(x)=∕(x)/"X,

则g<χ)=rɑ)底+3<o,

X

即g(x)在[e,侪)上为减函数，

(4)=0,∙∙g(4)=/(4)/«4=0,

则不等式∕U)>0等价为"MG)>0,

即g(x)>0=g(4),

∙∙∙g(x)在[e,内)上为减函数，

&X<4,

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即不等式/(x)>0的解集为[e,4),

故选：A.

19.设函数/(X)是定义在(YOQ)上的可导函数，其导函数为八X),且有

2f(x)+x-f,(x)>x2,则不等式(x+2021)'/(x+2021)-4∙∕(-2)>O的解集为()

A.(-∞.-2023)B.(-∞)-2)

C.(-2,0)D.(-2022,0)

【答案】A

【分析】

构造函数g(x)=χ2∙/(x),求导并利用2∕(x)+X∙f,(x)>X2得到g(x)=x2-f(x)在(-∞,0)

上是减函数，利用单调性可解得结果.

【详解】

令g(x)=x2-f(x),贝Ug'(x)=X2∙∕,(x)+2x-/(x)=x[x-f∖x)+2/(X)],

V2∙∕(x)+X-∕,(JC)>X2>O,x<0,.,.x[x∙f'(x)+2/(x)]<O,即g，(X)<0,

∙∙∙g(x)=X2∙∕(x)在(r°,0)上是减函数，

:.(x+2021)2∙j∖x+2021)-4√∙(-2)>O可化为：

(X+2021)2∙f(x+2021)>4∙/(-2)=(-2)2∙∕(-2),

.∙.g(x+2021)>g(-2),B∣JX+2021<-2,解得x<-2023,

所以不等式Q+202O∙f(x+2021)-4∙f(-2)>O的解集为(-℃，-2023).

故选：A

20.已知函数/(x)(XCR)的导函数是/C(x),且满足TXeR,/(l+x)=-∕(l-x),

当x>l时，-L-∕(x)+ln(x-l)∙Γ(x)>O,则使得(x-2)∕(x)>0成立的X的取值范

X—1

围是()

A.(0,l)u(2,+∞)B.(-∞,-2)u(2,+∞)

C.(-2,-l)U(l,2)D.(-∞,l)U(2,+∞)

【答案】D

【分析】

由给定条件构造g(x)=ln(xf∕(x),求g'(x)可得g(x)单调性，并根据g⑵=O判

断g(x)<O和g(x)>O的解，从而求得x>l时〃x)>0以及/(x)<0的解集；根据条

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件"l+x)=-"l-x)可知/(x)关于点(1,0)中心对称，从而求出函数/(x)>0以及

/(x)<O在R上的解集，进而求出(x-2)∕(x)>0的解集.

【详解】

解：∙.∙w∈R∕(ι+χ)=-∕(ι-χ),则/(χ)关于点(Lo)中心对称，

当x>l时，令g(x)=In(x-l)∕(x),则g，(X)=-Lr/(χ)+ln(x-l)r(x)>0,所以g(x)

X-I

在(L+8)上单调递增，又g(2)=0,则当xe(l,2)时，g(x)<0,且In(X-I)<0,所

以/(x)>0,当xe(2,+oo)时，g(x)>0且In(X-I)>0,所以/(x)>0.

因为/(x)关于点(LO)中心对称，所以当xe(e,l)时，/(x)<0,

若(x-2)∕(x)>0,当x>2时，/(x)>0,则xe(2,+8),当χ<2时,/(x)<0,则

Xes,1).所以(x-2)∕(x)>0的解为(-0>,l)u(2,+oo).

故选：D.

21.定义在(0，+8)上的函数"x)满足/(x)>0,2(x)为义在的导函数,且

2∕(x)<矿(x)<3∕(x),对Xe(O,+⑹恒成立，则需的取值范围是()

【答案】A

【分析】

构造函数g(χ)=43,MX)=乌,利用导数分析函数g(x)、“X)的单调性，由

g(2)、g(3)的大小关系，以及M2)、〃(3)的大小关系可得出瑞的取值范围.

【详解】

构造函数g(x)=E詈，其中x>0,g'(χ)="),(x)>o,

所以，函数g(x)在(。,+8)上为增函数,由g(2)<g(3),可得与<与，

对任意的x>0,/(x)>。，所以，

构造函数MX)=与，其中χ>0,/φ)=")j3∕(x)<o,

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所以，函数MX)在(O,+8)上为减函数，由乂2)>“3),可得牛>雪，所以，

827

〃2)：8

/(3)27-

2,8/(2)4

一不上，药</⑶<§•

故选：A.

22.已知”3且,d=3e",6<4且房=4/,c<5且c∕=5e',则()

A.c<b<aB.b<c<aC.a<c<hD.a<b<c

【答案】A

【分析】

根据题意，设/(x)=G,对三个式子变形可得/(α)="3),/(⅛)=∕(4),/(c)=∕(5),

X

求出/(X)的导数，分析其单调性，可得/(X)的大致图象，分析可得答案.

【详解】

解：根据题意，设“χ)=C,

X

"3且αe=3e",变形可得彳=金，即〃。)=八3),

b<4j1be4=4eh,变形可得<=<，即/9)=〃4),

c<5Kce5=5et,变形可得史=!，即“α/⑸，

c5

/(X)=《，其导数八χ)=cp,

XX

在区间(o,i)上，∕,ω<o,则/(χ)为减函数，

在区间(i,+∞)上，∕,ω>o,则/W为增函数，其草图如图:

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故选：A.

23.若定义在(0,+8)上的函数/(#满足/(》)+矿(刈1!1_¥>》，贝怀等式/(x)lnx+L∕

的解集为()

A.(θ,l]B.[l,+∞)C.[e,+∞)D.BT

【答案】B

【分析】

令g(x)=/(X)InX7+1,利用导数证明g(x)在(0,+8)上单调递增，不等式

/(x)lnx+l.Λ,等价于g(x)∙.g⑴，利用单调性解不等式得解.

【详解】

由题意知-----+f'(x)In%-1>O.

X

令g(x)=/(X)InX-x+1,贝∣Jg<x)=∕"(x)lnx+^^-l>O,

X

所以g(x)在(0,+8)上单调递增，且g(l)=0.

不等式/(x)lnx+L.x,

等价于g(x)∙∙g⑴，

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故X.』.

故选：B

24.若1<苞<X2,则下列不等式正确的是()

>x1x

A.x1ɪnX22ɪɪ∖B.Xllnx2<x2Inxi

2γ2x

C.eɪ-e'<Inx2-Inx1D.eʃ-e'>Inx2-Inxl

【答案】D

【分析】

构造函数g(x)=等,利用导数研究函数单调性，从而可判断AB；构造函数

MX)=e'-lnx(x>l),利用导数研究函数单调性，从而可判断CD.

【详解】

构造函数g(x)=(,则/(力=上詈，

又当Xe(I,e)口寸，g'(x)>O,当xe(e,”)时，g,(x)<O,

所以g(x)在(∣,e)上单调递增，在(e,枇))上单调递减，

所以g(x∣),g(z)的大小不确定.所以A、B均不正确；

构造函数〃(X)=e*-lnx(x>l),

则A,(x)=er-→O,所以MX)在(1收)上为增函数,

所以MX2)>”(Μ)，即e"-Hix?>e*'-InX1,

x,

所以e"—e>Inx2-In玉.

故选：D.

25.函数/(x)在定义域(O,+")内恒满足/(x)<∕(x)<2∕(x),其中其(x)为f(x)导

函数，则”的取值范围是()

a∙⅛i)B∙居)C∙(H)D∙居

【答案】C

【分析】

分别构造函数g(x)=△也，xe(0,+8),以刈=华，xe(0,+8),利用导数研究其

XX

第23页共95页

单调性即可得出.

【详解】

令g(x)=^^∙,x∈(0,+∞),

X

g,(x)=矿,

∙.∙Vxe(0,+oo),/(x)<∕(x)<2f(x)恒成立,

•••/(x)>0r

xf∖x)-f(x)

g'(χ)>0,

•4•函数g(x)在X€(。,”)上单调递增，

.∙.g(l)<g⑵，即2"1)<∕(2),嫖<；；

令h(x)="^∙,Xw(0,+oo),

X

以)=矿(x)[2∕(x),

X

∙∙∙Vx∈(0,+oo),/(x)<xf'{x)<2f(x)恒成立，

.∙,AW=¾^)<O,

X

函数〃(X)在Xe(O,+8)上单调递减，

∙M)>M2),即〃1)>号，点

QJ∖z,)一

综上可得

故选：C

26.已知定义在0,∣],上的函数/W的导函数为/'(X),且/(0)=0,

∕,(x)cosx+∕(x)sinx<0,则下列判断中正确的是()

氏/闱<多图B.小胪。

C尼)>折图D./(丁⑸图

【答案】C

【分析】