习题课(二)刚体

质点直线运动

刚体的定轴转动位移

x速度加速度功

角位移

角速度角加速度质量

m

转动惯量功动能转动动能动量角动量重力势能力矩力

F牛顿二律F=ma转动定律常用的转动惯量角量与线量的关系刚体的定轴转动运动学动力学转动定律：角动量守恒定律:机械能守恒定律:转动动能定理：三基本原理与基本概念讨论题1.两个力作用在有固定转轴的刚体上,下列说法是否正确?(1)这两个力都平行于轴作用时它们对轴的合力矩一定为零(2)这两个力都垂直于轴作用时它们对轴的合力矩可能为零(4)这两个力对轴的合力矩为零时,它们的矢量和一定为零。(3)这两个力矢量和为零时,它们对轴的合力矩一定为零;(正确)(正确)(不正确)(不正确)OO'FF'FF'F'FFF'F'F2.一水平匀质圆盘可绕中心轴无摩擦自由转动,盘上站一人,开始时系统静止。人在盘上任意走动,忽略盘与轴间摩擦,下列物理量是否守恒?原因?轴的约束力：通过轴重力支撑力：平行于轴(1)系统的动量不轴对盘有作用力(2)系统的机械能不人盘间非保守内力做功(3)系统对轴的角动量守恒o3.一圆盘绕垂直于盘面且通过盘心的中心轴OO'以角速度

沿顺时针方向转动。(1)在同一水平直线以相反方向同时射入两颗质量相同、速率相等的子弹,并留在盘中,盘的角速度如何变化?vvwOO'答：盘的角速度减小,因为二子弹的冲量矩抵消，角动量L=J

不变,但转动惯量J加大了。

OO'FF'(2)两大小相等,方向相反但不在同一直线上的力沿盘面同时作用在盘上,盘的角速度如何变化?答：盘的角速度增大,因为转盘受到同向的力矩M与

同方向

10A

20O1O2R1R2B

1A

2O1O2R1R2B答：在此过程中以两圆柱为系统,对O1或O2的角动量不守恒.因为轴1上的力对轴2力矩不为零;反之亦然。4.质量分别为M1、M2,R1、R2的两个均匀圆柱体可分别绕它们本身的轴转动,二轴平行.开始时它们分别以角速度

10

、

20匀速转动,然后平移两轴使他们的边缘互相接触.试分析在此过程中以两圆柱为系统,对O1或O2的角动量是否守恒?如何求解当两圆柱的接触点无相对滑动时,它们的角速度

1和

2?Ref:教材P116—例题6-7

设两滑轮边缘相互作用力大小为F

求解上述方程可得

1和

2

。A:对轴O1:B:对轴O2:

求解它们的角速度

1和

2

方法如下:

两滑轮接触点无相对滑动,所以边缘线速度相同,对A,B分别用角动量定理

1A

2O1O2R1R2BFF'*5.一个实心球和一空心球由静止同时从有摩擦的斜面上无滑动地滚下来.两者质量相同、半径相同且质量分布都均匀.哪一个会先到达底端？(实心先到)实心空心x:平动y:转动纯滚动约束方程mgFNF

x四个方程联立解mdM,L6.均匀直棒M,L子弹m,v0d(1)以子弹和直棒为系统，在子弹射入直棒过程中水平方向动量是否守恒？(2)轴所受到的作用力是沿水平还是竖直方向？可能为零吗？(3)子弹射入过程中什么量守恒？答:不守恒,轴对棒有约束力答：水平和竖直方向都有。当子弹击中一个特殊点时，水平作用力为零。答：对O轴的角动量守恒。______打击中心mdM,LOCfMg子弹射入过程中，弹、棒系统：冲力是内力；重力、约束力通过轴；对O轴，外力矩为零。角动量守恒棒：约束力Fx,Fy；

子弹冲力

f

重力Mg由动量定理,子弹受棒的阻力

f

解.子弹:

冲入棒的过程经历时间t=-f

mdM,LOCfMg(2)对棒用质心运动定理(3)可求得一个特殊的击入点，令

Fx=0，

值代入。解得：______打击中心（可见Fx正比于mv0,这个力不满足外力远小于内力的条件）为什么星系是扁状，盘型结构？1.星系的盘型结构(ref.教材P93-下)四、(一)填空题ref.教材P93-下半页2R2.已知电子的自旋角动量把电子视为球体解：可见这一模型不正确！违反相对论。计算“电子球”表面的线速度。3.一花样滑冰运动员绕自身的竖直轴转动，转动惯量为Jo,角速度为

o,然后他将两臂收回，使转动惯量减小到Jo/3，这时他的转动动能Ek=_____________。增加的动能从何而来?________________内力做功功能原理:1.刚体质点综合，用转动定律、机械能守恒2.刚体质点综合，用角动量守恒、机械能守恒、动能定理3.刚体系，用角动量守恒、转动定律，求变力矩，较难4.刚体质点综合，用角动量守恒、机械能守恒5.刚体，用转动定律6.刚体求转动惯量，计算7.刚体质点综合，用角动量守恒、转动定律，求变力矩8.刚体质点综合，用角动量守恒、动能定理9.刚体，用转动定律，求变力矩计算题1~9,除4题，其余都考过。(二)计算题(1)A下滑的加速度;1.已知:m=2.0kg,R=0.5m,k=20N/m,J=7.5kg·m2=37°不计摩擦.当弹簧无形变时将A由静止释放(2)A下滑的最大速率;(3)A下滑的最大距离;解:OxA=37°RBCmk取弹簧无形变处为原点,沿斜面向下为正平衡位置:x0=0.8m另法:能量微分法求解上式对t求导:可得:A下滑x时:取弹簧无形变处为原点,及重力势能零点.以A,B,C,地球,斜面为系统,机械能守恒。OxA=37°RBCmk（2）当时,A的速率(3)设:A由静止释放沿斜面下滑的最大距离为

S,则以A,B,C,斜面,地为系统,其机械能守恒。得OxA=37°RBCmk2.如图,知A:m,l,质量均匀,开始时水平静止mOABlmB:m,

,A竖直时被碰,然后滑行距离S.求

:碰后A的质心可达高度h.解:A由水平下摆至垂直,机械能守恒.以地面为零势点A与B碰撞对O点角动量守恒B向右滑动,根据动能定理：A向上摆动机械能守恒可解得思考:几个过程,各有何特点?mOABlm解:A由水平下摆至垂直,机械能守恒.以地面为零势点A与B碰撞对O点角动量守恒B向右滑动,根据动能定理：A向上摆动机械能守恒可解得典型易错：w0RO'RBAO3.两均质圆盘A和B:m、R,A与B盘在一起转动时受空气摩擦阻力矩作用.单位面积的摩擦力fr=kv,求一起运动多少圈?圆盘A以初角速度

w0

落在B

上,解：（1）一同运动的初速度（3）转动定律、运动学分析过程：1.下落粘合2.在空气阻力矩作用下减速转动（2）求摩擦力矩drrR（2）摩擦力矩元方向：垂直纸面向里解:（1）A下落与B粘合,以A和B为系统对定轴的角动量守恒.宽度为dr的环带的各质元受到相同的力矩取为积分元双面受空气阻力即:将盘面分为半径为r,宽为dr的圆环带方向与相反!(3)由转动定律转过的圈数4.如图:空心环B:R,初角速度w0,对轴转动惯量为J0.w0bO'RBAOacwO'RBAOacvcbvbt小球A:质量为m.求:小球A无摩擦滑到b,c点时相对于环的速率.解:小球下落过程,球与环组成的系统对轴oo’角动量守恒ab:ac:下滑过程中,机械能守恒.分析下列几种做法：（1）a

b过程:错！环不是惯性系设小球A在b点对环的速率为wO'RBAOabvbtcvc（2）对地面:设小球A在b点对地的速率为V错！环的支持力（外力）做功，机械能不守恒。wO'RBAOabvbtcvcabOw0O'BAcR(3)小球,环,地球为系统机械能守恒.错！vb不是对地速度小球A在b点对地的速率为解:小球下落过程,球与环组成的系统对轴oo’角动量守恒ab:ac:小球A在b点的速率为c点的速率为下滑过程中,小球,环,地球为系统机械能守恒.可解出ab:ac:5.一飞轮J=0.75kg.m2,

t=0时

0=30rad/s。此后飞轮经制动过程，阻力矩M=-k

2,k=0.025kg.m2求(1)=10rad/s时，角加速度=？

(2)经历的时间？A6.圆盘(R、m)剩余部分对垂直盘面的中心轴的转动惯量。解：大盘对中心轴的转动惯量RR/2小盘对o'轴的转动惯量小盘对o轴的转动惯量7.如图,知A:m1,l,质量均匀,开始时静止在水平桌面上。小滑块m2从

棒一端垂直碰。已知

求棒开始转动到停止的时间。m2.m2v2v1碰撞过程对O轴角动量守恒O.O摩擦力矩大小转动定律解：设速度大小为v,与棒夹角

,棒

求：小环脱离杆时环的速度大小和方向？8.质量为m的小圆环套在一长为l质量为M的光滑均匀杆AB上,杆可以绕过其A端的固定轴在水平面上自由旋转。开始时杆旋转的角速度为ω0而小环位于A处,当小环受到一微小扰动后沿杆向外滑行.对转轴无外力矩,环,棒系统角动量守恒所有接触面光滑,动能不变9:解:杆的运动可看成质心的平动(斜抛运动)与绕质心转动的叠加.杆腾空旋转后竖直地落回地面的条件是:杆腾空的时间=杆绕质心旋转半周的整倍数所用时间.(1)计算杆腾空的时间t1:对质心C应用动量定理:t1即为质心C回到原高度所用的时间(2)计算杆绕质心旋转半周的整倍数所用时间t2.对杆绕质心轴的转动应用角动量定理:杆绕质心旋转的时间t2

应满足t1=t2

得:例:一长为L，质量为m的匀质杆竖直立在地面，下端点由一水平轴O固定.在微扰动作用下以O为轴倒下求:当杆与竖直方向成

角时，对轴的角速度

=

？解：先求在任意角

时杆对O点的力矩(重力矩)质量元：对轴的力矩元：.Lcodmx此后为补充题，供参考M是变力矩且与质量集中在质心c对轴的力矩相同由(变角加速度)进而可由积分求出例：矩形匀质板，轴垂直于板面过一顶点。计算转动惯量。oCabxy例.半圆环(R、m)对共面的对称轴的转动惯量。解：任选微元dmRrdm例：计算球体的转动惯量oyzxo例.一刚体以每分钟60转绕z轴(正向)匀速转动.设某时刻刚体上一点P的位置矢量为计算该时刻P点的速度.例.由于地球的平均气温升高，造成两极冰山融化，海平面上升，此效应会引起地球自转的转动惯量______自转动能______分析：冰山（或海水）总质量不变，但由靠近自转轴变为远离