6.2.3向量的数乘运算4题型分类

6.2.3向量的数乘运算4题型分类一、向量数乘的定义实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，其长度与方向规定如下：(1)|λa|＝|λ||a|.(2)λa(a≠0)的方向：当λ>0特别地，当λ＝0时，λa＝0.当λ＝－1时，(－1)a＝－a.二、向量数乘的运算律1.(1)λ(μa)＝(λμ)a.(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa.(3)λ(a＋b)＝λa＋λb.特别地，(－λ)a＝－λa＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.2.向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b.三、向量共线定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa.（一）向量的线性运算1、向量的线性运算:向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b.2、向量线性运算的基本方法(1)类比法：向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”、“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数.(2)方程法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解方程的方法求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当的运用运算律，简化运算.题型1：向量的线性运算11．（2023下·广东深圳·高一红岭中学校考期中）等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用向量的线性运算求解即可.【详解】依题意得：，故选：B.12．（2023下·浙江台州·高一统考期末）的化简结果为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由平面向量的线性运算方法即可求得答案.【详解】由题意，.故选：B.13．（2023·全国·高一专题练习）若，则化简等于（）A． B．C． D．以上都不对【答案】C【分析】先化简，再将代入进一步化简即可.【详解】因为，所以，故选：C.14．（2023·高一课时练习）已知是未知向量，解下列方程：（1）

（2）【答案】（1）（2）【详解】试题分析：利用一元一次方程的求解方法，先去括号，再移项合并同类项，系数化为1，即可求得向量试题解析：（1）

15．（2023下·高一课时练习）若，其中为已知向量，则未知向量．【答案】【分析】由向量的线性运算即可求解.【详解】因为，所以，所以，故答案为：.（二）用已知向量表示其他向量用已知向量表示其他向量的两种方法(1)直接法(2)方程法当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程.题型2：用已知向量表示其他向量21．（2023上·吉林·高二学业考试）在中，点D在BC边上，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据平面向量的线性运算求得正确答案.【详解】.故选：B22．（2023上·湖北孝感·高一统考期末）在四边形中，设，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据向量加法、减法的运算求得.【详解】.故选：D23．（2023下·天津红桥·高二统考学业考试）如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于O，且，，则可以表示为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据给定条件利用平面向量的减法运算列式作答.【详解】在平行四边形ABCD中，依题意，，而，所以.故选：D24．（2023下·安徽马鞍山·高一马鞍山二中校考阶段练习）设分别是的边上的点，,若，则＝.（用表示）【答案】【分析】利用三角形法则，结合即可.【详解】如图:因为，所以，故答案为：25．（河北省石家庄市十五中20222023学年高一下学期期中数学试题）如图，在平行四边形中，E是的中点，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用平面向量的线性运算求得正确答案.【详解】.故选：C26．（2023下·高一课时练习）如图所示，是平行四边形，，C是其对角线的交点，试用表示向量．【答案】【分析】根据平面向量的加法、减法运算法则求解出关于的表示，然后根据求得结果.【详解】因为，所以，所以，又因为，所以.27．（2023上·江苏无锡·高三统考期中）在△ABC中，点D是线段BC的中点，点E在线段AD上，且满足AE＝2ED，若，则λ＋μ＝．【答案】【分析】根据共线向量的推论，结合向量的加减法，可得答案.【详解】由题意，可作图如下：解：，∴．故答案为：.（三）共线向量的判定及应用(1)证明或判断三点共线的方法一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数λ，使得eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(AC,\s\up6(→))(或eq\o(BC,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))等)即可.(2)利用向量共线求参数的方法已知向量共线求λ，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解．(3)判断三点共线的一个常用结论：若A，B，C三点共线，O为直线外一点⇔存在实数x，y，使eq\o(OA,\s\up6(→))＝xeq\o(OB,\s\up6(→))＋yeq\o(OC,\s\up6(→))，且x＋y＝1.题型3：证明或判断三点共线的方法31．（2023下·高一课时练习）如图，已知两边的中点分别为M，N，在延长线上取点P，使，在延长线上取点Q，使.求证：P，A，Q三点共线.【答案】证明见解析.【分析】设，进而通过平面向量的加减和数乘运算，将转化为即可证明.【详解】如图，设，则，，由此可得，，所以，，，，故，故，且它们有公共点A，所以P，A，Q三点共线.32．（广东省深圳市高级中学20222023学年高二上学期期中数学试题）已知，为不共线的非零向量，，，，则（

）A．，，三点共线 B．，，三点共线C．，，三点共线 D．，，三点共线【答案】B【分析】根据给定条件，求出，再利用共线向量逐项判断作答.【详解】，为不共线的非零向量，，，，则，，因，则与不共线，，，三点不共线，A不正确；因，即与共线，且有公共点B，则，，三点共线，B正确；因，则与不共线，，，三点不共线，C不正确；因，则与不共线，，，三点不共线，D不正确.故选：B33．（2023·广东·高三统考学业考试）已知向量，不共线，若，，，则（

）A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线C．A，C，D三点共线 D．B，C，D三点共线【答案】B【分析】利用向量的线性运算、向量的共线的充要条件进行求解判断.【详解】对于A，因为，，若A，B，C三点共线，则存在实数使得，则，无解，所以A，B，C三点不共线，故A错误；对于B，∵，∴，又∵A是公共点，∴A，B，D三点共线，故B正确；对于C，因为，，所以，若A，C，D三点共线，则存在实数使得，又，所以，无解，所以A，C，D三点不共线，故C错误；对于D，若B，C，D三点共线，则存在实数使得，又，，所以，无解，所以B，C，D三点不共线，故D错误；故选：B.34．（2023上·高一单元测试）已知A，B，C为三个不共线的点，P为△ABC所在平面内一点，若，则下列结论正确的是（

）A．点P在△ABC内部 B．点P在△ABC外部C．点P在直线AB上 D．点P在直线AC上【答案】D【分析】由向量的运算可得，进而可得解.【详解】∵，∴，∴，即.故点P在边AC所在的直线上.故选：D.题型4：利用向量共线求参数41．（2023下·河北唐山·高一唐山一中校考阶段练习）已知向量、不共线，且，若与共线，则实数的值为（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】根据平面向量共线的基本定理可得关于实数的等式，解之即可.【详解】因为与共线，则存在，使得，即，因为向量、不共线，则，整理可得，即，解得或.故选：C.42．（2023上·湖北武汉·高三华中师大一附中校考期中）已知向量与不共线，且与共线，则．【答案】【分析】根据向量共线定理列方程求解即可.【详解】因为与共线，所以存在唯一实数，使，即，因为向量与不共线，所以，解得，故答案为：43．（2023上·江苏盐城·高一滨海县五汛中学校考阶段练习）设是两个不共线的向量，若向量与的方向相同，则.【答案】4【分析】根据向量共线定理可得存在实数使，从而得到关于的方程组，进而可求出.【详解】由题意可知与共线，所以存在实数使，因为不共线，所以解得或，因为向量与的方向相同，所以，即，故答案为：444．（2023下·湖北襄阳·高一襄阳四中校考阶段练习）（1）已知，是两个不共线的向量，向量，，求（用，表示）.（2）设，是不共线的两个非零向量.若与共线，求实数的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由平面向量的线性运算求解即可；（2）由平面向量的共线定理求解即可【详解】（1）∵，，∴；（2）由，不共线可知为非零向量，而与共线，所以存在唯一实数，使得，因为，不共线，所以，解得45．（2023上·辽宁沈阳·高一东北育才学校校考期中）点P是所在平面上一点，若，则与的面积之比是（

）A． B．3 C． D．【答案】D【分析】如图，延长交于点，设，则，根据平面向量共线定理得推理求出，从而可确定的位置，即可得出答案.【详解】如图，延长交于点，设，则，因为共线，所以，解得，所以，，则，由，得，即，所以，所以，所以.故选：D.一、单选题1．（2023下·广东梅州·高一梅州市梅江区嘉应中学校考阶段练习）如图所示，在四边形中，＝，则四边形为（

）A．矩形 B．正方形C．平行四边形 D．菱形【答案】C【分析】根据平面向量的加法法则，即可判断四边形形状.【详解】根据平面向量的加法的平行四边形法则，若＝，则四边形是平行四边形.故选：C.2．（2023上·辽宁辽阳·高一统考期末）在中，为的中点，为上靠近点的三等分点，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用向量加法的三角形法则，转化为和即可．【详解】.故选：B3．（2023下·河南新乡·高一统考期末）如图，E，F分别是矩形ABCD的边CD，BC的中点，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据向量加法的三角形法则，把,分别用和来表示，再根据共线向量都转化成.【详解】在中由向量加法的三角形法则得：，又因为是的中点，所以,所以.在中由向量加法的三角形法则得：又因为E，F分别是矩形ABCD的边CD，BC的中点，所以所以.故选：B.4．（2023下·新疆·高一统考期末）如图，向量，，，则向量可以表示为（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】利用向量加法和减法的三角形法则计算即可.【解答过程】，故选：C.5．（2023·吉林·统考三模）如图，中，，，点E是的三等分点，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据向量的加法法则和减法法则进行运算即可.【详解】故选：B.6．（2023·高一课时练习）已知，，，则等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由向量的运算可得答案.【详解】.故选：A.7．（2023下·福建福州·高一校考期中）在平行四边形中，若，则必有A． B．或C．是矩形 D．是菱形【答案】C【分析】由可得,即平行四边形的对角线相等,则可判断选项【详解】由题,因为,则,即平行四边形的对角线相等,则平行四边形是矩形,故选：C【点睛】本题考查向量的加法、减法的应用,考查特殊四边形的性质,属于基础题8．（2023下·新疆昌吉·高一校考期末）在四边形ABCD中，若，且，则四边形ABCD为（

）A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形【答案】C【分析】根据相等向量的性质，结合平面向量加法和减法的几何意义、矩形的判定定理进行求解即可.【详解】由，所以四边形ABCD是平行四边形，由，所以平行四边形ABCD的对角线相等，因此该四边形是矩形，故选：C9．（2023·高一课时练习）若在△ABC中，，，且，，则△ABC的形状是（

）A．正三角形 B．锐角三角形 C．斜三角形 D．等腰直角三角形【答案】D【分析】利用向量加法的几何意义和模长之间的关系即可判定其为等腰直角三角形.【详解】由于，，，则，即，所以△ABC为等腰直角三角形．故选：D．10．（2023下·辽宁·高一校联考阶段练习）我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”．“赵爽弦图”是数形结合思想的体现，是中国古代数学的图腾，还被用做第24届国际数学家大会的会徽．如图，大正方形是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若，，为的中点，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据向量数乘和加减法法则，结合几何图形即可求解.【详解】，即，∴．故选：A．11．（2023下·河北邯郸·高一大名县第一中学校考阶段练习）设向量，，若与不共线，且点在线段上，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据向量线性关系的几何意义得到的线性关系，即可知正确选项.【详解】由，∴.故选：C12．（2023高一练习）已知是平面上的一定点，，，是平面上不共线的三个动点，若动点满足，，则点的轨迹一定通过的（

）A．内心 B．外心C．重心 D．垂心【答案】C【分析】取的中点，由已知条件可知动点满足，，易得，则点三点共线，进而得到点的轨迹一定通过的重心.【详解】解：设为的中点，则，则，即，三点共线，又因为为的中点，所以是边的中线，所以点的轨迹一定通过的重心.故选：C.13．（2023上·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知等边的边长为，D为中点，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据等边三角形的性质求出，再根据平面向量线性运算法则得到，即可得解.【详解】解：因为等边的边长为，D为中点，所以，，所以；故选：C14．（2023下·贵州六盘水·高一统考期末）在中，D为BC上一点.若，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求得的等量关系式，然后利用基本不等式求得正确答案.【详解】由于三点共线，所以，所以，当且仅当.故选：C15．（2023上·河南安阳·高二校考开学考试）若，，是任意三个空间向量，，则下列关系式中不成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据向量加法的交换律、结合律，对数乘的分配律判断ABC，由向量共线的条件判断D.【详解】对于A，根据向量加法的交换律知成立，故A正确；对于B，根据向量数乘的分配律知成立，故B正确；对于C，根据向量加法的结合律知成立，故C正确；对于D，当共线，且或时，才有，故D错误.故选：D16．（2023下·上海闵行·高一校考期末）是所在平面内一点，，则点必在（

）A．内部 B．在直线上C．在直线上 D．在直线上【答案】B【分析】根据共线定理可知即与共线，从而可确定点一定在边所在直线上．【详解】，，，即与共线∴点一定在边所在直线上.故选：B．17．（2023·广东·统考一模）如图所示，在中，点是线段上靠近A的三等分点，点是线段的中点，则（）A． B．C． D．【答案】B【分析】由向量线性运算的几何意义即可计算【详解】.故选：B18．（2023上·辽宁辽阳·高三统考阶段练习）在△ABC中，，，若，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由向量的加、减法及向共线向量的表示可得结果.【详解】∵，∴，则，又∵，∴，即：，，∴.故选：B.19．（2023上·贵州六盘水·高二校考阶段练习）若，化简的结果为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据已知条件结合，利用向量的线性运算即可求解.【详解】，故选：A.20．（2023下·甘肃天水·高一统考期末）在中，若点满足，则(

)A． B．C． D．【答案】D【分析】根据平面向量的线性运算可求出结果.【详解】由，得，得，得.故选：D．21．（2023下·广东揭阳·高一统考期中）如图，在中，是的中点，若，，则等于（）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用三角形法则与平行四边形法则表示向量.【详解】因为是的中点，，，所以，所以.故选：D.22．（四川省成都外国语学校20222023学年高一4月月考数学（文）试题）我国东汉末数学家赵夾在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，若，，，则=（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由题意结合平面向量基本定理可得，从而可求得结果【详解】因为此图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，且，，，所以，解得，即，故选：B23．（2023下·河南濮阳·高一统考期末）设，为不共线向量，，，，则下列关系式中正确的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据平面向量线性运算法则求出，即可判断.【详解】解：因为，，，所以，则关系式中正确的是，故选：B．24．（2023下·高一课时练习）已知O是直线外一点，C，D是线段的三等分点，且，如果，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】作出示意图，根据向量的加减法和线性运算即可得到答案.【详解】如图，故选：A.25．（2023·山东济宁·高三阶段练习）O是平面上一定点，A、B、C是该平面上不共线的3个点，一动点P满足：＝，则直线AP一定通过△ABC的（）A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心【答案】C【分析】取线段BC的中点E，则．动点P满足：，，则．即可判断出结论．【详解】取线段BC的中点E，则．动点P满足：，，则则.则直线AP一定通过△ABC的重心．故选：C．26．（2023上·江苏·高三金陵中学校联考阶段练习）设为所在平面内一点，且满足，则（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】利用向量的加减、数乘运算即可求得.【详解】∵，所以三点共线且.如图所示：∴，即.故选：A.27．（2023·全国·高三专题练习）已知是平面上的4个定点，不共线，若点满足，其中，则点的轨迹一定经过的（

）A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心【答案】A【分析】设边的中点为，则，进而结合题意得，再根据向量共线判断即可.【详解】解：根据题意，设边的中点为，则，因为点满足，其中所以，，即，所以，点的轨迹为的中线，所以，点的轨迹一定经过的重心.故选：A28．（2023上·浙江·高三慈溪中学校联考期中）已知中，点为边中点，点为所在平面内一点，则“”为“点为重心”（

）条件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要【答案】C【分析】等价于等价于点为重心.【详解】充分性：等价于：等价于：等价于：所以为的靠近的三等分点，所以点为重心；必要性：若点为重心，由重心性质知，故故选：C29．（2023·高一课时练习）在中，已知是边上一点，若，则（

）A．2 B．１C．2 D．－1【答案】C【分析】由可得为线段的三等分点中靠近的点，由向量的加(减)法及数乘运算可得，即可求得.【详解】解：如图所示：因为，所以为线段的三等分点中靠近的点，所以=,所以，所以.故选：C.30．（2023下·河南洛阳·高一统考期中）已知点为内一点，满足，若，则（

）.A． B． C． D．2【答案】A【分析】利用数乘的定义作图，作，，构造出是的重心，根据重心性质，及三角形面积比得出结论．【详解】∵点为内一点，满足，∴，如图，作，，则，∴是的重心，∴，由，，知，，，∴，∴，解得．故选：A．【点睛】本题考查向量的线性运算，解题关键是利用数乘定义构造出以为重心的，然后利用面积比得出结论．31．（2023上·山西太原·高三统考期中）已知点在所在平面内，满，，则点依次是的（

）A．重心，外心 B．内心，外心 C．重心，内心 D．垂心，外心【答案】A【分析】设中点为，进而结合向量加法法则与共线定理得三点共线，在的中线，进而得为的重心，根据题意得点为的外接圆圆心，进而可得答案.【详解】解：设中点为，因为，所以，即，因为有公共点，所以，三点共线，即在的中线，同理可得在的三条中线上，即为的重心；因为，所以，点为的外接圆圆心，即为的外心综上，点依次是的重心，外心.故选：A32．（2023·高一课时练习）ABC中，＝，DE∥BC，且与边AC相交于点E，ABC的中线AM与DE相交于点N，设＝，＝，用，表示等于（

）A．() B．()C．() D．()【答案】D【分析】直接运用向量的减法法则和数乘运算求解即可.【详解】由题意得故选：D.33．（2023上·浙江杭州·高三校联考期中）设O是的外心，满足，，若，则的面积是A．4 B． C．8 D．6【答案】B【分析】取AC中点D,由以及题设条件得到，计算，得到，由三角形面积公式求解即可.【详解】取AC中点D，因为O是的外心，所以则，解得：所以即故选：B【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积运算以及三角形外心的知识，属于中档题.34．（2023下·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）已知中，，，，是的平分线上一点，且.若内（不包含边界）的一点满足，则实数的取值范围是A． B． C． D．【答案】A【分析】将向量归一化可得，结合向量的线性运算可得，由等和线性质可知，，从而可求出实数的取值范围.【详解】解：设，则，且，所以，即，因为，所以，由等和线性质得，解得.故选:A.【点睛】本题考查了向量的线性运算，考查了向量的数量积运算，考查了等和线性质.本题的关键是以为基底表示出.本题的难点在于用表示出向量.35．（2023下·四川凉山·高一统考期中）已知为△ABC内任意一点，若满足则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】依据向量的几何意义去求解的值【详解】分别取AC、BC的中点E、F，连接PF，PE，FE.则，则，即点P为线段EF靠近F的一个三等分点故选：D二、多选题36．（2023下·山东东营·高一统考期中）《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象.如图1所示的是八卦模型图，其平面图形图中的正八边形ABCDEFGH，其中O为正八边形的中心，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．和能构成一组基底【答案】BCD【分析】根据正八边形的几何特点，结合向量线性运算和平行关系的判断，对每个选项逐一分析，即可判断和选择.【详解】对于A选项，，A选项错误.对于B选项，，B选项正确.对于C选项，由于八边形ABCDEFGH为正八边形，故，且，故，所以选项C正确.对于D选项，由于和不共线，故和能构成一组基底，所以D正确.故选：BCD.37．（2023上·安徽宿州·高三砀山中学校考阶段练习）庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征，正五角星（5个顶点构成正五边形）是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系在如图所示的正五角星中，，则（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】由向量的运算性质逐一计算验证即可判断.【详解】A选项，由图可知，，故A正确；B选项，，，故B错误；C选项，∵，∴，故C正确；D选项，，故D错误．故选：AC．38．（2023高一练习）等边三角形中，，AD与BE交于F，则下列结论正确的是（）A． B．C． D．【答案】AC【分析】可画出图形，根据条件可得出为边的中点，从而得出选项A正确；由可得出，进而可得出，从而得出选择B错误；可设，进而得出，从而得出，进而得出选项C正确；由即可得出，从而得出选项D错误．【详解】如图，，为的中点，，A正确；，，，B错误；设，且，，三点共线，，解得，，C正确；，D错误.故选：AC三、填空题39．（2023下·湖南邵阳·高一统考期末）如图，已知，若，则，.【答案】【分析】根据向量的加减法运算以及共线向量的表示方法可求解.【详解】如图，,故答案为:,.40．（2023高一练习）若，则.【答案】【分析】由向量数乘运算律可得答案.【详解】将题设等式展开并化简得：，则.故答案为：41．（2023下·上海宝山·高一上海交大附中校考期末）古代典籍《周易》中的“八卦”思想对我国的建筑有一定影响．图1是受“八卦”启示设计的正八边形的八角窗．在正八边形中，若，则．【答案】/【分析】根据题意结合向量的线性运算分析运算.【详解】如图，连接，则，不妨设，则，即，∴，则，故.故答案为：.42．（2023上·山东德州·高三统考期中）在中，为边上任意一点，为的中点，且满足，则的最小值为.【答案】/【分析】根据向量的加减法，可得，利用换元法，整理函数关系，利用二次函数的性质，可得答案.【详解】由为边上任意一点，则，，可得，则，即，由，可得，则，故，当时，取得最小值为.故答案为：.43．（2023上·江苏扬州·高三江苏省高邮中学校考开学考试）P是梯形ABCD外一点，，则．【答案】/0.5【分析】利用向量的加减运算，结合图形的几何性质，即可表示出，继而求得答案.【详解】法一：设因为，所以,则，同理，则有，故，由于，则,故答案为：法二:由题意可知，所以，则，则，故答案为：44．（2023下·高一课时练习）已知，，是平面内不共线的三点，为所在平面内一点，是的中点，动点满足，则点的轨迹一定过的（填“内心”“外心”“垂心”或“重心”）.【答案】重心【解析】根据已知条件判断三点共线，结合重心的定义，判断出的轨迹过三角形的重心.【详解】∵点满足，且，∴，，三点共线.又是的中点，∴是边上的中线，∴点的轨迹一定过的重心.故答案为：重心【点睛】本小题主要考查三点共线的向量表示，考查三角形的重心的知识，属于基础题.45．（2023下·河南·高一校联考阶段练习）已知等边三角形的边长为1，D、E分别是BC、AC的中点，AD、BE相交于点O．有下列命题：①；②若，则；③若，则；④设M为内部(含边界)任一点，则的最大值是．其中所有真命题的序号为．【答案】①②④【分析】①②根据重心的几何性质和向量的线性运算即可判断；③已知，将化成已知方程形式，对比即可判断；④结合图形可知，，则由即可表示出，数形结合即可求其最大值.【详解】对于①，，即，∴①正确；对于②，由题意，可知O是的重心，∴，∴x＝y＝z＝1，∴②正确；对于③，可化为：，即，∴，解得，∴③错误；对于④，∵，，∴，∴，∴，当且仅当点M与点A重合时取等号，∴④正确．故答案为：①②④．46．（2023下·浙江杭州·高三校考开学考试）已知向量满足，则的最大值是【答案】8【分析】设,以O为原点，OA为x轴，O