山东省郓城一中2020-2021学年高二上学期第一次月考数学试题

郓城一中高二年级第一次月考数学试题（时间：120分钟分数：150分）一.选择题（共8小题，每题5分）1.直线的倾斜角的取值范围是（）A. B. C. D.2.已知点，点Q是直线l：上的动点，则的最小值为（）A.2 B. C. D.3.斜率为3，在x轴上截距为2的直线的一般式方程是（）A. B. C. D.4.已知空间向量，，且而，则实数（）A. B.3 C. D.65.已知正四面体的各棱长为1，点E是的中点，则的值为（）A. B. C. D.6.如图所示，三棱柱，所有棱长均相等，各侧棱与底面垂直，D，E分别为枝的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.7.数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线，已知的顶点，，且，则的欧拉线的方程为（）A. B. C. D.8.在正方体中，平面与平面夹角的正弦值为（）A. B. C. D.二.多选题（共4小题，每题5分，选全得满分，不全得3分，错选0分）9.下列说法中，正确的有（）A.过点且在x、y轴截距相等的直线方程为B.直线在y轴上的截距为2C.直线的倾斜角为60°D.过点并且倾斜角为的直线方程为10.已知直线：和直线：，下列说法正确的是（）A.始终过定点B.若，则或3C.若，则或2D.当时，始终不过第三象限11.如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，底面，且，M、N分别为、的中点.则（）A. B. C.平面 D.与平面所在的角为12.如图，在正四棱锥中，，E是的中点，设棱锥与棱锥的体积分别为，，，与平面BDE所成的角分别为，则（）A.平面BDE B.平面 C. D.三.填空题（共4小题，每题5分）13.已知直线l与平面垂直，直线l的一个方向向量为，向量与平面平行，则________.14.过直线和的交点，且过点的直线l的方程为________.15.若直线l过点且与点两点距离相等，则直线l方程为________.16.如图，四面体中，两两垂直，且，则点P到平面的距离为________.四.解答题（共6小题，17题10分，其余每题12分）17.三棱柱，中，M、N分别是、上的点，且.，，.（I）试用，，表示向量；（II）若，求的长.18.已知三点（1）求以为邻边的平行四边形面积（2）求平面一个法向量（3）若向量分别与，垂直，且求的坐标.19，已知直线l过点.（1）若直线l在两坐标轴上截距和为零，求l方程；（2）设直线l的斜率，直线l与两坐标轴交点分别为A、B，求面积最小值.20.一条光线从点射出，与x轴相交于点，经x轴反射后与y轴交于点H.（1）求反射光线的方程；（2）求三角形的面积.21.如图，四棱锥中，底面，，，，E为线段上一点，，M为的中点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.22.如图所示，直角梯形中，，，，四边形为矩形，，平面平面ABCD.（I）求证：平面；（II）求平面与平面夹角的余弦值.（III）在线段上是否存在点P，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出线段的长，若不存在，请说明理由.郓城一中高二第一次月考数学试题答案一.选择题（共8小题）1【解答】解：直线的斜率为，∵，∴∴倾斜角的取值范围是故选：B.2【解答】解：点，点Q是直线l：上的动点，的最小值为点Q到直线l的距离，∴的最小值为.故选：B.3【解答】解：在x轴上的截距为2的直线经过点，又斜率为3，点斜式可得直线的方程为：，即，故选：A.4【解答】解：∵，∴可设，∴，解得.故选：A.5【解答】解：如图所示，正四面体的棱长是a，E是的中点；∴；故选：A.6【解答】解：取AC中点F，连接DE，EF，∵D，E分别为棱，，的中点，∴，.∴且，则四边形ADEF为平行四边形，则.∴异面直线AD与BE所成角为，连接BF.设三棱柱各棱长为2，则，.在三角形BEF中，由余弦定理可得，即异面直线AD与BE所成角的余弦值为.故选：A.7【解答】解：段AB的中点为M（1，2），，∴线段AB的垂直平分线为：，即.∵，∴△ABC的外心、重心、垂心都位于线段AB的垂直平分线上，因此△ABC的欧拉线的方程为：.故选：C.8【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体中棱长为1，则，，，，，设平面的法向量，则，取，得，平面ABCD的法向量，设平面与平面ABCD夹角为，则，∴.∴平面与平面ABCD夹角的正弦值为.故选：C.二.多选题（共4小题）9【解答】解：∵过点且在x、y轴截距相等的直线方程为，或者，故A错误；∵直线在y轴上的截距为2，故B正确；由于直线的斜率为，故它的倾斜角为，故C错误；∵过点并且倾斜角为的直线方程为，故D正确，故选：BD.10【解答】解：：过点，A正确；当时，，重合，故B错误；由，得或2，故C正确；：始终过，斜率为负，不会过第三象限，故D正确.故选：ACD11【解答】解：A显然错误；若，由，则平面，则，显然不成立；C、，又，可得到C成立；D、连接，因为平面，所以是与平面所成的角在中，，所以与平面所成的角为成立；故选：CD.12【解答】解：连接，设，则O为的中点，连接，∴E为的中点，则为的中位线，得，∵平面，平面，∴平面，故A正确；若平面，则，又，∴，可得，而，，不满足，∴平面错误，故B错误；由已知求得，则，，∴，故C正确；以O为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系.则，，，，.，，，.设平面的一个法向量为.由，取，得.则，.∴，故D正确.故选：ACD.三.填空题（共4小题）13【解答】解：直线l与平面垂直，∵直线l的一个方向向量为，向量与平面平行，∴，解得.故答案为：3.14【解答】解：联立方程，解得，所以直线和的交点坐标为，所以直线l的斜率为，故直线l的方程为：，即，故答案为：.15【解答】解：根据题意，符合题意的直线l有2种情况①直线l与直线平行，，则直线l的斜率，此时直线l的方程为，变形可得，②直线l经过的中点，点，则的中点坐标为，直线l又经过点，此时直线l的方程为；故直线l的方程为，；故答案为：，16【解答】解：∵四面体中，两两垂直，且，∴以P为原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，，，，，，，，设平面ABC的法向量，则，取，得，∴点P到平面的距离为.故答案为：.四.解答题（共6小题）17【解答】解：（I）由图形知.（II）由题设条件∵，∴，.18【解答】解：（1），，，.（2）设平面的一个法向量为，，可得，取.（3）∵，，∴，设，∵，解得，∴.19【解答】解：（1）直线l过点，若直线l在两坐标轴上截距和为零，设直线l的方程为，即.则它在两坐标轴上截距分别为和，由题意，，∴或，直线l的方程为或.（2）设直线l的斜率，则直线l：与两坐标轴交点分别为、，求面积为，当且仅当时，等号成立，故面积最小值为4.20【解答】解：（1）如图所示，作点关于轴的对称点的坐标，则反射光线所在的直线过点和Q，所以，所以直线的直线方程为.所以反射光线的的直线方程为，其中.（2）由（1）得知，，所以，所以，，所以.21【解答】解：（1）证明：取的中点N，连接，∵M为的中点，∴，.∵，∴.∴，∴四边平行四边形，∴，∵平面，平面，∴平面.（2）取的中点F，连接AF，∴，∴，∵AB//CD，∴.∵底面，∴，即两两垂直.以A为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，∴，，.设平面的法向量为，则，即，令，则，∴.设直线与平面所成角为，则故直线与平面所