1.2集合与常用逻辑用语单元知识总结与题型归纳-高一数学上学期期末复习讲练（人教A版2019）

第一章集合和常用逻辑用语知识总结与题型归纳重点一：集合的定义及其关系1.集合中元素的特性：确定性、无序性、互异性2.集合的表示：列举法，描述法(①语言描述法，②Venn图)3.区分元素与集合(a∈A)，集合与集合的关系(A⊆B)，注意符号4.非负整数集(即自然数集)N；正整数集：N*或N+；整数集：Z；有理数集Q；实数集R题型1：集合的概念例1：下列给出的对象中，能构成集合的是()A．一切很大的数B．好心人C．漂亮的小女孩D．清华大学2019年入学的全体学生【答案】D【详解】解析：“很大”“好”“漂亮”等词没有严格的标准，故选项A、B、C中的元素均不能构成集合，故选D针对训练1.1．下列选项能组成集合的是（

）A．本校学习好的学生 B．在数轴上与原点非常近的点C．很小的实数 D．倒数等于本身的数【答案】D【详解】解析：集合中的元素具有确定性，对于A、B、C，学习好、非常近、很小都是模糊的概念，没有明确的标准，不符合确定性；对于D，符合集合的定义，正确.故选D1.2．下列所给的对象能组成集合的是（

）A．“金砖国家”成员国 B．接近1的数C．著名的科学家 D．漂亮的鲜花【答案】A.【详解】解析：对于A，“金砖国家”成员国即巴西，俄罗斯，印度，中国，南非，能组成集合，故A正确；对于B，C，D三个选项来说，研究对象无法确定，所以不能组成集合.故选：A.题型2：元素与集合例2：（1）下列所给关系正确的个数是()①π∈R；②∉Q；③0∈N*；④|－5|∉N*.A．1B．2C．3 D．4（2）满足“a∈A且4－a∈A，a∈N且4－a∈N”，有且只有2个元素的集合A的个数是()A．0 B．1C．2 D．3【答案】（1）B（2）C【详解】解析：(1)①π是实数，所以π∈R正确；②是无理数，所以∉Q正确；③0不是正整数，所以0∈N*错误；④|－5|＝5为正整数，所以|－5|∉N*错误．故选B.(2)因为a∈A且4－a∈A，a∈N且4－a∈N，若a＝0，则4－a＝4，此时A满足要求；若a＝1，则4－a＝3，此时A满足要求；若a＝2，则4－a＝2，此时A含1个元素不满足要求．故有且只有2个元素的集合A有2个，故选C.针对训练2.1．若集合则实数的取值集合为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】当时，不等式等价于，此时不等式无解；当时，要使原不等式无解，应满足，解得；综上，的取值范围是．故选：B．2.2．已知集合，，则集合的元素个数为（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B解：由，解得，所以．所以，共有7个元素，故选：B．题型3：集合中元素的特性例3：由a2，2﹣a，4组成一个集合A，A中含有3个元素，则实数a的取值可以是（）A．1 B．﹣2 C．6 D．2【答案】C【详解】解析：当a=1时，由a2=1，2﹣a=1，4组成一个集合A，A中含有2个元素，当a=﹣2时，由a2=4，2﹣a=4，4组成一个集合A，A中含有1个元素，当a=6时，由a2=36，2﹣a=﹣4，4组成一个集合A，A中含有3个元素，当a=2时，由a2=4，2﹣a=0，4组成一个集合A，A中含有2个元素，故选C．针对训练3.1.已知集合S满足条件：若a∈S，则．若3∈S，试把集合中的所有元素都求出来．【答案】【详解】解析：∵，∴，从而，则，∴，出现循环，根据集合中元素的互异性可得集合中的所有元素为．3.2．设集合，其中，且，若，则中的元素之和为_____.【答案】0【详解】因为，所以若，则集合不成立．所以．若因为，所以，所以必有，所以．因为，，所以或．若，此时不成立，舍去．若，则，成立．所以元素之和为．故答案为：0.题型4：集合的表示法例4：用适当的方法表示下列集合：（1）由方程的所有实数根组成的集合；（2）由小于8的所有素数组成的集合；（3）一次函数与图象的交点组成的集合；（4）不等式的解集.【答案】（1）；（2）；（3）或；（4）.【详解】解析：（1）的所有实数根为3，3，所以方程的所有实数根组成的集合为；（2）小于8的所有素数为，所以小于8的所有素数组成的集合为；（3）一次函数与图象的交点组成的集合或；（4）不等式的解集为.针对训练4.1．集合x3<2的自然数解用列举法表示集合（）A．{1，2，3，4} B．{1，2，3，4，5}C．{0，1，2，3，4，5} D．{0，1，2，3，4}【答案】D【详解】由题意，又，∴集合为．4.2．由大于1小于5的自然数组成的集合用列举法表示为________，用描述法表示为________．【答案】{2，3，4}{x∈N|1<x<5}【详解】解析：大于1小于5的自然数有2，3，4.故用列举法表示集合为{2，3，4}，用描述法表示可用x表示代表元素，其满足的条件是x∈N且1<x<5.故用描述法表示集合为{x∈N|1<x<5}．重点二：集合间的基本关系5.集合间的基本关系：A⊆B有两种可能(1)A⊊B(真子集)；(2)A=B(集合相等)6.不含任何元素的集合叫做空集，记为∅7.空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集8.若非空集合A中有n个元素，则有2n个子集，(2n1)个真子集，(2n2)个非空真子集题型5：子集、真子集例5：已知集合A={2，4，7}，则集合A的子集共有（

）A．3个 B．6个 C．7个 D．8个【答案】D【详解】集合A的子集有：∅，{2}，{4}，{7}，{2,4}，{2,7}，{4,7}，{2,4,7}，一共8个，故选：D.技巧：子集个数（1）若集合有个元素，则它有个子集，个真子集，个非空子集，非空真子集.针对训练5.1．集合的非空真子集的个数为（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【详解】解法1：由题意可知，集合A的非空真子集为，共6个.解法2：用公式，集合A中有3个元素，n=3，则非空真子集有232=6个故选：B.5.2．集合至多有1个真子集，则的取值范围是（

）A． B． C． D．或【答案】D【详解】当时，，满足题意，当时，由题意得，得，综上，的取值范围是故选：D题型6：包含关系例6.1：已知集合M＝{x|x＝1＋a2，a∈N*}，P＝{x|x＝a2－4a＋5，a∈N*}，则M与P的关系为()A．M＝P B．M⊆PC．P⊆M D．M⊊P【答案】D【详解】①对于任意x∈M，x＝1＋a2＝(a＋2)2－4(a＋2)＋5，∵a∈N*，∴a＋2∈N*，∴x∈P，由子集定义知M⊆P.②∵1∈P，此时a2－4a＋5＝1，即a＝2∈N*，而1∉M，∴1＋a2＝1在a∈N*时无解．综合①②知，M⊊P.故选：D．例6.2：满足{1,2}⊆M⊆{1,2,3,4,5}的集合M有________个．【答案】D【详解】解析：由题意可得{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}，可以确定集合M必含有元素1,2，且含有元素3,4,5中的至少一个，因此依据集合M的元素个数分类如下：含有三个元素：{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}；含有四个元素：{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}；含有五个元素：{1,2,3,4,5}．故满足题意的集合M共有7个．所以选D技巧：子集个数（2）若集合A有n(n≥1)个元素，集合C有m(m≥1)个元素，且A⊆B⊆C，则符合条件的集合B有2m－n个．针对训练6.1.下列各式中，正确的个数是()①{0}∈{0,1,2}；②{0,1,2}⊆{2,1,0}；③∅⊆{0,1,2}；④∅＝{0}；⑤{0,1}＝{(0,1)}；⑥0＝{0}．A．1B．2C．3 D．4【答案】B【详解】对于①，是集合与集合的关系，应为{0}{0,1,2}；对于②，实际为同一集合，任何一个集合是它本身的子集；对于③，空集是任何集合的子集；对于④，{0}是含有单元素0的集合，空集不含任何元素，并且空集是任何非空集合的真子集，所以∅{0}；对于⑤，{0,1}是含有两个元素0与1的集合，而{(0,1)}是以有序数组(0,1)为元素的单元素集合，所以{0,1}与{(0,1)}不相等；对于⑥，0与{0}是“属于与否”的关系，所以0∈{0}．故②③是正确的．故选：B.6.2．用适当的符号(⊆，⊇，∈，∉)填空：（1）________；（2）2________；（3）N*________N；（4）R________Q.【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.【详解】（1）当时，，故；（2）当时，，故2；（3）因为为正整数集，为自然数集，所以（4）因为为实数集，为有理数集，所以.故答案为：；；；.题型7：相等关系例7：已知集合，若，则（

）A．3 B．4 C． D．【答案】D【详解】解：因为且，所以，且，又，所以和为方程的两个实数根，所以；故选：D针对训练7.1设集合M={5，x2}，N={5x，5}．若M=N，则实数x的值组成的集合为（

）A．{5} B．{1} C．{0，5} D．{0，1}【答案】C【详解】解：因为，所以，解得或，所以x的取值集合为，故选：C题型8：空集例8：下列六个关系式：①{a，b}＝{b，a}；②{a，b}⊆{b，a}；③∅＝{∅}；④{0}＝∅；⑤∅⊆{0}；⑥0∈{0}．其中正确的个数是()A．1 B．3C．4 D．6【答案】C【详解】解析：①正确，集合中元素具有无序性；②正确，任何集合是自身的子集；③错误，∅表示空集，而{∅}表示的是含∅这个元素的集合，是元素与集合的关系，应改为∅∈{∅}；④错误，∅表示空集，而{0}表示含有一个元素0的集合，并非空集，应改为∅∈{0}；⑤正确，空集是任何非空集合的真子集；⑥正确，是元素与集合的关系．①②⑤⑥正确，故选C技巧：5个与空集有关的结论1.包含分A=Ø和A≠Ø两种情况，A≠Ø又分A=B和AB两种情况.当题目中出现A⊆B或A∩B＝A或A∪B＝B时，在解题过程中务必注意对集合A进行分类讨论，即分A=Ø和A≠Ø两种情况进行讨论.2.，（A≠Ø）3.若A∩B＝∅，则A或B可能是∅或A与B均不为∅但无公共元素；若A∪B＝A，则B可能是∅.4.Ø与{Ø}的区别：前者代表空集，后者代表一个集合，这个集合的元素的空集，属于集中集.Ø∈{Ø}、Ø{Ø}均正确.只有一个子集，就是它本身.5.5种空集的情况A={|ax+b=0}=Ø⇔a=0,b≠0A={|ax2+bx+c=0,a≠0}=Ø⇔b24ac<0A={|m<x<n}=Ø⇔m≥nA={|ax+b>0}=Ø⇔a=0,b≤0A={|ax2+bx+c>0,a≠0}=Ø⇔a<0,b24ac≤0针对训练8.1下列各式中关系符号运用正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C.【详解】根据元素和集合的关系是属于和不属于，所以选项A错误；根据集合与集合的关系是包含或不包含，所以选项D错误；根据空集是任何集合的子集，所以选项B错误，故选项C正确.故选：C.重点三：集合的基本运算9.集合基本运算：图1图2(1)并集：AUB={x|x∈A，或x∈B}(2)交集：A∩B={x|x∈A，且x∈B}(3)补集：CUA={x|x∈U，且x∈A}题型9：并集例9：点集A＝{(x，y)|x＜0}，B＝{(x，y)|y＜0}，则A∪B中的元素不可能在()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】A【详解】由题意得，A∪B中的元素是由横坐标小于0或纵坐标小于0的点构成的集合，所以A∪B中的元素不可能在第一象限，故选：A.针对训练9.1设若集合A＝{1,4，x}，B＝{1，x2}，A∪B＝{1,4，x}，则满足条件的实数x有() A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【详解】从A∪B＝{1,4，x}看它与集合A，B元素之间的关系，可以发现A∪B＝A，从而B是A的子集，则x2＝4或x2＝x，解得x＝±2或1或0.当x＝±2时，符合题意；当x＝1时，与集合元素的互异性相矛盾(舍去)；当x＝0时，符合题意．因此x＝±2或0．故选：C题型10：交集例10：若集合A＝{x|－1＜x＜5}，B＝{x|x≤1，或x≥4}，则A∪B＝________，A∩B＝________.【答案】R{x|－1＜x≤1，或4≤x＜5}【详解】借助数轴可知：A∪B＝R，A∩B＝{x|－1＜x≤1，或4≤x＜5}．故答案：R{x|－1＜x≤1，或4≤x＜5}.针对训练10.1已知M＝{1，2，a23a1}，N＝{1，a，3}，M∩N＝{3}，求实数a的值．【答案】【详解】∵M∩N＝{3}，∴3∈M，∴a2－3a－1＝3，即a2－3a－4＝0，解得a＝1或4.但当a＝1时，与集合中元素的互异性矛盾，当a＝4时，M＝{1,2,3}，N＝{－1,3,4}，符合题意．∴a＝4.题型11：补集、全集例11：设全集，集合M满足CUM={1,3}，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由题知,对比选项知，正确,错误故选:A针对训练11.1已知全集，集合，则CUA=（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由补集定义可知：CUA={x｜3＜x≤2或1＜x＜3}，即CUA=（3，2］∪（1,3），故选：D．题型12：集合的交并补例12：设集合，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】，，.故选：C.技巧：德摩根定理CU（A∩B）=CUA∪CUB；CU（A∪B）=CUA∩CUB；A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)用集合A、B表示图中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个部分所表示的集合分别是A∩B；A∩(CUB)；B∩(CUA)；CU(A∪B)或(CUB)∩(CUA)．针对训练12.1已知全集U＝R，A＝{x|－4≤x＜2}，B＝{x|－1＜x≤3}，P＝{x|x≤0或x≥52}，求A∩B，(CUB)∪P，(A∩B)∩(CU【答案】【详解】解析：将集合A，B，P分别表示在数轴上，如图所示．因为A＝{x|－4≤x＜2}，B＝{x|－1＜x≤3}，所以A∩B＝{x|－1＜x＜2}．CUB＝{x|x≤－1或x＞3}，又P＝{x|x≤0或x≥52}所以(CUB)∪P＝{x|x≤0或x≥52}又CUP＝{x|0＜x＜52}所以(A∩B)∩(CUP)＝{x|－1＜x＜2}∩{x|0＜x＜52}＝{x|0＜x＜2}．题型13：Venn图例13：《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为A． B． C． D．【答案】C【详解】由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为9080+60=70，则其与该校学生人数之比为70÷100=0.7．故选C．针对训练13.1学校运动会，某班所有同学都参加了羽毛球或乒乓球比赛，已知该班共有23人参加羽毛球赛，35人参加乒乓球赛，既参加羽毛球又参加乒乓球赛有6人，则该班学生数为______．【答案】52【详解】解：设参加羽毛球赛为集合，参加乒乓球赛为集合，依题意可得如下韦恩图：所以该班一共有人；故答案为：题型14：集合的新定义例14：已知且，若集合A={1,3,5,7,9}，B={3,5,6}，则（

）A．{1,3,5,6} B．{1,7,9} C．{3,5} D．{6}【答案】B【详解】解：由题得M={1,7,9}.故选：B针对训练14.1（多选）非空集合关于运算满足：对于任意的、，都有，则称集合关于运算为“回归集”．下列集合关于运算为“回归集”的是（

）A．为，为自然数的减法B．为，为有理数的乘法C．为，为实数的加法D．已知全集，集合，为，为实数的乘法【答案】BC【详解】对于A选项，若，为自然数的减法，则，A不满足条件；对于B选项，若，对任意的、，则，B满足条件；对于C选项，若，对任意的、，则，C满足条件；对于D选项，已知全集，集合，，取，，则，D不满足条件.故选：BC.重点四：充分条件、必要条件与充要条件（1）p⟹q，p是q的充分条件；q是p的必要条件（2）p⟺q，p与q互为充要条件（3）充分条件，必要条件与充要条件主要用来区分命题的条件与结论之间的关系：Ⅰ、从逻辑推理关系上看：①若，则是充分条件，是的必要条件；②若，但，则是充分而不必要条件;③若，但，则是必要而不充分条件;④若且，则是的充要条件；⑤若且，则是的既不充分也不必要条件.Ⅱ、从集合与集合之间的关系上看：已知满足条件，满足条件：①若,则是充分条件；②若,则是必要条件；③若AB，则是充分而不必要条件;④若BA，则是必要而不充分条件;⑤若，则是的充要条件；⑥若且，则是的既不充分也不必要条件.题型15：充分不必要条件例15：请写出不等式1a＜1【答案】a>1(答案不唯一)【详解】因为a>1能推出1a＜1，但是1a＜所以a>1是不等式1a＜1故答案为：a>1（答案不唯一）针对训练15.1已知集合，B={x|1<x<m+2}，若x∈A是x∈B成立的充分不必要条件，则实数m的取值范围是___________.【答案】【详解】集合.因为x∈A是x∈B成立的充分不必要条件，所以A⊆B.因为B={x|1<x<m+2}，所以只需满足：，解得：.故答案为：.题型16：必要不充分条件例16：已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【答案】【详解】p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)．因为p是q的必要不充分条件，所以q是p的充分不必要条件，即{x|1－m≤x≤1＋m}{x|－2≤x≤10}，故有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m≥－2，,1＋m＜10，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m＞－2，,1＋m≤10，))解得m≤3.又m＞0，所以实数m的取值范围为{m|0＜m≤3}.针对训练16.1若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是_________.【答案】【详解】解：由，得或，即不等式的解集为或，由，得，若，则不等式的解为，此时不等式的解集为为，若，则不等式的解集为或，若，不等式的解集为或，若“”是“”的必要不充分条件，则，则当时，不满足条件．当时则满足，即，得，当时，则满足，得，得，综上实数的取值范围.故答案为：.题型17：充要条件例17：求方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负的实数根的充要条件．A． B． C． D．【答案】【详解】当a＝0时，方程为2x＋1＝0，∴x＝－12当a＜0时，∵Δ＝4－4a＞0，且x1x2＝1a＜0，x1＋x2＝－3当a＞0时，由题意可得Δ＝4－4a≥0综上：a≤1.针对训练17.1“对于任意的实数，不等式恒成立”的一个充分必要条件是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】对于任意的实数，不等式恒成立，，由，得，由，得，当时，；当时，，；当时，,综上，，.，“对于任意的实数，不等式恒成立”的一个充分必要条件是，.故选：.题型18：既不充分也不必要条件例18：设，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【详解】解不等式，得，解不等