同济第三版-高数-(76) 第六节 旋转曲面与二次曲面

中国药科大学数学教研室杨访第六节旋转曲面与二次曲面本节概要曲面可看成是动点按一定规律运动形成的图形。由于建立了点和有序数组的“1-1”对应关系，可进一步建立曲面与方程的“1-1”对应关系,由此便可通过方程的讨论来研究曲面性质。

一．旋转曲面(1)

经典观念经典的几何观念将“面”看成是立体与立体的公共部分，“线”看成是面与面的公共部分。按照这种观念，曲线方程可通过联立曲面方程，并由相应的方程组来讨论曲线。这对于较为简单的曲线，讨论起来相对方便，如直线、圆锥曲线等，但如果所论曲线较复杂，按这种观念考察则会产生困难，讨论起来也不尽方便。1．对曲面与曲线的认识观念(2)

轨迹观念轨迹观念是由近代对质点运动的研究产生的对图形的认识，这种认识是将“曲面”和“曲线”看成是动点运动形成的轨迹。按照这种观念，曲线和曲面的方程可通过将运动轨迹转化为相应的代数形式来讨论。这种观念对曲线的讨论常较为方便，但对于曲面的研究则不尽然。因此轨迹法主要用于讨论曲线。对于曲面讨论较方便的方法是将曲面看成是给定曲线按一方式运动形成的图形。根据这种观念，常可较方便地由曲线方程导出曲面方程，但这种观念缺乏一般性，通常仅用于讨论一些特殊的曲面，如旋转曲面、柱面等。(3)

动曲线观念

由一条平面曲线

C

绕该平面内的一条直线

L

旋转一周而成的曲面

称为旋转曲面。直线

L

称为旋转曲面的旋转轴，曲线

C称为旋转曲面的母线。(1)

旋转曲面的概念2.旋转曲面的概念及方程推导(2)

旋转曲面方程的推导设有

yOz

平面上的曲线试确定

C绕

y轴旋转一周所得旋转曲面

的方程。

由曲面与方程的对应关系的讨论知，建立曲面

方程应分两步进行，即先考虑所论曲面

上的点坐标所满足的方程

F(

x

,y

,z

)=0的形式，再考察坐标所满足该方程的点是否都在所论曲面

上。分析设

M(

x

,y

,z

)为旋转曲面

上的任意一点，考虑点M

所满足的方程。考察点

M(

x

,y

,z

)坐标满足的方程，应考虑将点

M与已知条件发生联系。由于旋转曲面

是曲线

C绕

y轴旋转而得的，故考虑建立点

M的坐标与母线

C

的联系。

旋转曲面Σ上的点所满足的方程

过点

M

作垂直于

y轴的平面交曲线

C

于点

M

，交y轴于点

P．

分别设点

M

,

P

坐标为

M

(

0

,y

,z

),P(

0

,y,0

).

由旋转曲面的性质知考虑将此几何关系转化为代数条件。

由于

M

(

0

,y

,z

)是曲线

C

上的点

，故其坐标满足C

的方程，即有

f(

y

,z

)=

0.

将导出的坐标关系式代入该方程便得点

M(

x

,y

,z

)的坐标满足的方程为设

M(

x

,y

,z

)为坐标满足方程的任意一点，考察点

M是否在旋转曲面

上。要说明点

M

在

上，可将点

M

绕

y

轴旋转，看其是否能转至曲线

C

上。过点

M

作垂直于

y轴的平面交

y轴于点

P，将点

M

在该平面内绕点

P

旋转至

yOz

平面得点

M

．

坐标满足导出方程的点在旋转曲面Σ

上设点

M

,

P

坐标分别为

M

(

0

,y

,z

),P

(

0

,y,0

),由

M至M

的旋转过程知故点

M

(

0

,y

,z

)的

坐标满足曲线

C的方程因此点

M

(

0

,y

,z

)在曲线

C上。由于点

M

是点

M

绕

y轴旋转而得的点，故可知点

M在旋转曲面

上。由上讨论求得旋转曲面

的方程为：方程转化规则

绕轴

y旋转一周，y不变，由上旋转曲面方程的推导可见，旋转曲面的方程不仅具有明显的代数形式特点，且旋转曲面方程与相应的母线方程在形式上也有着密切的联系。因此，旋转曲面的讨论主要涉及两个方面的基本问题：对于给定的母线方程及旋转轴，如何写出相应的旋转曲面方程。对于给定的曲面方程，如何判别其是否为旋转曲面及相应的母线及旋转轴。3.旋转曲面讨论的两个基本问题(1)

由准线方程及旋转轴写出旋转曲面的方程母线为

yoz

平面上的曲线绕

z

轴旋转，z

不变绕

y

轴旋转，y

不变母线为

xoz

平面上的曲线绕

z

轴旋转，z

不变绕

x

轴旋转，x

不变母线为

xoy

平面上的曲线绕

y

轴旋转，y不变绕

x

轴旋转，x

不变(2)

由方程判别曲面是否为旋转曲面此处主要考虑简单旋转曲面的判别，即母线为坐标面上的曲线，旋转轴为坐标轴的情形。对于这类旋转曲面的判别关键是考察方程中的变量形式及系数。对于给定的曲面方程形式

:F(

x,y

,z

)=0

，若其有两个变量为二次幂且它们的系数相同，则可判别其为旋转曲面。例如，形如f(

y

,z

2+

x

2

)=

0的方程所表示的就是旋转曲面。判别方程是否表示旋转曲面的基本原理依然是截口法原理，只是将这一原理转化为相应的代数运算。对方程

f(

y

,z

2+

x

2

)=0，判别的代数运算过程为令y

=

k，相当于用平行于xOz

坐标面的平面与曲面相截，截口方程可化为z

2+

x

2

=g(

k

)的形式，它是y=k平面上的圆，因而该曲面可认为是由

yOz

或xOy

平面上的曲线绕

y

轴旋转而成的旋转曲面。(1)

圆锥面的定义圆锥面是一类特殊旋转曲面，它是由一条直线

L绕另一条与之相交的直线旋转一周所得的旋转曲面。两直线的交点叫做圆锥面的顶点，两直线的交角

叫做圆锥面的半顶角。4.圆锥面(2)

圆锥面方程的推导为讨论简单化，仅考虑顶点在原点，旋转轴为

z

轴，半顶角为

的圆锥面方程。为直观起见，可认为所求圆锥面是由

yOz

平面上的直线

L:

z=y

cot

绕

z轴旋转一周而成的。由旋转曲面方程规则直线L:

z=y

cot

，绕

z轴旋转一周而成的旋转曲

面

的方程满足

z不变，于是可写出其方程为令cot

2=a，则有例：将

xOz

平面上的曲线

分别绕

x

轴、z轴旋转一周，试求所得旋转曲面的方程，并作曲面图形。母线方程：xOz

平面上的曲线

绕

x轴旋转所得旋转曲面方程按方程转化规则写出按旋转曲面方程

解绕

x轴旋转，x不变绕轴旋转的旋转曲面图形母线方程：xOz

平面上的曲线

绕

z

轴旋转所得旋转曲面方程绕

z轴旋转，z不变绕轴旋转的旋转曲面图形二.二次曲面

用动曲线形成曲面的观点来研究曲面确实可较方便地讨论某些曲面，但这种方法缺乏一般性，因为并非任何曲面都可看成是由曲面运动形成的。作为曲面研究的一般方法还是依据曲面与方程的对应关系，即通过方程来讨论曲面性质。通过方程讨论曲面性质既可通过截痕法研究曲面的几何性质，也可由已知曲面导出未知曲面性质。(1)

用归纳法定义曲面1.曲面定义的一般方法曲面总对应于三元F(

x

,y

,

z

)=0，为讨论方便而不失一般性，可讨论较简单的情形，即三元二次方程所对应的曲面，称之为二次曲面。三元二次方程的一般形式为

Ax

2

+

By

2

+

C

z

2

+

D

x

y

+

E

x

z

+

F

y

z

+

G

x

+

H

y

+

I

z

+

J

=

0

.

通过不改变图形形状的坐标变换(正交变换)可消去方程中的乘积项使其化为如下形式

A

x

2

+

B

y

2

+

C

z

2

+

G

x

+

H

y

+

I

z

+

J

=

0

.下就此方程中系数的不同情形讨论曲面性质。(2)

二次曲面的一般概念(3)

已知方程确定曲面图形的方法

已知曲面方程

F(

x

,y

,z

)=

0，如何讨论并确定方程所表示的图形及其性质呢？由于三元方程所表示的图形一般是空间图形，而描绘空间图形却只能在平面上进行。因此，讨论方程所表示的空间图形通常采用“截口法”，即用一些特殊平面与所论曲面相截，通过对截口曲线形状的研究来了解曲面形状。(1)

椭圆锥面

椭圆锥面的归纳定义为

考虑用截痕讨论该曲面的形状。

用垂直于

z轴的平面

z

=

t

与此曲面相截，考察相应截痕的形状：

当t

=

0

时，得一点O(

x

,y

,

z

)；

当t

0

时，得

z

=

t平面上的椭圆2.各类二次曲面的讨论由截痕考察椭圆锥面形状(2)

椭球面

椭球面的归纳定义为:

容易看出，若

a

=

b，则该曲面就是旋转椭球面，由旋转曲面讨论知，该旋转椭球面可看成是由

xOz

平面上的椭圆绕

z

轴旋转一周而成的。当

a

b时，相应的曲面与该旋转椭球面相差不大,只是在y

轴方向上有所伸缩，因此只需将该旋转椭球面沿

y

轴方向伸缩

b/a

倍即可。用伸缩法考察椭球面形状

单叶双曲面的归纳定义为:

易看出，若

a

=

b，则该曲面就是单叶旋转双曲面由旋转曲面讨论知，该单叶旋转双曲面可看成是由xOz平面上的双曲线绕

z

轴旋转一周而成。当

a

b时，相应的曲面与该单叶旋转双曲面相差不大，只是在y

轴方向上有所伸缩，因此只需将该单叶旋转双曲面沿

y

轴方向伸缩

b/a

倍即可。(3)

单叶双曲面用伸缩法考察单叶双曲面形状

双叶双曲面的归纳定义为:

易看出，若

b

=

c，则该曲面就是双叶旋转双曲面由旋转曲面讨论知，该双叶旋转双曲面可看成是由xOz平面上的双曲线绕

x

轴旋转一周而成。当

b

c时，相应的曲面与该单叶旋转双曲面相差不大，只是在y

轴方向上有所伸缩，因此只需将该单叶旋转双曲面沿

y

轴方向伸缩

b/c

倍即可。(4)

双叶双曲面用伸缩法考察双叶双曲面形状

椭圆抛物面的归纳定义为:

考虑用截痕讨论该曲面的形状。

用垂直于

z轴的平面

z

=

t

与此曲面相截，考察相应截痕的形状：

当t

=

0

时，截得一点O(

x

,y

,

z

)；

当t

>

0

时，得

z

=

t平面上的椭圆

当t

<

0

时，平面z

=

t与该曲面没有交点。(5)

椭圆抛物面由截痕考察椭圆抛物面形状

双曲抛物面的归纳定义为:

考虑用截痕考察该曲面的形状。

用垂直于

x轴的平面

x

=

t

与曲面相截，截痕方程为

由截痕方程看出当t

=

0

时，截痕为

yOz

平面上顶点在原点，以

z

轴为对称轴，开口向上的抛物线。当

t

0

时，截痕形状不变，只是沿平行于

yOz

平面的方向作平移。(6)

双曲抛物面由截痕考察椭圆双曲面形状

用垂直于

y轴的平面

y

=

t

与曲面相截，截痕方程为

由截痕方程看出当t

=

0

时，截痕为

xOz

平面上顶点在原点，以

z

轴为对称轴，开口向下的抛物线。当

t

0

时，截痕形状不变，只是沿平行于

yOz

平面的方向作平移。由截痕考察椭圆双曲面形状

用垂直于

z轴的平面

z

=

t

与曲面相截，截痕方程为

由截痕方程看出

当t

>

0

时，截痕为

xOy

平面上方的平面z

=

t上以平行于

x

轴的直线为虚轴，以平行于y

轴的直线为实轴的双曲线

当t

<

0

时，截痕为

xOy

平面下方的平面

z

=

t上以平行于

x

轴的直线为实轴，以平行于y

轴的直线为虚轴的双曲线由截痕考察椭圆双曲面形状例：设有方程

p

与

q

同号，试讨论方程所对应的曲面形状。

令

z

=

k，联立方程有

研究截口形状：曲面截口为平面

z

=

k

上的双曲线。用截口法讨论曲面形状

解

用平行于

xOy

坐标面的平面与曲面相截当

k>0时，即截面在

xOy

平面上方时，双曲线的实轴沿

y轴方向，虚轴沿

x

轴方向。当

k<0时，即截面在

xOy

平面下方时，双曲线的实轴沿

x轴方向，虚轴沿

y

轴方向。令

y

=

k，联立方程有

研究截口形状：曲面截口为平面

y

=

k

上以平行于

z

轴的直线为对称轴，开口向下的抛物线。

用平行于

xOz

坐标面的平面与曲面相截

用平行于

yOz

坐标面的平面与曲面相截令

x=k，联立方程有

研究截口形状：曲面截口为平面

x

=

k

上以平行于

z

轴的直线为对称轴，开口向上的抛物线。用截口法描述曲面图形(1)

柱面及其方程的特点

曲面通常对应于三元方程

F(

x

,y

,z

)=

0

，但如果曲面方程是二元方程，此时方程所对应的曲面就是一些特殊的柱面。例如，考虑形如

F(

x

,y

)=

0

的方程的性质和特点,作为二元方程，它表示

xOy

平面上的一条曲线

C，而作为三元方程，它应表示一张曲面

。

F(

x

,y

)=

0作为二元方程和作为缺变量的三元方程，在性质上有什么联系呢？3.柱面设

M(

x

,y

,z

)为坐标满足方程

F(

x

,y

)=

0

的任一点，由于方程不含竖坐标

z，故不论空间点

M(

x

,y

,z

)的竖坐标

z如何取值，只要其横坐标

x和纵坐标

y满足这个方程，点

M就在曲面

上，即只要点

M1(

x

,y

,0

)在曲线

C上，点

M(

x

,y

,z

)就在曲面

上。因此过

xOy

平面上的曲线

C上的点

M1(

x

,y

,0

)且平行于

z轴的直线L在曲面

上，由此可看出曲面

是一个柱面。

(2)

柱面的一般定义平行于定直线

L

并沿定曲线

C平行移动的直线

L形成的轨迹称为柱面，定曲线

C称为柱面的准线，动直线

L

称为柱面的母线。定直线动直线准线(3)

柱面定义要点

柱面由准线及母线方向完全确定

柱面由准线及母线方向完全确定，因此只要给定了母线方向(一般是一定向量)及准线方程，就可完全确定柱面方程。由定义及直观可见，柱面的准线并不是唯一的，且未必是平面曲线。在讨论具体的柱面方程问题时，为使讨论简单化，通常宜考虑选择形式较简单的平面曲线作为柱面准线，如坐标面上的曲线等。

柱面准线及母线并不唯一(4)

讨论柱面方程的意义

空间图形研究的基本方法是将其投影到平面考察，空间图形的投影主要是通过投影柱面来实现。

柱面对于多元函数性质的研究具有重要意义。对高等数学的应用而言，柱面的讨论主要应掌握投影柱面，即母线平行于坐标轴的柱面。研究投影柱面问题应掌握两个方面的内容：

由准线方程及母线方向写出相应的柱面方程；由给定方程判别其是否为母线平行于坐标轴的柱面。(5)

由准线方程及母线方向写出柱面方程柱曲面方程可看成由其准线C的方程按一定规则转化而得的，其转化过程遵从以下规则：

准线

C

为

xOy

平面上的曲线母线平行于

z轴的柱面

准线

C

为

yOz

平面上的曲线母线平行于

x轴的柱面

准线

C

为

zOx

平面上的曲线母线平行于

y轴的柱面(6)

母线平行于坐标轴的柱面方程的代数特征由上柱曲面方程的讨论可以看出，母线平行于坐标轴的柱面方程具有明显的代数特征

——

缺变量。一般曲面方程F(

x

,y

,z

)=0

应包含三个变量，而母线平行于坐标轴的柱面方程至多含有两个变量。这一特征给出了判别曲面是否为母线平行于坐标轴的柱面的简洁而直观的方法。

:F(

x

,y

)=

0，缺变量

z，母线平行于

z

轴的柱面。

:G(

y

,z

)=

0，缺变量

x，母线平行于

x

轴的柱面。

:H(

z

,x

)=

0，缺变量

y，母线平行于

y

轴的柱面。(7)

区别曲线方程与柱面方程平面解析几何中，方程F(

x

,y

)=

0表示xOy

平面上的一条曲线，但在空间解析几何中，该二元方程通常表示母线平行于

z轴的柱面，应注意不要混淆。例如，在平面解析几何中，方程x

2

+

y

2=

a

2

表示圆心在原