第35课 用坐标表示图形变换

第35课用坐标表示图形变换基础知识题型分类要点梳理题型一确定点的坐标助学微博基础自测题型二由确定点的位置的方法转换写出

点的坐标题型三求轴对称变换、旋转变换对应点

的坐标题型四在坐标系或网格中计算图形的面积答题模板13.坐标平面内，求两条线段和的最小值易错警示23.错误确定平移变换后点的坐标要点梳理1．平面直角坐标系：在平面内具有________而且________

的两条数轴，就构成了平面直角坐标系，简称坐标系．建立了直角坐标系的平面叫坐标平面，x轴与y轴把坐标平面分成四个部分，称为四个象限，按逆时针顺序依次叫第一象限、第二象限、第三象限、第四象限．公共原点互相垂直首页要点梳理各象限内和坐标轴上的点和坐标的规律：第一象限：(＋，＋)正正；第二象限：(－，＋)负正；第三象限：(－，－)负负；第四象限：(＋，－)正负；x轴正方向：(＋，0)；x轴负方向：(－，0)；

y轴正方向：(0，＋)；y轴负方向：(0，－)；x轴上的点的纵坐标为0；y轴上的点的横坐标为0；原点坐标为(0，0)．首页要点梳理2．建立了坐标系的平面，有序实数对与坐标平面内的点

____________．3．对称点坐标的规律：

(1)坐标平面内，点P(x，y)关于x轴(横轴)的对称点P1

的坐标为__________；

(2)坐标平面内，点P(x，y)关于y轴(纵轴)的对称点P2

的坐标为__________；

(3)坐标平面内，点P(x，y)关于原点的对称点P3的坐标为__________．

可用口诀记忆：关于谁轴对称谁不变，关于原点对称都要变．(－x，－y)一一对应(x，－y)(－x，y)首页要点梳理4．平移前后，点的坐标的变化规律：

(1)点(x，y)左移a个单位长度：__________；

(2)点(x，y)右移a个单位长度：__________；

(3)点(x，y)上移a个单位长度：__________；

(4)点(x，y)下移a个单位长度：__________．

可用口诀记忆：正向右负向左，正向上负向下．(x－a，y)(x＋a，y)(x，y＋a)(x，y－a)首页助学微博一个思想本讲中比较广泛地应用数形结合的思想来研究问题．数形结合，直观形象，为分析问题和解决问题创造了有利条件，如用点的位置解答相关问题是典型的数形结合思想的应用．首页助学微博四种定位方法

(1)方位角定位法；

(2)方向角距离定位法；

(3)数轴法；

(4)直角坐标系法．首页基础自测1．(2013·柳州)在下列所给出坐标的点中，在第二象限的是(

)A．(2，3)

B．(－2，3)C．(－2，－3)

D．(2，－3)

解析本题考查了各象限内点的坐标的符号，记住各象限内点的坐标的符号是解题的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限(＋，＋)；第二象限(－，＋)；第三象限(－，－)；第四象限(＋，－)．根据每个象限内点的坐标符号可得在第二象限内的点是

(－2，3)．故选B.B首页基础自测2．(2013·日照)如果点P(2x＋6，x－4)在平面直角坐标系的第四象限内，那么x的取值范围在数轴上可表示为

(

)ABCD解析因为点P在第四象限，解得－3<x<4.故选C.C首页基础自测3．(2013·珠海)点(3，2)关于x轴的对称点为(

)A．(3，－2)

B．(－3，2)C．(－3，－2)

D．(2，－3)

解析根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可直接写出答案．点(3，2)关于x轴的对称点为(3，－2)．故选A.A首页基础自测4．(2013·红河)在平面直角坐标系中，已知点P的坐标是

(－1，－2)，则点P关于原点对称的点的坐标是(

)A．(－1，2)

B．(1，－2)C．(1，2)

D．(2，1)

解析平面直角坐标系中任意一点P(x，y)，关于原点的对称点是(－x，－y)，据此即可求得点P关于原点的对称点的坐标．∵点P的坐标为(－1，－2)，∴点P关于原点的对称点的坐标是(1，2)．故选C.C首页基础自测5．(2013·宜昌)如图，点A、B、C、D的坐标分别是(1，7)，

(1，1)，(4，1)，(6，1)，以C、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是(

)A．(6，0)

B．(6，3)

C．(6，5)

D．(4，2)

解析根据相似三角形的判定：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似即可判断．△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝3，AB∶BC＝2∶1.首页基础自测5．(2013·宜昌)如图，点A、B、C、D的坐标分别是(1，7)，

(1，1)，(4，1)，(6，1)，以C、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是(

)A．(6，0)

B．(6，3)

C．(6，5)

D．(4，2)

A．当点E的坐标为(6，0)时，∠CDE＝90°，CD＝2，DE＝1，则AB∶BC＝CD∶DE，△ABC∽△CDE，故本选项不符合题意；首页基础自测5．(2013·宜昌)如图，点A、B、C、D的坐标分别是(1，7)，

(1，1)，(4，1)，(6，1)，以C、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是(

)A．(6，0)

B．(6，3)

C．(6，5)

D．(4，2)

B．当点E的坐标为(6，3)时，∠CDE＝90°，CD＝2，DE＝2，则AB∶BC≠CD∶DE，△ABC与△CDE不相似，故本选项符合题意；首页基础自测5．(2013·宜昌)如图，点A、B、C、D的坐标分别是(1，7)，

(1，1)，(4，1)，(6，1)，以C、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是(

)A．(6，0)

B．(6，3)

C．(6，5)

D．(4，2)

C．当点E的坐标为(6，5)时，∠CDE＝90°，CD＝2，DE＝4，则AB∶BC＝DE∶CD，△ABC∽△EDC，故本选项不符合题意；首页基础自测5．(2013·宜昌)如图，点A、B、C、D的坐标分别是(1，7)，

(1，1)，(4，1)，(6，1)，以C、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是(

)A．(6，0)

B．(6，3)

C．(6，5)

D．(4，2)

D．当点E的坐标为(4，2)时，∠ECD＝90°，CD＝2，CE＝1，则AB∶BC＝CD∶CE，△ABC∽△DCE，故本选项不符合题意．故选B.B首页题型分类

题型一确定点的坐标【例1】

(2013·温州)如图，在平面直角坐标系中，△ABC

的两个顶点A、B的坐标分别为(－2，0)，(－1，0)，BC⊥x

轴，将△ABC以y轴为对称轴作轴对称变换，得到△A′B′C′(A和A′，B和B′，C和C′分别是对应顶点)，直线y＝x＋b

经过点A、C′，则点C′的坐标是________．

解析∵A(－2，0)，B(－1，0)，∴AO＝2，OB＝1，∵△A′B′C′和△ABC关于y轴对称，∴OB＝OB′＝1，∵直线y＝x＋b经过点A、C′，∴AB′＝B′C′＝3，(1，3)∴AB′＝AO＋OB′＝2＋1＝3，∴点C′的坐标为(1，3)．首页探究提高利用点到坐标轴及原点的距离，结合各象限点的坐标特点，可以确定点的坐标．本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化对称，根据直线解析式的k值等于1得到AB′＝B′C′是解题的关键．首页题型分类

题型一确定点的坐标知能迁移1

(2013·荆州)如图，△ACE是以□ABCD的对角线AC为边的等边三角形，点C与点E关于x轴对称．若E点的坐标是(7，－3)，则D点的坐标是________．解析设CE和x轴交于H，首页题型分类

题型一确定点的坐标知能迁移1

(2013·荆州)如图，△ACE是以□ABCD的对角线AC为边的等边三角形，点C与点E关于x轴对称．若E点的坐标是(7，－3)，则D点的坐标是________．

∵△ACE是以□ABCD的对角线AC为边的等边三角形，(5，0)∵OH＝7，∴OD＝7－2＝5，∴AO＝DH＝9－7＝2，∴D点的坐标是(5，0)．首页题型分类

题型二由确定点的位置的方法转换写出点的坐标【例2】已知坐标平面上的机器人接受指令“[a，A]”(a≥0，0°<A<180°)后的行动结果为：在原地顺时针旋转A后，再向面对方向沿直线地走a.若机器人的位置在原点，面对方向为y轴的负半轴，则它完成一次指令

[2，60°]后，所在位置的坐标为(

)首页解析过P作PM⊥y轴于M，在Rt△POM中，∠MOP＝60°，∴∠OPM＝30°，首页题型分类

题型二由确定点的位置的方法转换写出点的坐标【例2】已知坐标平面上的机器人接受指令“[a，A]”(a≥0，0°<A<180°)后的行动结果为：在原地顺时针旋转A后，再向面对方向沿直线地走a.若机器人的位置在原点，面对方向为y轴的负半轴，则它完成一次指令

[2，60°]后，所在位置的坐标为(

)D首页探究提高本题利用数形结合的方法确定点P的坐标．在阅读理解的基础上，先结合方位角的知识，在平面直角坐标系中找到指定[2，60°]所对应的点P的位置，然后利用解直角三角形的知识和坐标平面内点的坐标特征，求出点P的坐标．首页知能迁移2

(2013·抚顺)如图，在平面直角坐标系中，点

A、B、C的坐标分别是(－1，－1)、(0，2)、(2，0)，点

P在y轴上，坐标为(0，－2)．点P关于点A的对称点为P1，点P1关于点B的对称点为P2，点P2关于点C的对称点为P3，点P3关于点A的对称点为P4，点P4关于点B的对称点为P5，点P5关于点C的对称点为P6，点P6关于点A的对称点为P7…，按此规律进行下去，则点P2013

的坐标是________．首页解析根据对称依次作出对称点，便不难发现，点P6与点

P重合，也就是每6次对称为一个循环组循环，用2013除以6，根据商和余数的情况确定点P2013的位置，然后写出坐标即可．如图所示，点P6与点P重合，∵2013÷6＝335…3，∴点P2013是第336循环组的第3个点，与点P3重合，∴点P2013的坐标为(2，－4)．首页知能迁移2

(2013·抚顺)如图，在平面直角坐标系中，点

A、B、C的坐标分别是(－1，－1)、(0，2)、(2，0)，点

P在y轴上，坐标为(0，－2)．点P关于点A的对称点为P1，点P1关于点B的对称点为P2，点P2关于点C的对称点为P3，点P3关于点A的对称点为P4，点P4关于点B的对称点为P5，点P5关于点C的对称点为P6，点P6关于点A的对称点为P7…，按此规律进行下去，则点P2013

的坐标是__________．(2，－4)首页题型分类

题型三求轴对称变换、旋转变换对应点的坐标【例3】

(2012·营口)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(－2，－1)、B(－1，1)、

C(0，－2)．

(1)点B关于坐标原点O对称的点的坐标为__________；

(2)将△ABC绕点C顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△A1B1C；

(3)求过点B1的反比例函数的解析式．(1，－1)首页(2)如图所示：(3)由(2)得，点B1的坐标为(3，－1)，首页探究提高本题考察作图(旋转变换)，关于原点对称的点的坐标，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系．

(1)根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即可得出答案；

(2)分别找到各点的对应点，然后顺次连接即可得出旋转后得到的△A1B1C；

(3)根据(2)所得的图形，可得出点B1的坐标，然后利用待定系数法可求出过点B1的反比例函数的解析式．首页

知能迁移3

(1)(2013·常州)已知点P(3，2)，则点P关于y轴的对称点P1的坐标是__________，点P关于原点

O的对称点P2的坐标是__________．题型分类

题型三求轴对称变换、旋转变换对应点的坐标(－3，2)(－3，－2)首页(2)(2013·普陀区二模)已知在△AOB中，∠B＝90°，AB

＝OB，点O的坐标为(0，0)，点A的坐标为(0，8)，点

B在第一象限内，将这个三角形绕原点O旋转75°，那么旋转后点B的坐标为___________________________．解析∵A(0，8)，∵∠B＝90°，AB＝OB，∴△AOB是等腰直角三角形，∴OA＝8，将△AOB绕原点O旋转75°，可分为两种情况进行讨论：首页(2)(2013·普陀区二模)已知在△AOB中，∠B＝90°，AB

＝OB，点O的坐标为(0，0)，点A的坐标为(0，8)，点

B在第一象限内，将这个三角形绕原点O旋转75°，那么旋转后点B的坐标为___________________________．①逆时针旋转时，过点B′作B′C′⊥y轴于C′，∵旋转角为75°，∴∠B′OC′＝75°－45°＝30°，首页(2)(2013·普陀区二模)已知在△AOB中，∠B＝90°，AB

＝OB，点O的坐标为(0，0)，点A的坐标为(0，8)，点

B在第一象限内，将这个三角形绕原点O旋转75°，那么旋转后点B的坐标为___________________________．②顺时针旋转时，过点B″作B″C″⊥x轴于C″，∵旋转角为75°，∴∠B″OC″＝75°－45°＝30°，首页(2)(2013·普陀区二模)已知在△AOB中，∠B＝90°，AB

＝OB，点O的坐标为(0，0)，点A的坐标为(0，8)，点

B在第一象限内，将这个三角形绕原点O旋转75°，那么旋转后点B的坐标为___________________________．首页题型分类

题型四在坐标系或网格中计算图形的面积首页首页(2)△ABC如图(2)所示(位置不唯一)．(3)构造△ABC如图(3)所示，首页探究提高在平面直角坐标系或网格中求面积，有一定的规律，常以填空或选择题的形式出现，一般的做法是将难以求解的图形分割成易求解面积的图形，即构图法．首页知能迁移4已知点A(－1，4)，B(2，2)，C(4，－1)，则△ABC的面积是________．解析如图：2.5首页答题模板13.坐标平面内,求两条线段和的最小值试题已知抛物线y＝x2－x＋1与直线y＝3x－2交于A、B

两点，△ABC的顶点C在y轴上．试确定点C的位置，使得△ABC的周长最小．首页审题视角

要使得△ABC的周长最小，即AB＋BC＋AC最小，题目中A、B两点的坐标可以由y＝x2－x＋1和y＝3x－2组成的方程组解得，则线段AB的长度一定，这样本题只需求BC＋AC的和最小，问题转化为在y轴上找一点C，使得线段BC、AC的和最小.

其解决方法有：先找出点A(或B)关于y轴的对称点A′(或B′)，再作线段A′B(或B′A),这条线段与y轴的交点C，就是所要求的使得线段BC、AC的和最小的点，也就是使得△ABC的周长最小的点．首页规范答题可得交点A、B的坐标分别为A(1，1)、B(3，7)．取点A(1，1)关于y轴的对称点A′(－1，1)，设直线A′B的解析式y＝kx＋b,

首页首页答题模板第一步：审题，理解问题；第二步：确定已知定点的位置，求几条线段和的最短(小)

值问题一般需要进行图形变换，使得两个定点中的一个与另一个关于某直线的对称点分列于某直线的两侧；第三步：应用待定系数法，求得过定点与另一点对称点的直线的函数解析式；第四步：根据动点所在直线的特点求得动点的坐标，进而解决问题；第五步：反思回顾，查看关键点、易错点，完善解题步骤．首页批阅笔记

求几条线段和的最短(小)值问题一般需要进行图形变换，将其转化为以两个定点为端点，动点在中间的折线或以一个定点为端点其余动点在一侧的折线，然后再根据“两点之间，线段最短”或“垂线段最短”这两条性质求出最小值．首页易错警示23.错误确定平移变