新教材2024高考数学二轮专题复习强化训练22圆锥曲线-大题备考

强化训练22圆锥曲线——大题备考第二次作业1．[2023·辽宁鞍山二模]抛物线C：y2＝2px(p>0)上的点M(1，y0)到抛物线C的焦点F的距离为2，A、B(不与O重合)是抛物线C上两个动点，且OA⊥OB.(1)求抛物线C的标准方程；(2)x轴上是否存在点P使得∠APB＝2∠APO？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由．2．[2023·北京卷]已知椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq\f(\r(5),3)，A、C分别是E的上、下顶点，B，D分别是E的左、右顶点，|AC|＝4.(1)求E的方程；(2)设P为第一象限内E上的动点，直线PD与直线BC交于点M，直线PA与直线y＝－2交于点N.求证：MN∥CD.

3.[2023·河北石家庄三模]已知M，N为抛物线C：y2＝2px(p>0)上不同两点，O为坐标原点，OM⊥ON，过O作OH⊥MN于H，且点H(2，2).(1)求直线MN的方程及抛物线C的方程；(2)若直线l与直线MN关于原点对称，Q为抛物线C上一动点，求Q到直线l的距离最短时，Q点的坐标．4．[2023·河北张家口三模]已知b>a>0，点A(0，eq\r(2)b)，B(0，eq\f(\r(2),2)b)，动点P满足|PA|＝eq\r(2)|PB|，点P的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)直线y＝kx＋m与曲线C相切，与曲线E：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1交于M、N两点，且∠MON＝eq\f(π,2)(O为坐标原点)，求曲线E的离心率．强化训练22圆锥曲线1．解析：(1)由抛物线的定义得|MF|＝1＋eq\f(p,2)＝2，解得p＝2，则抛物线C的标准方程为y2＝4x.(2)依题意知直线OA与直线OB的斜率存在，设直线OA方程为y＝kx(k≠0)，由OA⊥OB得直线OB方程为：y＝－eq\f(1,k)x，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx,y2＝4x))，解得A(eq\f(4,k2)，eq\f(4,k))，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－\f(1,k)x,y2＝4x))，解得B(4k2，－4k)，由∠APB＝2∠APO得∠OPA＝∠OPB，假定在x轴上存在点P使得∠OPA＝∠OPB，设点P(x0，0)，则由(1)得直线PA斜率kPA＝eq\f(\f(4,k),\f(4,k2)－x0)＝eq\f(4k,4－k2x0)，直线PB的斜率kPB＝eq\f(－4k,4k2－x0)，由∠OPA＝∠OPB得kPA＋kPB＝0，则有eq\f(4k,4－k2x0)＝eq\f(4k,4k2－x0)，即4－k2x0＝4k2－x0，整理得(k2－1)(x0＋4)＝0，显然当x0＝－4时，对任意不为0的实数k，(k2－1)(x0＋4)＝0恒成立，即当x0＝－4时，kPA＋kPB＝0恒成立，∠OPA＝∠OPB恒成立，所以x轴上存在点P(－4，0)使得∠APB＝2∠APO.2．解析：(1)依题意，得e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(5),3)，则c＝eq\f(\r(5),3)a，又A，C分别为椭圆上下顶点，|AC|＝4，所以2b＝4，即b＝2，所以a2－c2＝b2＝4，即a2－eq\f(5,9)a2＝eq\f(4,9)a2＝4，则a2＝9，所以椭圆E的方程为eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1.(2)证明：因为椭圆E的方程为eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1，所以A(0，2)，C(0，－2)，B(－3，0)，D(3，0)，因为P为第一象限E上的动点，设P(m，n)(0<m<3，0<n<2)，则eq\f(m2,9)＋eq\f(n2,4)＝1，易得kBC＝eq\f(0＋2,－3－0)＝－eq\f(2,3)，则直线BC的方程为y＝－eq\f(2,3)x－2，kPD＝eq\f(n－0,m－3)＝eq\f(n,m－3)，则直线PD的方程为y＝eq\f(n,m－3)(x－3)，联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－\f(2,3)x－2,y＝\f(n,m－3)（x－3）))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3（3n－2m＋6）,3n＋2m－6),y＝\f(－12n,3n＋2m－6)))，即M(eq\f(3（3n－2m＋6）,3n＋2m－6)，eq\f(－12n,3n＋2m－6))，而kPA＝eq\f(n－2,m－0)＝eq\f(n－2,m)，则直线PA的方程为y＝eq\f(n－2,m)x＋2，令y＝－2，则－2＝eq\f(n－2,m)x＋2，解得x＝eq\f(－4m,n－2)，即N(eq\f(－4m,n－2)，－2)，又eq\f(m2,9)＋eq\f(n2,4)＝1，则m2＝9－eq\f(9n2,4)，8m2＝72－18n2，所以kMN＝eq\f(\f(－12n,3n＋2m－6)＋2,\f(3（3n－2m＋6）,3n＋2m－6)－\f(－4m,n－2))＝eq\f(（－6n＋4m－12）（n－2）,（9n－6m＋18）（n－2）＋4m（3n＋2m－6）)＝eq\f(－6n2＋4mn－8m＋24,9n2＋8m2＋6mn－12m－36)＝eq\f(－6n2＋4mn－8m＋24,9n2＋72－18n2＋6mn－12m－36)＝eq\f(－6n2＋4mn－8m＋24,－9n2＋6mn－12m＋36)＝eq\f(2（－3n2＋2mn－4m＋12）,3（－3n2＋2mn－4m＋12）)＝eq\f(2,3)，又kCD＝eq\f(0＋2,3－0)＝eq\f(2,3)，即kMN＝kCD，显然，MN与CD不重合，所以MN∥CD.3．解析：(1)如图，由点H(2，2)，得直线OH的斜率为1，又OH⊥MN，则直线MN的斜率为－1，故直线MN的方程为y－2＝－1(x－2)，整理得直线MN的方程为x＋y＝4.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝4,y2＝2px))，得y2＋2py－8p＝0，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y1＋y2＝－2p,y1y2＝－8p)).由OM⊥ON，得·＝0，即x1x2＋y1y2＝eq\f(yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)),4p2)＋y1y2＝0，因为y1y2≠0，所以y1y2＝－4p2，所以－4p2＝－8p，解得p＝2，故抛物线方程为y2＝4x.(2)设点A(x，y)是直线l上任一点，则点A关于原点的对称点A′(－x，－y)在直线MN上，所以－x＋(－y)＝4，即直线l的方程为x＋y＝－4.设点Q(x0，y0)，则yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))＝4x0，点Q到直线l的距离d＝eq\f(|x0＋y0＋4|,\r(2))＝eq\f(|\f(yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)),4)＋y0＋4|,\r(2))＝eq\f(（y0＋2）2＋12,4\r(2))当y0＝－2时，d的最小值是eq\f(3\r(2),2)，此时，Q(1，－2).4．解析：(1)设P(x，y)，由|PA|＝eq\r(2)|PB|得eq\r(x2＋（y－\r(2)b）2)＝eq\r(2)·eq\r(x2＋（y－\f(\r(2),2)b）2)，整理得x2＋y2＝b2即为曲线C的方程．(2)∵y＝kx＋m与曲线C相切，∴b＝eq\f(|m|,\r(1＋k2))，即b2＝eq\f(m2,1＋k2).设M(x1，y1)，N(x2，y2)，将y＝kx＋m代入曲线E整理得：(b2－a2k2)x2－2a2kmx－(a2m2＋a2b2)＝0，b2－a2k2≠0，Δ＝4a2b2(m2＋b2－a2k2)>0，∴x1＋x2＝eq\f(－2a2km,a2k2－b2)，x1x2＝eq\f(a2m2＋a2b2,a2k2－b2).∵∠MON＝eq\f(π,2)，∴·＝0，即x1x2＋y1y2＝0.∵y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝