浙教版八年级下册数学举一反三系列 专题5.8 特殊平行四边形全章八类必考压轴题（学生版）

专题5.8特殊平行四边形全章八类必考压轴题【浙教版】必考点1必考点1矩形的折叠问题1．（2022春·福建福州·八年级校考期末）如图，在矩形ABCD中，点O为对角线的交点，点E为CD上一点，沿BE折叠，点C恰好与点O重合，点G为BD上的一动点，则EG+CG的最小值m与BC的数量关系是（）A．3m=5BC B．m=2BC C．3m=7BC D．2m=7BC2．（2022秋·四川达州·九年级统考期末）如图，在一张矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=8，点E，F分别在AD，BC上，将纸片ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的一点H处，点D落在点G处，有以下四个结论：①四边形CFHE是菱形；②EC平分∠DCH；③线段BF的取值范围为3≤BF≤4；④当点H与点A重合时，EF=25．以上结论中，你认为正确的有__________．（填序号）3．（2022秋·山东淄博·八年级统考期末）定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．(1)根据定义判矩形已知：如图1，在平行四边形ABCD中，AC,BD是它的两条对角线，AC=BD．求证：平行四边形ABCD是矩形．(2)动手操作有发现如图2，在矩形ABCD中，E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G．猜想线段GF与GC有何数量关系?并证明你的结论．(3)类比探究到一般如图3，将(2)中的矩形ABCD改为平行四边形，其它条件不变，(2)中的结论是否仍然成立，请说明理由．(4)解决问题巧应用如图4，保持(2)中的条件不变，若G点是CD的中点，且AB=2，请直接写出矩形ABCD的面积．4．（2022春·湖北宜昌·八年级统考期末）（1）【操作发现】：如图一，在矩形ABCD中，E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G．猜想线段GF与GC的数量关系是．（2）【类比探究】：如图二，将（1）中的矩形ABCD改为平行四边形，其它条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．（3）【应用】：如图三，将（1）中的矩形ABCD改为正方形，边长AB＝4，其它条件不变，求线段GC的长．5．（2022春·全国·八年级统考期末）已知：如图，矩形纸片ABCD的边AD=3，CD=2，点P是边CD上的一个动点（不与点C重合，把这张矩形纸片折叠，使点B落在点P的位置上，折痕交边AD与点M，折痕交边BC于点N.（1）写出图中的全等三角形.设CP=x，AM=y，写出y与x的函数关系式；（2）试判断∠BMP是否可能等于90°.如果可能，请求出此时CP的长；如果不可能，请说明理由.必考点2必考点2矩形与等腰三角形1．（2022秋·江西吉安·九年级统考期末）在矩形ABCD中，AB=4，BC=5，点E在AD边上，若△BCE是等腰三角形，则线段DE的长为______．2．（2022秋·浙江·八年级期末）在一张长为6cm，宽为5cm的矩形纸片上，现要剪下一个腰长为4cm3．（2022秋·福建福州·八年级校考期末）已知：若两个等腰三角形有公共底边，则称这两个等腰三角形的顶角的顶点关于这条底边互为顶针点；若再满足两个顶角和是180°，则称这个两个顶点关于这条底边互为勾股顶针点．如图1，四边形ABCD中，BC是一条对角线，AB＝AC，DB＝DC，则点A与点D关于BC互为顶针点；若再满足∠A+∠D＝180°，则点A与点D关于BC互为勾股顶针点．初步思考(1)如图2，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝30°，D、E为△ABC外两点，EB＝EC，∠EBC＝45°，△DBC为等边三角形．①点A与点______关于BC互为顶针点：②求证：点D与点A关于BC互为勾股顶针点．实践操作(2)在长方形ABCD中，AB＝8，AD＝10．①如图3，点E在AB边上，点F在AD边上，请用圆规和无刻度的直尺作出点E、F，使得点E与点C关于BF互为勾股顶针点．（不写作法，保留作图痕迹）思维探究②如图4，点E是直线AB上的动点，点P是平面内一点，点E与点C关于BP互为勾股顶针点，直线CP与直线AD交于点F，求在点E运动过程中，当线段BE与线段AF的长度相等时AE的长．4．（2022春·福建泉州·八年级统考期末）有一张矩形纸条ABCD，AB=15，BC=4，点M、N分别在边AB、CD上．现将四边形BCNM沿MN折叠，使点B，C分别落在点E，F上．(1)如图，当点E与点D重合时①求证：△EMN是等腰三角形；②点G在EM上，当四边形EGNF为矩形时，求MG的长．(2)如图，若CN=3，点M从点A出发运动到终点B的过程中，若四边形MEFN的边ME与线段CD交于点P，求点P的运动路程．5．（2022春·上海长宁·八年级上海市民办新世纪中学校考期末）如图矩形ABCD中，AB=2，AD=4，点P是边AD上一点，联结BP，过点P作PE⊥BP，交DC于E点，将△ABP沿直线PE翻折，点B落在点B′处，若△B′6．（2022秋·江苏·八年级期末）问题背景若两个等腰三角形有公共底边，则称这两个等腰三角形的顶角的顶点关于这条底边互为顶针点；若再满足两个顶角的和是180°，则称这两个顶点关于这条底边互为勾股顶针点．如图1，四边形ABCD中，BC是一条对角线，AB=AC，DB=DC，则点A与点D关于BC互为顶针点；若再满足∠A+∠D=180°，则点A与点D关于BC互为勾股顶针点．初步思考(1)如图2，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=30°，D、E为△ABC外两点，EB=EC，∠EBC=45°，△DBC为等边三角形．①点A与点______关于BC互为顶针点；②点D与点______关于BC互为勾股顶针点，并说明理由．实践操作(2)在长方形ABCD中，AB=8，AD=10．①如图3，点E在AB边上，点F在AD边上，请用圆规和无刻度的直尺作出点E、F，使得点E与点C关于BF互为勾股顶针点．(不写作法，保留作图痕迹)思维探究②如图4，点E是直线AB上的动点，点P是平面内一点，点E与点C关于BP互为勾股顶针点，直线CP与直线AD交于点F．在点E运动过程中，线段BE与线段AF的长度是否会相等？若相等，请直接写出AE的长；若不相等，请说明理由．7．（2011秋·福建泉州·八年级统考期末）如图，矩形ABCD中，AB=8，AD=10．（1）求矩形ABCD的周长；（2）E是CD上的点，将△ADE沿折痕AE折叠，使点D落在BC边上点F处．①求DE的长；②点P是线段CB延长线上的点，连接PA，若△PAF是等腰三角形，求PB的长．（3）M是AD上的动点，在DC上存在点N，使△MDN沿折痕MN折叠，点D落在BC边上点T处，求线段CT长度的最大值与最小值之和．必考点3必考点3矩形的多解与最值1．（2022秋·河南郑州·九年级统考期末）如图，矩形ABCD的边AD长为4，将△ADC沿对角线AC翻折得到△AD′C，CD′与AB交于点E，再以CD′为折痕，将△BCE进行翻折，得到△2．（2022秋·天津和平·九年级天津一中校考期末）如图，长方形ABCD中，AB=3，BC=4，E为BC上一点，且BE=1，F为AB边上的一个动点，连接EF，将EF绕着点E顺时针旋转45°到EG的位置，连接FG和CG，则3．（2022秋·河南商丘·九年级统考期末）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E是对角线BD上一点，EF⊥BC于点F，EG⊥CD于点G，连接FG，则EF+FG的最小值为______________．4．（2022春·江苏宿迁·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，把矩形COAB绕点C顺时针旋转α角，得到矩形CDEF．设若A0,3，C4,0，则5．（2022春·辽宁沈阳·八年级统考期末）等边△ABC中，AB＝14．平面内有一点D，BD＝6，AD＝10，则CD的长为_____．6．（2022秋·天津·九年级校考期末）在平面直角坐标系中，矩形OABC，O为原点，A3,0,B3,4,C0,4，将△OBC绕点B(1)如图（1），当∠CBC′=30°(2)如图（2），当点O′恰好落在x轴上时，O′C′与①此时DB与DO②求点D的坐标；(3)求△AO必考点4必考点4菱形中的全等三角形的构造1．（2022春·山东济南·八年级统考期末）如图，菱形ABCD中，∠BAD=60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上一点，且CD=DE，连接BE，分别交AC，AD于点F、G，连接OG，则下列结论：①OG=12AB；②S四边形ODGF>S△ABF；③由点A、B、A．①② B．①②③ C．①③④ D．②③④2．（2022秋·浙江绍兴·八年级统考期末）如图，AB∥CD，AC平分∠BAD，BD平分∠ADC，AC和BD交于点E，F，G分别是线段AB和线段AC上的动点，且AF=CG，若DE=1，AB=2，则DF+DG的最小值为______．3．（2022春·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交边BC于点E，交DC的延长线于点F．(1)如图1，求证：CE=CF；(2)如图2，FG∥BC,FG=EC，连接DG、EG，当∠ABC=120°时，求证：∠BDG=60°；(3)如图3，在（2）的条件下，当BE=2CE,AE=43时，求线段BD4．（2022春·山东德州·八年级统考期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线y=−34x+b分别与x轴、y轴交于点A、B，且点A(1)求b的值和点D的坐标；(2)点M是线段AB上的一个动点（点A、B除外）．①如图2，将△BMC沿CM折叠，点B的对应点是点E，连接ME并延长交AD边于点F，问△AMF的周长是否发生变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由；②点P是x轴上一个动点，Q是坐标平面内一点，探索是否存在一个点P，使得以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出点Q的坐标．5．（2022春·河南鹤壁·八年级鹤壁市外国语中学校考期末）如图，在平行四边形ABCD中，两条对角线相交于点O，EF经过点O且垂直于AC，分别与边AD，BC交于点F，E．(1)求证：四边形AECF为菱形；(2)若AD＝3，CD=2，且∠ADC＝45°，直接写出四边形AECF6．（2022春·江苏淮安·八年级统考期末）如图，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AC=2AB．对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转β°0<β<180，分别交直线BC、AD于点E、F(1)当β=______°，四边形ABEF是平行四边形；(2)在旋转的过程中，从A、B、C、D、E、F中任意找4个点为顶点构造四边形．①β=______°，构造的四边形是菱形；②若构造的四边形是矩形，则不同的矩形应该有______个．必考点5必考点5正方形中线段的和差倍分关系1．（2022春·广东惠州·八年级统考期末）如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段DG与BE、AE分别相交于点H、K．(1)求证：∠ABE=∠ADG；(2)判断BE与DG的关系，并说明理由；(3)若AB=62，AG=6，求DK2．（2022春·黑龙江绥化·八年级统考期末）已知四边形ABCD是正方形，等腰Rt△AEF的直角顶点E在直线BC上（不与点B，C重合），FM⊥AD，交射线AD于点M．(1)当点E在边BC上，点M在边AD的延长线上时，如图①，求证：AB＋BE＝AM；（提示：延长MF，交边BC的延长线于点H）(2)当点E在边CB的延长线上，点M在边AD上时，如图②；当点E在边BC的延长线上，点M在边AD上时，如图③．请分别写出线段AB，BE，AM之间的数量关系，不需要证明；(3)在（1）、（2）的条件下，若BE＝3，∠BAF＝15°，则AM的长为．3．（2022春·河南信阳·八年级统考期末）已知正方形ABCD与正方形CEFG，点M是AF的中点，连接DM，EM．(1)如图，点E在CD上，点G在BC的延长线上，请判断DM，EM的数量关系与位置关系，并直接写出结论；(2)如图，点E在DC的延长线上，点G在BC上，（1）中结论是否仍然成立？请证明你的结论；(3)将（1）图中的正方形CEFG绕点C旋转，使D，E，F三点在一条直线上，若AB=13，CE=5，请直接写出MF的长__________．4．（2022春·山东济南·八年级统考期末）阅读下列材料：数学课上老师出示了这样一个问题：如图1，等腰Rt△PBF的直角顶点P在正方形ABCD的边AD上，斜边BF交CD于点Q，连接PQ．请探索PQ、AP、CQ的数量关系．某学习小组的同学经过探索，交流了自己的想法：利用现在所学的旋转知识，可将△ABP旋转到△CBE位置，然后通过证明△BPQ≌△BEQ来探索数量关系．(1)（问题解决）请你根据他们的想法写出PQ、AP、CQ的数量关系是________；(2)（学以致用）如图2，若等腰Rt△PBF的直角顶点P在正方形ABCD的边DA的延长线上，斜边BF的延长线交CD的延长线于点Q，连接PQ，猜想线段PQ，AP，CQ满足怎样的数量关系？并证明你的结论；(3)（思维拓展）等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，P为△ABC内部一点，若BC＝2．则AP＋BP＋CP的最小值＝________．5．（2022秋·四川达州·九年级统考期末）如图，正方形ABCO的边OA、OC在坐标物上，点B坐标为3,3．将正方形ABCO绕点A顺时针旋转角度α0°<α<90°，得到正方形ADEF，ED交线段OC于点G，ED的延长线交线段BC于点P．连AP、AG（1）求证：△AOG≌△ADG；（2）求∠PAG的度数；并判断线段OG、PG、BP之间的数量关系，说明理由；（3）当∠1=∠2时，求直线PE的解析式（可能用到的数据：在Rt△中，30°内角对应的直角边等于斜边的一半）．（4）在（3）的条件下，直线PE上是否存在点M，使以M、A、G为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出M点坐标；若不存在，请说明理由．6．（2022春·江西南昌·八年级校联考期末）如图，四边形ABCD中，已知：A（a，0），B（0，b），C（c，0）和D（0，d）．（1）当四边形ABCD正方形时，写出a，b，c，d满足的等式关系：（2）若AB、BC、CD、DA的中点分别为E、F、G、H．①直接写出E、F、G、H四点的坐标；②证明：四边形EFGH是矩形；③若矩形EFGH是正方形，则a，b，c，d满足的等式关系是．7．（2022春·湖北武汉·八年级统考期末）如图，P是正方形ABCD的边CD右侧一点，CP=CD，∠PCD为锐角，连PB，PD．（1）如图1，若PD=PC，则∠BPD的度数为；（2）如图2，作CE平分∠PCD交PB于E．①求∠BEC的度数；②猜想PD，BE，CE之间有何数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，若PB=6，则四边形PCBD的面积为平方单位必考点6必考点6正方形中的折叠问题1．（2022春·江苏无锡·八年级江苏省锡山高级中学实验学校校考期末）如图，E为正方形ABCD边AB上一动点（不与A重合），AB＝4，将△DAE绕点A逆时针旋转90°得到△BAF，再将△DAE沿直线DE折叠得到△DME．下列结论∶①若延长DE，则DE⊥BF；②若连接AM，则AM∥FB；③连接FE，当F、E、M三点共线时，AE=42−4；④连接EF、EC、FC，若△FEC是等腰三角形，则A．4个 B．3个 C．2个 D．1个2．（2022秋·河南郑州·九年级校考期末）已知正方形的边长为12，点P是边AD上的一个动点，连接BP，将△ABP沿BP折叠，使点A落在点A′上，延长PA′交CD于E，当点E与CD的中点F3．（2022春·重庆北碚·八年级西南大学附中校考期末）如图，正方形ABCD的边长为6，点E为边AD的中点，将三角形ABE沿BE折叠使点A与恰好落在点F处，又将点C折叠使其与BF上的点M重合，且折痕GH与BF平行交CD于点H，则线段GH的长度为____．4．（2022秋·河南郑州·九年级校考期末）综合与实践数学活动课上，张老师找来若干张等宽的矩形纸条，让学生们进行折纸探究．(1)希望小组将如图（1）所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点A1处，折痕为BE埴空：图（1）中四边形ABA(2)智慧小组准备了一张如图（2）所示的长、宽之比为2+1:2的矩形纸片ABCD，用希望小组的方法折叠纸片，得到四边形ABA1E，接着沿过点C的直线折叠纸片，使点D落在EA(3)勤奋小组拿着一张如图（3）所示长为5，宽为2的矩形纸片ABCD，利用希望小组的方法折叠纸片，得到四边形ABA1E，在ED上取一点F（不与点D，E重合），沿CF折叠△CDF，点D的对应点为M，射线FM交直线BC①FY与CY的数量关系为______；②当射线FM经过△BA1E5．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·九年级统考期末）综合与实践动手操作：利用“正方形纸片的折叠和旋转”开展数学活动，探究体会图形在正方形折叠和旋转过程中的变化及其蕴含的数学思想方法．折一折：如图1，已知正方形ABCD的边长AB=6，将正方形ABCD沿过点A的直线折叠，使点B的对应点M落在AC上，展开正方形ABCD，折痕为AE，延长EM交CD于点F，连接AF．(1)思考探究：图1中，与△ABE全等的三角形有________个，∠EAF=________°，BE、EF、DF三者的数量关系________，BE的长为________．转一转：将图1中的∠EAF绕点A旋转到图2所示位置，与BC、CD的交点分别为E、F，连接EF．(2)证明推理：图2中，BE、EF、DF三者的数量关系________．并给出证明．(3)开放拓展：如图3，在旋转∠EAF的过程中，当点F为CD的中点时，BE的长为________．6．（2022秋·吉林长春·八年级校考期末）【探究问题】（1）阅读并补全解题过程如图①，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E是边AB的中点，求证：DE平分∠ADC．张某某同学受到老师说过的“有中点，延长加倍构造全等”的启发，延长DE交射线CB于点F，请你依据该同学的做法补全证明过程．证明：延长DE交射线CB于点F．【应用】（2）如图②在长方形ABCD中，将△ABF沿直线AF折叠，若点B恰好落在边CD的中点E处，直接写出∠AFB的度数．【拓展】（3）如图③在正方形ABCD中，E为边AD的中点，将△ABE沿直线BE折叠，点A落在正方形ABCD内部的点F处，延长BF交CD于点G，延长EF交CD于点H，若正方形ABCD的边长为4，直接写出FG的值．7．（2022春·广东汕头·八年级统考期末）（1）如图1，在正方形ABCD中，AE，DF相交于点O且AE⊥DF．则AE和DF的数量关系为．（2）如图2，在正方形ABCD中，E，F，G分别是边AD，BC，CD上的点，BG⊥EF，垂足为H．求证：EF＝BG．（3）如图3，在正方形ABCD中，E，F，M分别是边AD，BC，AB上的点，AE＝2，BF＝4，BM＝1，将正方形沿EF折叠，点M的对应点与CD边上的点N重合，求CN的长度．必考点7必考点7坐标系中的正方形1．（2022春·山东济宁·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C1的两边OA1、OC1在坐标轴上，以它的对角线OB1为边作正方形OB1B2C2，再以正方形OB1B2C2的对角线OB2为边作正方形OB2B3C3，以此类推，则正方形OB16B17C17的顶点B17的坐标是（

）A．(128，-128) B．(256，0) C．(256，256) D．(0，512)2．（2022春·湖南岳阳·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=−125x+12的图象交x轴、y轴于A、B两点，以AB为边在直线右侧作正方形ABCD，连接BD，过点C作CF⊥x轴于点F，交BD于点E，连接AEA．点D的坐标为(17,7) B．∠EAF=45°C．点C的坐标为(12,17) D．△AEF的周长为14+73．（2022春·湖北孝感·七年级统考期末）正方形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，AD∥BC∥x轴，AD与y轴交于点E，OE=1，且AE,DE的长满足AE−3+|DE−1|=0(1)求点A的坐标；(2)若P(−2,−1)，①求△EPC面积；②正方形ABCD的边CD上是否存在点M，使S△ECM=S4．（2022秋·福建漳州·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，B（8，6），过点B作AB∥x轴，交y轴于点A．过点B作BC⊥x轴，垂足为C，点E为OC的中点，点F在线段BC上，连接EF，将△CEF沿直线EF折叠得△DEF．(1)如图1，当四边形CFDE是正方形时，求点D的坐标；(2)如图2，当BF=2CF时，求点D到x轴的距离．5．（2022春·广东广州·八年级统考期末）在正方形ABCD中，点E是直线BC上一点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．（1）如图1，若点E是BC的中点．求证：AE=EF；（2）如图2，若点E是BC边上任意一点（不含B，C），结论“AE=EF”还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，若点E是BC延长线上任意一点，结论“AE=EF”还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（4）如图4，在平面直角坐标系xOy中，点O与点B重合，正方形的边长为4，若点F恰好落在直线y=12x+76．（2022秋·四川成都·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，一次函数y=−23x+4的图象与x轴和y轴分别交于A、B两点．动点P从点A出发，在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O作匀速运动，到达点O即停止运动．其中A、Q两点关于点P对称，以线段PQ为边向上作正方形（1）当t=2秒时，OQ的长度为；（2）设MN、PN分别与直线y=−23x+4交于点C、D，求证：MC=（3）在运动过程中，设正方形PQMN的对角线交于点E，MP与QD交于点F，如图2，求OF+EN的最小值．必考点8必考点8四边形中存在性问题1．（2022秋·福建福州·八年级福州华伦中学校考期末）在平面直角坐标系中，已知矩形OBCD，点C6,4，现将矩形OBCD绕点O逆时针旋转0°<∠EOB<180°得到矩形OEFG，点B，C，D的对应点分别为点E，F，G(1)如图1，当点E恰好落在边CD上时，则EC的长为______(请直接写出答案)；(2)如图2，CD所在直线与OE、GF分别交于点H、M，且CH=MH．求线段MF的长度．(3)如图3，设点P为边FG的中点，连接PB，PE，BE，在矩形OBCD旋转过程中，△BEP的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由．2．（2022秋·山东青岛·九年级统考期末）已知：如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，对角线AC，BD交于点O．点E从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点F从点C出发，沿CD方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接EO并延长，交BC于点G，连接OF和EF．设运动时间为t（s）（(1)是否存在某一时刻t，使EF⊥BD垂直？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．(2)求△EOF的面积y（cm2）与运动时间t（s）的关系式．(3)求t为何值时，△AO