新教材新高考2024年高考数学高频考点精讲精练 第09讲 拓展四：三角形中周长（定值最值取值范围）问题 高频精讲（原卷版+解析版）

第09讲拓展四：三角形中周长（定值，最值，取值范围）问题(精讲）目录TOC\o"1-3"\h\u第一部分：知识点必背 2第二部分：高考真题回归 2第三部分：高频考点一遍过 5高频考点一：周长（边长）定值 5角度1：求周长 5角度2：求边的代数和 10高频考点二：周长（边长）最值 14角度1：周长最值 14角度2：边的最值 21角度3：边的代数和最值 27高频考点三：周长（边长）取值范围 37角度1：周长取值范围 37角度2：边的代数和取值范围 40角度3：锐角三角形中周长（边长）取值范围 49温馨提醒：浏览过程中按ctrl+Home可回到开头第一部分：知识点必背1、基本不等式核心技巧：利用基本不等式，在结合余弦定理求周长取值范围；2、利用正弦定理化角核心技巧：利用正弦定理，，代入周长（边长）公式，再结合辅助角公式，根据角的取值范围，求周长（边长）的取值范围.第二部分：高考真题回归1．（2022·全国（新高考Ⅱ卷）·统考高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．(1)求的面积；(2)若，求b．2．（2022·全国（乙卷文）·统考高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知．(1)若，求C；(2)证明：3．（2022·全国（乙卷理）·统考高考真题）记的内角的对边分别为，已知．(1)证明：；(2)若，求的周长．4．（2022·北京·统考高考真题）在中，．(1)求；(2)若，且的面积为，求的周长．5．（2022·全国（新高考Ⅰ卷）·统考高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．(1)若，求B；(2)求的最小值．第三部分：高频考点一遍过高频考点一：周长（边长）定值角度1：求周长典型例题例题1．（2023春·云南玉溪·高二云南省玉溪第一中学校考阶段练习）已知分别为三个内角的对边，且.(1)求；(2)已知的面积为，设为的中点，且，求的周长.例题2．（2023春·宁夏·高一六盘山高级中学校考阶段练习）在中，延长到，使，在上取点，使，(1)设，用表示向量及向量．(2)若，且的面积为，求的周长．例题3．（2023·全国·模拟预测）在中，角,,所对的边分别为，，，，为边上一点，.(1)若，求的面积；(2)若为的平分线，求的周长.练透核心考点1．（2023春·广东韶关·高二校考阶段练习）在中，角对应的边分别是，且．(1)求角的大小；(2)若，的面积，求的周长．2．（2023春·天津和平·高一校考阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．(1)求角C；(2)若，求的值；(3)若的面积为，求的周长．3．（2023·安徽·高二马鞍山二中校考学业考试）记△ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且．(1)求B的值；(2)若△ABC的面积为，b＝2，求△ABC周长．角度2：求边的代数和典型例题例题1．（2023春·云南丽江·高一丽江第一高级中学校考阶段练习）在中，角，，的对边分别为，，，且，.(1)若，求的值；(2)若的面积为，求的值.例题2．（2023春·山东济宁·高三校考阶段练习）在①；②；③；这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答．问题：在中，内角,,的对边分别为，，，且_______．(1)求角；(2)若的内切圆半径为，求．例题3．（2023春·湖南长沙·高一雅礼中学校考阶段练习）已知分别为三个内角的对边，且.(1)求；(2)若，且的面积为，求的值.练透核心考点1．（2023·全国·高三专题练习）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.(1)求A；(2)若，，角A的平分线交BC于点D，求AD.2．（2023春·广东江门·高二校考阶段练习）在中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，，，.(1)求的值；(2)若点D在边BC上且的面积为，求.3．（2023秋·甘肃天水·高二天水市第一中学校考期末）设的内角、、的对边分别为、、，(1)确定角B的大小；(2)若为锐角三角形，，的面积为，求的值．高频考点二：周长（边长）最值角度1：周长最值典型例题例题1．（2023·四川南充·统考二模）在中，内角,,的对应边分别为，，,已知，且的面积为，则周长的最小值为（

）A． B．6 C． D．例题2．（2023春·山东烟台·高一山东省招远第一中学校考期中）在中，内角，，所对的边分别为，，，角的平分线交于点，且，则周长的最小值为______．例题3．（2023·河北邯郸·统考一模）已知函数在上单调．(1)求的单调递增区间；(2)若的内角，，的对边分别是，，，且，，求周长的最大值．例题4．（2023·福建漳州·统考三模）如图，平面四边形内接于圆，内角，对角线的长为7，圆的半径为.(1)若，，求四边形的面积；(2)求周长的最大值.练透核心考点1．（2023·全国·高一专题练习）在中，内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，已知，且的面积为，则周长的最小值为（

）A． B． C． D．2．（2023·四川广安·统考二模）中，角、、所对的边分别为、、.若，且，则周长的最大值为______.3．（2023春·四川成都·高三四川省成都市玉林中学校考阶段练习）在中，.(1)求；(2)若，求周长的最小值.4．（2023·甘肃兰州·兰州五十九中校考模拟预测）已知△ABC中，C＝，角A，B，C的对边分别为a，b，c.(1)若a，b，c依次成等差数列，且公差为2，求c的值；(2)若△ABC的外接圆面积为π，求△ABC周长的最大值.角度2：边的最值典型例题例题1．（2023春·全国·高三校联考阶段练习）在中，已知，，为的中点，则线段长度的最大值为（

）A．1 B． C． D．2例题2．（2023·青海西宁·统考二模）在中，内角的对边分别为，，，且.(1)求角的大小；(2)若，是边上的一点，且，求线段的最大值.例题3．（2023·全国·模拟预测）在锐角三角形中，角，，的对边分别为，，，且．(1)求；(2)若是线段上靠近的三等分点，，求的最大值．例题4．（2023·全国·高三专题练习）在中，角所对的边分别为，且.(1)求角的大小；(2)若角的平分线交于且，求的最小值.练透核心考点1．（2023·全国·高三专题练习）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，csin=sinC，且a=1．(1)求A；(2)若AB=AC，D，E两点分别在边BC，AB上，且CD=DE，求CD的最小值．2．（2023·全国·模拟预测）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题．在锐角中，内角的对边分别为，且______．(1)求；(2)若，，求线段长的最大值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．3．（2023·全国·高一专题练习）a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，已知．(1)若，证明：△ABC为等腰三角形；(2)若，求b的最小值．角度3：边的代数和最值典型例题例题1．（2023·全国·高一专题练习）在中，角所对的边分别是是边上一点，且，则的最小值是（

）A．4 B．6 C．8 D．9例题2．（2023·广西·统考一模）在中，角,,的对边分别是，，，满足.(1)求；(2)若角的平分线交于点，且，求的最小值.例题3．（2023·全国·模拟预测）从①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，然后解答补充完整的题目．已知的三个内角，，的对边分别为，，,且______．(1)求角B的大小；(2)若，求的最大值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．例题4．（2023·全国·高一专题练习）已知向量，，.(1)求的单调增区间；(2)在中，角,,的对边分别为，，,且，，求的最大值.例题5．（2023·全国·高三专题练习）中，已知，，为上一点，，.(1)求的长度；(2)若点为外接圆上任意一点，求的最大值.练透核心考点1．（2023·全国·高三专题练习）已知三角形中，，D是边上一点，且满足，则的最大值是__________．2．（2023春·浙江宁波·高一余姚中学校考阶段练习）在中，角，，的对边分别是，，，满足(1)求角；(2)若角的平分线交于点，且，求的最小值.3．（2023·全国·高三专题练习）如图，△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.(1)求角B的大小；(2)已知，若D为△ABC外接圆劣弧AC上一点，求AD+DC的最大值.4．（2023春·福建龙岩·高一校考阶段练习）已知三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．(1)求角B的大小；(2)若，求的最大值．5．（2023·山西·校联考模拟预测）在中，角、、的对边分别为、、，且．(1)求角的大小；(2)若，求的最大值．高频考点三：周长（边长）取值范围角度1：周长取值范围典型例题例题1．（2023春·江苏南通·高一江苏省南通中学校考阶段练习）设函数．(1)当时，求函数的最小值并求出对应的；(2)在中，角，，的对边分别为，，，若，且，求周长的取值范围．例题2．（2023·全国·高三专题练习）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题．在中，内角的对边分别是，且满足_______，．(1)若，求的面积;(2)求周长的取值范围．练透核心考点1．（2023·全国·高三专题练习）在中，角的对边分别为，且.(1)求角的大小；(2)若，求周长的取值范围.2．（2023春·河南南阳·高一南阳中学校考阶段练习）在中，角所对的边分别是，设向量，且．(1)求角A的值；(2)若，求的周长l的取值范围．角度2：边的代数和取值范围典型例题例题1．（2023春·湖南永州·高一永州市第一中学校考阶段练习）在锐角中，内角，，所对应的边分别是，，，且，则的取值范围是______．例题2．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）在①，②，③这三个条件中任选一个作为条件，补充到下面问题中，然后解答．已知锐角的内角，，所对的边分别为，，，且______（填序号）．(1)若，，求的面积；(2)求的取值范围．例题3．（2023春·云南丽江·高一丽江第一高级中学校考阶段练习）在锐角中，角，，所对的边为，，，已知，．(1)求；(2)求的取值范围．例题4．（2023·全国·高一专题练习）在中，内角的对边分别为，且．(1)求角；(2)若为锐角三角形，求的取值范围．练透核心考点1．（2023·全国·高三专题练习）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．(1)求C；(2)若A为钝角，求的取值范围．2．（2023·山东·沂水县第一中学校联考模拟预测）已知的内角的对边分别为，，，，且．(1)求的大小；(2)若的平分线交于点，且，求的取值范围．3．（2023·高一单元测试）设锐角三角形ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知．(1)求证：B＝2A；(2)求的取值范围．4．（2023秋·河南·高三安阳一中校联考阶段练习）已知，，分别是的内角，，所对的边，向量，(1)若，，证明：为锐角三角形；(2)若为锐角三角形，且，求的取值范围.5．（2023·全国·高一专题练习）在中，角，，的对边分别为，，．，，．(1)求；(2)求的取值范围．角度3：锐角三角形中周长（边长）取值范围典型例题例题1．（2023春·浙江杭州·高一浙江大学附属中学期中）的内角、、的对边分别是、、，已知.(1)求；(2)若是锐角三角形，，求周长的取值范围.例题2．（2023·广东汕头·金山中学校考模拟预测）在锐角中，角，，所对应的边分别为，，，已知.(1)求角的值；(2)若，求的取值范围．例题3．（2023春·重庆万州·高一重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）在锐角中，分别是角所对的边，，且.(1)求；(2)若周长的范围例题4．（2023秋·辽宁·高三校联考期末）在中，角所对的边分别为.且.(1)求证：；(2)若为锐角三角形，求的取值.练透核心考点1．（2023·辽宁·鞍山一中校联考模拟预测）在锐角中，角，的对边分别为，，，从条件①：，条件②：这两个条件中选择一个作为已知条件．(1)求角的大小；(2)若，求周长的取值范围．2．（2023春·湖南·高三长郡中学校联考阶段练习）已知的内角的对边分别为，且.(1)求的大小；(2)若为锐角三角形，求的取值范围.3．（2023春·天津武清·高一天津市武清区杨村第一中学校考阶段练习）在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，．(1)求角B的大小．(2)若△ABC为锐角三角形，．求的取值范围．4．（2023秋·江苏·高三统考期末）已知△ABC为锐角三角形，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosB＋bcosA＝2ccosC．(1)求角C；(2)若c＝2，求△ABC的周长的取值范围．

第09讲拓展四：三角形中周长（定值，最值，取值范围）问题(精讲）目录TOC\o"1-3"\h\u第一部分：知识点必背 2第二部分：高考真题回归 2第三部分：高频考点一遍过 5高频考点一：周长（边长）定值 5角度1：求周长 5角度2：求边的代数和 10高频考点二：周长（边长）最值 14角度1：周长最值 14角度2：边的最值 21角度3：边的代数和最值 27高频考点三：周长（边长）取值范围 37角度1：周长取值范围 37角度2：边的代数和取值范围 40角度3：锐角三角形中周长（边长）取值范围 49温馨提醒：浏览过程中按ctrl+Home可回到开头第一部分：知识点必背1、基本不等式核心技巧：利用基本不等式，在结合余弦定理求周长取值范围；2、利用正弦定理化角核心技巧：利用正弦定理，，代入周长（边长）公式，再结合辅助角公式，根据角的取值范围，求周长（边长）的取值范围.第二部分：高考真题回归1．（2022·全国（新高考Ⅱ卷）·统考高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．(1)求的面积；(2)若，求b．【答案】(1)(2)【详解】（1）由题意得，则，即，由余弦定理得，整理得，则，又，则，，则；（2）由正弦定理得：，则，则，.2．（2022·全国（乙卷文）·统考高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知．(1)若，求C；(2)证明：【答案】(1)；(2)证明见解析．【详解】（1）由，可得，，而，所以，即有，而，显然，所以，，而，，所以．（2）由可得，，再由正弦定理可得，，然后根据余弦定理可知，，化简得：，故原等式成立．3．（2022·全国（乙卷理）·统考高考真题）记的内角的对边分别为，已知．(1)证明：；(2)若，求的周长．【答案】(1)见解析(2)14【详解】（1）证明：因为，所以，所以，即，所以；（2）解：因为，由（1）得，由余弦定理可得，则，所以，故，所以，所以的周长为.4．（2022·北京·统考高考真题）在中，．(1)求；(2)若，且的面积为，求的周长．【答案】(1)(2)【详解】（1）解：因为，则，由已知可得，可得，因此，.（2）解：由三角形的面积公式可得，解得.由余弦定理可得，，所以，的周长为.5．（2022·全国（新高考Ⅰ卷）·统考高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．(1)若，求B；(2)求的最小值．【答案】(1)；(2)．【详解】（1）因为，即，而，所以；（2）由（1）知，，所以，而，所以，即有，所以所以．当且仅当时取等号，所以的最小值为．第三部分：高频考点一遍过高频考点一：周长（边长）定值角度1：求周长典型例题例题1．（2023春·云南玉溪·高二云南省玉溪第一中学校考阶段练习）已知分别为三个内角的对边，且.(1)求；(2)已知的面积为，设为的中点，且，求的周长.【答案】(1)(2)【详解】（1）由题意知中，，由正弦定理边角关系得：，，，，，又，所以，即.（2）在中，为中线，，，，，，，的周长为.例题2．（2023春·宁夏·高一六盘山高级中学校考阶段练习）在中，延长到，使，在上取点，使，(1)设，用表示向量及向量．(2)若，且的面积为，求的周长．【答案】(1)(2)8【详解】（1）是的中点，则，故，（2）由余弦定理得而，得，故，得，的周长为．例题3．（2023·全国·模拟预测）在中，角,,所对的边分别为，，，，为边上一点，.(1)若，求的面积；(2)若为的平分线，求的周长.【答案】(1)(2)【详解】（1）∵，，∴，由正弦定理可得，，∴，即，结合，得，∵，∴，在中，，由余弦定理可得，，即，解得，∴；（2）由AD为的平分线知，，在与中，由正弦定理可得，①，②，∵，∴，结合①②，可得，在与中，由余弦定理可得，，，又，∴，解得，∴，∴的周长为.练透核心考点1．（2023春·广东韶关·高二校考阶段练习）在中，角对应的边分别是，且．(1)求角的大小；(2)若，的面积，求的周长．【答案】(1)(2)【详解】（1）在中，由正弦定理得:代入式子，化简得，，，，即，因为，所以.（2），由余弦定理得，的周长为．2．（2023春·天津和平·高一校考阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．(1)求角C；(2)若，求的值；(3)若的面积为，求的周长．【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）由正弦定理得，，即，∵，∴，∴，∴；（2）、∴，∴；（3）由余弦定理得，由面积公式得，则，∴的周长为.3．（2023·安徽·高二马鞍山二中校考学业考试）记△ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且．(1)求B的值；(2)若△ABC的面积为，b＝2，求△ABC周长．【答案】(1)(2)【详解】（1）由及正弦定理得，所以，由余弦定理可得，又，所以．（2）因为，所以，由余弦定理可得：所以，所以△ABC的周长为．角度2：求边的代数和典型例题例题1．（2023春·云南丽江·高一丽江第一高级中学校考阶段练习）在中，角，，的对边分别为，，，且，.(1)若，求的值；(2)若的面积为，求的值.【答案】(1)(2)【详解】（1）由题意在中，，，，由正弦定理可得.（2）由，，，即，解得，由余弦定理，可得.例题2．（2023春·山东济宁·高三校考阶段练习）在①；②；③；这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答．问题：在中，内角,,的对边分别为，，，且_______．(1)求角；(2)若的内切圆半径为，求．【答案】(1)(2)【详解】（1）选择①：由已知得，所以，在中，，所以．选择②：由已知及正弦定理得，所以，所以，因为，所以．选择③：由正弦定理可得，又，所以，则，则，故．又因为，所以，解得．（2）由余弦定理得，①由等面积公式得．即．整理得，②联立①②，解得，所以．例题3．（2023春·湖南长沙·高一雅礼中学校考阶段练习）已知分别为三个内角的对边，且.(1)求；(2)若，且的面积为，求的值.【答案】(1)(2)【详解】（1）由又及正弦定理，得，因为中，所以，由于，所以，即，又，故.（2）由题意可知，解得，根据余弦定理可得，即，解得.练透核心考点1．（2023·全国·高三专题练习）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.(1)求A；(2)若，，角A的平分线交BC于点D，求AD.【答案】(1)(2)【详解】（1）由已知及正弦定理得，因为，则，所以，即．又，所以，即，因为，所以，所以，得．（2）因为是角的角平分线，所以，即，结合（1）得，解得．2．（2023春·广东江门·高二校考阶段练习）在中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，，，.(1)求的值；(2)若点D在边BC上且的面积为，求.【答案】(1)(2)1【详解】（1）因为，由正弦定理得：，则，故，，由余弦定理得：，所以；（2）由（1）知，又，所以，因此，，所以D是BC的中点，故.3．（2023秋·甘肃天水·高二天水市第一中学校考期末）设的内角、、的对边分别为、、，(1)确定角B的大小；(2)若为锐角三角形，，的面积为，求的值．【答案】(1)或(2)【详解】（1）因为，由正弦定理得：，因为，所以，则，因为，所以或．（2）若为锐角三角形，由（1）得，因为的面积为，所以，由余弦定理得，所以，解得，所以．高频考点二：周长（边长）最值角度1：周长最值典型例题例题1．（2023·四川南充·统考二模）在中，内角,,的对应边分别为，，,已知，且的面积为，则周长的最小值为（

）A． B．6 C． D．【答案】B【详解】由题设及三角形内角和性质：，根据正弦定理及诱导公式得，，，，即，，则，则，解得,则，所以，则，又仅当时等号成立，根据余弦定理得，即，设的周长为，则，设，则，根据复合函数单调性：增函数加增函数为增函数得：在上为单调增函数，故，故，当且仅当时取等.故选：B例题2．（2023春·山东烟台·高一山东省招远第一中学校考期中）在中，内角，，所对的边分别为，，，角的平分线交于点，且，则周长的最小值为______．【答案】##【详解】由题可得，，即，又，所以，则，因为，所以，则，所以，即，又因为，，所以，整理得，所以，解得或（舍去），所以，当且仅当时，等号成立，则，故周长的最小值为.故答案为：.例题3．（2023·河北邯郸·统考一模）已知函数在上单调．(1)求的单调递增区间；(2)若的内角，，的对边分别是，，，且，，求周长的最大值．【答案】(1)(2)9【详解】（1）由题意可得，因为在上单调，所以，解得，因为，所以，即，令，解得，即的单调递增区间是；（2）因为，所以，所以，因为，所以，所以，由余弦定理可得，即，即，因为，当且仅当时，等号成立，所以，解得，则，即△ABC周长的最大值为9．例题4．（2023·福建漳州·统考三模）如图，平面四边形内接于圆，内角，对角线的长为7，圆的半径为.(1)若，，求四边形的面积；(2)求周长的最大值.【答案】(1)(2)【详解】（1）如图所示，连结，在中，，，所以，因为，所以，则，因为，所以为等边三角形，，，，在中，，即，又，，.（2）设，，则在中，，，则，即，故，因为，所以，当且仅当时，等号成立，所以，当且仅当时，等号成立，，则，，故，当且仅当时，等号成立，所以，即周长的最大值为.练透核心考点1．（2023·全国·高一专题练习）在中，内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，已知，且的面积为，则周长的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为，根据正弦定理及诱导公式得，，，，即，，则，则解得,所以，所以，所以，当且仅当时等号成立，根据余弦定理得，即，设的周长为，所以，设，则，根据复合函数单调性及增函数加增函数为增函数的结论得：在上为单调增函数，故，故，当且仅当时取等.故选：C.2．（2023·四川广安·统考二模）中，角、、所对的边分别为、、.若，且，则周长的最大值为______.【答案】【详解】因为，由正弦定理可得，所以，，因为、，则，所以，，故，由余弦定理可得，所以，，即，故，当且仅当时，等号成立，故周长的最大值为.故答案为：.3．（2023春·四川成都·高三四川省成都市玉林中学校考阶段练习）在中，.(1)求；(2)若，求周长的最小值.【答案】(1)(2)9【详解】（1）因为，所以由正弦定理得，又因为，，所以，即有，又因为，所以.（2）因为，，所以由余弦定理可得，当时，等号成立，所以，故周长的最小值9.4．（2023·甘肃兰州·兰州五十九中校考模拟预测）已知△ABC中，C＝，角A，B，C的对边分别为a，b，c.(1)若a，b，c依次成等差数列，且公差为2，求c的值；(2)若△ABC的外接圆面积为π，求△ABC周长的最大值.【答案】(1)7(2)2＋.【详解】（1）∵a，b，c依次成等差数列，且公差为2，∴b－a＝c－b＝2，∴b＝c－2，a＝c－4，∵C＝，由余弦定理得cos＝＝＝－，整理得c2－9c＋14＝0，解得c＝7或c＝2，又a＝c－4>0，则c>4，∴c＝7.（2）设B＝θ，外接圆的半径为R，则πR2＝π，解得R＝1，由正弦定理可得＝＝＝2R＝2，∴＝＝＝2，可得b＝2sinθ，a＝2sin，c＝，∴△ABC的周长＝2sinθ＋2sin＋＝2sinθ＋2sincosθ－2cossinθ＋＝sinθ＋cosθ＋＝2sin＋，又θ∈，∴<θ＋，∴当θ＋＝，即θ＝时，△ABC的周长取得最大值2＋.角度2：边的最值典型例题例题1．（2023春·全国·高三校联考阶段练习）在中，已知，，为的中点，则线段长度的最大值为（

）A．1 B． C． D．2【答案】C【详解】解：由余弦定理得，即，即，所以，∴，当且仅当b=c时等号成立.因为，所以，，∴，故选：C．例题2．（2023·青海西宁·统考二模）在中，内角的对边分别为，，，且.(1)求角的大小；(2)若，是边上的一点，且，求线段的最大值.【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，由正弦定理得，又，所以，所以，即，，又，所以，所以，所以；（2）在中，由正弦定理得，所以.因为，所以，在中，由余弦定理得，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以，即线段的最大值为.例题3．（2023·全国·模拟预测）在锐角三角形中，角，，的对边分别为，，，且．(1)求；(2)若是线段上靠近的三等分点，，求的最大值．【答案】(1)(2)【详解】（1），∴，∴．又，．（2）方法1：由（1）得，∵，则，∴，∴，

∴，令，则，

令，则，

在锐角三角形中，∴，即，

（另解：，∵，，解得，∴，，即）∴，∴，当且仅当时取等号，

∴，∴的最大值为．

方法2：在中，由余弦定理可得，在中，由余弦定理可得，∵，∴．∵，∴，，．∵，，解得，∴，∴，∴，∴的最大值为．例题4．（2023·全国·高三专题练习）在中，角所对的边分别为，且.(1)求角的大小；(2)若角的平分线交于且，求的最小值.【答案】(1)(2)【详解】（1），即，即.由正弦定理得，，，故.，，故，又，故，故；（2），设，，根据向量的平行四边形法则：，即，，又，故，当且仅当时等号成立，故的最小值为.练透核心考点1．（2023·全国·高三专题练习）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，csin=sinC，且a=1．(1)求A；(2)若AB=AC，D，E两点分别在边BC，AB上，且CD=DE，求CD的最小值．【答案】(1)(2)2-3【详解】（1）因为csin=sinC，且a=1，所以csin=asinC，所以sinCsin=sinAsinC.因为C∈(0,π)，sinC≠0，B+C=π-A，所以sin(-)=sinA，即cos=sinA，所以cos=2sincos.因为∈(0,)，所以cos≠0，所以sin=，所以=，即A=.（2）因为AB=AC，A=，所以△ABC为等边三角形，即AC=BC=AB=1.如图，在△BDE中，BD=1-CD，DE=CD，由余弦定理得cosB=，所以BE2+(1-CD)2-CD2=BE·(1-CD)，所以CD=2-BE+，因为0≤BE≤1，所以1≤2-BE≤2，所以CD=2-BE+-3≥2-3，当且仅当2-BE=，即BE=2-时，等号成立，所以CD的最小值为2-3.2．（2023·全国·模拟预测）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题．在锐角中，内角的对边分别为，且______．(1)求；(2)若，，求线段长的最大值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1)(2)【详解】（1）方案一：选条件①．由正弦定理得，∴，∵，∴，即，∵，∴．方案二：选条件②．由正弦定理得，即，∴，∵，∴．方案三：选条件③．由余弦定理得，∴，∴，∵，∴．（2）由，得，∵，∴，即，两边同时平方得，∴．令，则，，令，则，，在锐角中，∴，∴，∴，∴，当且仅当时取等号，∴线段长的最大值为．3．（2023·全国·高一专题练习）a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，已知．(1)若，证明：△ABC为等腰三角形；(2)若，求b的最小值．【答案】(1)证明过程见详解(2)【详解】（1）因为，，所以由余弦定理可得，即，整理得，即，所以△ABC为等腰三角形．（2）因为，所以由正弦定理可得，所以由余弦定理可得，又，所以，所以，当时，取最小值，且最小值为．角度3：边的代数和最值典型例题例题1．（2023·全国·高一专题练习）在中，角所对的边分别是是边上一点，且，则的最小值是（

）A．4 B．6 C．8 D．9【答案】C【详解】如图所示，因为，所以，在Rt△ABD中，，即，因为，由正弦定理可得：，即，所以，所以，因为，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为8.故选：C例题2．（2023·广西·统考一模）在中，角,,的对边分别是，，，满足.(1)求；(2)若角的平分线交于点，且，求的最小值.【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，由正弦定理得，即，所以，又，则，所以，又因，所以；（2）因为角C的平分线交AB于点D，所以，由，得，即，所以，则，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为.例题3．（2023·全国·模拟预测）从①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，然后解答补充完整的题目．已知的三个内角，，的对边分别为，，,且______．(1)求角B的大小；(2)若，求的最大值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1)(2)【详解】（1）方案一：选条件①，由，得，则由余弦定理得：．由正弦定理得：，则．因为，则，所以．又因为，所以．方案二：选条件②，∵，正弦定理得：，整理得，则由余弦定理得，因为，所以．方案三：选条件③．∵，由正弦定理得．因为，则，所以，即．因为，则，所以，即．（2）解法一：由正弦定理可得，所以，，所以，其中为锐角，且．因为，所以，所以当，即时，取得最大值．解法二：由余弦定理得，即，设，则，将代入中，整理得，由题意可知，此方程有正根，注意到的对称轴，则，所以，故的最大值为．例题4．（2023·全国·高一专题练习）已知向量，，.(1)求的单调增区间；(2)在中，角,,的对边分别为，，,且，，求的最大值.【答案】(1)递增区间为，；(2).【详解】（1）由，，得，，所以的单调递增区间为，.（2）由，得，∵，∴，∴，即，∵，，∴，，且，当且仅当时，有最大值为，故的最大值为.例题5．（2023·全国·高三专题练习）中，已知，，为上一点，，.(1)求的长度；(2)若点为外接圆上任意一点，求的最大值.【答案】(1)；(2).【详解】（1）设，，则.在与中，由余弦定理知：，即，，即.，，可得.，，即.解得，..（2）由（1）知：中，，，为外接圆的直径.为外接圆上任意一点，当在点时，.当在点时，.当在优弧上时，，设，则.中，由正弦定理知，.，当时，的最大值为.当在劣弧上时，，设，则.中，由正弦定理知，..当时，的最大值为.综上，的最大值为.练透核心考点1．（2023·全国·高三专题练习）已知三角形中，，D是边上一点，且满足，则的最大值是__________．【答案】【详解】∵，．由余弦定理得，则，方法一：判别式法：令，有解，，解得．∴方法二：换元法．令上式令，则有，，∴故答案为：2．（2023春·浙江宁波·高一余姚中学校考阶段练习）在中，角，，的对边分别是，，，满足(1)求角；(2)若角的平分线交于点，且，求的最小值.【答案】(1)(2)【详解】（1）由可得：，由余弦定理知，，又因此.（2）在中，由，得，在中，由，可得，所以；在中，由，得，解得，，所以，因为，，所以，当且仅当时取等号，因此的最小值为.3．（2023·全国·高三专题练习）如图，△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.(1)求角B的大小；(2)已知，若D为△ABC外接圆劣弧AC上一点，求AD+DC的最大值.【答案】(1)；(2).【详解】（1）法一:∵，由正弦定理得，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，法二:∵，由余弦定理得，∴，∴，∵，∴.（2）由（1）知，，面四边形ABCD内角互补，则，法一:设，则，由正弦定理得，∴，，∴，当且仅当时，的最大值为.法二:在△ADC中，，，由余弦定理得，∴，∴，当且仅当时，的最大值为.4．（2023春·福建龙岩·高一校考阶段练习）已知三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．(1)求角B的大小；(2)若，求的最大值．【答案】(1)(2)【详解】（1）由已知及正弦定理，得．∵，∴．化简，得．∵，∴．∵，∴．（2）由已知及正弦定理，得．即．从而，因为，所以，化简得，因为，可得，于是，当时，的最大值为.5．（2023·山西·校联考模拟预测）在中，角、、的对边分别为、、，且．(1)求角的大小；(2)若，求的最大值．【答案】(1)(2)【详解】（1）解：由已知可得，即，，则，解得，因此，.（2）解：由正弦定理可得，所以，，其中为锐角，且，因为，则，，所以，当时，即当时，取得最大值.高频考点三：周长（边长）取值范围角度1：周长取值范围典型例题例题1．（2023春·江苏南通·高一江苏省南通中学校考阶段练习）设函数．(1)当时，求函数的最小值并求出对应的；(2)在中，角，，的对边分别为，，，若，且，求周长的取值范围．【答案】(1)，；(2)【详解】（1）因为，即，因为，所以，由的图像与性质知，当，即时，函数取到最小值为，即当时，函数的最小值为，此时.（2）因为，由（1）得到，即，又因为，所以得到，即，又，由余弦定理，得到，又由基本不等式知，，当且仅当取等号，所以，得到，又因为，所以，所以周长的取值范围为.例题2．（2023·全国·高三专题练习）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题．在中，内角的对边分别是，且满足_______，．(1)若，求的面积;(2)求周长的取值范围．【答案】(1)任选一条件，面积皆为(2)【详解】（1）若选条件①，由及正弦定理，得即，化简得，因为，所以，所以，因为，所以．若选条件②，由及正弦定理，得，即，化简得,因为，所以，所以，因为，所以．若选条件③，由化简得，，由余弦定理得，即，因为，所以，所以三个条件，都能得到.由余弦定理得，即，解得，所以的面积.（2）因为，由正弦定理得，因为，所以，因为，所以，所以，即，所以周长的取值范围为.练透核心考点1．（2023·全国·高三专题练习）在中，角的对边分别为，且.(1)求角的大小；(2)若，求周长的取值范围.【答案】(1)(2)【详解】（1）由正弦定理，得，因为，所以，所以，即，所以，因为，所以，所以，又，所以；（2）由（1）可得，若，则由余弦定理，得，所以，即，所以，当且仅当时等号成立，又，所以，即，所以周长的取值范围为.2．（2023春·河南南阳·高一南阳中学校考阶段练习）在中，角所对的边分别是，设向量，且．(1)求角A的值；(2)若，求的周长l的取值范围．【答案】(1)；(2).【详解】（1）因，且，则，由余弦定理得，整理得：，于是得，而，所以.（2）由（1）知，，当且仅当时取“=”，而，因此，，即有所以的周长l的取值范围是.角度2：边的代数和取值范围典型例题例题1．（2023春·湖南永州·高一永州市第一中学校考阶段练习）在锐角中，内角，，所对应的边分别是，，，且，则的取值范围是______．【答案】【详解】由正弦定理和正弦二倍角公式可得，因为，所以，可得，因为，所以，所以，，由，可得，所以，，由正弦定理得.故答案为：.例题2．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）在①，②，③这三个条件中任选一个作为条件，补充到下面问题中，然后解答．已知锐角的内角，，所对的边分别为，，，且______（填序号）．(1)若，，求的面积；(2)求的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】（1）选①，根据余弦定理展开，即，所以，由得；选②，根据正弦定理可得，因为，所以，因为，所以，由得；选③，根据正弦定理和三角形的恒等变换得：，因为，化简可得，得，由得；，，∴，由已知，，，．（2），∵为锐角三角形，∴，∴，，所以．例题3．（2023春·云南丽江·高一丽江第一高级中学校考阶段练习）在锐角中，角，，所对的边为，，，已知，．(1)求；(2)求的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】（1）解：，，即，，又，，，，，，即，，解得．（2）解：由正弦定理得，，，，，，，则，为锐角三角形，，，，，即．例题4．（2023·全国·高一专题练习）在中，内角的对边分别为，且．(1)求角；(2)若为锐角三角形，求的取值范围．【答案】(1)；(2).【详解】（1）因为，所以由正弦定理得，整理得，由余弦定理得．因为，所以．（2）由正弦定理得．因为为锐角三角形，所以解得，所以，所以，故的取值范围为．练透核心考点1．（2023·全国·高三专题练习）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．(1)求C；(2)若A为钝角，求的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，所以由正弦定理可得，整理得，故由余弦定理得，又，所以．（2）因为，所以，由（1）得，所以，又，且A为钝角，所以，且，故，则，，所以，故的取值范围是．2．（2023·山东·沂水县第一中学校联考模拟预测）已知的内角的对边分别为，，，，且．(1)求的大小；(2)若的平分线交于点，且，求的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】（1）∵，由正弦定理可得，则，可得，整理得，注意到，且，则，且，可得或，解得或（舍去），故.（2）若的平分线交于点，则，∵，则，即，整理得，则，当且仅当，即时，等号成立，故的取值范围为.3．（2023·高一单元测试）设锐角三角形ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知．(1)求证：B＝2A；(2)求的取值范围．【答案】(1)证明过程见解析.(2)【详解】（1），由正弦定理得：，由积化和差公式可得：，因为，所以，因为三角形ABC为锐角三角形，故，所以，故，即；（2）由（1）知：，由正弦定理得：，其中，