北师大版七年级数学下册高频考点专题突破 专题01 变量之间的关系 教材同步讲练-【高频考点】（原卷版+解析）

专题01变量之间的关系教材同步讲练知识点1.1用表格表示变量之间的关系1）常量与变量：在某个变化过程中，保持同一数值的量叫常量，可以取不同数值的量叫变量．注意：①常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化；②常量和变量是相对于变化过程而言的．可以互相转化；③不要认为字母就是变量，例如π是常量．2）自变量与因变量：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与之对应，那么我们就说x是自变量，y是因变量．区别：自变量是先发生变化或主动发生变化的量；因变量是后发生变化或随着自变量的变化而变化的量；联系：两者都是某一变化过程中的变量；两者因研究的侧重点或先后顺序不同可以相互转化．3）从表格中寻找变化规律（1）弄清表中所列的是哪两个量，即分清哪一个是自变量，哪一个是因变量；（2）结合现实情景理解两个变量之间的关系，是增加还是减少还是呈规律性的起伏变化．（3）特点：列表法能具体地反映自变量与函数的数值对应关系，在实际生活中应用非常广泛；例1．（2021·浙江绍兴市·八年级期末）下表为某旅游景点旺季时的售票量、售票收入的变化情况，在该变化过程中，常量是()．日期10月1日10月2日10月3日10月4日10月5日10月6日10月7日售票量x(张)3154222452385048746564262761512714售票收入y(元)3154200224520038540004874600564260027615001271400A．票价 B．售票量 C．日期 D．售票收入变式1．（2021·四川甘孜·七年级期末）某电影放映厅周六放映一部电影，当天的场次、售票量、售票收入的变化情况如表所示．在该变化过程中，常量是（）场次售票量（张）售票收入（元）15020002100400031506000415060005150600061506000A．场次 B．售票量 C．票价 D．售票收入变式2．（2021·全国八年级课时练习）指出下列问题中的变量和常量：（1）某市的自来水价为4元/t．现要抽取若干户居民调查水费支出情况，记某户月用水量为吨，月应交水费为y元．（2）某地手机通话费为0.2元/．李明在手机话费卡中存入30元，记此后他的手机通话时间为，话费卡中的余额为w元．（3）水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为r，周长为C，圆周率（圆周长与直径之比）为．（4）把10本书随意放入两个抽昼（每个抽屉内都放），第一个抽屉放入x本，第二个抽屉放入y本．例2．（2020·河北邢台市·八年级月考）某销售商对某品牌豆浆机的销量与定价的关系进行了调查，结果如下表所示，则（）定价（元）100110120130140150销量（台）801001101008060A．定价是常量 B．销量是自变量 C．定价是自变量 D．定价是因变量变式3．（2021·辽阳石油化纤公司教师学校七年级期中）某居民小区电费标准为0.55元/千瓦时，收取的电费y（元）和所用电量x（千瓦时）之间的关系式为，则下列说法正确的是（）A．x是自变量，0.55是因变量 B．0.55是自变量，x是因变量C．x是自变量，y是因变量 D．y是自变量，x是因变量变式4．（2021·广东河源·正德中学七年级月考）已知某种饮料的单价是3元瓶，如果购买瓶这种饮料需要元，那么y与x之间的关系是其中自变量是________．例3．（2021·江苏盐城市·八年级期末）某汽车生产厂对其生产的A型汽车进行油耗试验，试验中汽车为匀速行驶，在行驶过程中，油箱的余油量y（升）与行驶时间t（小时）之间的关系如表：t（小时）0123y（升）12011210496由表格中y与t的关系可知，当汽车行驶_____小时，油箱的余油量为0．变式5．（2021·辽宁和平·七年级期末）在高海拔（1500～3500m为高海拔，3500～5500m为超高海拔，5500m以上为极高海拔）地区的人有缺氧的感觉，下面是有关海拔高度与空气含氧量之间的一组数据：海拔高度/m01000200030004000500060007000空气含氧量/（g/m3）299.3265.5234.8209.63182.08159.71141.69123.16在海拔高度3000m的地方空气含氧量是（）g/m3．A．299.3 B．209.63 C．182.08 D．159.71变式6．（2021·贵州威宁·七年级期末）下表是研究弹簧长度与所挂物体质量关系的实验表格：所挂物体重量x(kg)12345弹簧长度y(cm)1012141618则弹簧不挂物体时的长度为（）．A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm例4．（2021·山东七年级专题练习）（多选题）某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据（如下表）：温度/℃﹣20﹣100102030声速/m/s318324330336342348下列说法正确的是（）A．在这个变化中，自变量是温度，因变量是声速B．温度越高，声速越快C．当空气温度为20℃时，声音5s可以传播1740mD．当温度每升高10℃，声速增加6m/s变式7．（2021·广东高州·七年级期末）根据市卫生防疫部门的要求，游泳池必须定期换水后才能对外开放，在换水时需要经排水﹣清洗﹣注水的过程，某游泳馆从早上8：00开始对游泳池进行换水，已知该游泳池共蓄水2500m3，打开放水闸门匀速放水后，游泳池里的水量和放水时间的关系如表，下面说法不正确的是()放水时间(分钟)1234…游泳池中的水量(m3)2480246024402420…A．每分钟放水20m3 B．游泳池中的水量是因变量，放水时间是自变量C．放水10分钟时，游泳池中的水量为2300m3 D．游泳池中的水全部放完，需要124分钟变式8．（2021·陕西西安·交大附中分校九年级模拟预测）在实验课上，小亮利用同一块木板，测得小车从不同高度h（cm）下滑的时间t（s），得到如下数据：支撑物高h（cm）1020304050…下滑时间t（s）3.253.012.812.662.56…以下结论错误的是（）A．当h＝10时，t为3.25秒B．随支撑物高度增加，下滑时间越来越短C．估计当h＝80时，t一定小于2.56秒D．高度每增加10cm，下滑时间就会减少0.24秒例5．（2020·成都市七年级期中）根据心理学家研究发现，学生对一个新概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（分钟）之间有如表所示的关系：提出概念所用时间（x）257101213141720对概念的接受能力（y）47.853.556.35959.859.959.858.355（1）上表中反映的两个变量之间的关系，哪个是自变量？哪个是因变量？（2）根据表格中的数据，提出概念所用时间是多少分钟时，学生的接受能力最强？（3）学生对一个新概念的接受能力从什么时间开始逐渐减弱？变式9.（2021·陕西岐山·七年级期中）在烧开水时，水温达到就会沸腾，下表是某同学做“观察水的沸腾”实验时记录的数据：时间（分）温度（P）（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？（2）水的温度是如何随着时间的变化而变化的？（3）时间推移分钟，水的温度如何变化？（4）时间为分钟时，水的温度为多少？你能得出时间为分钟时，水的温度吗？变式10.（2021·陕西西乡·七年级期末）某校一课外小组准备进行“西乡县半程马拉松”的宣传活动，需要制作宣传单，校园附近有一家印刷社，收费y（元）与印刷数x（张）之间的关系如表：印刷数量x（张）…50100200300…收费y（元）…7.5153045…（1）上表反映了和之间的关系，自变量是，因变量是；（2）从上表可知：收费y（元）随印刷数量x（张）的增加而；（3）若要印制10000张宣传单，收费元．知识点1.2用关系式表示变量之间的关系1）表示自变量与因变量之间关系的数学式子叫作关系式．关系式是表示变量之间关系的另一种方法．注意:（1）关系式一般是用含自变量的代数式表示因变量的等式；（2）实际问题中，有的变量之间的关系不一定能用关系式表示出来；（3）有些问题中，自变量是有范围的，列关系式时要注明自变量的取值范围．（4）关系式（解析式）法准确地反映了因变量与自变量之间的对应规律，根据它可以由自变量的取值求出相应的因变量的值，反之亦然；2）利用关系式求值根据关系式求值实际上就是求代数式的值．注意：已知自变量的值利用关系式求因变量的值实质是求代数式的值，已知因变量的值利用关系式求自变量的值实质是解方程．1．（2020·广东茂名市·七年级期中）在烧开水时，水温达到水就会沸腾，下表是小红同学做“观察水的沸腾”实验时所记录的变量时间和温度的数据：02468101214…3044587286100100100…在水烧开之前（即），温度与时间的关系式及因变量分别为（）A．，B．，C．，D．，变式1．（2021·山东肥城·八年级期末）一辆客车以从85km/h的速度从肥城驶往北京，若肥城到北京的距离为470km，那么客车离北京的距离（km）与所用时间（h）的表达式为______．变式2．（2021·河北承德·八年级期末）琪琪拿9元钱去买单价为元/只的笔芯，买笔芯所剩的钱数（元）与所买笔芯的数量（只）之间的关系式为______．例2．（2021·黑龙江虎林·八年级期末）如图，一个矩形（向左右方向）推拉窗，窗高1.55米，则活动窗扇的通风面积S（平方米）与拉开长度b（米）的关系式是__．变式3．（2020·江苏连云港市·八年级月考）将长为、宽为的长方形白纸，按如图所示的方法粘合起来，粘合部分的宽为，设张白纸粘合后的总长度为，与的关系式为___________．变式4．（2021·山东历下·七年级期中）如图，某品牌自行车每节链条的长度为2.5cm，交叉重叠部分的圆的直径为0.8cm．（1）观察图形，填写下表：链条节数/x（节）234…链条长度/y（cm）4.2…（2）上表的两个变量中，自变量是；因变量是；（3）请你写出y与x之间的关系式；（4）如果一辆自行车的链条（安装前）共由60节链条组成，那么链条的总长度是多少？例3．（2021·陕西西安·交大附中分校八年级开学考试）“五一”假期，小明一家随团到某风景旅游，集体门票的收费标准是：人以内（含人），每人元；超过人的，超过部分每人元．（1）写出应收门票费（元）与游览人数（人）之间的关系式；（2）利用（1）中的关系式计算：若小明一家所在的旅游团共人，则他们为购门票花了多少钱？变式5．（2021·贵州威宁·七年级期末）威宁粮食二库需要把晾晒场上的120吨苞谷入库封存．受设备影响，每天只能入库15吨．入库所用的时间为（单位：天），未入库苞谷数量为（单位：吨）．（1）直接写出和间的关系式为：______．（2）二库职工经过钻研，改进了入库设备，现在每天能比原来多入库5吨．则①直接写出现在和间的关系式为：______．②求将120吨苞谷入库封存所需天数现在比原来少多少天？变式6．（2021·四川省成都市七中育才学校八年级开学考试）某地为了鼓励居民节约用水，决定实行两级收费制，即每月用水量不超过12吨（含12吨）时，按每吨1元收费；每月超过12吨时，超过部分每吨按市场调节价收费，小黄家1月份用水24吨，交水费42元．（1）求每吨水的市场调节价是多少元；（2）设每月用水量为x（x＞12）吨，应交水费为y元，写出y与x之间的关系式；（3）小张家3月份用水28吨，他家应交水费多少元？例4．（2021·广东禅城·七年级期末）假设圆锥的高是6cm，当圆锥的底面半径由小到大变化时，圆锥的体积随着底面半径而变化，（圆锥的体积公式：V＝πr2h，其中r表示底面半径，h表示圆锥的高）（1）在这个变化过程中，自变量是______________，因变量是_____________．（2）如果圆锥底面半径为r（cm），那么圆锥的体积V（cm3）与r（cm）的关系式为_________．（3）当r由1cm变化到10cm时，V由__________cm3变化到__________cm3.变式7．（2020·山东青岛市·七年级期中）用水平线和竖直线将平面分成若干个边长为1的小正方形格子，小正方形的顶点，叫格点，以格点为顶点的多边形叫格点多边形.设格点多边形的面积为，它各边上格点的个数之和为.探究一：图中①—④的格点多边形，其内部都只有一个格点，它们的面积与各边上格点的个数之和的对应关系如表：多边形的序号①②③④…多边形的面积22.534…各边上格点的个数和4568…与之间的关系式为：________.探究二：图中⑤—⑧的格点多边形内部都只有2个格点，请你先完善下表格的空格部分（即分别计算出对应格点多边形的面积）：多边形的序号⑤⑥⑦⑧…多边形的面积…各边上格点的个数和4568…与之间的关系式为：________.猜想：当格点多边形内部有且只有个格点时，与之间的关系式为：_______.知识点1.3用图象表示变量之间的关系1）图象法：用图象来表示两个变量之间的关系的方法叫做图象法．图象法的特点是形象、直观，可以形象地反映出变量之间关系的变化趋势和某些性质，是研究变量之间关系的好工具，其不足是由图象法往往难以得到准确的对应值．2）行程中的图象问题：在行程问题中，“速度与时间”图象和“路程与时间”图象是从两个不同的角度描述行程问题中变量之间的关系图象，注意区分．3）从图象中获取信息（1）借助于图象，可以知道自变量取某个值时，因变量取什么值或当因变量取某一个值时，对应的自变量取什么值；（2）利用图象可以判断因变量的变化趋势；（3）利用图象上一系列的点所表示的自变量与因变量的对应值，还可以得到表示两个变量之间关系的表格或关系式．例1．（2021·广东罗湖·七年级期末）一辆公共汽车从车站开出，加速行驶一段时间后开始匀速行驶．过了一段时间，汽车到达下一车站．乘客上、下车后汽车开始加速，一段时间后又开始匀速行驶．下图中近似地刻画出汽车在这段时间内的速度变化情况的是（）A．B．C．D．变式1．（2020·云南迪庆藏族自治州·八年级期末）为积极响应党和国家精准扶贫的号召，某扶贫工作队步行前往扶贫点开展入户调查。队员们先匀速步行一段时间，途中休息几分钟后加快了步行速度，最终按原计划时间到达目的地。设行进时间为t（单位：min），行进的路程为s（单位：m），则能近似刻画s与t之间的函数关系的大致图象是（）A．B．C． D．变式2.（2020·甘肃九年级一模）如图，扇形OAB动点P从点A出发，沿、线段BO、OA匀速运动到点A，则OP的长度y与运动时间t之间的函数图象大致是（）A．B．C． D．例2．（2021·陕西乾县·七年级期末）某出租车公司的收费标准为：乘车不超过5千米按起步价收费，超过5千米，超过部分每千米收费1.7元，如图反映了乘车费用（元）与路程（千米）之间的关系，则公司规定的起步价是__________元．变式3．（2021·内蒙古准格尔旗·八年级期末）小明从家跑步到学校，接着马上原路步行回家．如图是小明离家的路程y（米）与时间t（分）的关系图象，则小明回家的速度是每分钟步行____________米．例3．（2021·安徽亳州·八年级月考）小华骑电动车从家出发去西安交大，当他骑了一段路时，想起要买一本书，于是原路返回刚经过的新华书店，买到书后继续前往交大，如图是他离家的距离与时间的关系示意图，请根据图中提供的信息回答下列问题：（1）小华家离西安交大的距离是多少？（2）买到书后，小华从新华书店到西安交大骑车的平均速度是多少？（3）本次去西安交大途中，小华一共行驶了多少米？变式4．（2021·山东聊城市·七年级期末）如图是2020年1月15日至2月2日全国（除湖北省）新冠肺炎新增确诊人数的变化曲线，则下列说法：①自变量为时间，确诊总人数是时间的函数；②1月23号，新增确诊人数约为150人；③1月25号和1月26号，新增确诊人数基本相同；④1月30号之后，预测新增确诊人数呈下降趋势，其中正确的是____________．（填上你认为正确的说法的序号）变式5．（2021·四川金牛·七年级期末）小明从家骑单车上学，当他骑了一段时，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的新华书店，买到书后继续去学校，以下是他本次所用的时间与离家的距离的关系示意图，根据图中的信息回答下列问题，则下列说法错误的是（）A．小明家到学校的路程是米B．小明在书店停留了分钟C．本次上学途中，小明一共行驶了米D．若骑单车的速度大于米/分就有安全隐患．在整个上学的途中，小明骑车有分钟的超速骑行，存在安全隐患．例4．（2021·黑龙江林口·八年级期末）甲、乙两同学从A地出发，骑自行车在同一条路上行驶到B地，他们离出发地的距离s（千米）和行驶时间t（小时）之间的函数关系的图象如图所示，根据图中提供的信息，有下列说法，其中，不符合图象描述的说法是（）A．他们都行驶了18千米；B．甲在途中停留了0.5小时；C．乙比甲晚出发了0.5小时；D．甲、乙两人同时到达目的地．变式6．（2021·云南盘龙·八年级期末）A、B两地相距80km，甲、乙两人沿同一条路从A地到B地，如图，分别表示甲、乙两人离开A地的距离s（km）与时间t（h）之间的关系．下列说法正确的是（）A．乙车出发1.5小时后甲才出发 B．两人相遇时，他们离开A地40kmC．甲的速度是km/h D．乙的速度是km/h变式7．（2021·沙坪坝·重庆一中九年级月考）甲、乙两人沿同一条路从地出发，去往100千米外的地，甲、乙两人离地的距离（千米）与时间（小时）之间的关系如图所示，以下说法正确的是（）A．甲的速度是B．乙的速度是C．乙同时到达D．甲出发两小时后两人第一次相遇例5．（2021·辽宁大东·七年级期末）某车间的甲、乙两名工人分别同时生产同一种零件，他们一天生产零件的个数y（个）与生产时间t（时）（1）甲、乙两人中，直接写出谁先完成一天的生产任务？（2）在生产过程中，直接写出甲乙两人中谁因机器故障停止生产？并直接写出停止生产了几小时？（3）当t＝时，甲、乙生产的零件个数相等；（4）直接写出谁在哪一段时间内的生产速度最快？求该段时间内，他每小时生产零件的个数．变式8．（2020·全国七年级课时练习）一水池有两个进水口，一个出水口，一个水口在单位时间内的进、出水量如图（a）、（b）所示，某天从0点到6点，该水池的蓄水量如图（c）所示，给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点一定不进水不出水．则正确的论断是________．（填上所有正确论断的序号）例6．（2021·四川金牛·七年级期末）如图1，正方形的边上有一定点，连接．动点从正方形的顶点出发，沿以1cm/s的速度匀速运动到终点．图2是点运动时，的面积y（cm2）随时间x（s）变化的全过程图象，则的长度为________cm．变式9．（2021·郑州枫杨外国语学校七年级月考）如图1，长方形ABCD中，动点P从B出发，沿B﹣C﹣D﹣A路径匀速运动至点A处停止，设点P运动的路程为x，△PAB的面积为y，如果y关于x的图象如图2所示，则长方形ABCD的周长等于__．变式10．（2021·重庆八中八年级开学考试）如图，在矩形中，动点P从点B出发，沿，，运动至点A停止，右图为P运动的路程x与的面积y之间的关系图像，则矩形的面积是______．例7．（2021·浙江温岭·八年级期末）公交公司员工小明住在站点的员工宿舍，每天早上去站点上班，站到站唯一一条公交线路示意图如图1，、、、是四个公交站点，其中、两站相距的路程是1200米，为了健身，小明往往沿公交线路步行到站或站后再乘公交车上班．（1）星期一，小明步行到站上车，记他距站的路程为米，离开站的时间为分，关于的函数图象如图2，求的解析式及公交车的速度；（2）星期二，小明以与星期一相同出发时间和步行速度步行到站上车，已知公交车无论上行（→）还是下行（→）都每隔10分钟一班，每天始发时间和行车速度保持不变，乘客上下车时间忽略不计；①通过计算判断小明步行到达站时是否恰好有上行公交车到达站；②小明到达站所用时间是星期一的1.5倍，求、两站相距的路程；③若小明步行至站时刚好遇见一辆下行班车，这一趟上班途中，直接写出他遇到下行班车的最短间隔时间．变式11．（2021·重庆实验外国语学校九年级月考）如图1，某游池长25米，小林和小明两个人分别在游泳池的AB和CD两边，同时朝着另一边以各自的速度匀速游泳，他们游泳的时间为t（s），其中0≤t≤180，到AB边距离为y（m），图2中的实线和虚线分别表示小林和小明在游泳过程中y与t的对应关系，以下推断：①在整个游泳过程中，小林的总路程比小明的总路程更短；②小明游泳的速度是m/s；③两人第一次与第三次相遇的时间间隔是75s；④小林离AB边超过20米的总时长为36s．其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4变式12．（2021·河南郑州外国语中学七年级期中）姐姐帮小明荡秋千（如图①），秋千离地面的高度h（m）与摆动时间t（s）之间的关系如图②所示，结合图象：（1）变量h，t中，自变量是，因变量是，h最大值和最小值相差m．（2）当t=5.4s时，h的值是m，除此之外，还有次与之高度相同；（3）秋千摆动第一个来回s．变式13．（2021·四川甘孜·七年级期末）小明和小华是姐弟俩，某日早晨，小明7：40先从家出发去学校，走了一段后，在途中广场看到志愿者们在向过往行人讲解卫生防疫常识，小明想起自己在学校学到的卫生防疫常识，于是停下来加入了志愿者队伍，后来发现上课时间快到了，就开始跑步上学，恰好在8：00赶到学校；小华离家后沿着与小明同一条道路前往学校，速度一直保持不变，也恰好在8：00赶到学校，他们从家到学校已走的路程（米）和所用时间（分钟）的关系图如图所示，请结合图中信息解答下列问题：（1）小明家和学校的距离是米；小明在广场向行人讲解卫生防疫常识所用的时间是分钟；（2）分别求小华的速度和小明从广场跑去学校的速度；（3）求小华在广场看到小明时是几点几分？（4）如果小明在广场进行卫生防疫常识讲解后，继续以之前的速度去往学校，假设讲解1次卫生防疫常识需要1分钟，在保证不迟到（不超过8：00）的情况下，通过计算求小明最多可以讲解几次？（结果保留整数）专题01变量之间的关系教材同步讲练知识点1.1用表格表示变量之间的关系1）常量与变量：在某个变化过程中，保持同一数值的量叫常量，可以取不同数值的量叫变量．注意：①常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化；②常量和变量是相对于变化过程而言的．可以互相转化；③不要认为字母就是变量，例如π是常量．2）自变量与因变量：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与之对应，那么我们就说x是自变量，y是因变量．区别：自变量是先发生变化或主动发生变化的量；因变量是后发生变化或随着自变量的变化而变化的量；联系：两者都是某一变化过程中的变量；两者因研究的侧重点或先后顺序不同可以相互转化．3）从表格中寻找变化规律（1）弄清表中所列的是哪两个量，即分清哪一个是自变量，哪一个是因变量；（2）结合现实情景理解两个变量之间的关系，是增加还是减少还是呈规律性的起伏变化．（3）特点：列表法能具体地反映自变量与函数的数值对应关系，在实际生活中应用非常广泛；例1．（2021·浙江绍兴市·八年级期末）下表为某旅游景点旺季时的售票量、售票收入的变化情况，在该变化过程中，常量是()．日期10月1日10月2日10月3日10月4日10月5日10月6日10月7日售票量x(张)3154222452385048746564262761512714售票收入y(元)3154200224520038540004874600564260027615001271400A．票价 B．售票量 C．日期 D．售票收入【答案】A【分析】结合题意，根据变量和常量的定义分析，即可得到答案．【详解】根据题意，10月1日到10月7日的数据计算，得票价均为100元∴常量是票价，故选：A．【点睛】本题考查了变量的基础知识；解题的关键是熟练掌握变量和常量的性质，从而完成求解．变式1．（2021·四川甘孜·七年级期末）某电影放映厅周六放映一部电影，当天的场次、售票量、售票收入的变化情况如表所示．在该变化过程中，常量是（）场次售票量（张）售票收入（元）15020002100400031506000415060005150600061506000A．场次 B．售票量 C．票价 D．售票收入【答案】C【分析】根据表格可知，场次、售票量、售票收入中，不变的量是票价，进而根据常量的定义可知票价是常量．【详解】根据表格数据可知，不变的量是票价，则常量是票价．故选C．【点睛】本题考查了常量的定义，掌握常量是不变的量是解题的关键．变式2．（2021·全国八年级课时练习）指出下列问题中的变量和常量：（1）某市的自来水价为4元/t．现要抽取若干户居民调查水费支出情况，记某户月用水量为吨，月应交水费为y元．（2）某地手机通话费为0.2元/．李明在手机话费卡中存入30元，记此后他的手机通话时间为，话费卡中的余额为w元．（3）水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为r，周长为C，圆周率（圆周长与直径之比）为．（4）把10本书随意放入两个抽昼（每个抽屉内都放），第一个抽屉放入x本，第二个抽屉放入y本．【答案】（1）变量x，y；常量4．（2）变量t，w；常量0.2，30．（3）变量r，C；常量．（4）变量x，y；常量10．【分析】根据常量与变量的定义求解即可．【详解】解：(1)由题意可知，变量为x，y，常量为4；(2)由题意可知，变量为t，w，常量为0.2，30；(3)由题意可知，变量为r，C，常量为；(4)由题意可知，变量为x，y，常量为10．【点睛】本题考查常量与变量的定义，常量是指在变化过程中不随时间变化的量；变量是指在变化过程中随着时间变化的量．例2．（2020·河北邢台市·八年级月考）某销售商对某品牌豆浆机的销量与定价的关系进行了调查，结果如下表所示，则（）定价（元）100110120130140150销量（台）801001101008060A．定价是常量 B．销量是自变量 C．定价是自变量 D．定价是因变量【答案】C【分析】根据自变量、因变量、常量的定义即可得．【详解】由表格可知，定价与销量都是变量，其中，定价是自变量，销量是因变量，故选：C．【点睛】本题考查了常量与变量、自变量与因变量，掌握理解相关概念是解题关键．变式3．（2021·辽阳石油化纤公司教师学校七年级期中）某居民小区电费标准为0.55元/千瓦时，收取的电费y（元）和所用电量x（千瓦时）之间的关系式为，则下列说法正确的是（）A．x是自变量，0.55是因变量 B．0.55是自变量，x是因变量C．x是自变量，y是因变量 D．y是自变量，x是因变量【答案】C【分析】根据自变量和因变量的定义：自变量是指：研究者主动操纵，而引起因变量发生变化的因素或条件，因此自变量被看作是因变量的原因；因变量是指：在关系式中，某个量会随一个（或几个）变动的量的变动而变动，进行判断即可.【详解】解：A、x是自变量，0.55是常量，故错误；B、0.55是常量，x是自变量，故错误；C、x是自变量，y是因变量，正确；D、x是自变量，y是因变量，故错误.故选C.【点睛】本题主要考查了自变量和因变量、常量的定义，解题的关键在于能够熟练掌握三者的定义.变式4．（2021·广东河源·正德中学七年级月考）已知某种饮料的单价是3元瓶，如果购买瓶这种饮料需要元，那么y与x之间的关系是其中自变量是________．【答案】x【分析】根据自变量的概念解答即可.【详解】解：∵，∴可得需要的钱是随着购买的瓶数变化的，∴自变量为购买的瓶数x，故答案为：x.【点睛】本题考查了自变量的基本概念，掌握自变量的意义即可解题.例3．（2021·江苏盐城市·八年级期末）某汽车生产厂对其生产的A型汽车进行油耗试验，试验中汽车为匀速行驶，在行驶过程中，油箱的余油量y（升）与行驶时间t（小时）之间的关系如表：t（小时）0123y（升）12011210496由表格中y与t的关系可知，当汽车行驶_____小时，油箱的余油量为0．【答案】15【分析】由表格可知油箱中有油120升，每行驶1小时，耗油8升，则可求解．【详解】解：由表格可知，每行驶1小时，耗油8升，∵t＝0时，y＝120，∴油箱中有油120升，∴120÷8＝15小时，∴当行驶15小时时，油箱的余油量为0，故答案为：15．【点睛】本题考查了变量与常量，注意贮满120L油的汽车，最多行驶的时间就是油箱中剩余油量为0的时的t的值．变式5．（2021·辽宁和平·七年级期末）在高海拔（1500～3500m为高海拔，3500～5500m为超高海拔，5500m以上为极高海拔）地区的人有缺氧的感觉，下面是有关海拔高度与空气含氧量之间的一组数据：海拔高度/m01000200030004000500060007000空气含氧量/（g/m3）299.3265.5234.8209.63182.08159.71141.69123.16在海拔高度3000m的地方空气含氧量是（）g/m3．A．299.3 B．209.63 C．182.08 D．159.71【答案】B【分析】根据“用表格表示变量之间的关系”的方法，结合表格中的数据可得答案．【详解】解：根据表格中，海拔高度与空气含氧量的对应值可得，当海拔高度为3000m时，对应的空气含氧量为209.63g/m3，故选：B．【点睛】本题考查了用表格表示变量之间的关系，理解表格中两个变量的对应值的意义是正确判断的前提．变式6．（2021·贵州威宁·七年级期末）下表是研究弹簧长度与所挂物体质量关系的实验表格：所挂物体重量x(kg)12345弹簧长度y(cm)1012141618则弹簧不挂物体时的长度为（）．A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm【答案】C【分析】根据表格数据，得出弹簧长度y与所挂物体重量x的关系式，令即可求得弹簧不挂物体时的长度．【详解】根据表格数据，得出弹簧长度y与所挂物体重量x的关系式为，将，分别代入，符合关系式，当时，则，故选C．【点睛】本题考查了变量与表格，关系式，找到关系式是解题的关键．例4．（2021·山东七年级专题练习）（多选题）某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据（如下表）：温度/℃﹣20﹣100102030声速/m/s318324330336342348下列说法正确的是（）A．在这个变化中，自变量是温度，因变量是声速B．温度越高，声速越快C．当空气温度为20℃时，声音5s可以传播1740mD．当温度每升高10℃，声速增加6m/s【答案】ABD【分析】根据自变量、因变量的含义，以及声音在空气中传播的速度与空气温度关系逐一判断即可．【详解】解：∵在这个变化中，自变量是温度，因变量是声速，∴选项符合题意；

∵根据数据表，可得温度越高，声速越快，∴选项符合题意；∵，∴当气温为时，声音可以传播，∴选项C不符合题意；∵，，，，∴当温度每升高，声速增加，∴选项符合题意．故选ABD．【点睛】本题主要考查了自变量、因变量的含义和判断．熟练掌握自变量、因变量的含义是解题的关键．变式7．（2021·广东高州·七年级期末）根据市卫生防疫部门的要求，游泳池必须定期换水后才能对外开放，在换水时需要经排水﹣清洗﹣注水的过程，某游泳馆从早上8：00开始对游泳池进行换水，已知该游泳池共蓄水2500m3，打开放水闸门匀速放水后，游泳池里的水量和放水时间的关系如表，下面说法不正确的是()放水时间(分钟)1234…游泳池中的水量(m3)2480246024402420…A．每分钟放水20m3 B．游泳池中的水量是因变量，放水时间是自变量C．放水10分钟时，游泳池中的水量为2300m3 D．游泳池中的水全部放完，需要124分钟【答案】D【分析】据该游泳池共蓄水2500m3与每分钟后游泳池中的剩余水量可得，每分钟放水20m3，继而判断正误．【详解】解：A．由表格可得每分钟放水20m3，正确．B．游泳池中的水量随放水时间变化而变化，故放水时间是自变量，游泳池中的水量是因变量，正确．C．放水十分钟后，剩余水量2500﹣20×10＝2300（m3），正确．D．全部放完需要2500÷20＝125（分钟），错误．故选：D．【点睛】本题主要考查变量的表示方法：表格法，另外还有图象法和解析式法，解题关键是从实际应用中构建变量模型求解．变式8．（2021·陕西西安·交大附中分校九年级模拟预测）在实验课上，小亮利用同一块木板，测得小车从不同高度h（cm）下滑的时间t（s），得到如下数据：支撑物高h（cm）1020304050…下滑时间t（s）3.253.012.812.662.56…以下结论错误的是（）A．当h＝10时，t为3.25秒B．随支撑物高度增加，下滑时间越来越短C．估计当h＝80时，t一定小于2.56秒D．高度每增加10cm，下滑时间就会减少0.24秒【答案】D【分析】根据表格中数量的变化情况，分别进行判断即可．【详解】解：由表格知：h＝10，t＝3.25．故A结论正确．由表格知：随着高度的增加，下滑时间越来越短．故B，C结论正确．当支撑物高度从10cm升高到20cm，下滑时间的减少0.24s，从20cm升高到30cm时，下滑时间就减少0.2s，从30cm升高到40cm时，下滑时间就减少0.15s，从40cm升高到50cm时，下滑时间就减少0.1s，因此，“高度每增加了10cm，时间就会减少0.24秒”的说法是错误的，故选项D结论错误．故选：D．【点睛】本题理解表格中两个变量之间的变化关系是正确判断的前提．例5．（2020·成都市七年级期中）根据心理学家研究发现，学生对一个新概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（分钟）之间有如表所示的关系：提出概念所用时间（x）257101213141720对概念的接受能力（y）47.853.556.35959.859.959.858.355（1）上表中反映的两个变量之间的关系，哪个是自变量？哪个是因变量？（2）根据表格中的数据，提出概念所用时间是多少分钟时，学生的接受能力最强？（3）学生对一个新概念的接受能力从什么时间开始逐渐减弱？【答案】（1）“提出概念所用时间”是自变量，“对概念的接受能力”为因变量；（2）13分钟；（3）从第13分钟以后开始逐渐减弱【分析】（1）根据表格中提供的数量的变化关系，得出答案；（2）根据表格中两个变量变化数据得出答案；（3）提供变化情况得出结论．【详解】（1）表格中反映的是：提出概念所用时间与对概念的接受能力这两个变量，其中“提出概念所用时间”是自变量，“对概念的接受能力”为因变量；（2）根据表格中的数据，提出概念所用时间是13分钟时，学生的接受能力最强达到59.9；（3）学生对一个新概念的接受能力从第13分钟以后开始逐渐减弱．【点睛】本题考查用表格表示变量之间的关系，理解自变量、因变量的意义及变化关系是解决问题的关键．变式9.（2021·陕西岐山·七年级期中）在烧开水时，水温达到就会沸腾，下表是某同学做“观察水的沸腾”实验时记录的数据：时间（分）温度（P）（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？（2）水的温度是如何随着时间的变化而变化的？（3）时间推移分钟，水的温度如何变化？（4）时间为分钟时，水的温度为多少？你能得出时间为分钟时，水的温度吗？【答案】（1）上表反映了水的温度与时间的关系，时间是自变量，水的温度是因变量；（2）水的温度随着时间的増加而增加，到时恒定；（3）时间推移分钟，水的温度增加，到分钟时恒定；（4）时间为分钟时，水的温度是，时间为分钟时，水的温度是．【分析】（1）给一个变量a一个值，另一个变量y就有对应的值，则c是自变量，y是因变量，据此即可判断即可；（2）根据表格中数据得出水的温度变化规律即可；（3）运用表格中数据得出水的温度变化规律解答即可；（4）根据表格中数据得出8分钟时的水温，然后根据变化规律解答即可．【详解】解：（1）上表反映了水的温度与时间的关系，时间是自变量，水的温度是因变量；（2）水的温度随着时间的增加而增加，到100℃时恒定；（3）时间推移2分钟，水的温度增加14度，到10分钟时恒定；（4）由表格可知：时间为分钟时，水的温度为86℃；在9分钟时，水的温度为86+=93℃．【点睛】本题主要考查了常量与变量，自变量与因变量等知识点，根据表格中数据分别分析得出规律是解答本题的关键．变式10.（2021·陕西西乡·七年级期末）某校一课外小组准备进行“西乡县半程马拉松”的宣传活动，需要制作宣传单，校园附近有一家印刷社，收费y（元）与印刷数x（张）之间的关系如表：印刷数量x（张）…50100200300…收费y（元）…7.5153045…（1）上表反映了和之间的关系，自变量是，因变量是；（2）从上表可知：收费y（元）随印刷数量x（张）的增加而；（3）若要印制10000张宣传单，收费元．【答案】（1）印刷收费；印刷数量；印刷数量；印刷收费；（2）增加；（3）1500．【分析】（1）由表格中数据变化可得答案；（2）由表格中，印刷收费与印刷数量的变化关系得出答案；（3）求出印刷的单价，即每张的印刷收费，再求出10000张印刷收费即可．【详解】解：（1）根据表格中的数据变化可得：上表反映了印刷收费和印刷数量之间的关系，其中印刷数量自变量，因变量是印刷收费，故答案为：印刷收费；印刷数量；印刷数量；印刷收费；（2）增加；（3）由表格中数据的变化情况可知，每张的印刷收费为7.5÷50＝0.15（元），所以印刷10000张的费用为：0.15×10000＝1500（元），故答案为：1500．【点睛】本题考查常量与变量，变量的表示方法，理解常量与变量的意义，得出印刷收费的单价是解决问题的关键．知识点1.2用关系式表示变量之间的关系1）表示自变量与因变量之间关系的数学式子叫作关系式．关系式是表示变量之间关系的另一种方法．注意:（1）关系式一般是用含自变量的代数式表示因变量的等式；（2）实际问题中，有的变量之间的关系不一定能用关系式表示出来；（3）有些问题中，自变量是有范围的，列关系式时要注明自变量的取值范围．（4）关系式（解析式）法准确地反映了因变量与自变量之间的对应规律，根据它可以由自变量的取值求出相应的因变量的值，反之亦然；2）利用关系式求值根据关系式求值实际上就是求代数式的值．注意：已知自变量的值利用关系式求因变量的值实质是求代数式的值，已知因变量的值利用关系式求自变量的值实质是解方程．1．（2020·广东茂名市·七年级期中）在烧开水时，水温达到水就会沸腾，下表是小红同学做“观察水的沸腾”实验时所记录的变量时间和温度的数据：02468101214…3044587286100100100…在水烧开之前（即），温度与时间的关系式及因变量分别为（）A．，B．，C．，D．，【答案】A【分析】由表知开始时温度为，每增加2分钟，温度增加，即每增加1分钟，温度增加，可得温度与时间的关系式．【详解】∵开始时温度为，每增加1分钟，温度增加∴温度与时间的关系式为：∵温度随时间的变化而变化∴因变量为故答案选：A【点睛】本题考查变量，关键是寻找两个变量之间的关系，同时注意自变量与因变量的区分．变式1．（2021·山东肥城·八年级期末）一辆客车以从85km/h的速度从肥城驶往北京，若肥城到北京的距离为470km，那么客车离北京的距离（km）与所用时间（h）的表达式为______．【答案】【分析】先求得的取值范围，进而根据题意列出关系式即可．【详解】根据题意可得故答案为：【点睛】本题考查了列解析式，理解题意是解题的关键．变式2．（2021·河北承德·八年级期末）琪琪拿9元钱去买单价为元/只的笔芯，买笔芯所剩的钱数（元）与所买笔芯的数量（只）之间的关系式为______．【答案】【分析】根据总价等于单价乘以数量可以算出购买笔芯用掉的钱，再根据剩余的钱数等于总钱数减去用掉的钱数，即可得出关系式．【详解】解：由题知：买笔芯用去的钱数为：所以买笔芯所剩的钱数为：故答案为：．【点睛】本题主要考查列关系式，准确理解掌握“单价、数量和总价”以及“剩余钱数、用去的钱数与总钱数”之间的关系，是解决本题的关键．例2．（2021·黑龙江虎林·八年级期末）如图，一个矩形（向左右方向）推拉窗，窗高1.55米，则活动窗扇的通风面积S（平方米）与拉开长度b（米）的关系式是__．【答案】S=1.55b【分析】通风面积是拉开长度与窗高的乘积．【详解】解：活动窗扇的通风面积S（米2）与拉开长度b（米）的关系是S=1.55b．故答案为：S=1.55b．【点睛】本题考查了列关系式的知识，解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．变式3．（2020·江苏连云港市·八年级月考）将长为、宽为的长方形白纸，按如图所示的方法粘合起来，粘合部分的宽为，设张白纸粘合后的总长度为，与的关系式为___________．【答案】y=21x+2【分析】等量关系为：纸条总长度=23×纸条的张数-（纸条张数-1）×2，把相关数值代入即可求解．【详解】每张纸条的长度是23cm，x张应是23xcm，

由图中可以看出4张纸条之间有3个粘合部分，那么x张纸条之间有（x-1）个粘合，应从总长度中减去．

∴y与x的关系式为：y=23x-（x-1）×2=21x+2．故答案为：y=21x+2．【点睛】此题考查关系式，找到纸条总长度和纸条张数的等量关系是解题的关键．变式4．（2021·山东历下·七年级期中）如图，某品牌自行车每节链条的长度为2.5cm，交叉重叠部分的圆的直径为0.8cm．（1）观察图形，填写下表：链条节数/x（节）234…链条长度/y（cm）4.2…（2）上表的两个变量中，自变量是；因变量是；（3）请你写出y与x之间的关系式；（4）如果一辆自行车的链条（安装前）共由60节链条组成，那么链条的总长度是多少？【答案】（1）5.9，7.6；（2）链条节数；链条长度；（3）y＝1.7x+0.8；（4）这辆自行车链条的总长为102cm．【分析】（1）根据图形找规律，即可求得；（2）根据变量的知识，链条的长度随着链条的节数变化而变化，即可求得；（3）根据（1）的结论写出解析式即可；（4）根据（3）解析式代入求解，最后根据实际情况，减去一个交叉重叠部分的圆的直径．【详解】（1）根据图形可得：2节链条的长度为2.5×2﹣0.8＝4.2（cm），3节链条的长度为2.5×3﹣0.8×2＝5.9（cm），4节链条的长度为2.5×4﹣0.8×3＝7.6（cm），故答案为：5.9，7.6；（2）链条的长度随着链条的节数变化而变化自变量是链条节数，因变量是链条长度；故答案为：链条节数；链条长度；（3）由（1）可得x节链条长为：y＝2.5x﹣0.8（x﹣1）＝1.7x+0.8，∴y与x之间的关系式为y＝1.7x+0.8；（4）∵自行车上的链条为环形，在展直的基础上还要减少0.8cm，∴这辆自行车链条的总长为1.7×60+0.8﹣0.8＝102（cm）．【点睛】本题考查了变量的表示方法，求变量的解析式，变量的定义，掌握变量的相关知识是解题的关键．例3．（2021·陕西西安·交大附中分校八年级开学考试）“五一”假期，小明一家随团到某风景旅游，集体门票的收费标准是：人以内（含人），每人元；超过人的，超过部分每人元．（1）写出应收门票费（元）与游览人数（人）之间的关系式；（2）利用（1）中的关系式计算：若小明一家所在的旅游团共人，则他们为购门票花了多少钱？【答案】（1）（为整数且）；（2）1050元【分析】（1）根据集体门票的收费标准，即可列出关系式；（2）把代入（1）中关系式，即可求解．【详解】解：（1）（为整数且）（2）当时，（元）答：他们为购门票花了元．【点睛】本题主要考查了列关系式，求函数值，明确题意，准确得到数量关系列出关系式是解题的关键．变式5．（2021·贵州威宁·七年级期末）威宁粮食二库需要把晾晒场上的120吨苞谷入库封存．受设备影响，每天只能入库15吨．入库所用的时间为（单位：天），未入库苞谷数量为（单位：吨）．（1）直接写出和间的关系式为：______．（2）二库职工经过钻研，改进了入库设备，现在每天能比原来多入库5吨．则①直接写出现在和间的关系式为：______．②求将120吨苞谷入库封存所需天数现在比原来少多少天？【答案】（1）y=120-15x；（2）①y=120-20x；②2【分析】（1）入库所用的时间为x，未入库苞谷数量为y的关系式为y=120-15x；（2）①改进了入库设备，每天入库15+5=20吨；y和x间的关系式为：y=120-20x；②120吨苞谷入库封存现在所需天数一原来所需天数，即可求得答案．【详解】解：（1）晾晒场上的120吨苞谷入库封存，每天只能入库15吨，入库所用的时间为x，未入库苞谷数量为y的函数关系式为y=120-15x；故答案为：y＝120-15x；（2）①改进了入库设备，则每天入库20吨；y和x间的关系式为：y=120-20x；故答案为：y=120-20x；②答：求将120吨苞谷入库封存所需天数现在比原来少2天．【点睛】主要考查了变量的实际应用.解题的关键是根据实际意义列出关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，再根据自变量的值求算对应的因变量的值．变式6．（2021·四川省成都市七中育才学校八年级开学考试）某地为了鼓励居民节约用水，决定实行两级收费制，即每月用水量不超过12吨（含12吨）时，按每吨1元收费；每月超过12吨时，超过部分每吨按市场调节价收费，小黄家1月份用水24吨，交水费42元．（1）求每吨水的市场调节价是多少元；（2）设每月用水量为x（x＞12）吨，应交水费为y元，写出y与x之间的关系式；（3）小张家3月份用水28吨，他家应交水费多少元？【答案】（1）每吨水的市场调节价为2.5元；（2）y＝2.5x−18；（3）他家应交水费52元．【分析】（1）设每吨水的市场调节价为a元，根据“每月超过12吨时，超过部分每吨按市场调节价收费”列出方程求解即可；（2）根据“每月超过12吨时，超过部分每吨按市场调节价收费”即可得出y与x之间的函数关系式；（3）根据用水量判断其在哪个范围内，代入相应的函数解析式求值即可．【详解】解：（1）设每吨水的市场调节价为a元，根据题意得：12×1＋（24−12）a＝42，解得：a＝2.5，答：每吨水的市场调节价为2.5元；（2）当x＞12时，y＝12×1＋（x−12）×2.5＝2.5x−18，∴y与x之间的关系式是y＝2.5x−18；（3）∵28＞12，∴把x＝28代入y＝2.5x−18得：y＝2.5×28−18＝52，答：他家应交水费52元．【点睛】本题考查用解析式表示变量之间的关系和一元一次方程的应用，正确理解收费标准是解题的关键．例4．（2021·广东禅城·七年级期末）假设圆锥的高是6cm，当圆锥的底面半径由小到大变化时，圆锥的体积随着底面半径而变化，（圆锥的体积公式：V＝πr2h，其中r表示底面半径，h表示圆锥的高）（1）在这个变化过程中，自变量是______________，因变量是_____________．（2）如果圆锥底面半径为r（cm），那么圆锥的体积V（cm3）与r（cm）的关系式为_________．（3）当r由1cm变化到10cm时，V由__________cm3变化到__________cm3.【答案】（1）圆锥的底面半径，圆锥的体积；（2）V＝2πr2；（3）2π；200π.【分析】（1）圆锥的体积随着底面半径的变化而变化，于是圆锥的底面半径为自变量，圆锥的体积为因变量；（2）由圆锥的体积公式：V＝π•r2•h，h＝6，可得关系式；

（3）根据函数关系式，求出当r＝1cm和r＝10cm时的体积V即可．【详解】解：（1）由于圆锥的体积随之底面半径的变化而变化，因此圆锥的底面半径为自变量，圆锥的体积为因变量，故答案为：圆锥的底面半径，圆锥的体积；

（2）当h＝6时，由圆锥的体积公式：V＝π•r2•h可得，

由圆锥的体积公式：V＝π•r2•h可得，V＝2πr2，故答案为：V＝2πr2；

（3）当r＝1cm时，V＝2π（cm3），当r＝10cm时，V＝2π×102＝200π（cm3），故答案为：2π，200π．【点睛】本题考查变量之间的关系，关系式，理解变量的意义，掌握圆锥的体积的计算方法是正确解答的前提．变式7．（2020·山东青岛市·七年级期中）用水平线和竖直线将平面分成若干个边长为1的小正方形格子，小正方形的顶点，叫格点，以格点为顶点的多边形叫格点多边形.设格点多边形的面积为，它各边上格点的个数之和为.探究一：图中①—④的格点多边形，其内部都只有一个格点，它们的面积与各边上格点的个数之和的对应关系如表：多边形的序号①②③④…多边形的面积22.534…各边上格点的个数和4568…与之间的关系式为：________.探究二：图中⑤—⑧的格点多边形内部都只有2个格点，请你先完善下表格的空格部分（即分别计算出对应格点多边形的面积）：多边形的序号⑤⑥⑦⑧…多边形的面积…各边上格点的个数和4568…与之间的关系式为：________.猜想：当格点多边形内部有且只有个格点时，与之间的关系式为：_______.【答案】探究一：；探究二：完整的表格信息见详解，；猜想：.【分析】探究一：通过观察可以看出多边形的面积等于各边上格点个数的一半，即；探究二：用“切割法”将⑤—⑧中图形分割成几个三角形或者矩形即可求出其面积，通过观察可以发现多边形的面积等于各边上格点的个数和的一半加1，即，猜想：观察可发现⑤—⑧多边形内部都有2个格点，面积在探究一的基础上加1，结合探究一、二可得出解析式【详解】探究一：当S=2时，x=4；当S=2.5时，x=5；…..通过观察多边形的面积等于各边上格点个数的一半，即；探究二：表格填写如下多边形的序号⑤⑥⑦⑧…多边形的面积33.545…各边上格点的个数和4568…通过观察可以发现多边形的面积等于各边上格点个数的一半再加1，即；猜想：比较探究二与探究一，图形面积加1，图形内部格点个数加2，也就是多边形内部格点数每增加n个，面积就比原来多了n-1，故S与x的关系式为.【点睛】本题主要考查变量之间的关系中的用表格表示变量之间的关系和用关系式表示变量之间的关系，解答本题的关键是要理解原图（表格）的变化规律，然后将它用关系式表示出来.知识点1.3用图象表示变量之间的关系1）图象法：用图象来表示两个变量之间的关系的方法叫做图象法．图象法的特点是形象、直观，可以形象地反映出变量之间关系的变化趋势和某些性质，是研究变量之间关系的好工具，其不足是由图象法往往难以得到准确的对应值．2）行程中的图象问题：在行程问题中，“速度与时间”图象和“路程与时间”图象是从两个不同的角度描述行程问题中变量之间的关系图象，注意区分．3）从图象中获取信息（1）借助于图象，可以知道自变量取某个值时，因变量取什么值或当因变量取某一个值时，对应的自变量取什么值；（2）利用图象可以判断因变量的变化趋势；（3）利用图象上一系列的点所表示的自变量与因变量的对应值，还可以得到表示两个变量之间关系的表格或关系式．例1．（2021·广东罗湖·七年级期末）一辆公共汽车从车站开出，加速行驶一段时间后开始匀速行驶．过了一段时间，汽车到达下一车站．乘客上、下车后汽车开始加速，一段时间后又开始匀速行驶．下图中近似地刻画出汽车在这段时间内的速度变化情况的是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】横轴表示时间，纵轴表示速度，根据加速、匀速、减速时，速度的变化情况，进行选择．【详解】解：公共汽车经历：加速，匀速，减速到站，加速，匀速，加速：速度增加，匀速：速度保持不变，减速：速度下降，到站：速度为0．观察四个选项的图象：只有选项B符合题意；故选：B．【点睛】本题主要考查了图象的读图能力和与实际问题结合的应用．要能根据图象的性质和图象上的数据分析得出类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．变式1．（2020·云南迪庆藏族自治州·八年级期末）为积极响应党和国家精准扶贫的号召，某扶贫工作队步行前往扶贫点开展入户调查。队员们先匀速步行一段时间，途中休息几分钟后加快了步行速度，最终按原计划时间到达目的地。设行进时间为t（单位：min），行进的路程为s（单位：m），则能近似刻画s与t之间的函数关系的大致图象是（）A．B．C． D．【答案】A【分析】根据行进的路程和时间之间的关系，确定图象即可得到答案．【详解】解：根据题意得，队员的行进路程s（单位：m）与行进时间t（单位：min）之间函数关系的大致图象是故选：A【点睛】本题考查图象，正确理解自变量与因变量的关系及其实际意义是解题的关键．变式2.（2020·甘肃九年级一模）如图，扇形OAB动点P从点A出发，沿、线段BO、OA匀速运动到点A，则OP的长度y与运动时间t之间的函数图象大致是（）A．B．C． D．【答案】D【解析】点P在弧AB上时，OP的长度y等于半径的长度，不变；点P在BO上时，OP的长度y从半径的长度逐渐减小至0；点P在OA上时，OP的长度从0逐渐增大至半径的长度．按照题中P的路径，只有D选项的图象符合．故选D．考点：图象（动点问题）例2．（2021·陕西乾县·七年级期末）某出租车公司的收费标准为：乘车不超过5千米按起步价收费，超过5千米，超过部分每千米收费1.7元，如图反映了乘车费用（元）与路程（千米）之间的关系，则公司规定的起步价是__________元．【答案】10【分析】分析图象可得到起步费．【详解】解：根据图象可得0−5千米收费一直为10元，故答案为：10．【点睛】本题主要考查了图象的应用，解题关键是能够理解图象的实际含义．变式3．（2021·内蒙古准格尔旗·八年级期末）小明从家跑步到学校，接着马上原路步行回家．如图是小明离家的路程y（米）与时间t（分）的关系图象，则小明回家的速度是每分钟步行____________米．【答案】50【分析】根据总路程÷回家用的时间即可求解．【详解】解：小明回家用了15-5=10分钟，总路程为500，故小明回家的速度为：500÷10=50（米/分），故答案为50．【点睛】本题考查由图象理解对应关系及其实际意义，应把所有可能出现的情况考虑清楚．例3．（2021·安徽亳州·八年级月考）小华骑电动车从家出发去西安交大，当他骑了一段路时，想起要买一本书，于是原路返回刚经过的新华书店，买到书后继续前往交大，如图是他离家的距离与时间的关系示意图，请根据图中提供的信息回答下列问题：（1）小华家离西安交大的距离是多少？（2）买到书后，小华从新华书店到西安交大骑车的平均速度是多少？（3）本次去西安交大途中，小华一共行驶了多少米？【答案】（1）4800米；（2）450米/分；（3）6800米【分析】（1）根据图象，直接可得小华家到西安交大的路程；（2）根据图象求得从新华书店到西安交大的路程和时间，根据速度等于路程除以时间即可求得；（3）根据图象可得路程为3段，将其相加即可．【详解】解：（1）根据图象，可知小华家到西安交大的路程是4800米；（2）小华从新华书店到西安交大的路程为4800﹣3000＝1800米，所用时间为28﹣24＝4分钟，小华从新华书店到西安交大骑车的平均速度是1800÷4=450米/分；（3）根据图象，小华一共行驶了4800＋2×（4000﹣3000）＝6800（米）．【点睛】本题考查图象，理解横纵坐标表示的含义以及小华的运动过程，从图象中获取信息是解题的关键．变式4．（2021·山东聊城市·七年级期末）如图是2020年1月15日至2月2日全国（除湖北省）新冠肺炎新增确诊人数的变化曲线，则下列说法：①自变量为时间，确诊总人数是时间的函数；②1月23号，新增确诊人数约为150人；③1月25号和1月26号，新增确诊人数基本相同；④1月30号之后，预测新增确诊人数呈下降趋势，其中正确的是____________．（填上你认为正确的说法的序号）【答案】②③④【分析】观察图中曲线中的数据变化，分析数据即可解题．【详解】由图象信息得，自变量为时间，因变量为新增确诊人数，新增确诊人数是时间的函数，故①错误；1月23号，新增确诊人数约为150人，故②正确；1月25号和1月26号，新增确诊人数基本相同，故③正确；1月30号之后，预测新增确诊人数呈下降趋势，故④正确，故正确的有②③④，故答案为：②③④．【点睛】本题考查常量与变量，图象等知识，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．变式5．（2021·四川金牛·七年级期末）小明从家骑单车上学，当他骑了一段时，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的新华书店，买到书后继续去学校，以下是他本次所用的时间与离家的距离的关系示意图，根据图中的信息回答下列问题，则下列说法错误的是（）A．小明家到学校的路程是米B．小明在书店停留了分钟C．本次上学途中，小明一共行驶了米D．若骑单车的速度大于米/分就有安全隐患．在整个上学的途中，小明骑车有分钟的超速骑行，存在安全隐患．【答案】C【分析】选项A根据图象的纵坐标即可得出答案；选项B根据图象的横坐标可得到达书店时间，离开书店时间，根据有理数的减法可得答案；选项C根据图象的纵坐标，可得相应的路程，根据有理数的加法可得答案；选项D根据图象的纵坐标可得路程，根据图象的横坐标可得时间，根据路程与时间的关系可得速度．【详解】解：A、根据图象可得学校的纵坐标为1500，小明家的纵坐标为0，故小明家到学校的路程是1500米；故本选项不符合题意；B、根据题意，小明在书店停留的时间为从8分到12分，故小明在书店停留了4分钟；故本选项不符合题意；C、一共行驶的总路程=1200+（1200-600）+（1500-600）=2700（米），故本选项符合题意；D、由图象可知：0到6分钟时，平均速度=（米/分），6到8分钟时，平均速度=（米/分），12到14分钟时，平均速度=（米/分），所以12到14分钟时速度最快，不在安全限度内，故本选项不符合题意；故选C．【点睛】本题主要考查了函数图象，解题的关键是从函数图象得到基本信息进行求解．例4．（2021·黑龙江林口·八年级期末）甲、乙两同学从A地出发，骑自行车在同一条路上行驶到B地，他们离出发地的距离s（千米）和行驶时间t（小时）之间的函数关系的图象如图所示，根据图中提供的信息，有下列说法，其中，不符合图象描述的说法是（）A．他们都行驶了18千米；B．甲在途中停留了0.5小时；C．乙比甲晚出发了0.5小时；D．甲、乙两人同时到达目的地．【答案】D【分析】直接根据图象逐一进行判断即可．【详解】根据图象可知他们都行驶了18千米，故A正确；甲出发后0.5-1小时直线是水平的，所以甲在途中停留了0.5小时，故B正确；直接由图象可知乙比甲晚出发了0.5小时，故C正确；乙比甲先到达目的地，故D错误，故选：D．【点睛】本题主要考查函数图象，能够从图象上获取信息是关键．变式6．（2021·云南盘龙·八年级期末）A、B两地相距80km，甲、乙两人沿同一条路从A地到B地，如图，分别表示甲、乙两人离开A地的距离s（km）与时间t（h）之间的关系．下列说法正确的是（）A．乙车出发1.5小时后甲才出发 B．两人相遇时，他们离开A地40kmC．甲的速度是km/h D．乙的速度是km/h【答案】D【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．【详解】解：由图可得，乙车出发1.5小时后甲已经出发一段时间，故选项A不合题意；两人相遇时，他们离开A地20km，故选项B不合题意；甲的速度是（80−20）÷（3−1.5）＝40（km/h），故选项C不合题意；乙的速度是40÷3＝（km/h），故选项D符合题意．故选：D．【点睛】本题考查利用函数图像解决问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．变式7．（2021·沙坪坝·重庆一中九年级月考）甲、乙两人沿同一条路从地出发，去往100千米外的地，甲、乙两人离地的距离（千米）与时间（小时）之间的关系如图所示，以下说法正确的是（）A．甲的速度是B．乙的速度是C．乙同时到达D．甲出发两小时后两人第一次相遇【答案】A【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．【详解】解：由图可得，甲车出发第2小时时距离A地40千米，甲车出发第3小时时距离A地100千米，甲车的速度是（100-40）÷（3-2）=60千米/小时，故选项A符合题意；乙车出发3小时时距离A地60千米，乙车速度是60÷3=20千米/小时，故选项B不合题意；甲车行驶100千米时，乙车行驶了60千米，甲车先到B地，故选项C不合题意；乙出发两小时后，甲车追上乙车，故选项D不符合题意．故选A．【点睛】本题主要考查了函数图象信息分析，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．例5．（2021·辽宁大东·七年级期末）某车间的甲、乙两名工人分别同时生产同一种零件，他们一天生产零件的个数y（个）与生产时间t（时）（1）甲、乙两人中，直接写出谁先完成一天的生产任务？（2）在生产过程中，直接写出甲乙两人中谁因机器故障停止生产？并直接写出停止生产了几小时？（3）当t＝时，甲、乙生产的零件个数相等；（4）直接写出谁在哪一段时间内的生产速度最快？求该段时间内，他每小时生产零件的个数．【答案】（1）甲先完成一天的生产任务；（2）甲因机器故障停止生产，停止生产了2小时；（3）当t＝3或5.5或8时，甲、乙生产的零件个数相等；（4）甲在4时—7时内的生产速度最快，他每小时生产零件的个数为10个．【分析】（1）从图像得甲7时完成一天的生产任务，乙8时完成一天的生产任务即可；（2）在生产过程中，甲因机器故障停止生产，由时间推迟，生产产量不增加，在图像上找出时间段，再用减法求出时间即可；（3）先乙生产时间大于2小时后生产效率6个/时，t时甲、乙生产的零件个数相等；再图像上找出两图像的交点，利用方程可解；（4）求出每个时间段生产效率，在做比较即可．【详解】解：（1）从图像得甲7时完成一天的生产任务，乙8时完成一天的生产任务，∴甲先完成一天的生产任务；（2）在生产过程中，甲因机器故障停止生产，由时间推迟，生产产量不增加，在图像上时间为4-2=2小时；（3）乙生产时间大于2小时候生产效率为（40-4）÷（8-2）=6个/时t时甲、乙生产的零件个数相等；6(t-2)+4=10,解得t=3t=5.5时甲、乙生产的零件个数相等；t=8时甲、乙生产的零件个数相等；∴当t=3或5.5或8时，甲、乙生产的零件个数相等；故答案为3或5.5或8；（4）甲在4时前的生产效率为：10÷2=5个/时，在4时后的生产效率为：（40-10）÷（7-4）=30÷3=10个/时，乙在2时前的生产效率为：4÷2=2个/时∴在4时至7时甲生产的速度最快，每小时生产10个零件．【点睛】本题考查从图像上获取信息，利用生产件数=生产效率×时间解题，掌握从图像上获取信息，拐点，水平线，交点的意义，利用生产件数=生产效率×时间解题是关键．变式8．（2020·全国七年级课时练习）一水池有两个进水口，一个出水口，一个水口在单位时间内的进、出水量如图（a）、（b）所示，某天从0点到6点，该水池的蓄水量如图（c）所示，给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点一定不进水不出水．则正确的论断是________．（填上所有正确论断的序号）【答案】①【分析】先由图（a）、（b）可得进水速度和出水速度，再对图（c）的三个时间段结合图象逐一