简明工程力学 课件 第7章 弯曲应力

工程力学

第七章弯曲应力

§7.1

纯弯曲梁的内力Fs，M是由分布在横截面上应力构成的，其分布规律但总可以分解成

和

。FsMNyNl

内力剪力Fs

切应力t弯矩M

正应力s∴有结论：平面弯曲时横截面纯弯曲梁(横截面上只有M而无FS)平面弯曲时横截面横力弯曲梁(横截面上既有FS又有M)s

s

t从纯弯曲purebending梁入手，研究

FFaaCDAB++FF+Fa先观察实验现象，再提必要的合理的假设。MMmmnnMMmmnn纵线横线提出假设(assumptions）（a）平截面假设（b）单向受力假设推论：必有一层变形前后长度不变的纤维—中性层选中性轴为坐标轴非常有意义，可使结果表达最简单§7.2

纯弯曲时的正应力横截面

z

轴——中性轴zy

y坐标相同的点所在纵线变形相同，因而应力相同，所以

=

(y)

yOy

轴——纵向对称轴计算点是何规律依然未知，所以。。。

1.变形几何关系（纵向线与中性层的变形关系）

b’b’的线应变2.物理关系当σ≤σp，有胡克定律ρO′d

O′yb′b′MyzOx?待解决问题中性轴的位置中性层的曲率半径

3、静力关系

横截面上内力系为垂直于横截面的空间平行力系，这一力系简化得到三个内力分量。

列平衡方程可得

（1）

（2）（3）yzxOMdAzy

dAFNMzMy

可见，中性轴通过横截面的形心。由于y轴是对称轴，这一条自动满足。则所以弯曲正应力公式弯曲正应力沿。。。中性轴记惯性矩称之为。。。这个公式该怎么用§7.3

横力弯曲时的正应力最大正应力有

，截面翘曲，横截面假设不再成立，但对细长梁（l/h>>5）,

仍可用。则公式改写为引用记号—抗弯截面系数矩形截面实心圆截面空心圆截面bhzyzdyzDdy常见截面Iz，Wz的计算弯曲正应力强度条件注：⑴当[

t]≠[

c](脆),应分别计算。

[

t]——许用拉应力

[

c]——许用压应力⑵型钢的Wz等参数应查表。⑶截面上下不对称应当用公式：若为等直梁：塑性材料：

[

t]=[

c]=[

]解：作弯矩图例7-1宽b=120mm,高h=180mm的矩形截面简支梁如图所示，求跨中截面上a,b,c三点的正应力。q=4kN/m3mz120180bac50a点：b点：c点：M(kN.m)4.5例7-2如图所示的简支梁，q=2kN/m，l=2m，分别采用截面面积相等的实心和空心圆截面，且D1=40mm，d2=0.6D2，计算最大正应力并比较。q=2kN/m2mM(kN.m)1zD1yzD2d2y解：作弯矩图危险截面：中间截面；危险点：上下点下面进行强度计算实心计算空心尺寸，d2=30mm，D2=50mm减少了(159-93.6)

159100=41

,说明。。。例7-3校核机车轮轴强度，并求中点位移

。已知d1=160mm，d2=130mm，l=1.58m，P=62.5kN，a=0.267m，b=0.160m，[

]=60MPa，E=200GPa。解：作弯矩图知|M|max=Pa=16.7kN

mPa校核强度，先|M|max处还有个位置也需要校核|M|=Pb=10kN

mPbPb∴安全求中点位移

，AB段纯弯sin=l/2

≈

∴

=0.5

2=0.81mm80y1y22020120z例7-4T形截面铸铁梁的荷载和截面尺寸如图所示。铸铁的许用拉应力为[

t]=30MPa，许用压应力为[

c]=160MPa。已知截面对形心轴z的惯性矩为Iz

=763cm4，y1=52mm，校核梁的强度。F1=9kNF2=4kNACBD1m1m1mFRAFRBF1=9kNF2=4kNACBD1m1m1m-+4kN·m2.5kN·m解：最大正弯矩在截面C上最大负弯矩在截面B上

B截面C截面80y1y22020120z∴安全§7.4

弯曲切应力

平面横力弯曲时，梁横截面上既有Fs又有M，即存在有

。按照切应力互等定律，平行于中性层的纵向平面也有

。可能造成。。由矩形截面梁入手，研究

。横力弯曲变形特点：截面翘曲一、矩形截面BAF

z

y

xFs推公式前要干什么？必要的合理的假设！！！

′假设：①截面上任意一点

方向均平行于Fs；②

沿宽度方向均匀分布，即

=

(y)下面的任务：

=

(Fs,y)=?BAFFsFsFsMM+dMM11′22′x121′2′dxFsFsMM+dMzyxbdx

′xh/2dx121′2′A*

dA

′N1N2yzyxbdxA*

dA

′N1N21855Журавский注意各项含义，尤其是forrectangularsection,ybhFs

沿截面高度按抛物线规律分布∴（上、下边缘）

=0y=0（中性轴）zyτA*

亦抛物线分布，所以翘曲二、工字形截面h1bhzdy腹板——坐标y

处切应力符合矩形截面梁两个假定y抛物线y=0（中性轴）h1bhzdy腹板

剪力的（95～97%）分布在腹板上，且接近均匀分布，所以可近似计算为翼缘——剪应力较小，通常不予考虑

对型钢，应利用附录表中数据计算

maxh1bhzdy三、圆形截面Fszyd

a,a1两点：

在切线方向。

aa1连线上各点，

值相等，均交于一点。

a1a中性轴上各点：

∥Fs，设均匀分布

中性轴上各点：

∥Fs

均匀分布zyτmax四、环形截面切应力强度校核

以下情况需要校核切应力强度，即：下述情况切应力对强度的影响都较大：

1.短梁

2.薄壁梁

3.木梁（各向异性）

4.铆接焊接而成的组合截面梁切应力强度条件

max≤[

]

适用于

=0或数值很小、

≠0的点。一般来说

max和

max不在同一位置要分别考虑。例7-5一简易起重设备如图所示。起重量(包含电葫芦自重)F=30kN。跨长l=5m。吊车大梁AB由20a工字钢制成。其许用弯曲正应力[

]=170MPa,许用弯曲切应力[

]=100MPa，试校核梁的强度。+37.5kN·m5mAB2.5mFC解：此吊车梁可简化为简支梁，力F

在梁中间位置时有最大正应力：（a）正应力强度校核所以梁的最大正应力为由型钢表查得20a工字钢的F+Fsmax5mABFC（b）切应力强度校核

在计算最大切应力时，应取荷载F紧靠任一支座如支座A处所示，因为此时该支座的支反力最大，而梁的最大切应力也就最大。查型钢表中，20a号工字钢，有d=7mm据此校核梁的切应力强度以上两方面的强度条件都满足，所以此梁是安全的。§7.5

提高梁弯曲强度措施我们现在知道，弯曲有自然就有一个问题哪个起着主导因素？例7-6悬臂梁载荷尺寸如图示，比较

max和

max。Plbh说明。。。提高弯曲正应力强度措施一、减小Mmax——合理安排梁的受力qlM1、合理安排支座q0.6l0.2l0.2lM合理布置支座的实例2、合理布置载荷（分散化）F集中力尽量靠近支座（但剪力会很大）。3、静定→超静定（加多余约束）FFlM改变加力位置减小最大弯矩二、增大Wz——合理设计截面1、合理形状：由Mmax≤[

]Wz

,W/A越大越合理hbzhh0.167h0.125d(0.27～0.31)h

原则：尽量使材料远离中性轴。d例7-6①对于[

t]=[

c]，哪种截面最合理？[

t]=[

c]，中性轴为对称轴合理。A截面