《第七章 随机变量及其分布》章末复习与单元检测试卷（共三套）

《第七章随机变量及其分布》章末复习【网络构建】【核心归纳】1．离散型随机变量及其分布列(1)随机变量：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量，通常用字母X，Y，Z等表示．(2)离散型随机变量：所有取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量.(3)离散型随机变量的分布列.一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi(i＝1，2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi为X的概率分布列，简称分布列，也可以表格的形式表示如下：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn(4)离散型随机变量的分布列的性质①pi≥0，i＝1，2，…，n；②eq\o(∑,\s\up10(n),\s\do10(i＝1))pi＝1.(5)常见的分布列两点分布：对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，eq\o(A,\s\up6(－))表示“失败”，定义X＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1，A发生，,0，\o(A,\s\up6(－))发生，))如果P(A)＝p，则P(eq\o(A,\s\up6(－)))＝1－p，那么X的分布列如表所示X01P1－pp我们称X服从两点分布或0－1分布．超几何分布：假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝eq\f(Ceq\o\al(k,M)Ceq\o\al(n－k,N－M),Ceq\o\al(n,N))，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布．2．二项分布及其应用(1)条件概率：一般地，设A和B是两个随机事件，且P(A)＞0，称P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率．P(B|A)读作A发生的条件下B发生的概率．(2)全概率一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝eq\o(∑,\s\up10(n),\s\do10(i＝1))P(Ai)P(Beq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(Ai）)).全概率公式是用来计算一个复杂事件的概率，它需要将复杂事件分解成若干简单事件的概率运算．即运用了“化整为零”的思想处理问题．(3)n重伯努利试验：只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验．将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验．(4)二项分布：一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0＜p＜1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)．两点分布是当n＝1时的二项分布，二项分布可以看成是两点分布的一般形式．3．离散型随机变量的均值与方差(1)均值、方差：一般地，若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．称D(X)＝eq\o(∑,\s\up10(n),\s\do10(i＝1))(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，eq\r(D（X））)为随机变量X的标准差．(2)均值与方差的性质：若Y＝aX＋b，其中a，b是常数，X是随机变量，则Y也是随机变量，且E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)．(3)常见分布的均值和方差公式①两点分布：若随机变量X服从参数为p的两点分布，则均值E(X)＝p，方差D(X)＝p(1－p)．②二项分布：若随机变量X～B(n，p)，则均值E(X)＝np，方差D(X)＝np(1－p)．4．正态分布(1)函数f(x)＝eq\f(1,σ\r(2π))e－eq\f(（x－μ）2,2σ2)，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数．显然对于任意x∈R，f(x)>0，它的图象在x轴的上方，可以证明x轴和曲线之间的区域的面积为1.我们称f(x)为正态密度函数，称它的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．随机变量X服从正态分布，记作X～N(μ，σ2)．(2)正态曲线的特点①曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；②曲线在x＝μ处达到峰值eq\f(1,σ\r(2π))；③当eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))无限增大时，曲线无限接近x轴．(3)正态分布的期望与方差若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2.【要点聚集】要点一条件概率的求法条件概率是学习相互独立事件的前提和基础，计算条件概率时，必须搞清欲求的条件概率是在什么条件下发生的概率．一般地，计算条件概率常有两种方法：(1)P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)；(2)P(B|A)＝eq\f(n（AB）,n（A）).在古典概型下，n(AB)指事件A与事件B同时发生的样本点个数；n(A)是指事件A发生的样本点个数．【例1】口袋中有2个白球和4个红球，现从中随机地不放回连续抽取两次，每次抽取1个，则：(1)第一次取出的是红球的概率是多少？(2)第一次和第二次都取出的是红球的概率是多少？(3)在第一次取出红球的条件下，第二次取出的是红球的概率是多少？解记事件A：第一次取出的是红球；事件B：第二次取出的是红球．(1)从中随机地不放回连续抽取两次，每次抽取1个，所有样本点共6×5个；第一次取出的是红球，第二次是其余5个球中的任一个，符合条件的有4×5个，所以P(A)＝eq\f(4×5,6×5)＝eq\f(2,3).(2)从中随机地不放回连续抽取两次，每次抽取1个，所有样本点共6×5个；第一次和第二次都取出的是红球，相当于取两个球，都是红球，符合条件的有4×3个，所以P(AB)＝eq\f(4×3,6×5)＝eq\f(2,5).(3)利用条件概率的计算公式，可得P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)＝eq\f(\f(2,5),\f(2,3))＝eq\f(3,5).【训练1】掷两颗均匀的骰子，已知第一颗骰子掷出6点，求“掷出点数之和大于或等于10”的概率．解设“掷出点数之和大于或等于10”为事件A；“第一颗掷出6点”为事件B，法一P(A|B)＝eq\f(P（AB）,P（B）)＝eq\f(\f(3,36),\f(6,36))＝eq\f(1,2).法二“第一颗骰子掷出6点”的情况有(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)共6种．∴n(B)＝6.“掷出点数之和大于或等于10”且“第一颗掷出6点”的情况有(6，4)，(6，5)，(6，6)共3种，即n(AB)＝3.∴P(A|B)＝eq\f(n（AB）,n（B）)＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2).要点二全概率公式全概率公式适用于“整体难算，分开易算”的情况，采取“化整为零，各个击破”的解题策略．【例2】某学生的手机掉了，落在宿舍中的概率为60%，在这种情况下找到的概率为98%；落在教室里的概率为25%，在这种情况下找到的概率为50%；落在路上的概率为15%，在这种情况下找到的概率为20%.求：(1)该学生找到手机的概率；(2)在找到的条件下，手机在宿舍中找到的概率．解设“手机落在宿舍”为事件B1，“手机落在教室”为事件B2，“手机落在路上”为事件B3，“找到手机”为事件A，则Ω＝B1∪B2∪B3，(1)P(A)＝P(A|B1)P(B1)＋P(A|B2)P(B2)＋P(A|B3)P(B3)＝98%×60%＋50%×25%＋20%×15%＝0.743.(2)P(B1|A)＝eq\f(P（B1A）,P（A）)＝eq\f(P（A|B1）P（B1）,P（A）)＝eq\f(60%×98%,0.743)≈0.791.【训练2】采购员要购买10个一包的电器元件．他的采购方法是：从一包中随机抽查3个，如果这3个元件都是好的，他才买下这一包．假定含有4个次品的包数占30%，而其余包中各含1个次品．求：(1)采购员拒绝购买的概率；(2)在采购员拒绝购买的条件下，抽中的一包中含有4个次品的概率．解B1＝{取到的是含4个次品的包}，B2＝{取到的是含1个次品的包}，A＝{采购员拒绝购买}，P(B1)＝0.3，P(B2)＝0.7.P(A|B1)＝1－eq\f(Ceq\o\al(3,6),Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(5,6)，P(A|B2)＝1－eq\f(Ceq\o\al(3,9),Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(3,10).(1)由全概率公式得到P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＝eq\f(3,10)×eq\f(5,6)＋eq\f(7,10)×eq\f(3,10)＝eq\f(23,50).(2)P(B1|A)＝eq\f(P（B1）P（A|B1）,P（A）)＝eq\f(\f(3,10)×\f(5,6),\f(23,50))＝eq\f(25,46).要点三离散型随机变量的分布列、均值和方差求离散型随机变量的均值与方差，常见分布以相应公式求解，综合问题注意以下几个步骤：角度1两点分布【例3】设X服从两点分布，分布列为，其中p∈(0，1)，则()A．E(X)＝p，D(X)＝p3B．E(X)＝p，D(X)＝p2C．E(X)＝q，D(X)＝q2D．E(X)＝1－p，D(X)＝p－p2解析X服从两点分布，则E(X)＝q＝1－p，D(X)＝p(1－p)＝p－p2.答案D角度2二项分布【例4】已知随机变量X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，\f(1,2)))，则D(2X＋1)等于()A．6 B．4C．3 D．9解析D(2X＋1)＝4D(X)，D(X)＝6×eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＝eq\f(3,2)，∴D(2X＋1)＝4×eq\f(3,2)＝6.答案A角度3超几何分布【例5】某学院为了调查本校学生2020年4月“健康上网”(健康上网是指每天上网不超过两个小时)的天数情况，随机抽取了40名本校学生，统计他们在该月30天内健康上网的天数，并将所得的数据分成以下六组：[0，5]，(5，10]，(10，15]，…，(25，30]，由此画出样本的频率分布直方图，如图所示．(1)根据频率分布直方图，求这40名学生中健康上网天数超过20天的人数；(2)现从这40名学生中任取2名，设Y为取出的2名学生中健康上网天数超过20天的人数，求Y的分布列及均值E(Y)．解(1)由图可知健康上网天数未超过20天的频率为(0.01＋0.02＋0.03＋0.09)×5＝0.15×5＝0.75，所以健康上网天数超过20天的学生人数是40×(1－0.75)＝40×0.25＝10.(2)随机变量Y的所有可能取值为0，1，2，且Y服从超几何分布．所以P(Y＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(2,30),Ceq\o\al(2,40))＝eq\f(29,52)，P(Y＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,10)Ceq\o\al(1,30),Ceq\o\al(2,40))＝eq\f(5,13)，P(Y＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(2,10),Ceq\o\al(2,40))＝eq\f(3,52).所以Y的分布列为Y012Peq\f(29,52)eq\f(5,13)eq\f(3,52)所以Y的均值E(Y)＝1×eq\f(5,13)＋2×eq\f(3,52)＝eq\f(1,2).角度4综合应用【例6】一次同时投掷两枚相同的正方体骰子(骰子质地均匀，且各面分别刻有1，2，2，3，3，3六个数字)．(1)设随机变量X表示一次掷得的点数和，求X的分布列；(2)若连续投掷10次，设随机变量Y表示一次掷得的点数和大于5的次数，求E(Y)，D(Y)．解(1)由已知，随机变量X的取值为2，3，4，5，6.设掷一个正方体骰子所得点数为X0，则X0的分布列为：P(X0＝1)＝eq\f(1,6)，P(X0＝2)＝eq\f(1,3)，P(X0＝3)＝eq\f(1,2)，所以P(X＝2)＝eq\f(1,6)×eq\f(1,6)＝eq\f(1,36)，P(X＝3)＝2×eq\f(1,6)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,9)，P(X＝4)＝2×eq\f(1,6)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(5,18)，P(X＝5)＝2×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,3)，P(X＝6)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4).故X的分布列为X23456Peq\f(1,36)eq\f(1,9)eq\f(5,18)eq\f(1,3)eq\f(1,4)(2)由已知，满足条件的一次投掷的点数和取值为6，设某次发生的概率为p，由(1)知，p＝eq\f(1,4).因为随机变量Y～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10，\f(1,4)))，所以E(Y)＝np＝10×eq\f(1,4)＝eq\f(5,2)，D(Y)＝np(1－p)＝10×eq\f(1,4)×eq\f(3,4)＝eq\f(15,8).【训练3】某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别为0.4，0.5，0.6，且客人是否游览哪个景点互不影响，设X表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值．(1)求X的分布列；(2)记“函数f(x)＝x2－3Xx＋1在区间[2，＋∞)上单调递增”为事件A，求事件A发生的概率．解(1)分别记“客人游览甲景点”、“客人游览乙景点”、“客人游览丙景点”为事件A1，A2，A3.则A1，A2，A3相互独立，且P(A1)＝0.4，P(A2)＝0.5，P(A3)＝0.6.客人游览的景点数的可能取值为0，1，2，3.相应地，客人没有游览的景点数的可能取值为3，2，1，0，所以X的可能取值为1，3.P(X＝3)＝P(A1A2A3)＋P(eq\a\vs4\al(\o(A,\s\up6(－))1)eq\a\vs4\al(\o(A,\s\up6(－))2)eq\a\vs4\al(\o(A,\s\up6(－))3))＝P(A1)P(A2)P(A3)＋P(eq\a\vs4\al(\o(A,\s\up6(－))1))P(eq\o(A,\s\up6(－))2)P(eq\o(A,\s\up6(－))3)＝0.4×0.5×0.6＋0.6×0.5×0.4＝0.24.P(X＝1)＝1－0.24＝0.76.所以X的分布列为：X13P0.760.24(2)因为f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)X))eq\s\up12(2)＋1－eq\f(9,4)X2，所以函数f(x)＝x2－3Xx＋1在区间eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)X，＋∞))上单调递增，要使f(x)在区间[2，＋∞)上单调递增，当且仅当eq\f(3,2)X≤2，即X≤eq\f(4,3).从而P(A)＝Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X≤\f(4,3)))＝P(X＝1)＝0.76.要点四正态分布解答正态分布的实际应用题，关键是如何转化，同时注意以下两点：(1)注意“3σ”原则，记住正态总体在三个区间内取值的概率．(2)注意数形结合．由于正态分布密度曲线具有完美的对称性，体现了数形结合的重要思想，因此运用对称性和结合图象解决某一区间内的概率问题成为热点问题.【例7】某学校高三2500名学生第二次模拟考试总成绩服从正态分布N(500，502)，请你判断考生成绩X在550～600分的人数．解∵考生成绩X～N(500，502)，∴μ＝500，σ＝50，∴P(550＜X≤600)＝eq\f(1,2)[P(500－2×50＜x≤500＋2×50)－P(500－50＜X≤500＋50)]≈eq\f(1,2)×(0.9545－0.6827)＝0.1359，∴考生成绩在550～600分的人数为2500×0.1359≈340(人)．【训练4】某地数学考试的成绩X服从正态分布，某密度函数曲线如右图所示，成绩X位于区间[52，68]的概率为多少？解设成绩X～N(μ，σ2)，则正态分布的密度函数φμ，σ(x)＝eq\f(1,σ\r(2π))e－eq\f(（x－μ）2,2σ2)，由图可知，μ＝60，σ＝8.∴P(52≤X≤68)＝P(60－8≤X≤60＋8)＝P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827.要点五方程思想方程思想是高中数学中最基本、最重要的数学思想之一，这种思想方法就是从分析问题的数量关系入手，把变量之间的关系用方程的关系反映出来，然后通过解方程或对方程进行讨论，使问题得以解决，利用方程思想解题的关键是列出方程．【例8】一个袋子内装有若干个黑球、3个白球、2个红球(所有的球除颜色外其他均相同)，从中一次性任取2个球，每取得一个黑球得0分，每取得一个白球得1分，每取得一个红球得2分，用随机变量X表示取2个球的总得分，已知得0分的概率为eq\f(1,6).(1)求袋子中黑球的个数；(2)求X的分布列与均值．解(1)设袋中黑球的个数为n(n≥2)，由条件知，当取得2个黑球时得0分，概率为P(X＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(2,n),Ceq\o\al(2,n＋5))＝eq\f(1,6)，化简得n2－3n－4＝0，解得n＝4或n＝－1(舍去)，即袋子中有4个黑球．(2)X的所有可能取值为0，1，2，3，4，∴P(X＝0)＝eq\f(1,6)，P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,3),Ceq\o\al(2,9))＝eq\f(1,3)，P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,4),Ceq\o\al(2,9))＝eq\f(11,36)，P(X＝3)＝eq\f(Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2),Ceq\o\al(2,9))＝eq\f(1,6)，P(X＝4)＝eq\f(Ceq\o\al(2,2),Ceq\o\al(2,9))＝eq\f(1,36)，∴X的分布列为X01234Peq\f(1,6)eq\f(1,3)eq\f(11,36)eq\f(1,6)eq\f(1,36)∴E(X)＝0×eq\f(1,6)＋1×eq\f(1,3)＋2×eq\f(11,36)＋3×eq\f(1,6)＋4×eq\f(1,36)＝eq\f(14,9).【训练5】甲、乙两人为了响应政府“节能减排”的号召，决定各购置一辆纯电动汽车．经了解目前市场上销售的主流纯电动汽车，按续航里程数R(单位：千米)可分为三类车型，A：80≤R<150，B：150≤R<250，C：R≥250.甲从A，B，C三类车型中挑选一款，乙从B，C两类车型中挑选一款，甲、乙二人选择各类车型的概率如下表：车型人ABC甲eq\f(1,5)pq乙—eq\f(1,4)eq\f(3,4)若甲、乙都选C类车型的概率为eq\f(3,10).(1)求p，q的值；(2)求甲、乙选择不同车型的概率；(3)某市对购买纯电动汽车进行补贴，补贴标准如下表：车型ABC补贴金额(万元/辆)345记甲、乙两人购车所获得的财政补贴和为X万元，求X的分布列．解(1)由题意可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)q＝\f(3,10)，,p＋q＋\f(1,5)＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(p＝\f(2,5)，,q＝\f(2,5).))(2)设“甲、乙选择不同车型”为事件M，分甲选车型A，甲选车型B、乙选车型C，甲选车型C、乙选车型B三种情况，故P(M)＝eq\f(1,5)＋eq\f(2,5)×eq\f(3,4)＋eq\f(2,5)×eq\f(1,4)＝eq\f(3,5).所以甲、乙选择不同车型的概率是eq\f(3,5).(3)X的所有可能取值为7，8，9，10.P(X＝7)＝eq\f(1,5)×eq\f(1,4)＝eq\f(1,20)，P(X＝8)＝eq\f(1,5)×eq\f(3,4)＋eq\f(2,5)×eq\f(1,4)＝eq\f(1,4)，P(X＝9)＝eq\f(2,5)×eq\f(1,4)＋eq\f(2,5)×eq\f(3,4)＝eq\f(2,5)，P(X＝10)＝eq\f(2,5)×eq\f(3,4)＝eq\f(3,10).所以X的分布列为X78910Peq\f(1,20)eq\f(1,4)eq\f(2,5)eq\f(3,10)《第七章随机变量及其分布》单元检测试卷(一)(时间：120分钟满分：150分)一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为X，则“X＝5”表示的试验结果是()A．第5次击中目标 B．第5次未击中目标C．前4次未击中目标 D．第4次击中目标解析击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为X＝5，则说明前4次均未击中目标．答案C2．4个高尔夫球中有3个合格、1个不合格，每次任取一个，不放回地取两次．若第一次取到合格的高尔夫球，则第二次取到合格高尔夫球的概率为()A.eq\f(1,2) B.eq\f(2,3)C.eq\f(3,4) D.eq\f(4,5)解析法一记事件A为“第一次取到的是合格高尔夫球”，事件B为“第二次取到的是合格高尔夫球”．由题意可得P(AB)＝eq\f(3×2,4×3)＝eq\f(1,2)，P(A)＝eq\f(3×3,4×3)＝eq\f(3,4)，所以P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)＝eq\f(\f(1,2),\f(3,4))＝eq\f(2,3).法二记事件A为“第一次取到的是合格高尔夫球”，事件B为“第二次取到的是合格高尔夫球”．由题意可得事件AB发生所包含的样本点数n(AB)＝3×2＝6，事件A发生所包含的样本点数n(A)＝3×3＝9，所以P(B|A)＝eq\f(n（AB）,n（A）)＝eq\f(6,9)＝eq\f(2,3).答案B3．设随机变量X的分布列为P(X＝i)＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(i)(i＝1，2，3)，则a的值为()A．1 B.eq\f(9,13)C.eq\f(11,13) D.eq\f(27,13)解析因为P(X＝1)＝eq\f(a,3)，P(X＝2)＝eq\f(a,9)，P(X＝3)＝eq\f(a,27)，所以eq\f(a,3)＋eq\f(a,9)＋eq\f(a,27)＝1，所以a＝eq\f(27,13).答案D4．已知某一随机变量X的概率分布列如下，且E(X)＝6.3，则a的值为()X4a9P0.50.1bA.5 B．6C．7 D．8解析由分布列性质知：0.5＋0.1＋b＝1，∴b＝0.4.∴E(X)＝4×0.5＋a·0.1＋9×0.4＝6.3，∴a＝7.答案C5．若随机变量X服从正态分布，其正态曲线上的最高点的坐标是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10，\f(1,2)))，则该随机变量的方差等于()A．10 B．100C.eq\f(2,π) D.eq\r(\f(2,π))解析由正态分布密度曲线上的最高点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10，\f(1,2)))知eq\f(1,\r(2π)·σ)＝eq\f(1,2)，即σ＝eq\f(\r(2),\r(π))，∴D(X)＝σ2＝eq\f(2,π).答案C6．设随机变量X～B(2，p)，随机变量Y～B(3，p)，若P(X≥1)＝eq\f(5,9)，则D(3Y＋1)＝()A．2 B．3C．6 D．7解析由题意得P(X≥1)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝Ceq\o\al(1,2)p(1－p)＋Ceq\o\al(2,2)p2＝eq\f(5,9)，所以p＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(p＝\f(5,3)舍去))，则Y～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(1,3)))，故D(Y)＝3×eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＝eq\f(2,3)，所以D(3Y＋1)＝9D(Y)＝9×eq\f(2,3)＝6.答案C7．如果正态分布总体的数据落在(－3，－1)内的概率和落在(3，5)内的概率相等，那么这个正态分布总体的数学期望是()A．0 B．1C．2 D．3解析正态分布总体的数据落在这两个区间里的概率相等，说明在这两个区间上位于正态曲线下方的面积相等，区间(－3，－1)和(3，5)的长度相等，说明正态曲线在这两个区间上是对称的．因为正态曲线关于直线x＝μ对称，μ的意义就是期望，而区间(－3，－1)和(3，5)关于x＝1对称，所以正态分布总体的数学期望是1.答案B8．若同时抛掷两枚骰子，当至少有5点或6点出现时，就说这次试验成功，则在3次试验中至少有1次成功的概率是()A.eq\f(125,729) B.eq\f(80,243)C.eq\f(665,729) D.eq\f(100,243)解析一次试验中，至少有5点或6点出现的概率为1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＝1－eq\f(4,9)＝eq\f(5,9)，设X为3次试验中成功的次数，则X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(5,9)))，故所求概率P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－Ceq\o\al(0,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,9)))eq\s\up12(0)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,9)))eq\s\up12(3)＝eq\f(665,729).答案C二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．已知离散型随机变量X的分布列如下：X012Pa4a5a下列选项中正确的是()A．a的值为0.1 B．E(X)＝0.44C．E(X)＝1.4 D．D(X)＝1.4解析由离散型随机变量的性质知a＋4a＋5a＝1，∴a＝0.1.∴P(X＝0)＝0.1，P(X＝1)＝0.4，P(X＝2)＝0.5，∴均值E(X)＝0×0.1＋1×0.4＋2×0.5＝1.4；方差D(X)＝(0－1.4)2×0.1＋(1－1.4)2×0.4＋(2－1.4)2×0.5＝0.196＋0.064＋0.18＝0.44.答案AC10．已知随机变量X～B(n，p)，若E(X)＝4，Y＝2X＋3，D(Y)＝3.2，则下列结论正确的是()A．n＝4 B．n＝5C．p＝0.8 D．P(X＝2)＝eq\f(32,625)解析由已知np＝4，4np(1－p)＝3.2，∴n＝5，p＝0.8，∴P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,5)p2(1－p)3＝eq\f(32,625).答案BCD11．某商家进行促销活动，促销方案是顾客每消费1000元，便可以获得奖券1张，每张奖券中奖的概率为eq\f(1,5)，若中奖，则商家返还中奖的顾客现金1000元．小王购买一套价格为2400元的西服，只能得到2张奖券，于是小王补偿50元给一同事购买了一件价格为600元的便服，这样小王就得到了3张奖券．设小王这次消费的实际支出为X(元)，则下列说法正确的是()A．X的可能取值为2450，1450，450，－550B．P(X＝2450)＝eq\f(1,125)C．P(X＝－550)＝eq\f(1,125)D．E(X)＝1850解析根据题意知，X的可能取值为2450，1450，450，－550，且P(X＝2450)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))eq\s\up12(3)＝eq\f(64,125)，P(X＝1450)＝Ceq\o\al(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))eq\s\up12(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))eq\s\up12(2)＝eq\f(48,125)，P(X＝450)＝Ceq\o\al(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))eq\s\up12(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))eq\s\up12(1)＝eq\f(12,125)，P(X＝－550)＝Ceq\o\al(3,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))eq\s\up12(3)＝eq\f(1,125)，∴E(X)＝2450×eq\f(64,125)＋1450×eq\f(48,125)＋450×eq\f(12,125)＋(－550)×eq\f(1,125)＝1850.答案ACD12．某校高三年级要从5名男生和2名女生中任选3名代表参加数学竞赛(每人被选中的机会均等)，记A为“男生甲被选中”，B为“男生乙和女生丙至少一个被选中”，则下列结论中正确的是()A．P(A)＝eq\f(3,7) B．P(B)＝eq\f(2,7)C．P(AB)＝eq\f(9,35) D．P(B|A)＝eq\f(3,5)解析由题意，得P(A)＝eq\f(Ceq\o\al(2,6),Ceq\o\al(3,7))＝eq\f(3,7)，P(AB)＝eq\f(Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(1,4)＋1,Ceq\o\al(3,7))＝eq\f(9,35)，P(B)＝1－eq\f(Ceq\o\al(3,5),Ceq\o\al(3,7))＝eq\f(5,7)，由条件概率公式可得P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)＝eq\f(3,5).故选ACD.答案ACD三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．袋中有4只红球、3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量X，则P(X≤6)＝__________．解析P(X≤6)＝P(X＝4)＋P(X＝6)＝eq\f(Ceq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(1,3),Ceq\o\al(4,7))＝eq\f(13,35).答案eq\f(13,35)14．设一次试验成功的概率为p，进行100重伯努利试验，则当p＝__________时，成功次数的方差的值最大，其最大值为__________．(本题第一空3分，第二空2分)解析成功次数X～B(100，p)，所以D(X)＝100p(1－p)≤100×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p＋1－p,2)))eq\s\up12(2)＝25，当且仅当p＝1－p，即p＝eq\f(1,2)时，成功次数的方差最大，其最大值为25.答案eq\f(1,2)2515．已知随机变量X的分布列如下表：Xa234Peq\f(1,3)beq\f(1,6)eq\f(1,4)若E(X)＝2，则D(X)＝________．解析由分布列得eq\f(1,3)＋b＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,4)＝1，解得b＝eq\f(1,4)，则E(X)＝eq\f(1,3)a＋2×eq\f(1,4)＋3×eq\f(1,6)＋4×eq\f(1,4)＝2，解得a＝0，则D(X)＝(0－2)2×eq\f(1,3)＋(2－2)2×eq\f(1,4)＋(3－2)2×eq\f(1,6)＋(4－2)2×eq\f(1,4)＝eq\f(5,2).答案eq\f(5,2)16．一台机器生产某种产品，如果生产一件甲等品可获利50元，生产一件乙等品可获利30元，生产一件次品，要赔20元，已知这台机器生产出甲等品、乙等品和次品的概率分别为0.6，0.3和0.1，则这台机器每生产一件产品平均预期获利__________元．解析设生产一件该产品可获利X元，则随机变量X的取值可以是－20，30，50.依题意，X的分布列为X－203050P0.10.30.6故E(X)＝－20×0.1＋0.3×30＋50×0.6＝37(元)．答案37四、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)某工厂有4条流水线生产同一种产品，4条流水线的产量分别占总产量的15%，20%，30%，35%，且这4条流水线的不合格品率依次为0.05，0.04，0.03，0.02，现从该厂的产品中任取一件，问抽到合格品的概率为多少？解设事件Bi为“任取一件产品，恰好抽到第i条流水线的产品”，i＝1，2，3，4，事件A为“任取一件产品，抽到合格品”，则P(A)＝eq\o(∑,\s\up10(4),\s\do10(i＝1))P(Bi)P(A|Bi)＝eq\o(∑,\s\up10(4),\s\do10(i＝1))P(Bi)[1－P(eq\o(A,\s\up6(－))|Bi)]＝0.15×(1－0.05)＋0.20×(1－0.04)＋0.30×(1－0.03)＋0.35×(1－0.02)＝0.15×0.95＋0.20×0.96＋0.30×0.97＋0.35×0.98＝0.9685.18．(本小题满分12分)摇奖器中有10个小球，其中8个小球上标有数字2，2个小球上标有数字5，现摇出3个小球，规定所得奖金(元)为这些小球上记号之和，如果参加此次摇奖，求获得所有可能的奖金数及相应的概率．解设此次摇奖的奖金数为X元，当摇出的3个小球均标有数字2时，X＝6；当摇出的3个小球中有2个标有数字2，1个标有数字5时，X＝9；当摇出的3个小球有1个标有数字2，2个标有数字5时，X＝12.所以所有奖金数有6，9，12.所以P(X＝6)＝eq\f(Ceq\o\al(3,8),Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(7,15)，P(X＝9)＝eq\f(Ceq\o\al(2,8)Ceq\o\al(1,2),Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(7,15)，P(X＝12)＝eq\f(Ceq\o\al(1,8)Ceq\o\al(2,2),Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(1,15).19．(本小题满分12分)某校从学生会宣传部6名成员(其中男生4人，女生2人)中，任选3人参加某省举办的演讲比赛活动．(1)设所选3人中女生人数为X，求X的分布列；(2)求男生甲或女生乙被选中的概率；(3)设“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B，求P(B)和P(B|A)．解(1)X的所有可能取值为0，1，2，依题意得P(X＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(3,4),Ceq\o\al(3,6))＝eq\f(1,5)，P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,2),Ceq\o\al(3,6))＝eq\f(3,5)，P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,2),Ceq\o\al(3,6))＝eq\f(1,5).∴X的分布列为X012Peq\f(1,5)eq\f(3,5)eq\f(1,5)(2)设“甲、乙都不被选中”为事件C，则P(C)＝eq\f(Ceq\o\al(3,4),Ceq\o\al(3,6))＝eq\f(4,20)＝eq\f(1,5).∴所求概率为P(eq\o(C,\s\up6(－)))＝1－P(C)＝1－eq\f(1,5)＝eq\f(4,5).(3)P(B)＝eq\f(Ceq\o\al(2,5),Ceq\o\al(3,6))＝eq\f(10,20)＝eq\f(1,2)；P(B|A)＝eq\f(Ceq\o\al(1,4),Ceq\o\al(2,5))＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).20．(本小题满分12分)袋中装着标有数字1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，若每个小球被取出的可能性都相等，X表示取出的3个小球上的最大数字，求：(1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率；(2)随机变量X的分布列及均值E(X)．解(1)“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A，则P(A)＝eq\f(Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2),Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(2,3).(2)由题意，X所有可能的取值为2，3，4，5.P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,2)＋Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,2),Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(1,30)；P(X＝3)＝eq\f(Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,2)＋Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,2),Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(2,15)；P(X＝4)＝eq\f(Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(1,2)＋Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,2),Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(3,10)；P(X＝5)＝eq\f(Ceq\o\al(2,8)Ceq\o\al(1,2)＋Ceq\o\al(1,8)Ceq\o\al(2,2),Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(8,15).所以随机变量X的分布列为X2345Peq\f(1,30)eq\f(2,15)eq\f(3,10)eq\f(8,15)E(X)＝2×eq\f(1,30)＋3×eq\f(2,15)＋4×eq\f(3,10)＋5×eq\f(8,15)＝eq\f(13,3).21．(本小题满分12分)为了整顿道路交通秩序，某地考虑将对行人闯红灯进行处罚，为了更好地了解市民的态度，在普通行人中随机选取了200人进行调查，得到如下数据：处罚金额x(单位：元)05101520会闯红灯的人数y8050402010(1)若用表中数据所得频率代替概率，则处罚10元时与处罚20元时，行人会闯红灯的概率的差是多少？(2)若从这5种处罚金额中随机抽取2种不同的金额进行处罚，在两个路口进行试验．①求这两种金额之和不低于20元的概率；②若用X表示这两种金额之和，求X的分布列和数学期望．解(1)由条件可知，处罚10元会闯红灯的概率与处罚20元会闯红灯的概率的差是eq\f(40,200)－eq\f(10,200)＝eq\f(3,20).(2)①设“两种金额之和不低于20元”的事件为A，从5种金额中随机抽取2种，总的抽选方法共有Ceq\o\al(2,5)＝10(种)，其中满足金额之和不低于20元的有6种，故所求概率为P(A)＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).②根据条件，X的可能取值为5，10，15，20，25，30，35，分布列为X5101520253035Peq\f(1,10)eq\f(1,10)eq\f(1,5)eq\f(1,5)eq\f(1,5)eq\f(1,10)eq\f(1,10)故E(X)＝5×eq\f(1,10)＋10×eq\f(1,10)＋15×eq\f(1,5)＋20×eq\f(1,5)＋25×eq\f(1,5)＋30×eq\f(1,10)＋35×eq\f(1,10)＝20(元)．22．(本小题满分12分)某学校举行联欢会，所有参演的节目都由甲、乙、丙三名专业老师投票决定是否获奖．甲、乙、丙三名老师都有“获奖”“待定”“淘汰”三类票各一张．每个节目投票时，甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为eq\f(1,3)，且三人投票相互没有影响．若投票结果中至少有两张“获奖”票，则决定该节目最终获一等奖；否则，该节目不能获一等奖．(1)求某节目的投票结果是最终获一等奖的概率；(2)求该节目投票结果中所含“获奖”票和“待定”票票数之和X的分布列及数学期望．解(1)设“某节目的投票结果是最终获一等奖”这一事件为A，则事件A包括：该节目可以获2张“获奖”票，或者获3张“获奖”票．因为甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为eq\f(1,3)，且三人投票相互没有影响，所以P(A)＝Ceq\o\al(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(1)＋Ceq\o\al(3,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(3)＝eq\f(7,27).(2)所含“获奖”票和“待定”票票数之和X的可能取值为0，1，2，3.P(X＝0)＝Ceq\o\al(0,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(3)＝eq\f(1,27)，P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(2)＝eq\f(6,27)＝eq\f(2,9)，P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝eq\f(12,27)＝eq\f(4,9)，P(X＝3)＝Ceq\o\al(3,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(3)＝eq\f(8,27)，因此X的分布列为X0123Peq\f(1,27)eq\f(2,9)eq\f(4,9)eq\f(8,27)所以X的数学期望为E(X)＝0×eq\f(1,27)＋1×eq\f(2,9)＋2×eq\f(4,9)＋3×eq\f(8,27)＝2.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或由X～B\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(2,3)))得E（X）＝3×\f(2,3)＝2))《第七章随机变量及其分布》单元检测试卷(二)(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知随机变量X~B8,A.11 B.12C.18 D.36解析∵随机变量X~B8,12,∴E(X)=8×12=4,∴故选A.答案A2.已知离散型随机变量ξ的概率分布如下表,则其均值E(ξ)等于()ξ135P0.5m0.2A.1 B.0.6 C.2+3m D.2.4解析依题意,0.5+m+0.2=1,解得m=0.3,故E(ξ)=1×0.5+3×0.3+5×0.2=2.4.故选D.答案D3.现在分别有A,B两个容器,在容器A里有7个红球和3个白球,在容器B里有1个红球和9个白球.现从这两个容器里任意抽出一个球,则在抽到的是红球的情况下,是来自容器A里面的球的概率是()A.0.5 B.0.7C.0.875 D.0.35解析设A=“抽到的是红球”,B=“抽到的是来自容器A里面的球”,则AB=“抽到的是来自容器A里面的红球”.由题意可知,P(AB)=720,P(A)=820,故P(B|A)=P(AB答案C4.从某班6名学生(其中男生4人、女生2人)中任选3人参加学校组织的社会实践活动.设所选3人中女生人数为ξ,则均值E(ξ)=()A.45 B.C.75 D.解析依题意,ξ=0,1,2,则P(ξ=0)=C4P(ξ=1)=C42C21故E(ξ)=0×15+1×35+2×15=1答案B5.甲、乙两人进行羽毛球比赛,假设每局比赛甲胜的概率是23,各局比赛是相互独立的,采用5局3胜制,则乙以3∶A.827 B.C.881 D.解析由题意知,前3局乙胜2局,第4局乙胜,故所求概率P=C3故选B.答案B6.设随机变量X的概率分布为P(X=i)=13,iA.13 B.C.1 D.2解析∵P(X=i)=13,i∴E(X)=1×13+2×13+3×∴D(X)=(1-2)2×13+(2-2)2×13+(3-2)2×故选B.答案B7.位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动:质点每次移动一个单位;移动的方向为向上或向右,并且向上、向右移动的概率都是12.A.1B.CC.CD.C解析依题意,质点在移动过程中向右移动2次,向上移动3次,因此质点P移动5次后位于点(2,3)的概率P=C5答案B8.小明与另外2名同学进行“手心手背”游戏,规则是:3人同时随机等可能选择手心或手背中的一种手势,规定相同手势人数多者每人得1分,其余每人得0分.现3人共进行了4次游戏,每次游戏互不影响,记小明4次游戏得分之和为X,则X的均值为()A.1 B.2C.3 D.4解析进行“手心手背”游戏,小明与另外2名同学选择手势的所有可能情况为(心,心,心),(心,心,背),(心,背,心),(心,背,背),(背,心,心),(背,心,背),(背,背,心),(背,背,背),则小明得1分的概率为34,得0分的概率为1进行4次游戏,小明得分之和X的可能结果为0,1,2,3,4,则P(X=0)=C4P(X=1)=C4P(X=2)=C4P(X=3)=C4P(X=4)=C4故E(X)=0×1256+1×364+2×27128+3×2764+4故选C.答案C二、选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分)9.已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2),且P(X<4)=0.8,则()A.P(X>4)=0.2B.P(X>0)=0.6C.P(0<X<2)=0.3D.P(0<X<4)=0.4解析∵P(X<4)=0.8,∴P(X>4)=0.2.∵X~N(2,σ2),∴P(X<0)=P(X>4)=0.2.∴P(0<X<4)=P(X<4)-P(X<0)=0.6,P(X>0)=1-P(X<0)=0.8,∴P(0<X<2)=12P(0<X<4)=0.3答案AC10.某市有A,B,C,D四个景点,一名游客来该市游览,已知该游客游览A的概率为23,游览B,C和D的概率都是12,且该游客是否游览这四个景点相互独立A.该游客至多游览一个景点的概率为1B.P(X=2)=3C.P(X=4)=1D.E(X)=13解析随机变量X的可能取值为0,1,2,3,4,则P(X=0)=1-P(X=1)=23P(X=2)=23×C31×12×(1-12)2P(X=3)=23×C32×122×1-12P(X=4)=23故E(X)=0×124+1×524+2×38+3×724设A=“该游客至多游览一个景点”,则P(A)=P(X=0)+P(X=1)=14.故选ABD答案ABD11.下列说法中,正确的是()A.已知随机变量X~B(n,p),若E(X)=30,D(X)=20,则p=2B.将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后,方差恒不变C.设随机变量ξ~N(0,1),若P(ξ>1)=p,则P(-1<ξ≤0)=12D.某人在10次射击中,击中目标的次数为X,X~B(10,0.8),则当X=8时概率最大解析对于选项A,因为X~B(n,p),E(X)=30,D(X)=20,所以np=30,np(1-p)=20,所以p=13易知选项B正确;对于选项C,因为ξ~N(0,1),P(ξ>1)=p,所以P(0<ξ<1)=12-p,所以P(-1<ξ<0)=1对于选项D,因为X~B(10,0.8),所以当X=k(k=0,1,…,10)时,P(X=k)=C10k×0.8k×0.210-k,所以当1≤k≤10时,P(X=k)P(X=k-1)=故选BCD.答案BCD12.信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为1,2,…,n,且P(X=i)=pi>0(i=1,2,…,n),∑i=1npi=1,定义X的信息熵H(X)=-∑i=1npiA.若n=1,则H(X)=0B.若n=2,则H(X)随着p1的增大而增大C.若pi=1n(iD.若n=2m,随机变量Y所有可能的取值为1,2,…,m,且P(Y=j)=pj+p2m+1-j(j=1,2,…,m),则H(X)≤H(Y)解析对于A,若n=1,则p1=1,所以H(X)=-(1×log21)=0,所以A正确.对于B,若n=2,则p2=1-p1,所以H(X)=-[p1·log2p1+(1-p1)·log2(1-p1)],当p1=14时,H(X)=-14·log214+34·当p1=34时,H(X)=-34·log234+14·两者相等,所以B错误.对于C,若pi=1n(iH(X)=-1n·log21n·n=-log21n=log2则H(X)随着n的增大而增大,所以C正确.对于D,若n=2m,随机变量Y的所有可能的取值为1,2,…,m,且P(Y=j)=pj+p2m+1-j(j=1,2,…,m).则H(X)=-∑i=12mpi·log2pi=∑i=1=p1·log21p1+p2·log21p2+…+p2m-1·log21p2mH(Y)=(p1+p2m)·log21p1+p2m+(p2+p2m-1)·log21p2+p2m-1+…+(pm+pm+1)·log21pm+pm+1=p1·log2因为pi>0(i=1,2,…,2m),所以1pi>1pi+所以pi·log21pi>pi·log2所以H(X)>H(Y),所以D错误.故选AC.答案AC三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.按照国家标准规定,500g袋装奶粉每袋质量必须服从正态分布X~N(500,σ2),经检测某种品牌的奶粉P(490≤X≤510)=0.95,一超市一个月内共卖出这种品牌的奶粉400袋,则卖出的奶粉质量在510g以上袋数大约为.解析因为X~N(500,σ2),且P(490≤X≤510)=0.95,所以P(X>510)=1-0.952=0.025,所以卖出的奶粉质量在510g以上袋数大约为400答案1014.抛掷两个骰子,至少有一个4点或5点出现时,就说这次试验成功,则在8次试验中,成功次数ξ的均值是.解析在一次试验中,成功的概率为1-23×23=59.依题意,ξ~B答案4015.若随机变量X~B(4,p),且E(X)=2,则D(2X-3)=.解析由随机变量X~B(4,p),且E(X)=2,可得4p=2,解得p=12,则D(X)=4×1故D(2X-3)=4D(X)=4.答案416.一个盒子里有1个红1个绿2个黄四个相同的球,每次拿一个,不放回,拿出红球即停,设拿出黄球的个数为ξ,则P(ξ=0)=;E(ξ)=.解析依题意,ξ的取值可能为0,1,2,则P(ξ=0)=14P(ξ=1)=24×13+故E(ξ)=0×13+1×13+2×1答案13四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)某校从学生文艺部6名成员(4男2女)中,挑选2人参加学校举办的文艺汇演活动.(1)求男生甲被选中的概率;(2)在已知男生甲被选中的条件下,女生乙被选中的概率;(3)在要求被选中的两人中必须一男一女的条件下,求女生乙被选中的概率.解(1)记4名男生为A,B,C,D,2名女生为a,b,从6名成员中挑选2人,所有可能的结果为(A,B),(A,C),(A,D),(A,a),(A,b),(B,C),(B,D),(B,a),(B,b),(C,D),(C,a),(C,b),(D,a),(D,b),(a,b),共15种,不妨设男生甲为A,女生乙为b,设事件M=“男生甲被选中”,N=“女生乙被选中”,S=“被选中的两人为一男一女”.(1)事件M所包含的可能的结果为(A,B),(A,C),(A,D),(A,a),(A,b),共5种,故P(M)=515(2)事件MN包含的可能的结果为(A,b),则P(MN)=115,又P(M)=1故P(N|M)=P((3)事件S包含的可能的结果为(A,a),(A,b),(B,a),(B,b),(C,a),(C,b),(D,a),(D,b),共8种,事件SN包含的可能的结果为(A,b),(B,b),(C,b),(D,b),共4种,则P(S)=815,P(SN)=4故P(N|S)=P(18.(12分)一个袋中有10个大小相同的球,其中标号为1的球有3个,标号为2的球有5个,标号为3的球有2个.第一次从袋中任取一个球,放回后第二次再任取一个球(假设取到每个球的可能性都相等).记两次取到球的标号之和为X.(1)求随机变量X的分布列;(2)求随机变量X的均值.解(1)依题意,随机变量X的可能取值为2,3,4,5,6,则P(X=2)=310P(X=3)=310×510P(X=4)=310×210P(X=5)=510×210P(X=6)=210故随机变量X的分布列为X23456P933711(2)由(1)可知,E(X)=2×9100+3×310+4×37100+5×1519.(12分)某学习小组有6名同学,其中4名同学从来没有参加过数学研究性学习活动,2名同学曾经参加过数学研究性学习活动.(1)现从该小组中任选2名同学参加数学研究性学习活动,求恰好选到1名曾经参加过数学研究性学习活动的同学的概率;(2)若从该小组中任选2名同学参加数学研究性学习活动,活动结束后,该小组没有参加过数学研究性学习活动的同学人数ξ是一个随机变量,求随机变量ξ的分布列及均值.解(1)记“恰好选到1名曾经参加过数学研究性学习活动的同学”为事件A,则P(A)=C4故恰好选到1名曾经参加过数学研究性学习活动的同学的概率为815(2)依题意,随机变量ξ的取值可能为2,3,4,则P(ξ=2)=C4P(ξ=3)=C4P(ξ=4)=C2故随机变量ξ的分布列为ξ234P281E(ξ)=2×25+3×815+4×20.(12分)甲、乙二人进行一次象棋比赛,每局胜者得1分,负者得0分(无平局),约定一方得4分时就获得本次比赛的胜利并且比赛结束.设在每局比赛中,甲获胜的概率为23,乙获胜的概率为13,各局比赛结果相互独立,已知前3局中,甲得1分,(1)求甲获得这次比赛胜利的概率;(2)设从第4局开始到比赛结束所进行的局数为X,求X的分布列及均值.解(1)设“甲获得这次比赛胜利”为事件A,则P(A)=23故甲获得这次比赛胜利的概率为1627(2)依题意,X的取值可能为2,3,4,则P(X=2)=13P(X=3)=23P(X=4)=C32×2故X的分布列为X234P144E(X)=2×19+3×49+4×21.(12分)某娱乐活动中,共有5扇门,游戏者根据规则开门,并根据打开门的数量获取相应奖励.已知开每扇门相互独立,且规则相同,开每扇门的规则是:从给定的6把钥匙(其中有且只有1把钥匙能打开门)中,随机地逐把抽取钥匙进行试开,钥匙使用后不放回.若门被打开,则转为开下一扇门;若连续4次未能打开,则放弃这扇门,转为开下一扇门;直至5扇门都进行了试开,活动结束.(1)设随机变量X为试开第一扇门所用的钥匙数,求X的分布列及均值E(X);(2)求恰好成功打开4扇门的概率.解(1)由题意可知,随机变量X的可能取值为1,2,3,4,则P(X=1)=16,P(X=2)=5P(X=3)=56×45×1故随机变量X的分布列为X1234P1111E(X)=1×16+2×16+3×16+4×(2)每扇门被打开的概率为P=1-56设“恰好成功打开4扇门”为事件A,则P(A)=C522.(12分)一次大型考试后,某年级对某学科进行质量分析,随机抽取了40名学生的成绩,分组为[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],得到如图所示的频率分布直方图.(1)从抽取的成绩在[50,60),[90,100]之间的学生中,随机选择三名学生做进一步调查分析,记X为这三名学生中成绩在[50,60)之间的人数,求X的分布列及均值E(X).(2)①求该年级全体学生的平均成绩x与标准差s的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表);(精确到1)②如果该年级学生该学科的成绩服从正态分布N(μ,σ2),其中μ,σ分别近似为①中的x,s,那么从该年级所有学生中随机选三名学生做分析,求这三名学生中恰有两名学生的成绩在区间(62,95)的概率.(精确到0.01)附:29≈5.385,P(μ-σ≤ξ≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤ξ≤μ+2σ)≈0.9545.解(1)由频率分布直方图,可知40名学生中成绩在[50,60),[90,100]之间的人数均为4.X的所有可能取值为0,1,2,3,则P(X=0)=C43CP(X=2)=C42C故X的分布列为X0123P1331E(X)=0×114+1×37+2×37+3×114(2)①x=55×0.1+65×0.3+75×0.4+85×0.1+95×0.1=73,s=(55-73)2②由①,可知成绩在区间(62,95)的概率为12×0.9545+12×0.6827=0记“三名学生中恰有两名学生的成绩在区间(62,95)”为事件A,则P(A)=C32×0.81862×(1-0.8186)≈0.《第七章随机变量及其分布》单元检测试卷(三)单选题(每题只有一个选项为正确答案，每题5分，8题共40分）1．长春气象台统计，7月15日净月区下雨的概率为，刮风的概率为，既刮风又下雨的概率为，设事件为下雨，事件为刮风，那么（）A． B． C． D．2．现在有张奖券，张元的，张元的，某人从中随机无放回地抽取张奖券,则此人得奖金额的数学期望为（）A． B． C． D．3．一个袋中放有大小、形状均相同的小球，其中红球1个、黑球2个，现随机等可能取出小球，当有放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为；当无放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为，则（）A．， B．，C．， D．，4．设，若随机变量的分布列如下：02Pa则下列方差值中最大的是（）A． B． C． D．5．已知离散型随机变量的概率分布如下，则其数学期望（）1350.50.2A．1 B．0.6 C．2.44 D．2.46．某小区有1000户居民，各户每月的用电量（单位：度）近似服从正态分布，则用电量在210度以上的居民户数约为（）（参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，）A．17 B．23 C．90 D．1597．已知，，则等于（）A． B． C． D．8．某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于或等于120分）的人数占总人数的，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为（）A．100 B．200 C．300 D．400二、多选题（每题有多个选项为正确答案，每题5分，4题共20分）9．下列说法中正确的是（）A．设随机变量X服从二项分布，则B．已知随机变量X服从正态分布且，则C．；D．已知随机变量满足，，若，则随着x的增大而减小，随着x的增大而增大10．一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列4个结论，其中正确的有（）A．从中任取3球，恰有一个白球的概率是B．从中有放回的取球6次，每次任取一球，则取到红球次数的方差为C．现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为D．从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为11．一盒中有8个乒乓球，其中6个未使用过，2个已使用过．现从盒子中任取3个球来用，用完后再装回盒中．记盒中已使用过的球的个数为X，则下列结论正确的是（）A．X的所有可能取值是3，4，5 B．X最有可能的取值是5C．X等于3的概率为 D．X的数学期望是12．已知某校高三年级有1000人参加一次数学模拟考试，现把这次考试的分数转换为标准分，标准分的分数转换区间为，若使标准分X服从正态分布N，则下列说法正确的有().参考数据：①；②；③A．这次考试标准分超过180分的约有450人B．这次考试标准分在内的人数约为997C．甲、乙、丙三人恰有2人的标准分超过180分的概率为D．三、填空题（每5分，4题共20分，双空题第一空2分，第二空3分）13．一个盒子里有1个红1个绿2个黄四个相同的球，每次拿一个，不放回，拿出红球即停，设拿出黄球的个数为，则_______；______．14．某游戏答题规则为：首局胜利得3分，第二局胜利得2分，失败均得1分.如果甲每局胜利的概率为，且答题相互独立，那么甲作答两局的得分期望为______．15．2019年10月20日，第六届世界互联网大会发布了15项“世界互联网领先科技成果”，其中有5项成果均属于芯片领域，分别为华为高性能服务器芯片"鲲鹏920”､清华大学“面向通用人工智能的异构融合天机芯片”､“特斯拉全自动驾驶芯片”､寒武纪云端AI芯片“思元270”､赛灵思“Versal自适应计算加速平台”：现有1名学生从这15项“世界互联网领先科技成果”中分别任选3项进行了解，在其中1项选择华为高性能服务器芯片“鲲鹏920”的条件下，选出的3项中至少有2项属于芯片领域的概率为___．16．已知X的分布列如图所示，则（1），（2），（3），其中正确的个数为________.X-101P0.20.3a四、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分）17．为了解学生寒假期间学习情况，学校对某班男、女学生学习时间进行调查，学习时间按整小时统计，调查结果绘制成折线图如下:(1)已知该校有400名学生，试估计全校学生中，每天学习不足4小时的人数；(2)若从学习时间不少于4小时的学生中选取4人，设选取的男生人数为X，求随机变量X的分布列及均值E(X);(3)试比较男生学习时间的方差与女生学习时间的方差的大小.(只需写出结论)18．为了解某市2021届高三学生备考情况，教研所计划在2020年11月、2021年1月和2021年4月分别进行三次质量检测考试，第一次质量检测考试（一检）结束后，教研所分析数据，将其中所有参加考试的理科生成绩数据绘制成了扇形统计图，分数在之间的理科学生成绩绘制成频率分布直方图，已知参加考试的理科生有12000人.（1）如果按照上届高三理科生60%的二本率来估计一检的模拟二本线，请问一检考试的模拟二本线应该是多少；